QalOGUGtk0
.pdfгде множителями Лагранжа i , i 1, ... , m , являются произвольные веще-
ственные числа.
При решении изопериметрической задачи используется следующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сформулированному в теореме 5 для задачи Лагранжа.
Теорема 6. Если функции y1 x , ... , yn x доставляют слабый экстремум функционалу (5) при условиях (6), (10), то существуют числа 1, ... , m
(множители Лагранжа), при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера
L y |
|
|
d |
L y ' |
0, |
k 1, ... , n, |
(12) |
k |
|
||||||
|
|
dx |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L – функция Лагранжа (11).
При использовании теоремы 6 для решения изопериметрической задачи
функции yk x , k 1, ... , n , и множители Лагранжа i , |
i 1, ... , m нахо- |
|
дятся из системы n m уравнений (12) и (10). |
|
|
Пример 4. Найти функцию y x , |
на которой может достигаться экстре- |
|
мум функционала v y в следующей изопериметрической задаче: |
||
|
|
|
v y y '2 dx, y 0 1, |
y 1, y cos xdx . |
|
0 |
0 |
2 |
|
Решение. Функция Лагранжа данной задачи имеет вид:
L y '2 y cos x, |
const Ly |
cos x, Ly ' 2 y ', Ly ' y ' 2 . Тогда уравне- |
||||||||||||||||
ние Эйлера Ly |
d |
|
Ly ' 0 будет таким: |
cos x 2 y" 0 y" |
cos x |
|||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
y ' |
|
|
|
cos xdx |
|
sin x C1 |
y |
|
|
|
sin x C1 |
|
|
cos x C1x C2 |
||||
2 |
2 |
|
2 |
dx |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Для определения множителя Лагранжа используем дополнительное условие:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x C1x C2 |
|
|
cos |
2 |
x C1x cos x C2 |
||||||||
|
|
cos xdx |
|
|
|
|
cos x dx |
|
|||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получим |
|
2C |
2 |
8 |
C |
. Следовательно, общее |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решение уравнения Эйлера имеет вид: y x |
cos x |
4 |
C cos x C x C |
|
. |
||||||||
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные C1 |
и |
C2 |
определяем |
|
из |
|
граничных |
|
условий: |
||||||
y 0 1 |
4 |
C C 1, |
y 1 |
|
|
4 |
C C |
|
1 C C |
|
0 . |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, |
функционал |
v y |
может |
|
достигать экстремума при |
y x cos x .
Литература.
1.Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Физматлит, 2005.
2.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007.
3.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
4.Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006.
5.Вуколов Э. А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко А.М. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
202
Мартынов О.М.
Задачи для для подготовки к междисциплинарному экзамену по дисциплине «Теория оптимального управления» (специальность «Математические методы
в экономике»)
Экстремальные задачи, возникающие в естественных науках или на практике, обычно ставятся словесно, в содержательных терминах той области, где данная задача возникла. Чтобы можно было воспользоваться теорией, необходим перевод задач на математический язык. Этот перевод называется формализацией. Одна и та же задача может быть формализована разными способами, и простота решения часто сильно зависит от того, насколько удачно задача формализована.
Любая формализованная задача включает в себя следующие элементы:
функционал f : X |
|
( X область определения функционала f ) и огра- |
||
|
||||
ничение, то есть подмножество C X . Здесь |
|
это расширенная дей- |
||
|
ствительная (вещественная) прямая, то есть совокупность всех действительных чисел, дополненная значениями и . Запись F : X Y означает, что отображение F имеет область определения X , а F x для
каждого элемента x X лежит в множестве Y . Слово «функционал» употребляется для отображений в расширенную числовую прямую . Таким образом, формализовать экстремальную задачу – это значит точно описать ее элементы f , X и C .
Для формализованной задачи употребляется запись
f x inf sup , x C . |
( з1 ) |
Точки x C называются допустимыми. Если C X , то задача называется задачей без ограничений.
Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу f x sup, x C , задачей f x inf, x C , где f x f x . И,
наоборот, задачу на минимум можно аналогичным образом свести к задаче на максимум. Если необходимо исследовать обе задачи, то пишут f x extr, x C .
Допустимая точка x0 называется абсолютным (или еще говорят глобальным) минимумом (максимумом) в задаче ( з1 ), если f x f x0 для любого x C (соответственно f x f x0 для любого x C ). При этом пишут x0 abs min з1 ( abs max з1 ). Абсолютный минимум (максимум) задачи называется решением задачи. Величина f x0 , где x0 – решение зада-
203
чи, называется численным значением задачи (или просто значением задачи). Эта величина обозначается Sз1 или Smin Smax .
