Лекция 3, МГ, СЖД
.pdfp |
a |
a |
|
|
|
x |
|
O |
|
|
|
z |
|
|
3 |
|
x |
M |
|
1 |
||
z |
Рис. 3.8. Расчетная схема к задаче Мичелла
Наибольшее главное напряжение 1 направлено по биссектрисе угла видимости.
Кроме приведенных напряжений нормально к любой плоскости, параллельной плоскости xOz, действуют напряжения
y 2 ( 1 3) 2 p .
Анализ напряженного состояния. На рис. 3.9 показаны эпюры напря-
жений при a 1 вдоль трех вертикальных линий: под центром загруженной полосы (x 0), под краем (x 1,0) и в стороне от нагрузки (x 1,5).
p |
|
|
|
p |
p /2 |
p |
|
|
|
|
p /2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|||||
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
|
z |
|
|
|
|
|
2,0 |
|
x |
|
|
|
|
|
2,0 |
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
4,0 |
|
|
|
|
|
|
|
4,0 |
|
|
|
|
|
|
|
4,0 |
|
|
|
|
|
|
|
5,0 |
1,0 |
0,5 |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
5,0 |
1,0 |
0,5 |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
5,0 |
1,0 |
0,5 |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
Рис. 3.9. Эпюры напряжений z, x и xz вдоль вертикальных линий x 0; x 1,0; x 1,5
Качественно вид этих эпюр повторяет то, что было в задаче Фламана (см. рис. 3.5), и основной результат, на который следует обратить внимание – это уменьшение напряжений по мере удаления от нагрузки. Однако есть и отличия. В частности, в задаче Фламана нагрузка прикладывалась по бесконечно узкой полосе, что приводило к бесконечно большим напряжениям в точке приложения нагрузки. Здесь же нагрузка распределена по ширине 2a, и вертикальные напряжения z под нагрузкой равны давлению p, что, кстати, отвечает граничным условиям. При этом под краем загруженной площади имеем z p/2.
На рис. 3.10 показаны графики вертикальных напряжений z вдоль горизонтальных линий на различных глубинах.
1,0 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
z 0,1 |
|
|
|
|
|
z 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1,0 |
0,6 |
|
|
|
|
|
z 2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5,0 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
3,0 |
2,0 |
1,0 |
0 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
Рис. 3.10. Графики z вдоль горизонтальных линий на различной глубине
Формула для осадки поверхности. Осадку поверхности в задаче Мичелла определим также на основе решения Фламана (3.6) с точностью до произвольной постоянной:
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ln |
|
x a |
|
x a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
s |
1 |
|
|
2 p |
ln |
|
x |
|
d |
1 |
|
|
2 p |
2a |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|||||||||
|
|
|
E a |
|
|
E |
|
ln |
x a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К сожалению, данная формула имеет те же недостатки, что и формула (3.6) – невозможность в рамках принятых граничных условий определить произвольную постоянную (здесь она принята равной нулю) и выход деформированной поверхности в отрицательную область: s при x . На рис. 3.11 приведен пример графика осадки с точностью до произвольной постоянной при следующих исходных данных: p 1, a 1, 0,3, E 100.
0,020 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,015 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,005 |
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0,0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
3,5 |
4,0 |
|
||||||||
0,005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,015 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11. График осадки поверхности |
|
За исключением формулы для осадки, рассмотренное решение имеет важное практическое значение. Полученные здесь картины распределения напряжений в основании носят принципиальный характер и качественно соответствуют очертаниям полей напряжений для широкого круга практических задач. Прямое применение этого решения – основание центрально загруженного ленточного фундамента.
