3012
.pdf5.56. Согласно полуквантовой теории Бора, полная энергия электрона, радиус круговой орбиты и скорость электрона соответственно равны:
|
|
|
E = − |
|
|
ħ |
|
|
|
∙ |
|
|
, где k = |
|
|
|
|
, n=1,2….; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Угловые скорости |
вращения электрона по орбитам n и n+1 равны: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
= |
|
|
|
|
|
|
; υ |
= |
= |
ħ |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ω |
n |
|
|
υn |
|
k2mZ2e4 |
|
Ω |
υn+1 |
|
|
|
k2mz2e4 |
. |
|
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rn |
|
|
|
ħ3n3 |
|
|
|
n+1 |
rn+1 |
|
|
|
ħ3(n+1)3 |
|
|
с |
||||||||||||||
Частота фотона, |
|
|
испущенного |
|
в |
результате |
|
|
перехода |
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
энергетического уровня En 1 |
на уровень En , равна |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
ħ |
( |
− |
|
) = |
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
−( n |
|
|
|
|
) |
2(=n 1)ħ2 |
( ( |
) , ) |
. |
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Сравним |
и |
|
|
с ω : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n(2n 1) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)(2n 1)
Из (4) и (5), имеем: |
n |
1, |
n 1 |
1, n , n 1 . |
|
|
|||
|
|
|
Итак, получили: n 1 n
5.57. Сила, действующая на частицу в центральном поле
сил, равна |
F |
dU |
|
d |
( |
r2 |
) r. |
dr |
dr |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
Далее напишем уравнение движения и условие квантования
|
|
m 2 |
|
момента импульса частицы: |
|
|
r, |
|
|
||
|
r |
||
|
= , = 1,2,… |
(1)
(2)
(3)
Из (2) имеем |
|
= |
|
; кинетическая энергия частицы = |
|
. |
|
|
|
41
Полная энергия частицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(4) |
|||||
Выражая из (3) скорость и |
|
подставляя ее в (2), получаем: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
+ |
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
= |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
, |
= 1,2,… |
(5) |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||
Соотношения (4) и (5) дают: |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= . |
(6) |
Итак, энергетический спектр частицы определяется формулой (6),
т.е. |
5.58.=Характеристики, = 1,2,движения… |
и энергетический спектр |
||||||
электрона водородоподобного иона следует из уравнений: |
|
|||||||
|
m 2 |
|
kZe2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1), |
m r n , где n 1,2,... |
(2) |
|
|
|
|
r2 |
|||||
|
r |
|
|
|
|
|
Радиус n-й круговой орбиты электрона и его скорость на этой орбите определяются следующими выражениями:
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф , |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(4) |
||
атома |
= |
|
|
= 9 10 м |
|
|
|
|
для |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Вычислим значения |
этих величин |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
водорода и иона гелия |
= |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
(м) = 0,529Å, |
|||||||||||||
1) |
атом H: |
|
|
Z=1, |
n=1. |
|
|
|
|
−34 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,05 10 |
1,6 10−19 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 109 0,91 10−30 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 109(1,6 10−19)2 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
: |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2,18 10 м/ . |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
1,05 10 |
−34 |
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= , = 0,265Å, = 2 2,18 10 |
|||||||||||||||
2) |
ион |
|
|
Z=2, |
n=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4,36 10 м/ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
5.59. Круговая частота обращения электрона на n-ой орбите водородоподобного иона n n /rn . Привлекая формулы
(3) и (4) задачи 5.58, получим: n mk2Z2e4 /( 3n3). Для иона He (Z=2, n=2)
|
|
|
|
|
0,91 10 30 |
(9 109)2 |
22 |
(1,6 10 |
19 )4 |
16 |
1/c. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,07 10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1,05 10 34 )3 23 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
5.60.Энергия электрона на n-й орбите водородоподобного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
атома равна |
|
|
|
|
|
|
En |
|
mk2Z2e4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
n2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Основному состоянию электрона |
соответствует n=1. Формулу (1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 1,2,… |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
можно |
переписать |
в виде |
|
(для |
n=1) |
|
|
E RZ2 |
(2), где |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
R |
mk2e4 |
|
|
16 |
1 |
|
Энергия связи иона, |
определяемая работой по |
||||||||||||||||||||||||||||
2 3 |
|
2,07 10 |
|
c |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
