3416
.pdf
|
343. Пусть A и B - подпространства пространства P4 |
над |
|
полем P |
5 , порожденные соответственно векторами a1 , |
a2 , |
|
a3 |
и b1 , b2 |
из задачи 342. Найдите базисы подпространств A , |
|
B , |
A B , |
A B . Является ли пространство A B прямой |
|
суммой подпространств A и B ? |
|
||
|
|
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
|
|
344. Выясните, какие из данных отображений простран- |
ства 3 в себя являются линейными операторами. Для линейных операторов найдите их матрицы в каноническом базисе.
1) Ax (x1 x2 x3, x3, x2 ) ; |
|
2) Ax (x1, x2 1, x3 2) ; |
|||||||||||||
3) Ax (0, x |
x , |
0) ; |
|
|
4) Ax (2x x , |
x x , |
x2 ) . |
||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
|
345. Пусть линейные операторы A и B в некотором бази- |
|||||||||||||||
се пространства |
|
|
3 |
задаются матрицами |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
4 3 |
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|||
|
A |
|
2 |
1 2 |
|
и |
B |
|
1 0 |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
1 0 |
|
|
|
|
3 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите матрицу линейного оператора C A 2B в том же базисе. Запишите явный вид этого оператора.
346. |
В пространстве |
3 |
заданы два линейных оператора |
|||||
Ax (x x , x , x |
x ) и Bx (2x , x , x ) . Найдите (2 A 3B2 )x . |
|||||||
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
1 |
347. |
В пространстве |
3 |
заданы два линейных оператора |
A и B . Найдите матрицу линейного оператора C AB BA и его явный вид в каноническом базисе пространства 3 , если:
1)Ax (7x1 4x3,4x2 9x3,3x1 x2 ) , Bx (x2 6x3,3x1 7x3, x1 x2 x3) ;
2)Ax (2x1 x2 5x3, x1 4x2 x3, 3x1 5x2 2x3 ) ,
Bx (x1 4x2 3x3, 2x1 x3, 3x2 x3 ) ;
3) Ax (3x1 x2 2x3, 3x1 2x2 4x3, 3x1 5x2 x3 ) ,
Bx (2x1 x2 , x1 x2 2x3, x1 2x2 x3 ) ;
4)Ax (3x1 x2 x3, 2x1 x2 2x3, x1 2x2 3x3 ) , Bx (x1 x2 x3, 2x1 x2 x3, x1 x2 ) .
61
348. Установите, какие из данных операторов имеют обратные и найдите явный вид обратного оператора:
1) Ax (x1 x2 x3, x3, x2 ) ; 2) Ax (x2 2x3, x2 , 2x2 x3 ) ;
3)Ax (x2 x3, 2x1 x3, 3x1 x2 x3 ) ;
4)Ax (x1 2x2 2x3, 2x1 x2 2x3, 2x1 2x2 x3 ) .
349. Пусть в базисе e : e1, e2 , e3 линейный оператор A име-
|
15 |
11 |
5 |
|
|
|
|
||
ет матрицу |
|
20 |
15 |
8 |
. Найдите матрицу этого оператора в |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
8 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
базисе f : |
f1 2e1 3e2 e3 , |
f2 3e1 4e2 |
e3 , f3 e1 2e2 2e3 . |
||||||
350. Пусть в базисе |
e : e1, e2 , e3, e4 |
линейный оператор A |
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
|
имеет матрицу |
|
|
1 |
|
. Найдите матрицу этого оператора |
||||
3 |
0 |
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
5 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
вбазисе f : f1 e1 , f2 e1 e2 , f3 e1 e2 e3 , f4 e1 e2 e3 e4 .