3.6. Задача Польшина, 1933
Расчетная схема и формулы для напряжений. Решение Польшина име-
ет значение, прежде всего, для строителей железных и автомобильных дорог и для строителей-гидротехников, поскольку оно используется при определении напряжений в основаниях насыпей. Расчетная схема задачи дана на рис. 3.12.
|
2a |
|
|
|
dP |
|
|
|
|
|
p |
O |
d |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
x |
M |
|
|
||
|
x |
|
|
z |
|
|
|
Рис. 3.12. Схема к определению напряжений в основании от треугольной полосовой нагрузки
Решение достигается интегрированием выражений (3.7), в которых следует положить:
p( ) p . 2a
В результате напряжения в точке M(x, z), возникающие в основании от действия треугольной полосовой нагрузки, могут быть найдены по формулам:
x |
p |
z |
|
(x 2a)2 z2 |
|
x |
x 2a |
arctg |
x |
|
2z(x 2a) |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
2 |
z |
2 |
|
z |
|
(x 2a) |
2 |
z |
2 |
||||||||||
|
2 a |
|
|
|
|
a |
|
z |
|
|
|
|
|
z |
p x |
x |
arctg |
x 2a |
|
2z( x 2a) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(3.10) |
|||
|
|
|
|
( x 2a) |
2 |
z |
2 |
|||||||||
|
2 a |
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
xz |
p |
|
2z2 |
|
|
|
z |
x 2a |
arctg |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
. |
|||
|
(x 2a) |
2 |
z |
2 |
|
z |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
a |
|
z |
Графики вертикальных напряжений. На рис. 3.13 даны графики напря-
жений z, построенные вдоль горизонтальных линий на различной глубине z. Отличительным признаком распределения напряжений в этой задаче по
сравнению с задачей Мичелла является ожидаемая асимметрия графиков в виду несимметричности нагрузки.
Осадка поверхности. Вертикальное перемещение точек поверхности в случае действия треугольной нагрузки составит:
|
1 2 |
|
p |
|
|
|
x2 |
|
2a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
s |
|
|
|
2a ln |
2a x |
|
|
ln |
|
|
|
(a x) . |
|
E |
|
2a |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула обладает теми же недостатками, что и формулы для осадок в
задачах Фламана и Мичелла, и представляет лишь теоретический интерес.
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0,1 |
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
z 0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1,0 |
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
z 2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5,0 |
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3,0 |
2,0 |
1,0 |
0 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
Рис. 3.13. Графики вертикальных напряжений вдоль горизонтальных линий на различной глубине
Определение напряжений в основании насыпи. Граничные условия этой задачи показаны на рис. 3.14. Если разбить трапецеидальную нагрузку от насыпи на три участка равномерно распределенную интенсивностью p и две треугольные, то, применяя принцип суперпозиции, в каждой точке основания можно отдельно определять напряжения от каждой из трех составляющих общей нагрузки, а затем их сложить.
a |
b |
b |
a |
p |
x |
|
R1 R2 |
R3 |
R4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
M |
|
z |
|
Рис. 3.14. Расчетная схема силового воздействия насыпи на слабое основание
Напряжения в основании от такой нагрузки удобно рассчитывать с использованием углов видимости 1, 2, 3. В этом случае решение может быть приведено к виду:
x pX , |
z pZ , |
zx pT , |
(3.11) |
Здесь обозначено:
X |
1 |
a( |
|
) b( ) x( ) 2z ln |
R1R4 |
|
, |
|||
a |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 3 |
1 3 |
R R |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
Z 1a [a( 1 2 3) b( 1 3) x( 1 3 )] ,
T za ( 1 3 ) .
Углы видимости 1, 2, 3 и расстояния R1, R2, R3, R4 равны:
|
|
|
|
1 1 2 ; |
|
|
2 2 3 ; |
|
|
3 3 4 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R1 |
|
z |
, |
|
R2 |
z |
|
, |
|
|
R3 |
z |
|
, |
|
|
R4 |
z |
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cos 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|
|
cos 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
arctg |
x b a |
|
, |
|
|
arctg |
x b |
, |
|
|
arctg |
x b |
, |
|
|
arctg |
x b a |
. |
||||||||||
1 |
|
|
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
z |
|
3 |
|
|
|
z |
|
4 |
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|