книги / 47
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
ВЕСТНИК ПНИПУ
МЕХАНИКА
PNRPU
M E C H A N I C S B U L L E T I N
№ 1
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2012
УДК 620.1, 539.3 В38
Издание посвящено актуальным вопросам приближённых и численных методов решения краевых задач механики сплошных сред, вычислительным технологиям в решении прикладных проблем, анализу механических процессов при изготовлении и эксплуатации конструкций.
Предназначено для научных сотрудников, специализирующихся в области механики сплошных сред, вычислительной механики и прикладной математики.
Редакционная коллегия: |
А.А. Ташкинов– профессор, д-рфиз.-мат. наук |
Главный редактор |
|
Заместители |
В.Э. Вильдеман– профессор, д-рфиз.-мат. наук |
главногоредактора |
Ю.В. Соколкин– профессор, д-р физ.-мат. наук |
|
П.В. Трусов – профессор, д-р физ.-мат. наук |
|
Н.А. Труфанов – профессор, д-р техн. наук |
Членыредколлегии |
Х. Альтенбах – профессор, д-р наук (Галле, Германия) |
|
Б.Д. Аннин– академик РАН, д-р физ.-мат. наук (Новосибирск, |
|
Россия) |
|
А.К. Беляев – профессор, д-р физ.-мат. наук (Санкт-Петербург, |
|
Россия) |
|
Р.А. Васин – профессор, д-р физ.-мат. наук (Москва, Россия) |
|
А.Г. Князева – профессор, д-р физ.-мат. наук (Томск, Россия) |
|
М. Курода – профессор, д-р наук (Ямагата, Япония) |
|
Я. Краточвил – профессор, д-р наук (Прага, Чешская |
|
республика) |
|
Р.Е. Лаповок – профессор, д-р наук (Клайтон, Австралия) |
|
А.М. Липанов– академик РАН, д-ртехн. наук (Ижевск, Россия) |
|
Е.В. Ломакин – чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук (Москва, |
|
Россия) |
|
С.А. Лурье – профессор, д-р техн. наук (Москва, Россия) |
|
В.П. Матвеенко – академик РАН, д-р техн. наук (Пермь, |
|
Россия) |
|
Е.А. Митюшов– профессор, д-рфиз.-мат. наук(Екатеринбург, |
|
Россия) |
|
Б.Е. Победря– профессор, д-рфиз.-мат. наук (Москва, Россия) |
|
В.П. Радченко– профессор, д-р физ.-мат. наук (Самара, Россия) |
|
С.Б. Сапожников – профессор, д-р техн. наук (Челябинск, |
|
Россия) |
|
Н.Г. Чаусов – профессор, д-р техн. наук (Киев, Украина) |
|
С. Форест – профессор, д-р наук (Эври, Франция) |
Редакция:
Ответственный секретарь – канд. физ.-мат. наук П.С. Волегов Ответственный за выпуск – А.Ю. Горохов
© ПНИПУ, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Бояршинова И.Н. |
|
Применение методов оптимизации для определения характеристик |
|
термомеханического поведения стеклующихся полимеров ..................... |
7 |
Дубровская А.С., Донгаузер К.А. |
|
Численный анализ эволюции напряженно-деформированного |
|
состояния кристаллизующихся лопаток турбин....................................... |
16 |
Каменских А.А. |
|
Напряженное состояние в контактной прослойке опорной части |
|
с шаровым сегментом.................................................................................. |
31 |
Колмогоров Г.Л., Кузнецова Е.В., Полетаева А.Ю. |
|
Деформативность металлов при определении |
|
технологических остаточных напряжений в трубах................................. |
43 |
Кузнецова Е.В., Арташова А.А. |
|
Влияние эксплуатационных режимов и технологических остаточных |
|
напряжений на коррозионное растрескивание циркониевых |
|
оболочек, используемых в атомной энергетике........................................ |
51 |
Куликов Р.Г., Куликова Т.Г. |
|
К вопросу определения деформированного состояния |
|
кристаллизующейся полимерной среды с учетом |
|
больших деформаций.................................................................................. |
62 |
Максимов П.В., Волков А.И. |
|
Расчет каркасных деревянных конструкций с применением МКЭ.......... |
73 |
Навалихина Е.Ю., Труфанова Н.М. |
|
Исследование конвективного теплообмена в кабельном канале, |
|
проложенном в земле .................................................................................. |
93 |
Наймушин И.Г., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. |
|
Численный анализ деформационных процессов |
|
в оптоволоконном датчике......................................................................... |
104 |
Пинаков В.И. |
|
О механизме осевого подъема жидкости в результате |
|
свободного падения цилиндрического сосуда........................................ |
117 |
Пономарева М.А. |
|
Оценка степени пластической деформации линейной части |
|