351.Пусть линейный оператор, действующий в простран-
стве |
3 , |
имеет в базисе (8, 6, 7) , ( 16, 7, 13) , |
(9, 3, 7) мат- |
|||
|
1 |
18 |
15 |
|
|
|
рицу |
1 |
22 |
20 |
|
. Найдите матрицу этого оператора в базисе |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
25 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1, 2,1) , (3, 1, 2) , |
(2,1, 2) . |
|
||||
352. Найти матрицу оператора дифференцирования (опе- |
||||||
ратор |
D ) |
в пространстве многочленов степени |
2 в базисе: |
1)1, x, x2 ; 2) 1,1 x,1 x x2 . Имеет ли оператор D обратный?
353.Пусть A и B - линейные операторы, действующие в
линейном пространстве 2 . В базисе
матрицу |
A |
5 |
1 |
. В базисе |
f |
, |
f |
2 |
||
|
e |
|
4 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рицу B f |
2 |
|
0 |
|
причем Te f |
|
1 |
|||
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
e1, e2 оператор A имеет оператор B имеет мат-
21 . Найдите матрицу:
62
1) оператора A2 6A 9I в базисе e , e |
(здесь I |
- единичный |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
оператор); |
2) оператора |
B2 4B 4I в базисе f , f |
2 |
; 3) опера- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
тора A2 B2 в базисе e , e ; 4) |
оператора AB 1 в базисе f , f |
2 |
. |
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
354. |
Установите, |
является ли |
|
данное |
отображение |
|||||
: |
3 |
3 изоморфизмом линейных пространств, если: |
|
|
|||||||
1) (x, y, z) (2x y, z, x y z) ; |
2) (x, y, z) (x y 1, 2z, 3y) ; |
|
3)(x, y, z) (x y, y 2z, x 2 y 2z) ;
4)(x, y, z) (2x 3y z, 2x y z, x 3y z) .
355.Найдите собственные значения и собственные векторы данной матрицы. Приводима ли матрица к диагональному виду?
|
2 |
3 |
|
|
|
1 4 |
8 |
|
|
2 |
1 |
1 |
||||||
1) |
; |
2) |
|
4 |
7 |
4 |
|
; |
3) |
|
3 |
2 |
0 |
|
||||
|
4 |
1 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
356.Приводима ли данная матрица к диагональному виду?
Вслучае положительного ответа укажите базис из собственных векторов и выпишите вид матрицы в этом базисе:
|
1 |
0 1 |
|
|
|
1 3 |
1 |
|
|
6 |
5 |
3 |
|
|||||||
1) |
|
1 |
2 0 |
|
; |
|
2) |
|
3 5 |
|
|
; |
3) |
|
3 |
2 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
3 3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 0 |
|
|
||
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
5 0 |
2 |
|
|
1 |
1 1 |
|
|
|||||
4) |
; |
|
|
5) |
|
8 1 |
4 |
|
; |
6) |
|
4 |
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|||||||||||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 0 |
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|||||
|
1 |
0 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) |
|
1 |
1 1 |
; |
8) |
1 1 |
1 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
63
371. В некотором базисе линейный оператор A задан мат-
рицей |
1 |
2 |
|
. Найдите базис, в котором оператор |
A задается |
|
|
4 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
диагональной матрицей, и найдите матрицу перехода к новому базису.
358. В декартовой системе координат Oxy на плоскости оператор A есть ортогональное проектирование векторов, выходящих из начала координат, на ось Oy . Выясните, будет ли
инвариантным относительно оператора A следующее подпространство: 1) биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) ось Ox ; 3) ось Oy .
|
|
|
4 |
2 |
2 |
|
|
359. Линейный оператор |
A задан матрицей |
|
2 |
0 |
2 |
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
L1 -подпространство, порожденное векторами a (1,1, 0) ,b (1, 0, 1) . Будет ли L1 инвариантным относительно оператора A ?
360. Найдите в линейном пространстве 3 все подпространства, инвариантные относительно линейного оператора,
|
4 |
2 |
2 |
|
заданного матрицей |
2 |
0 |
2 |
. |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
361. Докажите, что если оператор A - обратим, то опера-
торы A и A 1 имеют одни и те же собственные векторы, а собственные значения взаимообратны.