разъединению электрона и ядра |
Ecв Eвз |
RZ2 |
(3). Потенциал |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ионизации |
|
i Eсв /e RZ2 /e |
(4). |
|
|
Длина волны |
головной |
|||||||||||||||||||||||||||||
линии серии Лаймана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c |
|
|
|
8 c |
. |
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
R(1 1/4) |
|
3R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Первый потенциал возбуждения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(E |
2 |
E )/e |
|
RZ |
2 |
|
(1 1/4) |
3 RZ |
2 |
. |
(6) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4e |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Результаты расчета ионных величин по формулам (2) (6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предоставлены в таблице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Eвз , эВ |
|
|
|
|
i , В |
|
|
|
|
|
1, В |
|
|
,нм |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Н |
|
|
|
|
|
13,6 |
|
|
|
|
13,6 |
|
|
|
|
|
|
10,2 |
|
121,5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
He |
|
|
|
|
54,5 |
|
|
|
|
54,3 |
|
|
|
|
|
|
40,8 |
|
|
|
30,4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.61.Энергия электрона водородоподобного иона n-го
порядка En |
|
mk2Z2e4 |
RZ |
2 |
/n |
2 |
|
R |
mk2e4 |
16 |
|
|
|
|
, где |
|
2,07 10 |
||||
2 2n2 |
|
|
2 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/с –постоянная Ридберга. Энергия фотона, испускаемого ионом
при переходе электрона с уровня E3 |
на уровень |
E2 |
(головной |
||||||||
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|||
линии серии Бальмера) равна E E RZ |
|
|
|
|
|
5 RZ |
|
/36. |
|||
|
|
|
|||||||||
3 |
2 |
|
22 |
|
32 |
|
|
|
|||
Из формулы (4) задачи 5.60 имеем Z 2 |
|
4e 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3R |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда 5e 1 /27(Дж) 5 1 /27(эВ) 5 40,8/27 7,6эВ.
5.62. Чтобы возбужденный ион гелия He мог изменить фотон, соответствующей головной спектральной линии серии Бальмера, он должен иметь дополнительную энергию E по
отношению |
к |
|
основному |
состоянию, |
не |
меньшую |
чем |
|||||||||||
E |
min |
E |
3 |
E |
, |
|
т.е. |
|
E RZ2 (1 1/32 ) 8 RZ2 /9 |
, |
где |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R 2,07 1016 1/с –постоянная Ридберга. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Отсюда получаем минимальную энергию, сообщаемую |
|||||||||||||||||
водородоподобному иону He : |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Emin |
8 RZ2 |
/9 |
|
Z 2 32 R/9 32 0,66 10 15 2,07 1016 |
/9эВ 48,5эВ. |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
5.63. Частота искомой линии спектра водорода по условию |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
, |
отсюда |
ее |
длина |
волны |
|
w w |
2 w1 2 c |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 /( 1 2) 486,1 410,2/(486,1 410,2)нм 2630нм 2,63мкм
Эта линия расположена в интервальной области спектра излучения водорода.
Определим |
границы |
линии спектра |
серии Брэкета по |
||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
||||
формуле 2 c/ R |
|
|
|
|
|
|
, где n=4, m=5,6,…: |
||
|
2 |
m |
2 |
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
1) m , 32 c/ R 1,46мкм ; 2) m=5, max |
800 c/9R 4мкм. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
Линия 2,63мкм принадлежит серии Брэкета.
|
5.64. По формуле |
m2 |
|
2 c |
|
1 |
|
1 |
|
|
вычислим длины |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
R |
|
2 |
|
m |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
волн |
первых |
|
трех |
|
линий |
спектра |
|
|
|
серии |
Бальмера: |
||||||||||
1 32 |
72 c 5R 657нм, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
42 |
|
32 c |
487нм, |
|
|
|
|
200 c |
2 |
434нм. |
|||||||
|
|
|
|
3R |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
52 |
|
R |
При увеличении порядка m линии спектра той или иной серии длина волны уменьшается, поэтому наиболее близкими линиями в серии Бальмера при заданном числе N первых линий, воспринимаемых раздельно, будут линии
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N 2,2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(N 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8 c |
|
|
(N 3) |
. |
(1) |
|||||||||
N 1 |
|
N |
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
2 |
2 |
|
|
(N 3) |
2 |
|
|
|
R (N 3) |
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Представим, что параметр N является непрерывным и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
возьмём от обеих частей равенства (1) дифференциалы: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d |
8 c |
|
d |
|
|
|
|
(N 3)2 |
|
|
dN |
64 c |
|
|
|
N 3 |
|
dN . |
(2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
R dN (N 3)4 4 |
|
|
|
R (N 3)2 4 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Переходя к конечным разностям и принимая N 1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
