573
.pdf53
М268
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
В.А. Марков, П.М. Плетнев
ОСНОВЫ ФИЗИКИ (для студентов экономических
специальностей)
Часть 1 Механика. Колебания и волны
Учебное пособие
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
3
Новосибирск 2008
УДК 53.08(075.8) М268
Мар ко в В . А . , Пл е тн ев П . М . Основы физики (для студентов экономических специальностей). Часть 1. Механика. Колебания и волны: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. – 106 с.
ISBN 5-93461-355-3
Изложены теоретические основы общей физики. Рассмотрена физическая сущность явлений. Сформулированы физические понятия и законы. Разобраны ключевые задачи соответствующих разделов физики. Материал изложен в доступной, компактной форме с необходимым математическим и иллюстративным обеспечением.
Предназначено для студентов нетехнических специальностей.
Ответстве нны й р едак то р д-р техн. наук, проф. П.М. Плетнев
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра «Теоретической и прикладной физики» Новосибирского государственного аграрного университета (завкафедрой д-р техн. наук, проф. А.П. Пичугин)
канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры физики и химии ОмГУПС Ю.М. Сосновский
© Марков В.А., Плетнев П.М., 2008
ISBN 5-93461-355-3
© Сибирский государственный университет путей сообщения, 2008
4
Список сокращений и условных обозначений
x, y, z — координаты точки
r— радиус-вектор
rr
i , j,k — единичные орты
r
a ×b — векторное произведение векторов
r
a b — скалярное произведение векторов
t— время
t — промежуток времени r — вектор перемещения
d — оператор производной dt
v — вектор скорости
r
a — вектор ускорения
— обозначение средней величины arn — вектор нормального ускорения
r
aτ — вектор тангенциального ускорения
r
g — ускорение свободного падения
ϕ — угол поворота (угловой путь) dϕ — вектор углового перемещения
ω — вектор угловой скорости
ε — вектор углового ускорения
r
FÒÐ — сила трения
r
FÓÏ Ð — сила упругости m — масса
r
p — импульс
A — работа
E,EÊ ,EÏ — энергия, кинетическая энергия и потенциальная энергия
r
M — момент силы
r
L — момент импульса
I — момент инерции
T — период колебания ν — частота колебаний
ω0 — циклическая частота собственных колебаний
λ — длина волны δ — коэффициент затухания
V — скорость распространения волны
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для теоретического изучения основ физики студентами нетехнических специальностей. Продолжительность курса физики для экономических специальностей составляет один семестр. При освоении материала, представленного в пособии, не требуется глубокого знания дифференциального и интегрального исчисления, однако знания математики в объеме программы средней школы и основ математического анализа необходимы.
Физика — наука экспериментальная, многие физические величины имеют определенное количественное значение только тогда, когда указаны единицы этих величин. Так, например, длина стержня равна 1 м, или 100 см, масса камня равна 33 кг и т.д. В работе уделяется должное внимание единицам измерения физических величин и рассматриваются основы анализа размерностей.
Приводимые определения физических величин, явлений и формулировки законов не перегружены строгими математическими выводами, последние всегда можно найти в оригинальных учебниках для вуза. Всесторонний анализ физических явлений и разбор оригинальных задач позволит студентам освоить основополагающие законы физики и уверенно применять их в различных ситуациях.
Учебное пособие состоит из трех частей, которые нужно рассматривать как одно целое. Часть 1
— Механика, колебания и волны. Часть 2 — Молекулярная физика и термодинамика, электромагнетизм. Часть 3 — Оптика, физика атома и ядра.
Последовательное теоретическое освоение материала настоятельно рекомендуется студентам, у которых были проблемы с физикой в школе.
Авторы с благодарностью примут замечания и рекомендации, которые обязательно будут учтены в дальнейшей работе.
6
ВВЕДЕНИЕ
Физика — наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения.
Понятия физики и ее законы лежат в основе всего естествознания. Физика относится к точным наукам и изучает количественные закономерности явлений.
Главная цель физики — выявить и объяснить законы природы, которыми определяются все физические явления. Законы физики представляют собой количественные соотношения и формулируются на математическом языке, этим занимается теоретическая физика. Экспериментальная физика — опыты, проводимые для обнаружения новых фактов и проверки известных физических законов.