362. Пусть x1 и x2 - собственные векторы линейного оператора A . Является ли вектор x1 x2 собственным вектором
оператора A ?
363. Пусть x - собственный вектор линейных операторов A и B . Докажите, что x является собственным вектором операторов AB и A B . Найдите соответствующие собственные значения.
64
364. Докажите, |
что оператор A I при любом веще- |
ственном числе |
имеет те же собственные векторы, что и |
оператор A . Найдите связь между собственными значениями этих операторов.
365.Докажите, что линейная оболочка каких-нибудь собственных векторов оператора является инвариантным относительно этого оператора подпространством.
366.Пусть 1 и 2 - не равные друг другу собственные
значения линейного оператора A , а x1 и x2 - соответствующие им собственные векторы. Докажите, что векторы x1 и x2 линейно независимы.
367.Докажите, что всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую. Верно ли аналогичное утверждение для линейно независимой системы векторов?
368.Найдите жорданову форму матрицы:
|
1 |
3 |
4 |
|
|
4 |
6 |
0 |
|
1 |
3 |
0 |
3 |
||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
2 |
6 |
0 |
13 |
|
1) |
4 |
8 |
; |
2) |
0 |
; |
3) |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
7 |
7 |
|
|
|
|
3 |
6 |
1 |
|
|
0 |
1 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0 |
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
369. Докажите, что для любых векторов x , y евклидова пространства L , S справедливы следующие утверждения:
1) : |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: (x y, 0) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
: (x y, 0) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
370. Пусть |
|
|
|
|
|
x , |
|
y - такие векторы евклидова пространства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
, S , что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
. Докажите, что векторы x y и x y ор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогональны.
65
|
371. Пусть A, B - |
произвольные подпространства конеч- |
|||||
номерного евклидова пространства |
LP , S . Докажите соот- |
||||||
ношения: |
1) A B A B ; |
2) A |
|
A ; |
|||
|
|||||||
3) A B A |
B ; |
4) A B A B . |
|||||
|
372. Пусть x (x1, x2 ) , y ( y1, y2 ) – произвольные векто- |
||||||
ры пространства |
2 . Выясните, можно ли скалярное произве- |
||||||
дение в |
2 задать следующей формулой: |
|
|
||||
1) (x, y) 2x1 y1 5x2 y2 ; |
2) (x, y) x1 y1 2x2 y2 ; |
||||||
3) (x, y) x1 y1 x1 y2 x2 y1 2x2 y2 . |
|
|
|
||||
|
373. Для векторов |
x (1, 2, 2, 3) , |
y (3,1, 5,1) |
пространства |
|||
4 |
с каноническим скалярным произведением вычислите: |
||||||
|
1) скалярное произведение; 2) длины векторов; 3) угол между векторами.
374. Докажите, что в пространстве P2 многочленов степе-
ни, не превосходящей 2, скалярное произведение элементов f (x) и g (x) можно ввести по формуле
( f , g) f ( 1) g( 1) f (0) g(0) f (1) g(1) .
375. Пусть P2 - евклидово пространство, рассмотренное в
задаче 374. Вычислите нормы многочленов f (x) 1 x x2 , g(x) 1 x и найдите угол между ними. Напишите выражение скалярного произведения двух произвольных элементов пространства P2 через их координаты в базисе 1, x, x2 .
376.Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве неравенство Коши-Буняковского переходит в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно зависимы.
377.Докажите, что норма элементов евклидова пространства (вещественного или комплексного), введенная по форму-
ле x(x, x) , удовлетворяет следующим условиям:
66
1) |
для любого элемента x верно |
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 , причем |
|
|
x |
|
|
0 тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и только тогда, когда x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
для любого элемента x и любого числа верно |
|
|
|
x |
|
|
|
| | |
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
для любых элементов x и y справедливо неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
378. Пусть y - фиксированный ненулевой вектор евклидо-
ва пространства, - фиксированное число. Является ли множество всех векторов x , для которых (x, y) , подпространством данного евклидова пространства?
