2536
.pdff (−2) = 25 , f ′(−2) = −57 , f ′′(−2) = 74 , f ′′′(−2) = 36 , f (4) (−2) = 24 .
Отсюда
x4 −2x3 + x2 +3x −5 =
=25 −57(x + 2) +37(x + 2)2 −10(x + 2)3 +(x + 2)4 .
15.3.Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию f (x) = (x3 +2x −1)2 по степеням x.
Решение. Находим производные и их значения при x = 0
f ' (x) = 2(x3 +2x −1)(3x2 + 2) , f ' (0) = −4 ; |
|
|
f '' (x) = 2((3x2 + 2)2 +6x4 +12x2 −6x) , |
f '' (0) = 8 |
; |
f ''' (x) =12(2(3x2 + 2)x + 4x3 + 4x −1) , |
f ''' (0) =12 |
; |
f (4) (x) =12(30x2 +8) , f (4) (0) = 96 ; |
|
|
f (5) (x) = 720x , f (5) (0) = 0 ; |
|
|
f (6) (x) = 720 , f (6) (0) = 720 .
Подставляя значение f (0) =1 и значения производных в формулу Тейлора при x = 0 , получим
(x3 + 2x −1)2 =1−4x + 4x2 −2x3 + 4x4 + x6
15.4. Представить функцию 4 x в виде многочлена четверной степени относительно x −1.
Решение. Находим значения функции и ее производных в точке a =1:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) = x |
|
; |
f (1) =1; f ' (x) = |
1 |
x− |
|
|
; |
|
f ' (1) = |
1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f '' (x) = − |
1 |
|
|
3 |
|
x− |
; |
f '' (x) = − |
|
1 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f ''' (x) = − |
1 |
|
3 |
|
7 |
x− |
; |
f ''' (x) = |
|
1 |
3 7 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 4 4 |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
f (4) (x) = − |
1 |
|
3 |
|
7 |
|
11 |
x− |
|
; |
f (4) (x) = − |
1 |
|
3 |
|
7 |
|
11 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 4 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
161
По формуле (1) имеем
4 x =1+ |
1 |
(x −1) |
− |
1 3 (x −1)2 |
+ |
1 3 7 (x −1) |
3 |
1 3 7 11 (x −1) |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ R |
|||||
|
|
4 |
|
|
4 4 |
|
4 |
|
43 |
3! |
|
44 |
4! |
n |
|
|
|
f (5) (c) |
|
|
|
|
|
||||||||
где |
R = |
|
|
(x −1) |
5 |
; c =1+θ(x −1) ; 0 |
<θ <1. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.5.Написать разложение функции: а) ecos x до члена с
x4 ; б) ln cos x до x6 .
Решение. а) Пользуясь уже известным разложением (15.1. а) и принимая cos x за новую переменную, запишем
e |
cos x |
=1+cos x + |
|
cos2 x |
+ |
|
|
cos3 x |
+ |
cos4 x |
+O(cos |
4 |
x) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Так как по формуле (15.1. в) cos x = |
1− |
|
+ |
|
|
+O(x |
5 |
) , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
24 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=1+ 1− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
+ 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
24 |
2 |
|
2 |
|
2 |
24 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+ |
1− |
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
3 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
+ |
|
|
1− |
|
|
+ 4 1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+O(x5 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
32x |
2 |
|
|
|
|
61 |
|
x |
4 |
|
|
+O(x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
65 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
24 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) Представим логарифм в виде ln cos x = ln(1+(cos x −1)) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и воспользуемся разложением (15.1. д), |
принимая cos x −1 за |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
новую переменную |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ln cos x = cos x −1− |
|
(cos x −1)2 + |
|
(cos x −1)3 +O(x6 ) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162
Здесь остаточный член Rn = O(x6 ) , так как бесконечно малые
x и sin x |
эквивалентны |
|
|
и, |
следовательно, |
1−cos x = 2sin |
2 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одного порядка с x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
cos x −1 = − |
x |
2 + |
|
|
x4 |
− |
|
|
|
|
x6 +O(x7 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
24 |
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ln cos x = |
− |
|
x |
2 |
+ |
|
|
|
x |
4 |
− |
|
|
|
|
x |
6 |
− |
|
x |
4 |
− |
x |
6 |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
24 |
|
720 |
|
|
|
4 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
− |
|
x |
|
+O(x |
|
|
) |
= − |
|
|
|
|
|
|
x |
|
− |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− |
|
|
|
|
x |
|
+O(x |
|
) . |
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
12 |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15.6. Вычислить с точностью 0,001 приближенные зна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чения следующих чисел: а) sin 20°; б) cos 45°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. а) Воспользуемся формулой разложения sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по степеням x (15.1,б), подставляя в нее радианную меру |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
π |
|
|
20 = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
sin π |
|
|
π |
|
|
π3 |
|
|
|
|
|
|
π5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
x2m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
≈ |
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
−... +(−1)m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
3!93 |
|
|
5!95 |
|
|
(2m −1)!92m−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
При определении числа первых членов в данном разложении, необходимых для обеспечения требуемой точности вычислений, оценим величины последовательных остаточных членов
R |
|
≤ |
π3 |
≤ 0,006 , |
|
R |
|
≤ |
π5 |
≤ 0,00003 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
3!93 |
|
|
2 |
|
|
5!95 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку R2 <10−3 , то для получения требуемой точ-
ности достаточно взять первые два члена разложения, предшествующих R2
sin |
π |
= |
π |
− |
π3 |
= 0,3491−0,0071 = 0,342 . |
|
9 |
9 |
3!93 |
|||||
|
|
|
|
Здесь значение числа π ≈ 3,14159 и результатов промежуточных вычислений взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до 10−4 .