магистрального трубопровода.................................................................. |
129 |
|
3 |
Сметанников О.Ю. |
|
Об одном способе регулирования остаточных напряжений |
|
в стеклующихся конструкциях................................................................... |
136 |
Соколова О.О., Сметанников О.Ю. |
|
Численное моделирование затвердевания |
|
и структуры металлического слитка ......................................................... |
152 |
Суходолова Ю.С., Труфанов Н.А. |
|
О конечном элементе на основе вариационного принципа |
|
Кастильяно для плоских задач теории упругости................................... |
168 |
Юрлов М.А. |
|
Экспериментальное определение диссипативных свойств |
|
электровязкоупругих систем с внешними электрическими цепями...... |
179 |
4
CONTENTS
Boyarshinova I.N. |
|
The use of optimization techniques for definition of the thermomechanical |
|
behavior characteristics of vitrifying polymers.................................................. |
7 |
Dubrovskaya A.S., Dongauser K.A. |
|
Numerical analysis of solidifying blade deflected mode development.......... |
16 |
Kamenskikh A.A. |
|
The numerical analysis of the contact tension |
|
of basic parts axisymmetric case ................................................................... |
31 |
Kolmogorov G.L., Kuznetsova E.V., Poletaeva A.J. |
|
Deformability of metals at determination of technological |
|
residual stresses in pipes ............................................................................... |
43 |
Kuznetsova E.V., Artashova A.A. |
|
The influence of operational modes and technological residual stresses on |
|
corrosion cracking of zirconium covers are used in atomic engineering ...... |
51 |
Kulikov R.G., Kulikova T.G. |
|
On the question of definition of crystallizing polymer media |
|
deformed state accounting big deformations ................................................ |
62 |
Maksimov P.V., Volkov A.I. |
|
Calculation of the frame timber structures with FEM .................................... |
73 |
Navalikhina E.U., Trufanova N.M. |
|
Research convection heat exchange in the cable channel, |
|
laid in the earth............................................................................................... |
93 |
Naymushin I.G., Trufanov N.A., Shardakov I.N. |
|
Numerical analysis of deformation processes |
|
in the optical fiber sensors............................................................................ |
104 |
Pinakov V.I. |
|
About the mechanism of the liquid’s axial rising as a result of cylindrical |
|
vessel free fall .............................................................................................. |
117 |
Ponomareva M.A. |
|
The extent of plastic deformation of the linear part of the pipeline ............. |
129 |
Smetannikov O.Yu. |
|
About one optimization method of the residual stresses |
|
in constructions with glass transition........................................................... |
136 |
|
5 |
Smetannikov O.Yu., Sokolova O.O. |
|
Numerical simulation of solidification and structure formation |
|
of the metallic ingot ...................................................................................... |
152 |
Sukhodolova Y.S., Trufanov N.A. |
|
About a finite element based on the Castigliano variational principle |
|
for plane elasticity problems......................................................................... |
168 |
Yurlov М.А. |
|
Experimental determination of dissipative properties |
|
of electro viscoelastic systems with external electric circuits....................... |
179 |
6
В Е С Т Н И К П Н И П У
2012 |
Определение характеристик стеклующихся полимеров методами оптимизации |
|
Механика |
№1 |
|
УДК 519.6
И.Н. Бояршинова
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТЕКЛУЮЩИХСЯ ПОЛИМЕРОВ
Рассматривается задача определения термомеханических характеристик полимеров. В основу методики положено решение задачи оптимизации. В качестве целевой функции выбрана сумма квадратов отклонений расчетных напряжений от известных экспериментальных значений. Ограничения формулируются как квазистатическая краевая задача термовязкоупругости, решение которой проводится методом конечных элементов. Минимизация целевой функции осуществляется методом Нелдера-Мида. Единственность решения проверяется путем спуска из нескольких начальных приближений.