В истории физики известны случаи, когда для объяснения результатов эксперимента приходилось вводить новые постулаты (аксиомы), менять представления об устоявшихся теориях. Так, были введены постулаты Бора, корпускулярная теория света и др.
История физики — это тысячелетний путь развития идей об окружающем мире. Были развиты представления об атомарном строении вещества, открыты простейшие законы статики и гидростатики, законы прямолинейного распространения и отражения света и др. Развитие физики как науки, в современном смысле этого слова, началось в ХVII в. и связано, в первую очередь, с именем итальянского ученого Г. Галилея, который понял необходимость математического описания движения.
По мере изложения материала в учебном пособии будут прослежены основные этапы развития физики.
В прил. А даны основные формулы по рассматриваемым темам, прил. Б содержит алфавитнопредметный указатель.
1. ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ РАЗМЕРНОСТИ
1.1. Измерение и единицы измерения
физических величин
Для установления количественных соотношений между физическими величинами их необходимо измерять. Измерение различных величин — это сравнение их с соответствующими эталонами. Такие эталоны можно выбрать различными способами. Так, длину можно измерять в метрах или в дюймах, в зависимости от выбранного эталона длины. Массу можно измерять в килограммах, граммах, в фунтах, в унциях и т.д. Время обычно измеряют в секундах, в часах. Площадь измеряется в арах, гектарах, квадратных метрах или других единицах площади. Многие физические величины можно выразить через другие величины, если воспользоваться их определением. Так, скорость выражается как пройденный путь, деленный на время движения: v = s/t, и соответственно размерность скорости равна размерности пути, деленной на размерность времени, т.е. [v] = [s]/[t].
Величина в квадратных скобках обозначает размерность этой величины. Скорость может быть выражена в разных единицах измерения, например, в м/с, милях/ч. Чтобы отразить саму размерность физической величины, введем обозначения для основных величин: длина — L, время — T и масса — М. Размерности основных величин совпадают с их обозначением: размерность длины равна L, размерность времени равна Т, размерность массы равна М. Тогда размерности других физических величин можно выразить через эти основные размерности. Так, для скорости получим:
[v] = [s]/[t] = L/T = LT -1.
В табл. 1.1 приведены некоторые соотношения такого рода.
Таблица 1.1
|
Размерности некоторых физических величин, |
||
|
выраженные через длину L, время T и массу М |
||
|
|
|
|
Величина |
|
Размерность |
|
Площадь |
|
L2 |
|
Объем |
|
L3 |
|
Скорость |
|
LT -1 |
|
Ускорение |
|
LT -2 |
|
7
Окончание табл. 1.1
Величина |
Размерность |
Плотность |
ML-3 |
Импульс |
MLT -1 |
Сила |
MLT -2 |
Энергия |
ML2T -2 |
Частота |
T -1 |
Момент импульса |
ML2T -1 |
Давление |
ML-1T -2 |
Понятия длины, площади и объема определяются в евклидовой геометрии. Существует несколько стандартных единиц длины: это — метр, дюйм, фут, миля и сантиметр. В 1978 г. большинство стран официально договорились использовать метрическую систему. В 1960 г. на 11-й Генеральной конференции по мерам и весам была принята Международная система единиц (СИ), имеющая семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела.
Международная система единиц (СИ) — System International — SI
Основные единицы
Метр (м) — единица длины, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона-86. До 1960 г. международным эталоном метра была штриховая мера длины — брусок из платиново-иридиевого сплава, хранящийся в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа).
Килограмм (кг) — масса, равная массе международного прототипа, хранимого в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Прототип килограмма сделан из платиновоиридиевого сплава (90 % Pt, 10 % Ir) в виде цилиндрической гири диаметром и высотой 39 мм.
Секунда (с) — единица времени. Различают атомную секунду, воспроизводимую цезиевым эталоном частоты и времени, и эфемеридную секунду, размер которой связан с периодом обращения Земли вокруг Солнца. За эфемеридную секунду принята 1/31556925,9747 доли тропического года. Атомная и эфемеридная секунды совпадают с точностью 2 10-9.
