585
.pdf3) x + y ≤ x + y ; 4) x − y ≤ x + y ;
Если x ≤ a и a > 0, то −a ≤ x ≤ a . При x − a < δ имеет место: −δ < x − a < δ.
Если x ≥ a, то x ≥ a или x ≤ −a.
Абсолютные величины широко используют при технических и физических измерениях.
Определе ние: если x0 — точное значение некоторой измеряемой величины, а x — ее приближенное значение, то величина = x − x0 называется абсолютной погрешностью измеряе-
мой величины, а величина δ = |
|
|
|
|
|
— относительной погрешно- |
|
|
x0 |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
стью измеряемой величины. |
|
|
|
|
|
Абсолютная погрешность суммы и разности не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых.
Если x0 , y0 — точные значения величин, x , y — их абсолютные погрешности, то абсолютная погрешность произведения
x0 y0 равна x0 |
y + y0 x + x y . |
Если δx, |
δy — относительные погрешности множителей, то |
относительная погрешность произведения равна δx + δy + δxδy .
Пример. При измерении сторон прямоугольника с наибольшей возможной абсолютной погрешностью 2 см получены длины 2 и 3 м. Найти абсолютную и относительную погрешности площади прямоугольника.
Решение: Длина первой стороны (в метрах) равна 2 ± 0,02, второй — 3 ± 0,02. Площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, поэтому абсолютная погрешность равна 0,02 2 + 0,02 3+ 0,02 0,02 ≈ 0,1 ì 2 .
|
Относительная погрешность измерения первой стороны рав- |
||||||||||
на δ = |
0,02 |
= 0,01, второй стороны — |
δ |
|
= |
0,02 |
≈ 0,0067 , зна- |
||||
|
2 |
|
|||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
чит, |
|
относительная |
погрешность |
произведения |
равна |
δ = δ1 + δ2 + δ1δ2 ≈ 0,01+ 0,0067 + 0,01 0,0067 ≈ 0,0167 ≈ 0,02.
13
Задачи к разделу 0.20
0.2.1. Расставить данные числа в порядке возрастания
|
|
25 |
|
26 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
; |
; |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 2,23; |
; |
|
|
5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
26 |
27 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) 3,14159; |
3927 |
|
|
; π; |
г) sin 43o ; 0,69; lg5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0.2.2. Решить уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
x − 2 |
|
|
= 3; |
б) |
|
7 − x |
|
= 4; |
|
|
|
|
|
в) |
|
3x − 8 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.2.3. Решить уравнения а)4 |
|
|
|
x − 4 |
|
= x; б) |
|
x − 3 |
|
= 3x. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.2.4. Решить уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
x − 3 |
|
+ 2 |
|
x +1 |
|
= 4; |
|
|
|
|
б) |
|
x |
|
− |
|
x − 2 |
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.2.5. Решить неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
x − 2 |
|
< 3; |
б) |
|
x − 4 |
|
≤ 3; |
в) |
|
6 − x |
|
> 7. |
( |
|
|
± 0,02 |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.2.6. а) Стороны прямоугольника |
|
равны |
|
|
см и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1,5 |
|
(13± 0,01)см. Какие значения может принимать площадь прямо-
угольника?
б) При измерении сторон прямоугольника линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 4 и 5 см. Найти абсолютную и относительную погрешности площади прямоугольника.
0.2.7.При измерении сторон прямоугольного параллелепипеда линейкой с ценой деления 1 мм получены длины 3, 4 и 5 см. Найти абсолютную и относительную погрешности объема параллелепипеда.
0.2.8.а) Радиус круга равен R = (2 ± 0,02)см. С какой отно-
сительной погрешностью может быть вычислена площадь круга? б) Найти ту же относительную погрешность, если R = 20 ± 0,02.
0.2.9.Вывести формулы для абсолютной и относительной
погрешностей объема цилиндра, если радиус его основания R и высота h измеряются с абсолютными погрешностями δR , δh .
0.2.10.а) Масса тела измерена с относительной погрешностью δm , а его ускорение — с относительной погрешностью δa .
Скакой относительной погрешностью можно вычислить силу, действующую на это тело при его прямолинейном движении?
