2965
.pdfiA II iB II 21 iC II .
Перед уравниванием второй группы условных уравнений, имеющей одно полюсное условие, вычисляют новую невязку по углам, исправленным первичными поправками, т.е.
A |
|
Bi |
B |
|
|||
Ai Ai i |
, |
|
Bi i |
; |
|||
|
N |
|
|
|
|
|
|
1 |
lg sin Ai , |
|
|||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
2 |
lg sin Bi , |
(159) |
|||||
W |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
. |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения вторичных поправок из второй группы запишем полюс-
ное уравнение с новым свободным членом W
П
N |
A |
N |
|
B |
|
|
|
|
||
A i |
|
B |
i |
|
0. |
(160) |
||||
WП |
||||||||||
i 1 |
i |
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы не нарушить условия фигур, которые уже выполняются после введения первичных поправок, потребуем для вторичных поправок
iA iB . |
(161) |
Тогда из выражения (160) получим
N |
|
A |
|
|
|
|
|
A |
B i |
|
0. |
(162) |
|||
WП |
|||||||
i 1 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этому условному уравнению соответствует уравнение коррелат вида
aa k W 0.
П П
Так как для нашего случая имеем ai Ai Bi , то нормальное уравнение коррелат примет вид
N |
|
2 |
|
|
|
|
A |
B |
0. |
(163) |
|||
kП WП |
||||||
1 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем коррелату kП из уравнения (163)
kП |
N |
W |
(164) |
|
|
П |
|||
|
|
|
|
|
|
A |
B 2 |
|
|
|
i 1 |
i |
i |
|
|
|
|
|
и далее вторичные поправки в связующие углы с учетом выражения (163) как
iA iB kП A |
B . |
(165) |
i |
i |
|
81
Найденные по формуле (165) вторичные поправки вводят в углы, исправленные первичными поправками, и в результате получают уравненные значения углов, т.е.
|
|
A |
A |
|
|
B |
|
B |
|
|
|
C |
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ai Ai i |
i , |
Bi Bi i |
|
i |
, |
Ci Ci i |
|
i |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
По исходному базису |
b1 (см. рис.4, г) и уравненным углам Ai , |
Bi про- |
изводят окончательное решение треугольников, т.е вычисляют длины сторон всех треугольников. Наметив ходовую линию через все определяемые пункты (KPRO…QK), вычисляют координаты этих пунктов, используя уравненные углы и вычисленные длины сторон.
§32. Уравнивание геодезического четырехугольника
Вгеодезическом четырехугольнике (см. рис.4, а) измерено 8 углов и возникают 4 условных уравнения: уравнение фигуры, два уравнения сумм углов противолежащих треугольников и полюсное уравнение (за полюс примем пересечение диагоналей):
a. |
1 2 |
8 W1 0; |
|
|
|||||||||
b. |
|
2 |
|
5 |
|
6 |
|
W 0; |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(166) |
|
c. |
3 |
|
4 |
|
|
8 |
W 0; |
||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d . |
A iA |
B iB |
WП 0, |
|
|||||||||
|
i 1 |
i |
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где свободные члены (невязки) вычисляют по формулам
8 |
|
|
|
W1 i 360 , |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
W2 1 2 5 6 , |
|
||
|
(167) |
||
W3 3 4 7 8 , |
|
||
|
|
||
4 |
4 |
|
|
WП lg sin Ai |
lg sin Bi |
. |
|
i 1 |
i 1 |
|
|
Применяя принцип упрощенного уравнивания, в первую группу отнесем первые три (a, b, c) уравнения системы (166), так как коэффициенты при поправках i в этих уравнениях равны ± 1 (табл. 10).
Таблица 10.