Ампер (А) — сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между ними силу, равную 2 10-7 Н (Ньютона) на каждый метр длины.
Кельвин (К) — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько атомов содержится в 12 г изотопа углерода 126 C .
Кандела (кд) — сила света, испускаемого с площади 1/600000 м2 сечения полного излучателя в перпендикулярном к этому сечению направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины (2042 К), и давлении 101325 Па.
Дополнительные единицы системы СИ
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
Единицы измерения некоторых физических величин названы в честь известных ученых: единица силы — ньютон (Н), единица энергии — джоуль (Дж), единица частоты — герц (Гц) и т.д. Размерности этих величин также могут быть выражены через основные единицы, соответствующие выбранной системе единиц (см. табл. 1.1): [Н] = МLT -2 кг м/с2, [Дж] = ML2T -2 кг м2/с2, [Гц] = Т -1 с-1. Здесь знак указывает, что данной размерности соответствует определенное выражение из основных единиц международной системы (СИ).
В метрической системе очень просто перейти от одной единицы измерения к другой — более крупной или более мелкой. Для этого вводятся кратные единицы измерения, с добавлением множителя, равного десяти в соответствующей степени (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Приставки к кратным метрическим единицам измерения
8
Приставка |
Обозначение |
Множитель |
Пример |
|
|||
|
|
|
|
экса |
Э |
1018 |
эксаметр, Эм |
пета |
П |
1015 |
петаграмм, Пг |
тера |
Т |
1012 |
тераватт, ТВт |
гига |
Г |
109 |
гигавольт, ГВ |
мега |
М |
106 |
мегаватт, МВт |
кило |
к |
103 |
килограмм, кг |
гекто |
г |
102 |
гектолитр, гл |
дека |
да |
10 |
декаметр, дам |
Приставка |
Обозначение |
Множитель |
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
деци |
д |
10-1 |
дециметр, дм |
санти |
с |
10-2 |
сантиметр, см |
милли |
м |
10-3 |
миллиметр, мм |
микро |
мк |
10-6 |
микроампер, мкА |
нано |
н |
10-9 |
нанометр, нм |
пико |
п |
10-12 |
пикофарад, пФ |
фемто |
ф |
10-15 |
фемтометр, фм |
атто |
а |
10-18 |
аттоватт, аВт |
1.2. Преобразование единиц измерения
Одна и та же измеряемая физическая величина может быть представлена в различных единицах величин. Так, скорость может быть представлена в км/ч, м/с, см/с и т.д. В международной системе (СИ) скорость должна быть представлена в м/с. Все расчетные формулы, если они приведены в СИ, будут давать правильный результат (численное значение) только тогда, когда все численные значения величин, входящих в эту формулу, будут выражены в СИ. Если исходные данные приведены не в СИ, то их нужно преобразовать в СИ. В качестве примера рассмотрим представление скорости 60 км/ч в единицах СИ:
v = 60 км/ч = 60 (1 км)/(1 ч).
Теперь вместо прежней единицы (км) подставим ее значение в метрах (1 103 м). В знаменатель вместо 1ч подставим 3,6 103 с:
v = 60 (1 103 м)/(3,6 103 с) = 16,67 м/с.
Другой способ преобразования единиц измерения состоит в умножении на величины, равные 1,
аименно на (1 103 м)/(1 км) и (1 ч/3,6 103 с). Таким образом, имеем v = 60 (км/ч) 1 1 =
=(60 км/ч) (103 м/1 км) (1 ч/3,6 103 с) = 16,67 м/с.
Иногда вместо того, чтобы вводить единицы в знаменатель, удобно использовать отрицательные степени, например, писать м с-1, а не м/с.
1.3. Анализ размерностей
Размерность физической величины выражается через размерности основных величин выбранной системы единиц: размерность длины (L), размерность времени (Т), размерность массы (М).
Если при решении задачи для искомой физической величины, например, B найдено выражение через другие величины, известные по условию задачи, и физические константы (справочные данные), то размерность В должна в точности совпадать с размерностью найденного выражения:
[B] = [найденное выражение].