б) Сила тока на участке электрической цепи измерена с относительной погрешностью δI , а сопротивление — с относитель-
14
ной погрешностью δR . С какой относительной погрешностью можно вычислить напряжение на участке цепи?
0.30. Точечные множества. Координатные пространства. Системы координат
Геометрические объекты (прямые, плоскости кривые линии, геометрические тела и ограничивающие их поверхности) можно рассматривать как непрерывные точечные множества, которые являются подмножествами некоторого универсального множества, называемого пространством, объединяющим точечные и числовые множества.
Математическое пространство – это некоторая математическая среда, в которой находятся математические объекты, для которых введены алгебраические операции. При выполнении этих операций над объектами появляются новые объекты, находящиеся в том же пространстве.
Пространства, для которых определены правила нахождения расстояния между точками, будем называть координатными пространствами. Такие пространства позволяют установить взаимно однозначное соответствие между числовыми и точечными множествами с помощью систем координат.
Прямые линии являются одномерными координатными пространствами. Между действительными числами и точками прямой можно установить взаимно однозначное соответствие и отразить любое действительное число в виде точки на прямой. Для этого на прямой выбирают начало отсчета, направление положительного отсчета, а также масштаб (единицу измерения при отсчете). В результате получаем координатную (числовую) ось, на которой любое действительное число можно отобразить в виде точки.
Всилу взаимно однозначного соответствия понятия «число»
и«точка» часто используют как синонимы при описании математических объектов. Переменной величине x соответствует «текущая точка», конкретному числовому значению переменной соответствует «фиксированная точка».
Если введем прямоугольную систему координат на плоскости из двух взаимно ортогональных (перпендикулярных) числовых осей с общим началом отсчета, то получим двумерное коор-
15
динатное пространство. Теперь можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел (x; y),
которые являются координатами точек плоскости.
Используя теорему Пифагора, расстояние между точками в двумерном координатном пространстве можно получить в виде
MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 . Аналогично можно ввести
трехмерное координатное пространство, в котором устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками этого пространства и упорядоченными тройками (x; y; z) дей-
ствительных чисел. Расстояние между точками M (xM ; yM ; zM )
и N (xN ; yN ; zN ) |
в трехмерном |
Рис. 2. Расстояние между точками координатном |
пространстве |
определяют по формуле
MN = (xN − xM )2 + (yN − yM )2 + (zN − zM )2 .
Кроме прямоугольных систем координат в математике и ее приложениях используют и другие (косоугольные, криволинейные) системы координат. В общем случае, система координат – взаимосвязанная совокупность геометрических объектов в координатном пространстве, позволяющая установить взаимно однозначное соответствие между элементами точечного и числового множеств по определенным правилам.
Задачи к разделу 0.30
0.3.1.Используя теорему Пифагора, доказать формулу AB =
=(xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 .
0.3.2.Найти расстояния между точками: а) A(7; − 3) и B(4;− 7);
б) A(1; − 2) и B(−3;4); в) A(1; 2; 3) и B(3;5; 9).
16
( |
0.3.3. На |
координатной |
|
плоскости |
даны четыре |
|
точки: |
||||||||||||
1; − 2 |
) |
, B |
( |
) |
C |
( |
1; 5 |
) |
и |
D |
( |
−2; 4 |
) |
. Доказать, что четырех- |
|||||
A |
|
|
4; −1 , |
|
|
|
|
||||||||||||
угольник ABCD – параллелограмм. |
|
|
|
|
( |
) |
|||||||||||||
|
0.3.4. На координатной плоскости даны три точки: A |
||||||||||||||||||
|
|
−1; 1 , |
|||||||||||||||||
B(3; 5), C(5; 3). Доказать, что треугольник ABC – прямоуголь- |
|||||||||||||||||||
ный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
0.3.5. На координатной плоскости даны три точки: A |
||||||||||||||||||
|
|
−1; 1 , |
|||||||||||||||||
B(3; 5), |
C(5; 3). Какими |
должны |
быть |
координаты точки D, |
чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом?
0.3.6. На координатной плоскости даны две точки A(7; − 3) и
B(4;− 7). Какими должны быть координаты точки C , чтобы треугольник ABC был равносторонним?