Ключевые слова: оптимизация, целевая функция, краевая задача термовязкоупругости, стеклующийся полимер.
I.N. Boyarshinova
State National Research Polytechnic University of Perm, Perm, Russian Federation
THE USE OF OPTIMIZATION TECHNIQUES FOR DEFINITION
OF THE THERMOMECHANICAL BEHAVIOR
CHARACTERISTICS OF VITRIFYING POLYMERS
The problem of determining the thermomechanical properties of polymers is considered. The methodology supposed solution to the optimization problem. As the criterion function is selected the sum of squared deviations of the calculated stresses from the known experimental values. Restrictions formulated as a quasi-static boundary value problem of thermoviscoelasticity which solution is spent by the method of finite elements. The criterion function minimization is carried out by the Nelder-Mead method. The uniqueness of the solutions is checked by the descent of several initial approximations.
Keywords: optimization, criterion function, the boundary value problem of thermoviscoelasticity, vitrifying polymer.
Ключевой проблемой при разработке технологии производства полимерных изделий является определение характеристик материала, связанное с проведением дорогостоящих экспериментов. Поэтому
7
И.Н. Бояршинова
крайне важно искать новые методы обработки и анализа данных измерений, позволяющих получить достоверные результаты в тех случаях, когда эксперимент не дает полной информации.
В качестве альтернативы натурным испытаниям для определения термомеханических характеристик материала предлагается применение методов оптимизации для использования результатов сравнительно небольшого числа экспериментов [1].
1. Постановка задачи МДТТ
Цилиндр из стеклующегося полимера (эпоксидная смола ЭДТ-10) с заданной геометрией равномерно разогрет, а затем охлаждается до комнатной температуры. По результатам экспериментального определения остаточных напряжений требуется определить параметры (фи- зико-механические константы), адекватно отражающие термомеханическое поведение материала.
Математическая модель, описывающая термомеханическое поведение стеклующегося полимера, представлена в работах [1,2]. Для рассматриваемого полимера существует переходный процесс стеклования, который характеризуется степенью застеклованности N (T (t)),
(0≤N ≤1), показывающей «завершенность» процесса стеклования при температуре T (t ).
Математическая постановка квазистатической краевой задачи, описывающей термовязкоупругое поведение изделия, включает уравнения нестационарной задачи теплопроводности (1)–(3), уравнения равновесия (4), соотношения Коши (5), граничные условия (6) и физические соотношения (7).
• |
|
cρT = λ∆T (x,t ), x V , t [0,tK ], |
(1) |
T (x,0)=TH (x), x (V S1 ), |
(2) |
λn gradT = −h(T (x,t )−Tc ), x S2 , t [0,tK ], |
(3) |
где c,ρ, λ, h – теплоемкость, плотность, теплопроводность и коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; x – радиус-вектор произвольной точки области V S ; S1 S2 =S ; n – вектор единичной внешней
8
Определение характеристик стеклующихся полимеров методами оптимизации
нормали к границе S2 ; TH ,Tc – начальная температура и температура среды.