Если размерность найденного выражения не совпадает с размерностью B, то нужно искать ошибку, задача решена неверно.
Формула размерности единицы какой-либо физической величины B имеет вид: [B] = LxM y Tz,
где x, y, z — целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, которые называются показателями размерности, или размерностями единицы некоторой величины B относительно единиц длины, массы и времени соответственно (см. табл. 1.1).
Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи не известен, для ее нахождения составляют уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерностей. Если, например, требуется определить время t прохождения пути s телом массы m, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы F, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:
[t] = [s] x [m] y [F] z = LxM y (LMT -2)z = T,
9
где x, y, z не известны. Здесь было учтено:
[t] = T, [s] = L, [m] = M, [F] = LMT -2.
Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении приводит к системе уравнений: x + z = 0, y + z =
= 0, –2z = 1, откуда следует, что x = y = 1/2, z = –1/2 и t = C (ms/F)1/2. Безразмерный коэффициент С, равный согласно законам механики 21/2, определить в рамках анализа размерностей нельзя. В этом состоит своеобразие анализа размерностей. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента. Во многих задачах и вовсе не нужно знать множитель пропорциональности, например, когда нужно сравнить скорость звука в двух различных средах, находящихся при одинаковых внешних условиях. В любом случае, когда это возможно, анализ размерностей используется для проверки всех выкладок и расчетов.
2. МЕХАНИКА. КИНЕМАТИКА
Механика — это раздел физики, в котором изучаются основные особенности и законы механического движения, которое представляет собой перемещение в пространстве с течением времени одних материальных тел относительно других и является наиболее простой формой движения из всех существующих в природе. Чтобы найти законы механического движения, нужно сначала описать это движение. Раздел механики, в котором изучаются методы описания и основные особенности механического движения тел без учета их взаимодействия, называется кинематикой.
Законы механического движения с учетом взаимного влияния тел друг на друга изучаются в рамках другого раздела механики — динамики. Наконец, существует еще один раздел механики, третий, — статика, — в рамках которого изучаются условия равновесия тел, т.е. условия их покоя.
2.1. Определение положения тел в пространстве.
Система координат
Для того, чтобы полностью описать движение материальной точки в пространстве, выберем удобную систему координат: выберем тело отсчета, по отношению к которому определяется положение других тел, и нарисуем три пересекающиеся под прямыми углами друг к другу прямые (оси координат) так, чтобы точка пересечения этих прямых (начало отсчета координат) совпадала с телом отсчета. Такую систему координат называют декартовой (по имени великого французского философа и математика Рене Декарта (1596 – 1650). Если ввести три единичных вектора
i , j , k , направленных вдоль координатных осей (единичные орты), то радиус-вектор r можно представить в виде суммы трех векторов (рис. 2.1):
r |
r |
+ zk , |
|
i |
|
= |
|
j |
|
= |
|
k |
|
=1. |
(2.1) |
rr = xi |
+ yj |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Разложение радиуса-вектора на составляющие вдоль координатных осей
Длину вектора r можно найти, скалярно умножив его на r : r r = r2, или можно записать: r2 = x2 + y2 + z2. В любой момент времени положение материальной точки в выбранной системе координат будем задавать тремя числами (координатами): x, y и z, или, что то же самое, вектором r , который называют радиусом-вектором. Движение материальной точки полностью задано, если указан закон
изменения во времени ее координат: |
|
x = x(t), y = y(t), z = z(t) , |
(2.2) |
10
или, что то же самое, ее радиуса-вектора: |
|
r = r(t) . |
(2.3) |
Кривая, описываемая материальной точкой при ее движении в пространстве, называется траекторией движения. Уравнения (2.2) и (2.3) называются кинематическими уравнениями движения точки. Уравнения заданы в координатной и векторной формах соответственно. Они могут рассматриваться как уравнения траектории движения. При этом функции (2.2) и (2.3) непрерывны и дифференцируемы, что является следствием непрерывности пространства и времени.
2.2. Векторы.