Коэффициенты нормальных уравнений первой группы условных уравнений
Обозначения углов |
|
Коэффициенты |
|
|
a/k1 |
b/k2 |
c/k3 |
||
|
||||
β1 |
+1 |
+1 |
|
|
β2 |
+1 |
+1 |
|
|
β3 |
+1 |
|
+1 |
82
β4 |
+1 |
|
|
|
|
|
+1 |
β5 |
+1 |
|
|
|
|
–1 |
|
β6 |
+1 |
|
|
|
|
–1 |
|
β7 |
+1 |
|
|
|
|
|
–1 |
β8 |
+1 |
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Невязки |
W1 |
|
|
|
|
W2 |
W3 |
|
aa 8, |
|
|
|
|
ab 0, |
ac 0, |
|
|
|
|
|
|
bb 4, |
bc 0, |
|
|
|
|
|
|
|
cc 4. |
Нормальные уравнения коррелат имеют вид |
|
||||||
|
8k1 W1 |
0, |
|
||||
|
4k2 W2 |
|
|
(168) |
|||
|
0, |
||||||
|
4k |
3 |
W |
0. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Далее находим коррелаты
k |
|
|
W1 |
, |
|
|
|||
1 |
8 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
W2 |
|
, |
(169) |
|||
2 |
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
W |
|
|
|
|
||
k3 |
|
3 |
|
. |
|
||||
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставив полученные коррелаты в коррелатные уравнения поправок (114), найдем первичные поправки
|
k k |
; |
|
k k |
; |
|
k k |
; |
|||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
3 |
|
|
k k |
; |
k k |
; |
k k |
; |
|||||
5 |
1 |
2 |
|
6 |
1 |
2 |
|
7 |
1 |
3 |
|
|
k |
k |
; |
4 |
1 |
3 |
|
|
k |
k |
. |
8 |
1 |
3 |
|
Так как в этих формулах присутствует общий член k1, то разобьем первичные поправки на две части:
|
|
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 I |
k1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
1 II |
2 II |
5 |
II |
6 II |
k2 |
|
4 |
; |
(170) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W3 |
|
|
3 II |
4 II |
7 |
II |
8 II |
k3 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы, т.е. i i i (i = 1, 2, …, 8), по которым вычислим новую
невязку полюсного условного уравнения
83
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
1 |
|
2 |
; |
|
П |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
lg sin Ai ; |
|||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
lg sin Bi . |
|||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Наложив дополнительное условие для вторичных поправок
iA iB ,
из уравнения d системы (166) получим
|
A |
B iA WП 0. |
(171) |
4 |
|
|
|
i 1 |
i |
i |
|
|
|
|
Далее находим (аналогично центральной системе) выражение для вторичных поправок и коррелаты полюсного уравнения геодезического четырехугольника
iA iB kП |
A |
B , |
(172) |
||
|
|
|
i |
i |
|
где |
|
|
|
|
|
kП |
|
W |
|
|
|
|
П |
|
. |
|
|
4 |
A B 2 |
|
|||
|
|
|
|
||
|
i 1 |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получаем уравненные значения углов, т.е.
i i i .
Зная координаты исходных пунктов P и K (см. рис. 4, а), по вычисленным длинам сторон и уравненным значениям углов вычисляют координаты искомых пунктов R и Q.
§ 33. Уравнивание цепи треугольников между двумя исходными сторонами (базисами)
В этом случае (см. рис.4 в) возникают N условных уравнений фигур, условное уравнение дирекционных углов, базисное условное уравнение и два условных уравнения координат, т.е. всего (N+3) условных уравнений:
84
a.1A 1B 1C W1 0;
b.2A 2B 2C W2 0;
. . . . . . . . . . ;
q.NA NB NC WN 0;
r. |
C C |
C W |
|
|
1 2 |
N |
|
N N
s.Ai iA Bi iB WБ
i 1 i 1
N
t. xi Wx 0;
i 1 N
u. уi Wу 0,
i 1
0; (173)
0;
где невязки вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
Wi |
Ai |
Bi Ci |
180 ; |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
W |
|
нач Ci 0 , 180 |
кон ; |
|
|||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
WБ |
|
|
|
|
|||
lg b1 lg sin Ai |
|
lg b2 |
lg sin Bi ; |
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
Wx X K xi |
XQ ; |
|
|
|
|
||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wу УK уi |
УQ . |
|
|
|
|
||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
В соответствии с принципом упрощенного уравнивания в первую группу
отнесем N уравнений фигур a ÷ q |
|
и условное уравнение |
r дирекционных уг- |
|||||
лов, во вторую группу – базисное условное уравнение s, |
в третью группу – два |
|||||||
условных уравнения координат t |
и u. |
|
|
|
|
|
||
Первой группе соответствует система нормальных уравнений коррелат |
||||||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
3k1 k |
W1 0, |
|
|
|
||||
3k2 k |
W2 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
. . . |
|
. . |
. , |
|
|
(174) |
||
|
|
|
||||||
3kN k WN 0, |
|
|
||||||
|
|
|||||||
k k |
2 |
|
k |
N |
W 0. |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
Умножив последнее уравнение системы (174) на 3 и вычтя из него все предыдущие уравнения, получим
N
2Nk 3W Wi 0,
i 1
85
где знак «+» перед Wi берется для i - го треугольника, если он лежит вправо от ходовой линии, и знак «–» – если влево.