64 c |
|
|
|
N 3 |
|
(знак |
|
минус |
|
отброшен). |
Для |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
(N 3)2 |
4 2 |
|
|
|
разрешающей способности спектрального прибора получаем:
|
|
|
8 c (N 3)2 |
|
|
R (N 3) |
2 4 2 |
(N 3) (N 3) |
2 4 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
R (N 3)2 4 |
|
|
64 c(N 3) |
|
|
8 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при больших значениях N |
|
|
|
|
(N 3) |
3 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
При N=20 разрешающая сила |
|
1520. |
|
|
|||
|
|
5.65. Линии под номером n серии Бальмера спектра водорода соответствует длина волны
|
|
|
|
|
2 c |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8 c |
(n 2) |
2 |
|
. |
(1) |
|||||||||||||
|
n |
|
n 2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
R |
|
2 |
|
|
|
(n 2) |
|
|
R (n |
2) |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Разрешающая сила дифракционной решетки |
|
|
|
|
mn, |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где m-порядок |
дифракционного |
спектра, |
N |
l |
|
|
-полное |
число |
|||||||||||||||||||||||||||
d |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
штрихов, d-период решетки. Вместе взятое дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из условия |
дифракционного |
максимума |
|
dsin n |
m n |
имеем |
|
|
|
|
|
sin |
n |
|
m |
|
n |
|
|
|
|
n |
. |
|
(4) |
|||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
l |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Разрешающую способность решетки, как спектрального |
|||||||||||||||||||||||
прибора, найдем |
по |
|
|
схеме, |
|
рассмотренной в задаче |
5.64: |
|||||||||||||||||||
|
|
64 c(n 2) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R (n 2)2 4 2 |
|
|
R (n 2)2 |
4 2 |
|
|
(n 2)(n 2)2 4 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
8 c |
|
(n 2)2 |
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||
|
|
R (n 2)2 4 |
|
64 c(n 2) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Подставляя (5) в (4), получим sin |
n |
|
c |
(n 2)3. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rl |
|
||
|
|
|
Для n=50 sin n |
0,865, |
n |
60 . |
|
|
|
|
|
|
5.66. Поскольку длина волны и частота излучения взаимно обратные величины, данное условие означает, что частота линий
46
спектра Z водородоподобной системы в четыре раза больше
частоты соответствующих линий |
спектра |
|
водорода, т.е. |
||||||
Z 4 H . По формуле Бальмера |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
Z |
Z |
|
R |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
n 2 |
|
m 2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
Отсюда |
Z |
2 |
4, |
Z 2, следовательно, |
|||||
|
H |
R |
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
n2 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
означенный спектр принадлежит иону гелия He . |
|
|
||||||||||||||
|
|
5.67. |
Каждому энергетическому состоянию EK электрона |
|||||||||||||
атома водорода сопоставим спектральный терм T(k) |
R |
|
. Тогда |
|||||||||||||
k2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоту линии спектра при переходе электрона с уровня EK на |
||||||||||||||||
уровень |
|
El |
меньшей |
энергии |
можно |
представить |
в виде |
|||||||||
Kl |
T(l) T(k), т.е. как комбинацию двух различных термов. |
Возбужденному атому водорода до n го энергетического уровня будет отвечать число n различных термов, парные комбинации которых определяют частоты линий спектра при переходе электрона из заданного возбужденного состояния в основное через совокупность промежуточных состояний.
Таким образом, |
число N возможных частот излучения |
||||||
возбужденных атомов |
водорода будет |
определяться числом |
|||||
сочетаний из n термов по 2, т.е. N С |
2 |
n! |
|
|
n(n 1) |
. |
|
|
|
n |
(n 2)!n! |
2 |
|
5.68. Спектральные линии серии Лаймана излучения водорода находятся в интервале длин волн от 91 до 121нм. Линии других серий имеют длину 364 нм. Следовательно, заданный диапазон падающего света частично накрывает интервал спектральных линий серии Лаймана. Если атом может испустить квант энергии , то может и поглотить такую же энергию. В интервал длин волн от 95,5 до 121нм попадают линии испускания (поглощения), соответствующие переходам
47
электрона с уровней E2 ,E3 и E4 на E1, а также граничная длина
121 нм. Вычислим длины волн:
|
|
|
2 c |
|
|
1 |
121нм; |
|
|
|
2 c |
|
|
1 |
|
|
9 c |
|
нм; |
|||||||
|
21 |
|
|
1 |
|
|
31 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
102 |
||||||||
R |
|
|
|
R |
|
4R |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c |
|
|
1 |
|
|
|
32 c |
97нм. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
15R |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из вычисленных значений длины волны следует, что в заданном диапазоне длин волн пропускаемого света будет наблюдаться три линии поглощения: 1 97 нм, 2 102 нм и
3 121нм.
