3479
.pdfна двух ортогональных линейных поляризациях путем подбора геометрии дифракционной решетки: область плоского волновода 4 (рис. 2.11) сильно резонирует при Е-поляризованной падающей волне, оставаясь малочувствительной к волне Н-поляризации; пазовые области ( 4 k , k 1 K ), напротив, дают наибольший отклик к падающей волне с Н-поляризацией. Последнее свойство двухуровневых гребенок может быть использовано для построения плоских антенн с электронным управлением поляризационной чувствительностью.
Как и в случае одноуровневых гребенок, для моделирования дифракции плоских линейно-поляризованных однородных электромагнитных волн на двухуровневых гребенках, накрытых слоем диэлектрика, наиболее удобным математическим аппаратом является метод частичных областей.
Рассмотрим математическую модель процесса дифракции плоской электромагнитной волны H-поляризации единичной амплитуды, падающей под углом из верхней полуплоскости ( z 0 ) на двухуровневую гребенку со слоем диэлектрика (рис. 2.11).
Как и в предыдущем случае для одноуровневой гребенки (2.2, 2.3), магнитные компоненты дифрагированного поля в регулярных областях 1, 2 и 3 (рис. 2.11) записаны в виде ряда, членами которого являются пространственные гармоники Флоке в соответствующих областях, а в плоском периодическом
волноводе |
(область 4) |
и |
|
пазовых областях |
|
внутри |
|
|
периода |
|
( 4 |
|
k , где |
|||||||||||||||||||||||||||
k 1 |
K) |
линейной комбинацией стоячих волноводных мод: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H1y |
|
An exp |
j n |
|
z |
|
t |
|
c |
|
b |
|
exp j |
n x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2y |
|
Bn exp |
j |
|
|
|
z |
|
c |
|
b |
|
|
|
|
Cn exp |
j |
|
|
z |
c |
|
b |
|
exp j n x , |
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
n |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H3 |
|
F exp |
j |
|
|
z |
b |
|
|
G |
|
exp |
j |
|
|
z |
|
b |
exp j |
|
x , |
(2.12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H4 |
|
P exp |
jq |
|
z |
|
b |
|
|
Q |
|
|
exp |
jq |
|
|
z |
|
b |
|
cos |
m x |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
y |
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||||||||||
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H4y |
k |
Dsk cos |
sk |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
h k |
cos |
|
|
x |
|
|
|
li |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
An , Bn , Cn , Fn , Gn |
и Qm ,Pm |
|
|
|
|
неизвестные амплитуды гармоник Флоке в |
частичных областях 1, 2, 3 и волноводных мод поля плоского периодического волновода (область 4) соответственно;
Dsk неизвестные амплитуды волноводных мод поля в k-й внутрипериодной пазовой области (области 4 k , k 1 K);
|
k0 sin |
2 n L и |
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
продольная и |
|||||
n |
n |
k0 |
n , |
n |
|
k0 |
t |
n |
|||||||||
поперечная волновые константы электромагнитного поля в областях 1, 2, 3; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
2 |
m L |
2 |
|
и |
k |
2 |
|
s lk |
2 |
|
постоянные |
|||||
|
k0 b |
|
|
s |
|
k0 |
k |
|
|
||||||||
распространения пазовых мод в направлении оси 0x в областях 4 и 4 |
k ; |
||||||||||||||||
t , b , k |
значения относительных диэлектрических проницаемостей |
||||||||||||||||
материалов планарного диэлектрического волновода и областей 4 и 4 |
k . |
Для сокращения объема не приводятся выражения для тангенциальных электрических компонент дифрагированного поля (Eix ) в соответствующих
частичных областях структуры (рис. 2.11), легко получаемые при подстановке магнитных компонент (2.12) в уравнения Максвелла.