Операции с векторными величинами
В отличие от обыкновенного числа (скаляра) вектор определяется тремя числами в трехмерном пространстве. Например, введенный нами радиус-вектор r , задающий положение тел в пространстве (см. рис. 2.1), определяется тремя координатами: x, y и z. Собственно, любую тройку чисел мы и могли бы называть вектором. Таким образом, когда мы пишем r , это означает, что мы имеем в виду три числа: x, y и z, которые описывают векторную величину r в выбранной системе координат. Эти три числа называются составляющими (или компонентами) вектора r . Когда мы записываем уравнение (2.3), мы имеем в виду три уравнения (2.2).
Векторные величины имеют очень наглядную геометрическую интерпретацию: вектор можно представить как отрезок, имеющий направление (или направленный отрезок). Так, r — это отрезок, проведенный из начала координат в место положения материальной точки. При этом ясно (см. рис. 2.1), что длина этого отрезка r определяется его компонентами (теорема Пифагора):
r = x2 + y2 + z2 . |
(2.4) |
Геометрическая интерпретация векторных величин позволяет определить и легко понять различные математические операции с векторами. Прежде всего, можно определить сумму векторов
a и b как вектор c с компонентами cx = ax + bx, cy = ay + by и cz =
rr
=az + bz, т.е. c = a + b . Складывать векторы можно геометрическим построением: есть метод параллелограмма (рис. 2.2) и метод треугольника (рис. 2.3). При этом складывать векторы можно в любом порядке.
а) |
б) |
в) |
r r r
Рис. 2.2. Сложение векторов методом параллелограмма ( R = F1 + F2 )
Рис. 2.3. Сложение векторов методом треугольника
Можно ввести операцию умножения вектора a на число α, понимая под этим новый вектор с
r r
компонентами α ax, α ay и α az: A = αa .
Благодаря существованию такой операции, любой вектор можно представить в виде произведения его длины на единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице), задающий
|
|
|
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
направление. Например, радиус-вектор |
r |
= rer |
, где |
er |
— единичный вектор, направленный так же, |
|||||
как и r . |
|
|
|
можно рассматривать как сложение вектора rr |
с вектором (– rr ), |
|||||
Вычитание векторов |
r |
и |
r |
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
длина которого будет равна длине r2 , а направление будет противоположно направлению r2 (рис.
2.4):
rr1 − rr2 = rr1 + (−rr2 ) .
11
Рис. 2.4. Сложение и вычитание векторов
Вектор можно разложить на проекции по координатным осям (рис. 2.5).
ау
ах
Рис. 2.5. Нахождение длин проекций векторов аy и аx на оси координат
Важными являются операции скалярного и векторного произведения векторов.
Векторным произведением произвольных векторов a и b называют вектор, длина которого
равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними:
r |
×b , |
r |
(2.5) |
f = a |
f = absin(ϕ) , ϕ = (a,b) , |
а направление (рис. 2.6) перпендикулярно плоскости, в которой лежат a и b , и определяется «правилом правого винта»: оно совпадает с направлением поступательного движения правого
винта, если вращать его от первого вектора произведения ко второму (т.е. от a к b ). Модуль векторного произведения имеет простой геометрический смысл — выражение absin(ϕ) численно
равно площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах a и b .
Рис. 2.6. Векторное произведение
Скалярным произведением произвольных векторов a и b называют число, определяемое произведением длин этих векторов на косинус угла между ними:
r |
r |
(2.6) |
a b = abcos(ϕ) , |
ϕ = (a,b) . |
|
Можно определить смысл скалярного произведения и несколько иначе: оно |
||
равно произведению длины проекции вектора a |
на направление b и длины |
|
вектора b (рис. 2.7). Используя такую интерпретацию скалярного произведе- |
ния, можно показать, что через компоненты векторов a и b оно выражается |
Рис. 2.7. Скалярное |
|||
r |
b = axbx |
+ ayby |
+ azbz . |
произведение |
следующим образом: a |
|
Скалярное и векторное произведения вводятся, главным образом, для удобства, для сокращения математических записей. Так, например, длина радиуса-вектора (2.3) может быть записана через скалярное произведение радиуса-вектора самого на себя:
r = rr rr ≡ rr2 .
12