Кроме глобальных экстремумов рассматриваются также локальные экстремумы. Дадим их определение. Пусть в задаче ( з1 ) X – нормированное
пространство. Говорят, что точка x0 доставляет в ( з1 ) локальный мини-
мум (максимум), и пишут x0 loc min з1 ( loc max з1 ), если x0 C и суще- |
||||||
ствует 0 такое, что для любой допустимой x , для которой |
|
x x0 |
|
|
|
, |
|
|
|
||||
выполняется неравенство f x f x0 f x f x0 . Другими словами, |
||||||
если x0 loc min з1 ( loc max з1 ), то существует окрестность U точки x0 та- |
кая, что x0 loc min з2 ( loc max з2 ) в задаче |
|
f x inf sup , x C U . |
( з2 ) |
Пусть f : – функция одной действительной переменной, обладаю-
щая некоторой гладкостью, т.е. определенными свойствами дифференцируемости.
Теорема Вейерштрасса (Карл Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик). Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и минимума.
Следствие. Если функция f непрерывна на n и lim f x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
f x |
|
, то |
f |
достигает своего абсолютного минимума (макси- |
||||
lim |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
мума) на любом замкнутом подмножестве n .
Определение 1. Гладкой элементарной задачей без ограничений называется задача об отыскании экстремумов этой функции:
f x extr . |
( з3 ) |
Алгоритм решения
1.Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду ( з3 ).
2.Выписать необходимое условие экстремума: f ' x 0 .
3. Найти стационарные точки, т.е. решения уравнения f ' x 0 .
4. Отыскать решение среди стационарных точек или доказать, что решения нет.
Необходимым условием экстремума в гладкой элементарной задаче без ограничений является:
204
Теорема Ферма (Пьер Ферма (1601 – 1665) – французский математик). Пусть f – функция одного переменного, определенная в некотором интер-
вале, содержащем точку x0 , и дифференцируемая в точке x0 . Тогда, если
x0 есть точка локального экстремума функции f , то |
|
|||||
|
|
|
|
f ' x0 0 . |
|
|
Достаточные условия экстремума даются следующим утверждением. |
||||||
Теорема 1. Пусть |
f x дифференцируема в некоторой окрестности стаци- |
|||||
онарной точки x0 |
(то есть в этой точке f ' x0 0 ). Тогда |
|
||||
1) если |
f ' x 0 |
слева от x0 |
и |
f ' x 0 |
справа от x0 , то x0 |
– точка ло- |
кального максимума функции |
|
f x ; |
|
|
||
2) если |
f ' x 0 |
слева от x0 |
и |
f ' x 0 |
справа от x0 , то x0 |
– точка ло- |
кального минимума функции |
f x ; |
|
|
|||
3) если |
f ' x имеет справа и слева от точки x0 один и тот же знак, то x0 |
|||||
не является точкой экстремума. |
|
|
|
Пример 1. Два города A и B лежат по одну сторону от прямолинейной дороги на расстоянии 60 км и 200 км от нее. Перевозка груза по дороге обходится вдвое дешевле, чем по любому пути вне дороги. Как следует двигаться, чтобы затраты на перевозку груза из A в B были минимальными, если известно, что расстояние между городами равно 500 км.
Решение. 1. Формализуем задачу.