|
|
|
|
Сшивая касательные компоненты полей на границах частичных областей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
t |
c |
|
b 2; |
|
|
|
c |
b 2; |
|
|
|
b 2; |
|
|
|
|
b 2 , |
|
получаем |
|
|
систему |
граничных |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функциональных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
An |
o |
|
Bn exp |
j |
n t |
|
Cn exp j |
n t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
An |
o |
|
|
|
|
|
|
n |
Cn exp j |
|
n t Bn exp |
|
j |
|
n t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bn |
Cn |
|
Fn exp |
j n c |
|
G n exp j n c , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Bn |
Cn |
|
|
n |
|
|
|
t |
n Fn exp |
|
|
j n c |
G n exp j n c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
G |
|
exp j |
|
x |
|
|
|
|
P |
Q |
|
exp jq |
|
b |
cos |
m x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.13) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
F |
G |
|
|
|
|
exp j |
|
x |
|
1 |
|
|
|
P |
|
|
|
Q |
|
exp jq |
|
b |
q |
|
|
cos |
m x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
K |
|
|
Dk cos |
|
k h |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
P exp jq |
|
|
b |
|
|
Q |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
l |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
x |
|
|
|
K |
|
Dk |
k |
|
|
|
|
k h |
|
|
|
|
s |
|
|
k 1 |
|
|
||||||||||
|
P |
|
exp jq |
|
|
b |
Q |
|
q |
|
|
cos |
|
|
j |
|
|
s |
sin |
|
cos |
|
x |
l |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
lk |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
b m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1s 0 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Решая (2.13) относительно коэффициентов Bn и Cn , получаем систему уравнений относительно амплитудных коэффициентов An и Fn ,Gn
|
|
|
|
|
Fn |
|
G n |
Xn rn |
|
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
(2.14) |
||||||
|
|
|
|
|
Fn |
|
G n |
Xn |
|
|
0 |
|
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|||||
где Xn An |
0n |
exp |
|
j n c cos |
n t ; |
n |
|
|
|
, |
; |
|
|
||||
r |
1 j |
tg |
n t |
|
n |
|
1 exp j2 |
|
c |
|
|
n |
t |
1 exp j2 |
|
c ; |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
t |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
j |
sin |
0c cos |
0 t |
0 t |
|
|
|
|
|||||
0 |
1 |
cos |
0 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos
sin 0c sin 0 t .
Далее сложим пятое и седьмое уравнения системы (2.13) и вычтем из шестого уравнения восьмое:
|
2 |
|
|
P Q |
m |
cos |
|
qm b |
|
|
exp |
|
j |
qm b |
|
cos |
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
Dk cos |
|
|
k h |
|
|
|
|
|
s |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
G |
|
|
exp j |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
l |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1s 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
(2.15) |
|||||||||||||||
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
|
Q |
m |
q |
m |
sin |
|
|
exp |
|
|
|
j |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
b m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
Dk |
|
k |
|
|
|
|
|
|
k h |
|
|
|
|
s |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
G |
|
|
|
|
|
exp j |
|
|
|
x |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
sin |
|
|
|
cos |
|
x |
|
l |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1s 0 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Разложим |
|
|
|
|
|
базисные |
|
|
|
|
|
|
модальные |
|
|
|
|
|
функции |
|
|
exp j |
n x |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos s |
x |
|
l1 ... |
|
|
lk |
|
1 |
|
|
lk |
|
|
|
|
по |
|
полной |
|
|
|
ортогональной |
системе |
|
|
|
функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos m |
x L |
на интервалах x |
|
|
|
0, L |
и x |
|
|
|
l1 ... |
|
|
lk 1,l1 ... |
lk |
соответственно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
m |
x |
|
|
|||||||||||||||
exp j |
|
x |
|
|
|
|
T |
|
|
|
cos |
|
, |
|
cos |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
, |
(2.16) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
sm |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где Tnm |
|
|
exp j0.5 |
|
n L |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
sin c |
|
|
|
|
n L |
|
|
m |
|
|
|
|
|
1 |
m |
sin c |
|
n L |
|
m |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Исключая из (2.15) неизвестные коэффициенты Qm и Pm , получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F |
|
|
G |
n |
|
|
j |
qm |
|
tg |
|
qm b |
|
|
|
|
|
F |
|
|
G |
n |
|
|
|
n |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.17) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
j |
|
Ds |
cos |
s h k |
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
s h k |
|
|
|
|
sm |
0, |
|
‹ЉЊ m |
[0, ). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсистема (2.17) с учетом (2.14) может быть преобразована к виду
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
k k |
qm |
|
|
|
|
|
|
qm b |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
r tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
tg |
|
|
s |
|
tg |
|
h |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.18) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
qm |
|
0 |
tg |
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
T |
|
|
, |
|
|
|
где |
m |
|
[0, |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где Yk |
|
|
|
|
Dk cos |
|
|
k h |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
s |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Из пятого уравнения системы (2.13) вычтем седьмое уравнение, а также |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сложим шестое и восьмое уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
Q |
m |
|
sin |
|
|
qm b |
|
exp |
j |
qm b |
cos |
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
Dk cos |
k h |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
exp j |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
x |
|
|
|
l |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