163
б) Представим функцию cos x по формуле Тейлора в виде
|
|
|
|
|
π |
|
x −a |
|
|
|
π |
|
(x −a)2 |
|
||||||
cos x = cos a +cos a + |
|
|
|
|
|
|
|
+cos a +2 |
|
|
|
|
+ |
|||||||
2 |
|
|
1! |
|
2 |
2! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
(x −a)n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+.... +cos a |
+n |
|
|
|
|
+ Rn , |
|
|
|
|||||||||
n! |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π (x −a)n+1 |
|
|
|
|||||||||
Rn = cos a +θ(x −a) +(n +1) |
|
|
|
|
, 0 <θ <1. |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (n +1)! |
|
|
|
|
|
|||||||
Поскольку |
|
cos a |
|
≤1, то |
|
R |
|
≤ |
(x −a)n+1 |
и по мере увели- |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чения числа членов погрешность неограниченно убывает, стремясь к нулю. Причем чем меньше по абсолютной величине разность x −a , тем меньше потребуется первых членов разложения для обеспечения требуемой точности вычислений.
Пусть a = 60° или в радианной мере a = 180π 60 , тогда
x −a = |
|
π |
(65 |
−60) |
= |
|
π |
|
, отсюда |
|
|
|
|
|
|
|||||
180 |
36 |
|
2 |
|
|
|
π3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos 65° = |
1 |
− |
|
3 |
|
π |
|
− |
1 π |
+ |
3 |
|
+... + R . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
1!36 |
2 2!362 |
2 |
3!362 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Поскольку R4 <10−4 , то для получения требуемой точ-
ности достаточно взять первые три члена разложения, тогда cos 65° = 0.4221 .
164
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Задача 1. Найти производную функции:
1.1 y = 2x5 − |
4 |
+ |
1 |
+ 3 x . |
|
x3 |
|
x |
|
1.2y = 3x + 5 x2 − 4x3 + x24 .
1.3y = 3x4 + 3 x5 − 2x − x42 .
1.4y = 7 x − x25 −3x3 + 4x .
1.5y = 7x + x52 − 7 x4 + 6x .
1.6y = 5x2 − 3 x4 + x45 − 5x .
1.7 y = 3x5 − |
3 |
− |
x3 + |
10 . |
|
x |
|
|
x5 |
1.8y = 3 x7 + 3x − 4x6 + x45 .
1.9y = 8x2 + 3 x4 − 4x − x23 .
1.10y = 4x6 + 5x − 3 x7 − x74 .
1.11y = 2 x3 − 7x +3x2 − x25 .
1.12y = 4x3 − 3x − 5 x2 + x62 .
1.13 |
y = 5x5 − |
8 |
+ 4 |
x + |
1 . |
|||
|
|
9 |
|
x2 |
|
2 |
|
x |
1.14 |
y = |
+ 3 |
x4 |
− |
+5x4 . |
|||
|
|
x3 |
|
|
|
x |
|
|
165
1.15y = x45 − 9x + 5 x2 −7x3 .
1.16y = x83 + 3x − 4 x3 + 2x7
1.17y = 5x2 + 4x − 3 x7 − 2x6 .
1.18 y =10x2 +3 |
x5 − |
4 |
− |
5 . |
|
|
x |
|
x4 |
1.19y = x5 − 3x − x43 −3x3 .
1.20y = 9x3 + 5x − x74 + 3 x7 .
1.21y = 3 x + x45 + 3 x2 − 7x .
1.22y = x3 + 2x − x45 −5x3 .
1.23y = 7x2 + 3x − 5 x4 + x83 .