Имеем |
AB 500, |
AM 60, BN 200 BK 200 60 140 ; |
AK MN |
|||
|
|
|
|
|
|
|
5002 1402 |
|
|
|
|||
360 640 480. |
|
|||||
Пусть |
MP x, QN y . Если движение производится по пути |
APQB , то |
точки P и Q должны быть выбраны так, чтобы минимизировать функцию
205
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R x, y 2 3600 x2 |
480 x y 2 |
|
40000 y2 , |
|
|||||||||||||||
где x 0, |
y 0 по смыслу задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, формализация задачи имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R x, |
y 2 3600 x2 |
480 x y 2 |
40000 y2 inf . |
( з4 ) |
|||||||||||||||||
Полученную |
|
задачу |
можно |
разделить на две. |
|
Представим функцию |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R x, |
y в виде R x, |
y R x R |
y 480 , где |
|
R x 2 3600 x2 |
x , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
R x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
40000 y2 |
y . Чтобы решить задачу ( з |
4 |
) нужно решить две за- |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
R x 2 |
|
|
|
||||||||||||||
R |
2 |
3600 x2 x inf |
и |
|
40000 y2 y inf . |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Необходимые условия экстремума для полученных задач имеют вид:
R' x |
0 и R' |
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найдем стационарные точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) R' x 0 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 0 2x |
3600 x2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
3600 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4x2 |
3600 x2 x2 |
1200 x |
|
|
20 |
3 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) R2' y 0 |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
2 y |
40000 y2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
40000 y2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3y2 |
40000 y2 |
40000 |
|
|
y |
|
200 |
|
115,5 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. а) Так как R |
' 20 |
|
|
40 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
0 , то |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
4000 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем R1 20 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
точка x0 20 |
3 abs min . |
3 |
4800 20 |
3 60 3 . |
|||||||||||||||||||||||
|
AM |
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Кроме того, tg |
|
|
|
|
|
3 60 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
MP |
|
|
20 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) Так как R' 100 |
200 |
|
|
1 |
2 |
|
1 0 , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
100 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206
|
|
|
200 |
abs min . Найдем |
|
200 |
|
2 |
40000 |
40000 |
|
|
200 |
|
||||||
точка |
y0 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
200 |
|
|
800 |
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
400 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
BN |
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Кроме того, tg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
60 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
QN |
|
200 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
R x ; y |
|
|
R 20 |
|
|
|
|
200 |
|
|
60 |
|
200 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
S |
min |
0 |
|
3; |
3 |
3 480 260 |
3 480 1000 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
так как 26 3 48 100 26 |
|
|
3 52 |
3 2 – очевидно. Это показывает, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что расходы на перевозку по прямому пути AB наименьшими не являются. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, двигаться надо по пути |
APQB , где APM BQN 60 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача решена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть |
|
X , |
|
Y |
|
|
– |
|
|
|
|
|
нормированные |
пространства, |
|
F : X Y , |
fi : X , i 0, 1, ... , m .
Определение 2. Гладкой задачей с равенствами и неравенствами называется задача
f0 x inf, F x 0, fi x 0, i 1, ... , m,
если отображение F и функционалы fi обладают некоторой гладкостью.
Алгоритм решения
1. Составить функцию Лагранжа (Жозеф-Луи Лагранж (1736 – 1813) – французский математик и механик):
m
L x, y*, i fi x y*, F x ,
i 0
где y* Y*, 0 , 1, ... , m – множители Лагранжа.
2. Выписать необходимые условия экстремума: а) стационарности
m
Lx x, y*, 0 i fi ' x F ' x * y* 0,
i 0
207
где F ' x * – оператор, сопряженный к отображению F ' x : X Y ;
б) дополняющей нежесткости
i fi x 0, i 1, ... , m ;
в) неотрицательности
i 0, i 0, 1, ... , m .
3. Найти критические точки, то есть допустимые точки, удовлетворяющие необходимым условиям п. 2 с множителями Лагранжа и y * , одновре-
менно не равными нулю. При этом случаи 0 0 и 0 0 лучше рассмотреть отдельно. Если 0 0 , то можно положить 0 1 или любой другой
положительной константе.
4. Отыскать решение среди критических точек или доказать, что его нет.
Пример 2. x2 |
x2 |
x2 |
inf; 2x |
x |
x |
5; x |
x |
x |
3. |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
Решение. 1. Применяем алгоритм решения гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств. Функция Лагранжа имеет вид:
L 0 x12 x22 x32 1 2x1 x2 x3 5 2 x1 x2 x3 3 .
2. Необходимые условия экстремума: а) стационарности
|
|
L |
0 |
20 x1 |
21 2 0 |
|
|||
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 0 . |
|
|
|
|
Lx |
0 20 x2 |
(1) |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Lx |
|
|
2 1 0 |
|
|||
|
|
|
0 20 x3 |
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x1 x2 x3 5 0 . |
|
|||
б) дополняющей нежесткости |
|
||||||||
в) неотрицательности 0 0, 1 0. |
|
|
|
||||||
|
21 2 |
0 |
|
|
|
||||
3. Если 0 0 , то |
|
1 |
0 |
1 2 0 , то есть все множители Ла- |
|||||
2 |
|||||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
гранжа – нули, а этого не может быть. Значит, 0 0 . Положим 0 12 .
Тогда система (1) примет вид
x1 21 2 0 |
x1 21 2 |
|
|||
|
2 1 0 |
|
1 2 |
|
|
x2 |
x2 |
. |
(2) |
||
x 0 |
x |
|
|||
3 |
2 1 |
3 |
1 |
2 |
|
Предположим, что 1 0 . Тогда из условия дополняющей нежесткости следует, что 2x1 x2 x3 5 0 .