(2.19) |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
Q |
m |
q |
m |
cos |
|
exp |
|
j |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
b m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
Dk |
|
|
k |
|
|
|
|
|
k h |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
G |
n |
|
|
|
|
n |
exp j |
|
n |
x |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
s |
sin |
k |
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
l |
i |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Исключая из уравнений (2.19) Qm |
и |
|
Pm |
и учитывая (2.16), |
|
|
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
систему, подобную (2.17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
G |
n |
|
|
j |
qm |
|
ctg |
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
G |
n |
|
|
n |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
D |
cos |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
|
|
|
s |
tg |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, где m |
|
[0, ]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
s |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
k |
|
|
|
sm |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
k 1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Система (2.20) подобно (2.18) может быть преобразована к виду: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
qm |
|
|
|
|
|
|
|
qm b |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
j |
r ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
ctg |
|
s |
|
tg |
|
h |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.21) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
qm |
|
|
0 |
ctg |
|
qm b |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n |
|
|
|
T |
|
|
, |
|
где |
m |
[0, |
|
|
]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (2.18) и (2.21) получаем бесконечномерную парную СЛАУ I-го рода относительно неизвестных амплитудных коэффициентов парциальных волн областей 1 и 4 k :
|
|
|
K |
|
Ysk V1smk |
|
|
|
Xn K1nm |
|
|
W1m , |
|
||||
n |
|
|
k |
1s |
0 |
|
|
(2.22) |
|
|
|
K |
|
|
|
||
|
|
|
Yk V2k |
|
|
|
||
X |
K2 |
nm |
|
|
W2 |
m |
, |
|
n |
|
|
|
s sm |
|
|
||
n |
|
|
k |
1s |
0 |
|
|
|
где m [0, ) ;
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
hk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Xn |
An |
|
|
|
|
n |
exp |
|
|
j |
|
n |
|
|
|
|
L |
cos |
|
|
|
n |
|
|
L |
; |
|
|
Ys |
|
|
|
|
Ds |
cos |
s |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ctg |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
jqm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
K2 nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
csc |
|
|
qm b L rn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
Tnm |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~k |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
V1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
csc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jqm |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j s |
|
|
|
|
|
|
~k h |
|
|
|
~ k |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
V2 sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
|
|
|
|
q |
m |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
k |
|
|
|
|
sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ctg ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jq m |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
csc |
|
|
|
|
q m |
L |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
T0m |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg ~ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
|
|
|
1 j |
|
|
|
|
n |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 exp j2~n |
|
c |
|
|
|
|
|
n |
t |
|
1 |
|
exp j2~n |
c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
~ |
|
|
|
L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
j |
|
sin ~ |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
t |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
cos |
~ |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
t |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos |
0 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
0 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
sin |
|
|
0 |
|
|
L |
|
|
0 |
|
L |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp j0.5 |
~ |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
~ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Tnm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
li |
|
|
L |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k L cos m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lk |
|
|
||||||||||||||||
~ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 (1 |
|
|
|
|
i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin c |
|
|
m |
|
|
s |
|
( 1) |
s |
sin c |
|
|
|
|
m |
s |
|||||||||||||||||||||||||||||||
sm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
0m ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
2 |
|
L |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
n |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
(sin |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
)2 ; |
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
(sin |
|
|
n |
|
|
)2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
~ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q m |
2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
l k |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Редуцирование СЛАУ (2.22) проводится в соответствии с обобщенным правилом (2.7), которое для структуры, изображенной на рис. 2.11,
принимает следующий вид:
;
;
;
m |
0 |
M |
1 |
, |
n |
N1 N2 , |
(2.23) |
||
s |
0 |
Mk |
1 , |
где M общее количество ПГ, учитываемых в области 1.
Адекватность полученной математической модели подтверждается путем сравнения полученных с ее помощью результатов с результатами, известными для частных случаев геометрии структуры, изображенной на рис. 2.11 (при нулевых глубинах пазовых областей 4 k , k 1 K), а также (при межуровневом зазоре b=0) с результатами компьютерного моделирования для одноуровневых гребенок.