1.24y = 8x3 − 4x − x74 + 7 x2 .
1.25y = 8x − x54 + 1x −5 x4 .
1.26y = 4 x3 − 5x + x45 +3x .
1.27y = 4x3 + 3x − 3 x5 − x24 .
1.28 y = 4x5 − |
5 |
− |
x3 + |
2 . |
|
x |
|
|
x3 |
1.29y = 7x + x43 − 5 x3 − 2x6 .
1.30y = x64 − 3x +3x3 − x7 .
166
Задача 2. Найти производную функции:
2.1 y = 3 3x4 + 2x −5 + (x −42)5 .
2.2 |
y = 3 |
(x −3)4 |
− |
2x3 |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x +1 |
|
|
|
|
||||
2.3 |
y = |
|
(x − 4)5 |
+ |
(2x |
2 |
5 |
|
1)2 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x − |
|
|||||||
2.4 |
y = 5 |
7x2 |
−3x + 5 − |
|
5 |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)3 |
|
|
|
|
|
|
2.5 |
y = 4 |
3x2 |
− x + 5 − |
|
|
3 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −5)4 |
|
|
|
|
|
||
2.6 |
y = |
|
3x4 |
− 2x3 + x − |
4 |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)3 |
|
|
|||
2.7 |
y = 3 |
(x − 7)5 |
+ |
4x |
2 |
|
5 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x −5 |
|
|
|
|||||
2.8 |
y = 5 |
(x + 4)6 |
− |
2x |
2 |
|
2 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−3x + 7 |
|
|
|
|||||
2.9 |
y = |
|
|
|
|
− |
|
5x2 |
− 4x + 3 . |
|
|
|||||||
|
|
(x − 4)7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.10 |
y = |
3 |
4x2 |
−3x − 4 − |
2 |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −3)5 |
|
|
|||
2.11 |
y = |
|
7 |
|
|
|
+ |
|
8x −3 + x2 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
(x −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.12 |
y = |
5 |
3x2 |
+ 4x −5 + |
4 |
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 4)4 |
|
|
|||
2.13 |
y = |
3 |
5x4 |
− 2x −1 + |
8 |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −5)2 |
|
|
|
||
2.14 |
y = |
|
3 |
|
|
− 7 5x − 7x2 −3 . |
|
|||||||||||
|
|
|
(x + 2)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.15 |
y = |
4 (x −1) |
5 |
− |
7x2 |
4 |
|
2 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x + |
|
|
|
167
2.16 |
y = 5 |
(x − 2)6 |
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
. |
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
7x3 − x2 − |
|
|
|||||||
2.17 |
y = |
|
|
− 3 |
|
4 + |
3x − x4 . |
|
|
|||||||||
|
|
(x + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.18 |
y = |
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
. |
|
|
|
(x −1)3 |
|
6x2 + 3x − 7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.19 |
y = |
1 + 5x − 2x2 |
|
+ |
(x |
3 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3)4 |
|
||||
2.20 |
y = 3 |
5 + 4x − x |
2 |
− |
|
|
5 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)3 |
|
|
|
||||
2.21 |
y = 4 |
5x2 − 4x +1 − |
|
7 |
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −5)2 |
|
|
||||
2.22 |
y = |
|
3 − 7x + x |
2 |
− |
|
|
4 |
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 7)5 |
|
|
|
||||
2.23 |
y = |
|
(x −3) |
7 |
|
+ |
7x2 |
|
9 |
|
|
8 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−5x − |
|
|
|||||||
2.24 |
y = 3 |
(x −8) |
4 |
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 + 3x − 4x2 |
|
|
|||||||
2.25 |
y = |
|
|
|
+1 |
− |
|
(x +1)5 . |
|
|||||||||
|
|
4x −3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.26y = x −3 4 + 6 (2x2 −3x +1)5 .
2.27y = (x −47)3 − 3 (3x2 − x +1)4 .