5.69. |
|
Энергия |
|
|
испущенных |
фотонов |
||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 c ( 1 2 ) |
равна |
энергии |
|
|
2 |
2 c |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
возбуждения иона He . Пусть данному возбужденному состоянию иона соответствует уровень En . Тогда энергия
|
|
|
|
|
|
|
|
mk2Z2e4 |
|
|
|
mk2Z2e4 |
|
|
mk2Z2e4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
возбуждения W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. Равняем |
||||||||||||||||||||
2 2n2 |
2 2 |
|
1 |
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и W : |
2 c |
2 |
|
|
mk2Z2e4 |
1 |
|
|
2 c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Z2R 1 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R |
mk2e4 |
2,07 1016 1 с- |
постоянная Ридберга. Из последнего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенства получаем:n 1 |
|
1 |
2 c 1 |
2 |
|
|
Z |
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
c( 1 2 ) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
R |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
Для заданных 1 |
и 2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 108 151,75 109 |
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 121,4 30,35 10 |
18 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,07 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, квантовое число, соответствующее возбужденному |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
состоянию иона He |
n=4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.70. |
|
Для |
|
головных |
|
|
линий спектра серий Лаймана и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бальмера |
|
иона |
|
|
He |
|
|
частоты равны |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
21 Z |
|
R 1 |
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
3R, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.Соответствующие |
|
|
длины |
волн: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
Z |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
22 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 c |
|
2 c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 c |
|
|
18 c |
. |
Разность |
|
длин |
|
волн |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 18 2 |
|
|
|
|
44 c |
. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
32 |
21 |
|
|
R |
5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
44 c |
|
|
|
44 3 108 |
|
2,07 1016 1 c. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 133,7 10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5.71. |
|
Повторяя ход решения задачи 5.70 с сохранением |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
176 c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зарядового числа Z , получим |
. Отсюда |
Z |
|
176 c |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15RZ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
176 c 3 108 |
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 2,07 1016 59,3 10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанные особенности спектра соответствуют иону Li+.
5.72. |
Пусть порядок серии линий спектра иона He равен |
|||||||||||||||||||||||||||
n. Тогда частота головной линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
n 1,n |
Z2R |
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
4R |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
(n 1) |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(n |
1) |
|
|
|
||||||
Частота второй граничной линии спектра |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
,n |
Z 2R |
1 |
|
|
|
Z 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
4R . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Разность частот |
|
, |
|
n nH |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда n |
4R |
1 |
. В частности для 5,18 1015 1 c |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
порядок серии линий n |
|
|
|
1 3(серия Брэкета). |
||
|
4 2,07 1016 |
|
||||
15 |
||||||
|
|
|
|
5,18 10 |
|
|
При этом частота и длина волны головной линии равны:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
5R |
|
|
|
|
|
|
2 c |
|
72 c |
72 3 108 |
0,655мкм. |
|||||||||||||
|
5,4 |
4R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
5,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
36 |
|
5,4 |
|
5R |
|
5 2,07 1016 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
32 |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
5.73. По формуле Бальмера имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 с |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
21 |
|
2 |
|
|
|
|
|
200 c |
. |
||||||
|
|
|
5,2 |
|
|
|
|
Z |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R |
5,2 |
|
|
||||||||
|
|
5,2 |
|
|
2 |
52 |
|
|
|
|
|
21 R |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
Энергия связи водородоподобного иона в основном состоянии
Eсв |
|
mk2Z2e4 |
Z |
2 |
R |
200 c |
R |
200 c |
200 3 108 |
1,05 10 34 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
2 |
(n 1) |
|
21 R |
|
21 108,5 10 |
9 |
1,6 10 |
19 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
54,4эВ.
5.74.Будем исходить, по-прежнему, из упрощенной
модели |
атома. Энергия связи электрона для |
иона |
He+ |
|
|||||||
ħ |
= 4ħ2 |
, |
где |
R-постоянная Ридберга. |
Энергия |
связи |
|||||
второго| |
|
|
|
=+ |
|||||||
электрона |
с |
однозарядовым |
ионом |
He |
|||||||
E2 (Z 1) |
R R . |
По |
условию |
E2 |
E0 . |
Энергия |
связи |
||||
электронов |
атома |
He |
Eсв E1 |
E2 |
E0 4 R . |
Энергия, |
необходимая для удаления электронов атома гелия по одиночке,
равна E E0 4 R 24,6эВ 4 0,66 10 15 2,07 1016 эВ 79эВ .
5.75.Пренебрегая кинетической энергией отдачи ядра
24He при столкновении с фотоном, скорость выбитого электрона
из иона He определим из равенства |
E |
св |
|
m 2 |
, |
|
|
2 |
|
||
50 |
|
|
|
|
|