0.3.7. В пространстве даны три точки O(0; 0; 0), A(3;1, 0) и
B(3; −1; 0). Какими должны быть координаты точки C , чтобы
упирамиды OABC длины всех ребер были одинаковы?
0.1.8.Изобразить графически декартовы произведения
а) отрезка длины 1 на отрезок длины 3; б) квадрата со стороной 1 на отрезок длины 2; в) отрезка длины 2 на круг радиуса 3;
г) окружности радиуса 5 на круг радиуса 1.
Требования к практическому усвоению темы «Введение в курс высшей математики»
Студент должен знать:
1.Исходные положения теории множеств: понятие элемента множества, подмножества; способы задания множеств; основные условные обозначения, используемые в теории множеств; понятие взаимно однозначного соответствия между множествами.
2.Понятие переменных математических величин и их интерпретации в теории множеств.
3.Числовые множества действительной переменной и их подмножества (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа).
4.Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа (определение и основные свойства арифметических операций с модулями действительных чисел).
17
5.Точечные множества и координатные пространства, геометрическая интерпретация действительных чисел.
6.Прямоугольные системы координат (определения, расстояния между точками в координатных пространствах), взаимно однозначное соответствие между точками и постоянными (переменными) математическими величинами.
Студент должен уметь:
1.Задавать конечные и бесконечные множества.
2.Устанавливать взаимно однозначное соответствие между множествами и интерпретировать математические и физические величины как элементы множеств.
3.Выполнять арифметические операции с модулями действительных чисел.
4.Определять положение точек и расстояние между точками
водномерных, двумерных и трехмерных системах координат.
Ответы к задачам темы «Введение в курс высшей математики»
0.1.1.а) Множество A состоит из двух элементов, каждое из которых является множеством, множество B – из четырех элементов, каждое из которых является числом; б) Множество A состоит из двух элементов, множество B – из четырех элементов; в) Хотя множества и состоят из одинакового количества элементов, но элементами множества A являются множество и число, а элементами множества B – два множества.
0.1.2.а) Сопоставим элементу 1 A элемент a B, элементу 2 A
элемент b B, элементу 3 A элемент c B, элементу 4 A элемент d B; получим взаимно однозначное соответствие; б) Сопоставим каждой из 33 букв русского алфавита ее номер в алфавите; в) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f (n) = 2n, т.е. каждому натуральному числу поставить в соответствие число, в два раза большее; г) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f(x) = 8x + 2. Читателю рекомендуется построить прямую y = 8x + 2 в системе координат на отрезке x [0; 1]; д) взаимно однозначное соответствие можно задать, например, формулой f(x) = tg x.
0.1.3. а) A B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A∩ B = {3; 4} ; A\ B = {1; 2} ; B \ A = {5} ;
б) A × B = {(1; 3); (1; 4); (1; 5); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (4; 3); (4; 4); (4; 5)}; B × A = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4)}; A × A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4)}.
0.1.4. а) A × B = {(a; ×); (a; *); (a; &); (b; ×); (b; *); (b; &)}; B × A = = {(×; a); (×; b); (*; a); (*; b); (&; a); (&; b)}; A × A = {(a; a); (a; b); (b; a);
18
(b; b)}; б) A × A × A ={(a; a; a); (a; a; b); (a; b; a); (a; b; b); (b; a; a); (b; a; b); (b; b; a); (b; b; b)}; A × B × A = {(a; ×; a); (a; ×; b); (a; *; a); (a; *; b); (a; &; a); (a; &; b); (b; ×; a); (b; ×; b); (b; *; a); (b; *; b); (a; &; a); (a; &; b)}.
0.1.5.а) 16; б) 32; в) 64; г) 2n .
0.1.6.а) A B = [1; 5]; A ∩ B = [2; 3]; A \ B = [1; 2); B \ A = (3; 5]; б) A B = (1; 5); A ∩ B = (2; 3); A \ B = [2; 3); B \ A = [3; 5);
в) A B = [1; 5]; A ∩ B = (2; 3); A \ B = [1; 2]; B \ A = [3; 5]; г) A B = [1; 5); A ∩ B = (2; 3]; A \ B = [2; 3]; B \ A = (3; 5).