208
Подставим найденные значения x1, x2, x3 в систему уравнений
x1 x2 x3 3 |
|
2 1 2 1 2 1 2 3 |
|
||||||
|
|
|
|
. Тогда получим |
|
|
|
|
|
2x1 |
x2 |
x3 5 |
0 |
4 1 |
2 2 |
1 2 |
1 2 |
5 |
0 |
2 1 3 2 3 . Домножим первое уравнение системы на 2, а второе
6 1 2 2 5
на 3 и сложим их: 4 1 6 2 6 |
14 1 9 1 |
9 |
0 . А это про- |
|
|
|
|||
18 1 6 2 15 |
|
14 |
|
тиворечие с условием 1 0 . Значит, 1 0 . Из системы (2) следует, что
x1 x2 x3 , а так как |
x1 x2 x3 3 , то x1 x2 x3 1 |
|
– критическая точ- |
|||||
ка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Функция |
f x x2 |
x2 |
x2 |
стремится к при |
|
x |
|
, значит, по |
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
следствию из теоремы Вейерштрасса решение задачи существует, а в силу единственности критической точки решением может быть только она.
Ответ: x 1, 1, 1 abs min з5 , Smin 3.
Вариационными задачами называются задачи о поиске экстремума функционалов.
Определение 3. Переменная величина v называется функционалом, зависящим от функции y x , если каждой функции y x из некоторого класса
функций M соответствует значение v , то есть имеет место соответствие: |
|||
функции y x соответствует число |
v . |
|
|
Обозначение: v v y x . |
|
|
|
|
|
|
|
Класс M функций (кривых), на которых определен функционал, называет- |
|||
ся его областью определения. |
|
|
|
Будем полагать, что функционал |
v y x , определен на элементах y x |
||
|
|
|
|
линейного нормированного пространства функций, в котором каждому элементу y x поставлено в соответствие действительное число y , называемое нормой элемента, при этом выполняются следующие условия:
1) y 0 и y =0 тогда и только тогда, когда y 0 (0 – нулевой элемент);
2) y y ;
3) y z y z
для любых элементов y, z , принадлежащих пространству, и любого действительного числа .
Далее, в основном, будем рассматривать пространства C0 и C1 . Пространство C 0 x0 , x1 состоит из непрерывных функций (кривых) y x , опре-
209
деленных на отрезке x0 , x1 . В пространстве C 0 x0 , x1 норма вводится |
||||||||||||||||
следующим образом: |
|
y |
|
0 |
max |
|
|
y x |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть y x C0 x0 , |
x1 и 0 |
|
|
– произвольное число. |
||||||||||||
Определение 4. - окрестностью нулевого порядка кривой y x называ- |
||||||||||||||||
ется совокупность кривых y x C0 x0 , |
x1 , такая, что |
|||||||||||||||
|
|
y y |
|
0 max |
|
y x y x |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пространство C1 x0 , x1 |
состоит |
|
из |
непрерывных функций (кривых) |
||||||||||||
y x , определенных на отрезке x0 , |
|
x1 |
и имеющих на этом отрезке не- |
прерывную производную. В пространстве C1 x0 , x1 норма вводится следующим образом:
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
max |
|
y x |
|
|
max |
|
y ' x |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть y x C1 x0 , x1 |
и 0 |
|
– произвольное число. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Определение 5. - окрестностью первого порядка кривой |
y x называ- |
||||||||||||||||||||||||
ется совокупность кривых y x C1 x0 , |
x1 , такая, что |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
y y |
|
1 max |
|
|
y x y x |
|
|
max |
|
y ' x y ' |
x |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 ;x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 6. Кривые |
|
y x , на которых сравниваются значения функ- |
ционала, называются допустимыми кривыми или кривыми сравнения. Определение 7. Обозначим через y x допустимую кривую, на которой
функционал достигает экстремума, а через |
y x произвольную допусти- |
мую кривую. Разность y x y x y x |
называется вариацией кривой |
y x . |
|
Вариация y x есть функция x и принадлежит тому же функциональному пространству, что и функция y x . Используя вариацию y x , можно
представить любую допустимую кривую y x в виде
y x y x y x .
Используется так же и другая запись
y x y x y x ,
где y x – фиксированная функция, а – числовой параметр. Очевидно, что при 0 справедливо равенство y x y x .
210