Обозначив
|
|
|
|
|
1 N |
|
|
|
|
||||
|
W |
|
|
|
Wi , |
(175) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
W |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 i 1 |
|
|
|
|
||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Nk |
|
|
|
|
|
0. |
(176) |
||||||
3W |
|||||||||||||
Откуда найдем коррелату условного уравнения дирекционных углов |
|||||||||||||
|
|
k |
3W |
|
(177) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2N |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставив kα в первые N |
уравнений системы (174), найдем коррелаты |
||||||||||||
условных уравнений фигур |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
W |
|
|||||
|
k |
|
i |
|
|
|
|
. |
(178) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
|
3 |
|
|
|
|
|
2N |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя полученные значения коррелат |
kα и ki в (177) и (178), на |
основании коррелатных уравнений поправок (257) имеем первичные поправки:
|
|
|
|
|
Wi |
|
|
; |
|
|
iA iB |
|
W |
|
|||||||
|
2N |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
(179) |
|
C |
|
Wi |
|
W |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
3 |
N |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Введя первичные поправки из (179) в измеренные углы, найдем первично исправленные углы, по которым вычислим новую невязку базисного условного уравнения
|
|
|
|
|
WБ 1 2 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
1 |
lg b1 |
lg sin Ai , |
(180) |
|
|
|
i 1 |
|
|
2 |
lg b2 |
N |
|
|
lg sin Bi . |
|
|||
|
|
i 1 |
|
|
С учетом дополнительного условия для вторичных поправок
iA iB ,
86
т.е. чтобы вторичные поправки не нарушали условия фигур, запишем условное уравнение базисов
|
A B iA |
|
WБ 0. |
|
|||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, как и в случае центральной системы, найдем коррелату |
|
||||||||
|
kБ |
|
|
WБ |
|
|
|
|
|
|
N |
A |
B |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i 1 |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вторичные поправки в связующие углы |
|
|
|
|
|
||||
iA iB kБ |
A |
B . |
(181) |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
Введя вторичные поправки (181) в первично исправленные углы, получаем уравненные значения углов. Затем вычисляют приращения координат по ходовой линии и невязки Wx и Wу, которые распределяют с противоположным знаком на соответствующие приращения пропорционально длинам линий di, т.е.
|
|
|
W |
|
|
xi |
|
x |
|
di , |
|
N |
|||||
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Wу |
|
|
|
|
|
|
d . |
|
уi |
N |
|
|||
|
|
|
i |
||
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
По исправленным приращениям координат вычисляют координаты определяемых пунктов.
§ 34. Вставка пунктов в угол
Методика выполнения уравнительных вычислений этой системы (рис. 9) сходна с уравниванием цепи треугольников между двумя базисами. В то же время данную систему можно представить как неполную центральную систему с добавлением второго базиса.
Рис.9.Схема к уравниванию вставки пунктов в исходный угол
В рассматриваемой системе вместо условия горизонта (как в центральной системе) возникает условие суммы исходного (твердого) угла, а вместо полюсного условия – условие базиса, подобное этому условию в цепи треугольников между двумя базисами.