Однако, геометрия структуры, показанной на рис. 2.11, очень сложна, и, без сомнения, самой объективной проверкой адекватности предложенной математической модели являются результаты сравнения расчетных данных с экспериментальными результатами, приводимые в главе 3.
2.1.2. Металлический эшелетт, накрытый слоем диэлектрика
Металлические дифракционные решетки типа «эшелетт» находят широкое
применение в СВЧ и оптической технике. Бесспорное лидерство в
исследовании подобных структур принадлежит авторам Харьковской школы
радиофизики В. П. Шестопалова.
На рис. 2.13 исследуемая структура, представляющая собой идеально проводящий прямоугольный эшелетт со слоем диэлектрика. Бесконечная в плоскости xOy и однородная вдоль оси Ox отражательная ДР – металлический
эшелетт с углом блеска |
и периодом L, помещенная |
в |
многослойный |
диэлектрик с областями 1 ( |
1, 1, толщина h) и 2 ( 2, 2, толщина H), облучается |
||
из полупространства 0, заполненного средой с параметрами |
0 |
и = 0 плоской |
|
ЭМВ единичной амплитуды, падающей под углом . |
|
|
|
|
z |
|
|
|
Eпад |
|
|
П
|
0, |
0 |
|
0 |
|
h |
1, |
1 |
|
1 |
|
H |
2, |
2 |
0 |
2 |
y |
Рис. 2.13. Идеально проводящий прямоугольный эшелетт со слоем диэлектрика
Для применения к анализу дифракции плоской Е-поляризованной волны на металлическом эшелетте со слоем диэлектрика (рис. 2.13) метода обобщенных матриц рассеяния, рассмотрим две вспомогательные структуры:
рис. 2.14,а – |
диэлектрический |
волновод |
толщиной |
h |
с |
параметрами 1, |
1, |
|||
граничащий |
сверху |
и |
снизу |
с |
полубесконечными |
средами, |
||||
характеризующимися |
параметрами ( 0, |
0) |
и ( |
2, |
2) |
соответственно; |
и |
рис. 2.14,б – металлический эшелетт, аналогичный изображенному на рис. 2.13, погруженный в полубесконечный в направлении z диэлектрик с параметрами
( 2, |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическая модель задачи дифракции сводится к нахождению |
|||||||
вектора |
амплитуд A [an ]n |
пространственных гармоник в области 0, |
||||||
рис. 2.13. Искомый вектор амплитуд A представляют в виде: |
|
|||||||
|
|
|
A V012 W210 |
X (I V210 |
X) 1 W012 , |
(2.24) |
||
где |
I |
единичная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eпад |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
h |
1, |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
H |
2, |
2 |
0 |
2 |
y |
а) z
Eпад
П
2, 2 |
0 |
y |
|
L
б)
Рис. 2.14. Вспомогательные структуры: а) трехслойный диэлектрик; б) металлический эшелетт, погруженный в диэлектрик с параметрами ( 2, 2)
Элементы вектора коэффициентов отражения гармоник Флоке при
прохождении слоев (0-1-2) V012 |
|
находятся как |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V012 |
|
|
|
Zвх |
Z00 / cos |
, |
(2.25) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zвх |
Z00 / cos |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Zвх |
|
|
|
Z2 |
jZ1 |
tg k1z h |
Z1 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Z1 |
jZ2 |
tg k1z h |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 cos |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Z02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
cos |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k1z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
k 2z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
cos |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L 0 |
– электрический период структуры (рис. 2.13); |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n – номер гармоники Флоке рассеянного структурой поля; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
n |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
нормированная |
продольная |
постоянная |
распространения n-й гармоники Флоке в структуре, показанной на рис. 2.14,а;
Z00 |
a0 |
– волновое сопротивление диэлектрика над структурой; |
|||||||
a0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1z |
2 |
|
2 |
и k 2z |
2 |
|
2 |
– поперечные волновые числа |
|
|
1 1 |
n |
|
2 2 |
n |
n-й гармоники Флоке для областей 1 и 2 соответственно;
Элементы диагональной матрицы коэффициентов отражения гармоник Флоке при прохождении слоев (2-1-0) V210 находятся как
V210 |
Zвх |
Z02 / cos |
2 |
. |
(2.26) |
|
Zвх |
Z02 / cos |
2 |
||||
|
|
|
Для учета фактически конечной толщины слоя 2 элементы диагональной
матрицы |
V210 |
необходимо умножить |
на |