379.Найдите нормированный вектор, ортогональный век-
торам a1 (1, 3,1, 2) , a2 ( 2,1,1, 2) , a3 (2,1,0,1) .
380.Применяя процесс ортогонализации, постройте ортогональный базис подпространства, порожденного данной системой векторов:
1) |
g1 |
(1, 2, 2) , g2 ( 1, 0, 1) , g3 (5, 3, 7) ; |
||
2) |
g1 |
(1, 2, 2, 1) , |
g2 (1,1, 5, 3) , g3 |
(3, 2,8, 7) ; |
3) |
g1 |
(1,1, 1, 2) , |
g2 (5,8, 2, 3) , |
g3 (3,9,3,8) ; |
4)g1 (2,1,3, 1) , g2 (7, 4,3, 3) , g3 (1,1, 6,0) , g4 (5,7,7,8) .
381.Постройте ортонормированный базис подпространства, порожденного данной системой векторов:
1)a1 (2,1, 3, 1) , a2 (7, 4,3, 3) , a3 (1,1, 6,0) , a4 (5, 7, 7,8) ;
2)a1 (1, 2,1, 3) , a2 (4,1,1,1) , a3 (3,1,1,0) , a4 (2, 2,1, 4) .
382.Проверьте, что данная система векторов ортогональна и дополните ее до ортогонального базиса всего пространства:
1) (1, 2, 2, 3) , (2, 3, 2, 4) ; |
|
2) (1,1,1, 2) , (1, 2,3, 3) . |
||
383. Пусть |
подпространство |
A порождено |
векторами |
|
a1 (1,0,1, 1, 2) , |
a2 (1,0,1, 1, 2) , |
a3 (1,0,3,0,0) , a4 |
(0,0, 2,1,6) . |
Требуется: 1) построить ортонормированный базис подпространства A ; 2) дополнить этот базис до ортонормированного базиса всего евклидова пространства.
67
384.Найдите базис ортогонального дополнения L подпространства L , порожденного данной системой векторов:
1)a1 ( 2,1, 0, 0) , a2 ( 1, 0, 1,1) , a3 ( 3,1, 1,1) ;
2)a1 (1,3, 0, 2) , a2 (3, 7, 1, 2) , a3 (2, 4, 1,0) ;
3)a1 (1, 2, 2,1) , a2 (1,1, 5, 3) , a3 (3, 2,8, 7) ;
4)a1 (1,1, 1, 2) , a2 (5,8, 2, 3) , a3 (3,9,3,8) .
385.Найдите базис ортогонального дополнения L к подпространству решений данной системы уравнений:
2x1 |
3x2 |
x3 |
2x4 |
0 |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
0 . |
|
|||||
|
x |
2x |
|
x |
0 |
|
1 |
2 |
|
4 |
|
386. Подпространство L – это множество решений данной системы уравнений. Найдите систему уравнений, задающую
ортогональное дополнение L , |
и найдите базис L : |
|
|
||||||
|
x1 x2 x3 x4 0 |
|
|
2x1 |
x2 |
3x3 |
x4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
2x4 |
|
|
1) |
|
; |
2) |
3x1 |
0 ; |
||||
|
x1 x2 x3 x4 0 |
|
|
3x |
x |
9x |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2x1 3x2 |
4x3 |
3x4 |
0 |
||
|
|
3x1 |
x2 11x3 |
13x4 |
|
|
3) |
|
0 . |
||||
|
4x |
x 18x |
23x |
0 |
||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
387.Найдите проекцию вектора x на подпространство L
иортогональную составляющую вектора x :
1)x (4, 1, 3, 4) , L (1,1,1,1), (1,2,2,-1), (1,0,0,3) ;
2)x (5, 2, 2, 2) , L (2,1,1, 1), (1,1,3,0), (1,2,8,1) ;
3)x (7, 4, 1, 2) , L задано системой уравнений
2x1 |
x2 |
x3 |
3x4 0, |
|
|
|
2x2 |
2x3 |
x4 0, |
3x1 |
||||
|
x |
2x |
2x |
4x 0. |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
68
388. Ненулевые векторы u1,...,uk евклидова (унитарного) пространства попарно ортогональны, т.е. (ui , u j ) 0 при i j . Докажите, что векторы u1,...,uk линейно независимы.