0.1.7.A B = A = [1; 3]; A ∩ B = B = {1; 2; 3}; A \ B = (1; 2) (2; 3);
B \ A = .
|
25 |
< |
26 |
< |
27 |
; б) |
2,23 < |
29 |
< |
|
; в) 3,14159 < π < |
3927 |
; |
|
0.2.1. а) |
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
26 |
27 |
28 |
|
13 |
|
1250 |
|
г) sin 43o < 0,69 < lg5.
0.2.2. а) x |
= −1; x |
= 5; б) x |
= 3; x |
=11 |
; в) x |
= |
7 |
; x = 3. |
|||||||
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
3 |
2 |
|||||
0.2.3. а) x |
= |
|
16 |
; x |
= |
16 |
; б) x = |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
5 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2.4.а) x1 = −1; б) x [2; ∞);
0.2.5.а) x (−1; 5); б) x [1; 7]; в) x (−∞; −1) (13; ∞).
0.2.6. а) от 19,2252 до 19,7752; б) = 0,91; δ = 0,05.
0.2.7.= 4,8; δ = 0,08.
0.2.8.а) δ = 0,02; б) δ = 0,002.
0.2.9.Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πR2h, значит, если
радиус и высота измерены с погрешностями δR , δh , то V = π(R + δR)2 ×
× (h + δh) = πR2h + πΔ, где |
= 2Rhδh +hδ2R + 2RδRδh +δ2Rδh , |
||||||||||||||
|
2Rhδ |
h |
+ hδ2 |
+ 2Rδ |
R |
δ |
h |
+ δ2 |
δ |
h |
. |
|
|
|
|
δ = |
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R2h |
|
|
|
|
|
|
F = ma. Значит, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0.2.10. а) По второму |
|
|
закону Ньютона: |
|||||||||||
= (m + δm ) (a + δa )− ma = mδa + aδm + δmδm , δ = |
mδa + aδm + δmδm |
; |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma |
|
|
б) По закону Ома U = IR , где U — напряжение, I — сила тока, R — |
||||||||||||||
сопротивление; |
= (I + δI ) (R + δR )− IR = IδR + RδI |
+ δRδI , |
|||||||||||||
δ = |
IδR + RδI + δRδI |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
IR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.3.1. Пусть дан отрезок AB в пространстве. Опустим из точек A и B перпендикуляры на плоскость xOy, основания перпендикуляров обозначим соответственно C и D (рис. 3). Прямые AC и CD перпендикулярны, так как прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости xOy. По той же причине перпендикулярны прямые BD и CD. Следовательно, четы-
19
рехугольник ABDC – прямоугольная трапеция. Опустим из точки A высоту
AH. По теореме Пифагора AB = AH 2 + BH 2 . Но AH = CD =
= (xA − xB )2 + (yA − yB )2 . BH = BD – AC = zB – zB. Следовательно, AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2 .
0.3.2. а) 5; б) 213 ; в) 7.
Рис. 3. Длина отрезка в пространстве
0.3.3.Указание: если противоположные стороны четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом.
0.3.4.Указание: применить обратную теорему Пифагора (если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник – прямоугольный);
0.3.5.Возможны три случая (рис. 4):
1)AB = CD, AD = BC ;
2)AB = CD, AC = BD;
3)AC = BD, AD = BC.
Разберем, например, первый из них. AB2 = 52, BC2 = 8. Пусть D(x; y), тогда
CD2 = (x − 5)2 + (y − 3)2 , AD2 = (x + 1)2 + (y – 1)2. Составим систему
(x − 5)2 |
+ ( y − 3)2 = 52 |
x2 |
−10x + y2 |
− 6y =18 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
( |
) |
2 |
|
( |
) |
2 |
|
; |
x2 + 2x + y2 |
− 2y = 6 |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x +1 |
+ |
|
y −1 |
= 8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вычтем из первого уравнения второе: |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−12x − 4y =12 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ 2x + y2 − 2y = 6 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
Рис. 4. Решение задачи 0.3.5 |
|||||||
|
|
Выразим из первого уравнения y через x : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
y = 3(1− x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x2 |
+ 2x + y2 − 2y = 6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим |
выражение y через |
x во второе уравнение системы: |
||||||||
y = 3(1− x) |
|
|
|
|
3(5 m |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
55 |
|
||||
|
5 ± 55 |
|
|
|
||||||
|
|
, откуда получим x = |
|
|
|
, y = |
|
|
|
. То, что по- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
10 |
|
|
||||
10x2 |
−10x − 3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучилось два ответа – неудивительно (см. рис. 4). Случай 2) рассматривается аналогично; при этом один из ответов совпадет с одним из уже полученных и поэтому случай 3) можно не рассматривать, так как оба его ответа совпадут с уже полученными.
