ЭАиТЧ_ПР5_Числовые сравнения и их свойства
.docxМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования
“Юго–Западный государственный университет”
Кафедра информационной безопасности
Лабораторная работа № 5
По дисциплине “Элементы алгебры и теории чисел”
По теме “Числовые сравнения и их свойства”
Выполнил: студент группы ИБ-11б
Гребенникова А.И.
Проверил проф. Добрица В.П.
Курск 2023г.
Цель работы: изучить понятие сравнения по числовому модулю, свойства числовых сравнений, познакомиться с приложениями числовых сравнений.
Ход работы:
Вариант 5.
Задание 1. Является ли верным данное утверждение 31 = -9(mod10)?
Решение:
Рассмотрим разность 31-(-9) = 40, она делится 10. Следовательно, сравнение верное.
31 = 3*10+1;
-9 = (-1)*10+1
Т.е. остатки от деления на 10 равны, что подтверждает верность сравнения.
Задание 2. Найти две последние цифры числа аn = 420.
Решение:
Найти две последние цифры числа это значит надо сравнить это число с наименьшим неотрицательным вычетом по модулю 100.
420 = r(mod100)
На основании свойств сравнений проведем преобразование данного сравнения.
420 = (45)4 = r(mod100)
, значит ;
, значит ;
, значит ;
Таким образом, две последние цифры числа 420 представляют собой число 76.
Задание 3. Найти остаток от деления числа аn на m
аn = 293275; m = 48
Решение:
293 = 288+5, т.е. 293 5(mod48), а потому
(Дайте пояснения. А понижать степень не пробовали?)
(По Вашему 25 сравнимо с 7 по модулю 48?)
(А куда делся множитель 5?) (А 49 не сравнимо с 1?) Сравнимо:
Таким образом, остаток от деления числа 293275 на 48 равен 25.
Задание 4. Найти остаток от деления суммы a+b+c на число m:
a = 121231; b = 144324; c = 780; m = 13
Решение:
Сначала вычислим остатки от деления на 13 каждого слагаемого из данной суммы.
(Это как получено?) (А если учесть, что 12 Да, возможно проще, не пришло в голову сразу, поэтому решила иным способом.
(Вы уверены?)
(Почему появилось равенство?) Вероятно, опечатка по невнимательности
Отсюда
Задание 5. Выведите признаки делимости на m=15.
Решение:
15 = 3*5. Следовательно, чтобы число делилась на 15, оно должно делиться на 3 и на 5. (Какое должно выполняться условие для сомножителей, что бы делимость на произведение была эквивалентна делимости на сомножители?) Ответ: Сомножители должны быть положительным числом, не равным 1.
(Например 6 и 4?) Не понимаю, причём в данном примере 6 и 4. Ведь 15 = 3*5, сомножители 3 и 5 есть положительные числа, не равные 1.
Выведем признак делимости на 3.
Заметим, что каждое число можно представить в виде суммы . Кроме того, заметим, что и значит . Отсюда имеем:
.
Из этой формулы и получаем, что число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Выведем признак делимости на 5.
Заметим, что каждое число можно представить в виде суммы . Кроме того, заметим, что , а значит , отсюда и . Чтобы однозначное число а0 делилось на 5(Это к чему относится?),(описалась, вместо 5 по ошибке написала 2) оно должно принимать значения 0 и 5. Получаем, что для того, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Получаем, что признаки деления числа на 15 содержат признаки деления на 3 и на 5, т.е. число делится на 15 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3, а его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.
Вывод: в ходе работы мы изучили понятие сравнения по числовому модулю, свойства числовых сравнений, познакомились с приложениями числовых сравнений.