величину |
exp |
j |
2 |
|
2H , где |
||||||||||||||||||||
L |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
2 2 |
n2 – нормированная поперечная постоянная распространения |
||||||||||||||||||||||||||
n-й гармоники Флоке для области 2, рис. 2.14,а; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z0 |
jZ1 |
tg k1z h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Zвх |
|
Z1 ; Z0 |
Z00 |
cos |
|
|
a0 |
|
cos . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Z1 |
jZ0 |
tg k1z h |
|
|
a0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Элементы диагональной матрицы коэффициентов преломления |
|||||||||||||||||||||||||||
гармоник Флоке при прохождении слоев (0-1-2) W012 |
находятся как |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W012 |
|
|
2 Zвх |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zвх |
Z00 |
/ cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
Zвх |
|
Z2 |
jZ1 |
tg k1z h |
|
Z1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z1 |
jZ2 |
tg k1z h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Как и при вычислении элементов V210 , для учета фактически конечной |
|||||||||||||||||||||||||||||
толщины слоя 2 элементы диагональной матрицы W012 |
необходимо умножить |
||||||||||||||||||||||||||||
на величину exp |
j |
2 |
2H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Элементы диагональной матрицы коэффициентов преломления |
|||||||||||||||||||||||||||
гармоник Флоке при прохождении слоев (2-1-0) W210 |
находятся как |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W210 |
|
|
2 Zвх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zвх |
Z02 |
/ cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
Zвх |
|
Z0 |
jZ1 |
tg k1z h |
|
Z1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z1 |
jZ0 |
tg k1z h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражении (2.24) Xn,s – квадратная матрица, элементами столбцов
которой являются амплитуды n-х пространственных гармоник, возникающих при дифракции s-х пространственных гармоник на эшелетте, погруженном в диэлектрик 2, 2 (рис. 2.14,б):
Xn,s |
an,s |
exp j |
2 |
2H . |
(2.29) |
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
Расчет элементов матрицы a n,s можно провести различными методами,
например, пользуясь алгоритмом, основанным на процедуре полуобращения. Выражение для соответствующей СЛАУ имеет вид
|
|
|
a n,s |
|
|
|
|
|
1 |
|
q |
a n,s |
|
1 |
|
, q 1,2,3,..., , (2.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
n |
q |
|
|
s |
q |
n |
n |
q |
|
s |
q |
|||||||
где |
n |
|
|
n sin |
|
|
|
n cos |
; s |
s sin |
|
|
s cos |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
q |
|
|
L / |
|
|
0 2 |
2 |
2 q / 2sin |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
|
exp j |
|
|
0 |
|
|
q cos |
q / 2 2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
exp j |
|
|
0 |
|
|
q cos |
q / 2 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае Н-поляризации падающей волны в СЛАУ, подобной (2.30), индекс q принимает все целочисленные значения в пределах от 0 до (индекс 0 учитывает наличие в пазах эшелетта волн ТЕМ-типа).
Достоверность математической модели дифракции Е- и Н-поляризо- ванных плоских волн на эшелетте с диэлектрическим слоем, основанной на методе обобщенных матриц рассеяния, устанавливается путем сравнения с результатами, полученными для эшелетта, находящегося в однородном диэлектрике, и для эшелетта, накрытого многослойным диэлектриком. Отличия не превышают 1 %, что позволяет сделать вывод об адекватности модели. Сравнительный анализ метода обобщенных матриц рассеяния и непосредственного применения метода полуобращения ко всей исследуемой структуре позволяет рекомендовать для практического использования первый как более быстродействующий.
В главе 3 приводятся результаты компьютерного моделирования преобразования поверхностных волн в объемные с помощью металлического эшелетта, накрытого диэлектриком, с позиций применения данной структуры в качестве апертуры плоской дифракционной антенны СВЧ диапазона.
2.1.3. Ленточные решетки, содержащие несколько зазоров на периоде
Дифракционные решетки в виде тонких лент, нанесенных на слой диэлектрика, широко используются для создания плоских антенн СВЧ диапазона волн. Достоинства таких антенн очевидны – небольшие поперечные габаритные размеры и масса, высокая технологичность, отсутствие