2.28 |
y = |
(x − 4)7 − |
10 |
. |
|
|
|
|
|
(3x2 −5x +1) |
|
2.29 |
y = |
7 |
− |
8 −5x + 2x2 . |
|
|
(x + 2)5 |
|
|
|
|
2.30 |
y = 3 |
(x −1)5 |
+ |
5 |
. |
|
|
|
|
2x2 − 4x + 7 |
|
168
Задача 3. Найти производную функции: |
|
||||||||
3.1 |
y = sin3 2x * cos8x5 . |
3.2 |
y = cos5 3x * tg(4x +1)3 . |
||||||
3.3 |
y = tg 4 x * arcsin 4x5 . |
3.4 |
y = arcsin3 2x * ctg7x4 |
||||||
3.5 |
y = ctg3x * arccos3x2 . |
3.6 |
y = arccos2 4x * ln(x −3) . |
||||||
3.7 |
y = ln5 x * arctg7x4 . |
3.8 |
y = arctg 3 4x * 3sin x . |
|
|||||
3.9 |
y = 2cos x |
* arcctg5x3 . |
3.10 |
y = 4−x * ln5 (x + 2) . |
|
||||
3.11 |
y = 3tgx |
* arcsin 7x4 . |
3.12 |
y = 5x2 |
* arccos 2x5 . |
|
|||
3.13 |
y = sin 4 3x * arctg2x3 . 3.14 |
y = cos3 4x * arcctg |
x |
||||||
3.15 |
y = tg 3 2x * arcsin x5 . |
3.16 |
y = ctg 7 x * arccos 2x3 . |
||||||
3.17 |
y = e−sin x * tg7x6 . |
3.18 |
y = ecos x ctg8x3 . |
|
|||||
3.19 |
y = cos5 x * arccos 4x . |
3.20 |
y = sin3 7x * arcctg5x2 . |
||||||
3.21 |
y = sin 2 3x * arcctg3x5 .3.22 |
y = cos 5 x * arctgx4 . |
|||||||
3.23 |
y = tg 6 2x * cos 7x2 . |
3.24 |
y = ctg 3 4x * arcsin |
x . |
|||||
3.25 |
y = ctg |
1 |
* arccos x4 . |
3.26 |
y = tg |
x * arcctg3x5 . |
|||
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
y = 2tgx arctg 5 3x . |
|
||
3.27 |
y = tg 3 2x * arccos 2x3 . |
3.28 |
|
||||||
3.29 |
y = sin5 3x * arctg x . |
3.30 |
y = cos4 3x * arcsin 3x2 . |
||||||
Задача 4. Найти производную функции: |
|
||||||||
|
4.1 |
y = arcctg 2 5x * ln(x − 4) . |
|
|
|||||
|
4.2 |
y = arctg 3 2x * ln(x + 5) . |
|
|
|||||
|
4.3 |
y = arccos4 x * ln(x2 |
+ x −1) . |
|
|
||||
|
4.4 |
y = arccos 2x * 3−x . |
|
|
|
||||
|
4.5 |
y = tg 4 3x * arctg7x2 . |
|
|
|
||||
|
4.6 |
y = 5−x arcsin 3x3 . |
|
|
|
|
|||
|
4.7 |
y = arctg 5 x * log2 (x −3) . |
|
|
|||||
|
4.8 |
y = log3 (x + 5) * arccos3x . |
|
|
|||||
|
4.9 |
y = e−x * arcsin2 5x |
|
|
|
|
|||
|
4.10 |
|
y = log4 (x −1) * arcsin 4 x. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
169 |
|
|
4.11y = (x − 4)5 * arcctg3x2 .
4.12y = ctg 3 4x * arctg2x3 .
4.13y = e−cos x arctg7x5 .
4.14y = (x +1) arccos3x4 .
4.15y = 2sin x arcctgx4 .
4.16y = 3−x arctg2x5 .
4.17y = 3cos x arcsin2 3x .
4.18y = ln(x −10) * arccos2 4x .
4.19y = lg(x − 2) * arcsin5 x .
4.20y = log3 (x +1) * arctg 5 7x .
4.21y = ln(x + 9) * arcctg 3 2x .
4.22y = lg(x + 2) * arcsin2 3x.
4.23y = 4−sin x arctg3x.
4.24y = 2cos x arcctg 3 x.
4.25y = lg(x −3) * arcsin 2 5x.
4.26y = log2 (x + 3) * arccos2 x.
4.27y = 2−x arctg 3 4x.
4.28y = ln(x − 4) * arcctg 4 3x.
4.29y = lg(x + 3) * arcctg 2 5x.
4.30y = log5 (x +1) * arctg 2 x3 .
Задача 5. Найти производную функции:
5.1 |
y = (cth3x)arcsin( x) |
5.2 |
y = ((cos( |
5.3 |
y = (sin 3x)arccos(x) |
5.4 |
y = (th5x) |
x + 2))ln( x) arcsin( x+1)
5.5 |
y = (sh(x + 2))arcsin 2 x |
5.6 y = (cos5x)arctg |
x |
|
5.7 |
y = ( 3x + 2)arcctg (3x) |
5.8 |
y = (ln(x + 3))sin |
x |
5.9 |
y = (log2 (x + 4))ctg (7 x) |
5.10 |
y = (sh3x)arctg ( x+2) |
|
5.11 |
y = (ch3x)cg (1/ x) |
5.12 |
y = (arcsin 5x)tg x |
170