389. В линейном пространстве P2 многочленов степени, не превосходящей 2, скалярное произведение элементов f (x) и
1
g(x) задано формулой ( f , g) f (x)g(x)dx . Постройте орто-
|
1 |
|
|
|
|
|
|
нормированный базис пространства |
P2 с помощью процесса |
||||||
ортогонализации, исходя из базиса 1, x, x2 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
390. Линейный оператор A в базисе B |
: e1 |
, e2 |
,..., en |
||||
матрицу A . Найдите матрицу сопряженного оператора |
A* в |
||||||
|
, если векторы |
|
|
|
|
|
|
том же базисе B |
e1 |
, e2 ,..., en заданы относи- |
тельно некоторого ортонормированного базиса B : e1, e2 ,..., en :
|
1 |
2 |
|
|
e1 e2 ; |
|
1) |
A |
|
, |
|||
|
e1 |
e1 , e2 |
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
e1 e2 ; |
2) |
A |
|
, |
|||
|
e1 |
e1 , e2 |
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
||
3) |
A |
0 |
5 |
1 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
2 |
|
|
||
4) |
A |
1 |
0 |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 2e2 |
|
|
|
e1 e2 ; |
|
e1 |
e3 , e2 |
e1 e2 2e3 , e3 |
||||
|
|
e1 e2 |
|
|
e1 |
e3 . |
e1 |
e3 , e2 |
e2 e3 , e3 |
391. Линейный оператор A , действующий в евклидовом
пространстве 3 , имеет в базисе |
f |
, f |
2 |
, f |
3 |
матрицу |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
2 3 |
1 |
0 |
|
|
|
||
A |
f |
|
|
1 |
0 |
0 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Является ли оператор A ортогональным, если разложение век-
торов f1, f2 , f3 |
по ортонормированному базису e1, e2 , e3 имеет |
|
вид f1 e2 e3 , |
f2 |
e1 e3 , f3 e1 e2 ? Будет ли оператор A |
самосопряженным? |
|
|
392. В линейной оболочке L sin x, cos x скалярное произ- |
||
ведение элементов |
f1 A1 sin x B1 cos x и f2 A2 sin x B2 cos x вве- |
дено по формуле ( f1, f2 ) A1A2 B1B2 . 1) Докажите, что элементы e1 sin x и e2 cos x образуют ортонормированный базис пространства L . 2) Найдите матрицу оператора дифференцирования D в базисе e1, e2 . 3) Найдите матрицу сопряженного
оператора D* в базисе e1, e2 и запишите явный вид этого опе-
ратора. 4) Докажите, что оператор D является ортогональным. 393. Докажите следующие свойства сопряженного опера-
тора: 1) ( A* )* A , 2) ( A B)* A* B* , 3) ( AB)* B* A* ,
4)( A)* A* , 5) AA* и A* A - самосопряженные операторы.
394.Докажите, что если оператор A имеет обратный, то
сопряженный оператор A* также имеет обратный и справедливо равенство ( A* ) 1 ( A 1)* .
395. Докажите следующие свойства самосопряженного оператора: 1) собственные значения действительны; 2) собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
396. Докажите, что если A и B - самосопряженные операторы, то: 1) AB BA - самосопряженный оператор; 2) при
оператор ( AB BA) самосопряжен.
397. Покажите, что в пространстве многочленов степени2 со скалярным произведением ( f , g) a0b0 a1b1 a2b2 , где
f (x) a |
a x a x2 |
и g(x) b |
b x b x2 |
, следующие опе- |
|||
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
раторы являются самосопряженными: |
|
||||||
1) Af (x) f ( x) ; |
2) Af (x) x2 f ( |
1 |
) . |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
70