Условное уравнение исходного угла запишется как
N
Ci 360 1 2 ,
i 1
отсюда уравнение поправок примет вид
N
iC W 0, (182)
i 1
где
W |
|
N |
C |
360 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
При упрощенном уравнивании в первую группу относят уравнения геометрического вида – условные уравнения фигур (треугольников) и условное уравнение исходного угла, во вторую группу – условное уравнение базиса.
Решением уравнений первой группы определяют первичные поправки углов треугольников. Далее по исправленным первичными поправками углам составляют базисное уравнение, которое решают в той же последовательности, что и при уравнивании сети треугольников между двумя базисами (см. § 34).
§ 35. Окончательные вычисления в геодезических сетях сгущения
Произведя уравнивание типовой фигуры сети сгущения и найдя уравненные значения углов, производят окончательное решение треугольников, т.е. определяют длины их сторон, вычисляют координаты всех пунктов сети, составляют список координат этих пунктов и отчетную схему сети.
Окончательное решение треугольников производят по уравненным значениям углов на основе теоремы синусов, как и при проведении предварительных вычислений (см. § 27). Длины сторон треугольников вычисляют до 0,01 м, погрешность порядка 0,02 – 0,03 м при контроле вычислений обусловливается только погрешностями округления.
Для определения координат пунктов сети намечают на схеме (см. рис. 92, в) ходовую линию между исходными пунктами (MKOP…QR), включающую все определяемые пункты. В свободной сети (см. рис. 4, г) ходовая линия представляет собой полигон (KPRO…QP). Выписав в ведомость координат уравненные углы и вычисленные длины по ходовой линии (из ведомости окончательного решения треугольников), вычисляют дирекционные углы сторон ходовой линии, приращения координат и координаты всех определяемых пунктов сети. Контролем выписки углов и вычисления дирекционных углов является отсутствие угловой невязки. При вычислении приращений координат допуска-
88
ется невязки порядка 0,02 – 0,03 м, которые могут появиться из-за погрешностей округления.
В списке координат пунктов созданной геодезической сети сгущения, кроме координат пунктов, приводят характеристики построенных наружных знаков и центров, выписывают дирекционные углы на все смежные пункты и горизонтальные проложения.
Пункты геодезической сети наносят по координатам на отчетную схему, которую обычно составляют в масштабах 1:10 000 или 1:25 000, в зависимости от протяженности сети.
89
Глава 8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ СЪЕМОЧНЫХ СЕТЕЙ
Съемочное плановое обоснование строится в виде одиночных теодолитных ходов, проложенных между исходными пунктами, в виде полигонов, сетей микротриангуляции, систем ходов с узловыми точками, систем полигонов и т.п. Высотное съемочное обоснование обычно совмещают с точками планового обоснования и строят как одиночными ходами между исходными пунктами, так и в виде систем ходов с узловыми точками, систем полигонов и их комбинаций.
Рассмотрим случаи упрощенного уравнивания ходов и систем ходов высотных и плановых съемочных сетей.
§ 36. Уравнивание одиночного нивелирного хода
Одиночный нивелирный ход между двумя исходными пунктами содержит единственное избыточное измерение. В этом случае имеем одно условное уравнение поправок
n
hi Wh 0, (183)
i 1
где hi – поправка в i - ое превышение хода (i = 1, 2, …, n);
n
Wh hi Hкон Hнач , i 1
здесь Нкон и Ннач – высоты (отметки) исходных (конечного и начального) пунктов.
Искомые поправки отыскивают путем распределения полученной невязки с обратным знаком пропорционально обратным весам измеренных превышений.
Обозначив обратные веса измеренных превышений как
q |
|
1 |
, |
(184) |
||
|
|
|||||
h |
|
ph |
|
|||
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
получим выражение для коррелатного уравнения поправок в виде |
|
|||||
h |
qh kh . |
(185) |
||||
i |
|
|
i |
|
||
Тогда нормальное уравнение коррелат примет вид |
|
|||||
kh q Wh 0, |
(186) |
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
kh |
|
Wh |
. |
(187) |
||
|
||||||
|
|
|
q |
|
С учетом выражения (185) получим
90