1 семестр / билет математический анализ 1 курс 1 семестр теория _1

дифференцируема по , а функция = ( ) дифференцируема по , тогда сложная функция ( ) = ( ( )) будет дифференцируема по , причем

′( ) = ′( ) ∙ ′ ( ).

Пример. Найти производную функции

( ) = sin( 2 + 7 ).

Решение. Обозначим = 2 + 7 , тогда ( ) = sin( ( )) и по теореме о

производной сложной функции

′( ) = (sin( ))′ ∙ ′ ( ) = cos( ) ∙ (2 + 7).

Ответ: ′ = cos( 2 + 7 ) ∙ (2 + 7) .

Пример. Найти производную функции

( ) = (cos( 3 + 7 )).

Решение. Введем обозначения = cos( 3 + 7 ),

12

Пример. Найти производную функции

Ответ: ′( ) = −5 4(ln(4 − 2)) ∙ 2 (ln(4 − 2)) 4 − 2

Исследование функции по первой производной

Для понимания поведения функции = ( ) необходимо исследование функции по первой производной, которое позволяет определить интервалы монотонности функции.

Теорема (об условии постоянства функции).

Если функция = ( )

1)непрерывна на отрезке [ , ] ,

2)дифференцируема на ( , )

3)′( ) = 0 ( , ) ,

то ( ) = на отрезке [ , ].

Теорема (о монотонности функции).

Если функция = ( )

1)непрерывна на отрезке [ , ] ,

2)дифференцируема на ( , )

a) если ′( ) > 0, то функция = ( ) возрастает на интервале ( , ) b) если ′( ) < 0, то функция = ( ) убывает на интервале ( , )

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

В частности, если lim ′( ) = ∞, то точка является критической точкой функции ( ).

→

13

Определение. Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции.

Замечание. Из определений выше следует, что стационарные точки функции всегда являются критическими. Обратное неверно: не всякая критическая точка является стационарной точкой функции.

Пример. Определить какие из точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 функции ( ), приведенной на рисунке, являются критическими, стационарными.

Решение. Рассмотрим производную функции в этих точках, учитывая, что

геометрически производная представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции в соответствующей точке:

1) в точках 1, 4, 6 касательная параллельна оси Ох, т.е. производная равна нулю ( ′( ) = 0) и следовательно точки 1, 4, 6 являются критическими и стационарными точками.

2, 5 являются только критическими точками.

3) в точке 3 касательная не существует ( ′( )), так как не совпадают касательные слева и справа, следовательно точка 3 является только критической точкой.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – критические точки, 1, 4, 6 – стационарные точки.

Определение. Точка 0 называется точкой локального максимума функции

= ( ), если

> 0 0 < ȁ − 0ȁ < => ( ) < ( 0).

Определение. Точка 0 называется точкой локального минимума функции

= ( ), если

> 0 0 < ȁ − 0ȁ < => ( ) > ( 0).

Определение. Точки максимума и минимума функции = ( ) называются точками экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции).

Если точка 0 − экстремум функции = ( ), то ′( 0) = 0 или ′( 0) (в частности,

lim ′( ) = ∞).

→

Замечание. Точка экстремума функции является критической точкой, следовательно, экстремум функции ищется только в её критических точках.

14

Теорема (достаточное условие экстремума функции).

Если функция = ( ) определена и дифференцируема в окрестности критической точки0, причем при переходе через точку 0 производная функции меняет знак, то

1)если знак производной функции ′( ) меняется с «+» на «−», то точка 0 − точка локального максимума функции.

2)если знак производной функции ′( ) меняется с «−» на «+», то точка 0 − точка локального минимума функции.

Замечание. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке нет экстремума функции. Не все критические точки функции обязательно являются точками экстремума функции.

Пример. Определить с помощью теоремы, какие из точек 1, 2, 3, 4, 5, 6

функции ( ), график которой приведен на рисунке, являются точками экстремума функции.

Решение. Рассмотрим смену знака производной функции при переходе через эти точки:

1) в точках 1, 4, 6 касательная параллельна оси Ох, т.е. производная в них равна нулю ( ′( ) = 0) и имеет место смена знака производной функции, следовательно точки 1, 4, 6 являются точками экстремума функции;

2) в точках 2, 3 производная функции не существует ( lim ′( ) = ∞ ; ′( 3)), но имеет

→ 2

место смена знака производной функции и следовательно точки 2, 3 являются точками экстремума функции;

3) в точке 5 существует вертикальная касательная ( lim ′( ) = +∞), но производная

→ 5

функции не меняет знак при переходе через точку, следовательно точка 5 не является точкой экстремума функции.

Ответ: 5 – не является точкой экстремума функции, 1, 2, 3, 4, 6 – точки экстремума функции

Правило отыскания локального экстремума функции

(функция = ( ) предполагается непрерывной.)

1 шаг: находим стационарные точки, приравнивая производную функции к нулю ( ′( ) = 0), и критические точки, в которых производная не существует ( ′( ) ).

2 шаг: отметим на оси все критические точки функции = ( ) и составим схему изменения знака производной функции ′ = ′( ) в интервалах между критическими точками функции.

3 шаг: на основании схемы изменения знака производной функции делаем вывод об интервалах убывания или возрастания функции и о характере критических точек (точки максимума и точки минимума).

Пример. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции

= 3 − 3 + 2.

Решение. Применим правило отыскания локального экстремума функции: 1 шаг: ищем производную функции ′( ) = 3 2 − 3, находим стационарные точки функции ′( ) = 0

Точек, в которых lim ′( ) = ∞ нет и точек, в которых производная не существует, тоже

→

нет.

15

2 шаг: отмечаем на оси все критические точки функции = ( ) и составляем схему изменения знака производной функции ′ = ′( ) в интервалах между критическими точками функции:

3 шаг: на основании схемы делаем вывод об интервалах убывания или возрастания функции:

(−∞; −1) (1; +∞) – функция возрастает;

(−1; 1) – функция убывает;

(1; +∞) – функция возрастает.

На основании схемы делаем вывод о характере критических точек:

1 = −1 − точка локального максимума функции2 = 1 − точка локального минимума функции.

Ответ: 1 = −1 − максимум и 2 = 1 − минимум,

(−∞; −1) (1; +∞) – функция возрастает;

(−1; 1) – функция убывает.

Пример. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции

3 ( )2= √ − 1 .

Решение. Применим правило отыскания локального экстремума функции:

точек, в которых производная равна нулю нет.

Находим точки, в которых lim ′( ) = ∞ => 1 = 1.

→

В точке 1 = 1 график функции имеет вертикальную касательную. Точек, в которых производная не существует, нет.

2 шаг: отмечаем на оси все критические точки функции = ( ) и составляем схему изменения знака производной функции ′ = ′( ) в интервалах между критическими точками функции:

3 шаг: на основании схемы делаем вывод об интервалах убывания или возрастания функции:

на основании схемы делаем вывод о характере критических точек:

16

1 = 1 – точка локального минимума функции.

Ответ: 1 = 1 − минимум, (−∞; 1) – функция убывает;(1; +∞) – функция возрастает.