20
0.3.6. AB2 = 25; Если C(x; y), то должны выполняться условия
(x − 7)2 + (y + 3)2 = 25 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 4)2 + (y + 7)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему, получим x = |
−229 ± |
|
751 |
, y = |
5321m 96 751 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
200 |
|
|
|
||
0.3.7. OA = OB = AB = 2, |
значит, должно быть OC = AC = BC = 2. Сле- |
|||||||||||||||||||
довательно, если C(x, y,z), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
+ (y −1) |
+ z2 |
= 4. |
|
|
|
||||||||||||
|
(x − |
|
|
|
|
|
|
2
(x − 3) + ( y +1)2 + z2 = 4
Вычитая из третьего уравнения второе, получим y = 0. Подставив найденное значение y = 0, в первое и второе уравнения системы, придем к новой системе
|
x2 |
+ z2 = 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3) |
+ z2 |
= 3 |
|||
(x − |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из первого уравнения второе, получим значение x = 2 3 .
3
Затем из первого уравнения найдем z = ± 2 2 .
3
0.3.8. а) прямоугольник со сторонами 1 и 3; б) прямоугольный параллелепипед с ребрами 1, 1 и 2; в) цилиндр с радиусом основания 3 и высотой 2; г) тор («бублик») с поперечным сечением радиуса 1, внутренним и внешним диаметрами 8 и 12 соответственно.
Тема 1: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ С НИМИ
1.10. Исходные положения. Алгебраическая форма комплексного числа
Множество действительных чисел R является недостаточным для решения многих прикладных задач, важных для инженерных приложений. Поэтому вводят множество комплексных чисел C за счет расширения множества действительных чисел (R C).
На теории комплексных чисел в значительной степени базируются методы теоретической электротехники, гидродинамики и
21
газовой динамики, теории упругости и пластичности. В частности, при расчетах сложных электрических цепей при синусоидальном воздействии наиболее удобным является метод комплексных амплитуд.
Определе ние: Полагаем −1 = i . Это число i называется
мнимой единицей.
Из определения очевидно, что i2 = –1.
Определе ние: Число z = a + ib, где a, b – действительные числа, называется комплексным числом. При этом действительное число a называется действительной частью числа z = a + ib и
обозначается a = Rez; действительное число b называется мнимой частью числа z = a + ib и обозначается b = Im z.
Запись комплексного числа виде z = a + ib называют алгебраической формой комплексного числа.
При a = 0 комплексные числа называются мнимыми. Определе ние: Два комплексных числа z1 = a1 + ib1, z2 =
= a2 + ib2 считаются равными, если a1 = a2 и b1 = b2 . Комплексное число z = a + ib равно нулю, если a = b = 0. Комплексные числа z1 и z2 называются противоположными,
если z1 = −z2 .
Определе ние: Комплексное число z = a – ib называется числом, комплексно сопряженным с числом z = a + ib.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел z1 = a + ib и z2 = c + id определяются следующими правилами:
z1 + z2 = (a + ñ) + i(b + d) z1 − z2 = (a − ñ) + i(b − d)
z1 z2 = (a + ib) (ñ+ id) = ac + ibc + iad + i2bd = (ac − bd) + i(ad + bc), т.е. при сложении, вычитании и умножении скобки раскрываются по обычным правилам, учитывается условие i2 = –1 и приводятся подобные.
z1 |
|
= |
a + ib |
= |
|
(a + ib)(c − id) |
= |
(ac + bd) + i(bc − ad) |
= |
|||
z2 |
|
c + id |
(c + id)(c − id) |
c2 + d2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
ac + bd |
+ i |
bc − ad |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
c2 + d2 |
|
c2 + d2 |
|
|
|
22