|
|
divσ(x,t )+ρf (x,t )= 0, x V , |
t [0,tK ], |
(4) |
|||||
2ε(x,t )= u(x,t )+u(x,t ) , x V , t [0,tK ], |
(5) |
||||||||
|
|
|
σ(x,t ) n(x)= 0, |
x Sσ, t [0,tK ], |
(6) |
||||
|
|
|
u(x,t )= U(x,t ), |
x Su , |
t [0,tK ]. |
||||
|
|
|
|
||||||
σ(t)= K1 (T (t))− |
2 |
G1 |
(T (t)) Θ(t)g + 2G1 (T (t)) ε(t)− |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T (t) |
|
|
|
|
(t))− 2G2 (T (t)) |
T (t) |
|
||
−3K1 (T (t)) ∫ α(T )dT (τ)+ K2 (T |
∫ Θ(t)−Θ* (τ) gdN (T (τ))+ |
(7) |
|||||||
TH |
|
|
|
|
3 |
|
TH |
|
|
T (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2G2 (T (t)) ∫ ε(t)−ε* (τ) dN (T (τ))− |
|
|
|
|
|||||
TH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (t) |
T (t) |
|
T (τ) |
|
|
|
|||
−3K2 (T (t)) ∫ |
∫ α(T (s))dT (s)− |
∫ α(T |
(s))dT (s) dN |
(T (τ)), |
|
||||
|
|
|
TH |
|
|
|
|||
TH TH |
|
|
|
|
|||||
где U,f – векторы перемещений и объемных сил; n – вектор единичной внешней нормали к границе S = Sσ Su области V ; Sσ, Su – части границы S , на которой заданы соответственно поверхностные силы и перемещения; G1,G2 ,K1,K2 – тензоры сдвиговых и объемных моду-
лей материала в высокоэластическом и застеклованном состояниях; α(T ) – тензор коэффициентов линейного температурного расширения; g – метрический тензор; T – температура; t, τ – время.
Физические соотношения могут быть представлены с использованием разложения на девиаторные (8) и шаровые (9) части тензоров напряжений и деформаций:
T (t) |
|
S(t )= 2G1 (T (t )) e(t )+ 2G2 (T (t )) ∫ |
(e(t )−e(τ))dN (T (τ)) (8) |
TH |
|
9
И.Н. Бояршинова
|
|
|
T (t) |
|
|
|
|
|
σ(t)= K1 (T (t)) Θ(t)g −3 ∫ α(T )dT |
(τ) + |
|
|
|
|
|||
|
|
|
TH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
T (t) |
T (t) |
|
|
T (τ) |
|
|||
|
|
|||||||
+K2 (t) ∫ |
Θ(t)g −3 ∫ |
α(T )dT (s) |
− Θ(τ)−3 ∫ α(T )dT (s) dN (τ), |
|||||
T |
|
T |
|
|
T |
|
|
|
H |
|
H |
|
|
H |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t )= ε(t )−Θ(t )g , Θ(t )= |
1 Spε |
= |
1 |
ε g, |
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
s(t )= σ(t )−σ(t )g, |
σ(t )= |
1 Spσ |
= |
1 |
σ g. |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
Здесь α(T ) |
– коэффициент линейного температурного расшире- |
|||||||
ния, T – температура, t, τ – время.
Зависимость степени застеклованности от температуры в соответствии с экспериментальными результатами характеризуется двумя параметрами Тg и γ и может быть записана в виде
dN |
|
1 |
|
|
1 |
T −T |
2 |
|
|
|
=− |
exp |
− |
|
g |
|
. |
(10) |
|||
|
|
|
|
|||||||
dT |
|
2πγ |
|
|
2 |
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Предполагается, что для девиаторной и шаровой частей тензоров зависимости степени застеклованности от температуры могут быть различными, а следовательно, будут определяться четырьмя парамет-
рами – Tg′, γ′, Tg′′, γ′′ .
dN(′)=
dT t
dN′′ = dT (t )
−1 |
|
|
1 |
|
T (t )−Tg′ |
|
2 |
|
||||
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
2πγ′ |
2 |
|
|
γ′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
T (t )−Tg′′ 2 |
||||||
−1 |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
exp |
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
2πγ′′ |
2 |
|
γ′′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.Постановка задачи оптимизации
Вкачестве критерия оптимизации выбрана функция, представляющая собой сумму квадратов отклонений напряжений, полученных
врезультате решения задачи (1)–(7) с заданными параметрами, от со-
10