2258
.pdf6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?
6.ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
6.1.Общие и канонические уравнения прямой в пространстве
Прямую линию, являющуюся пересечением двух различных
плоскостей, определяемых |
уравнениями |
A1x B1 y C1z 0 и |
A2 x B2 y C2 z 0 , можно |
задавать с |
помощью системы двух |
уравнений этих плоскостей, называемых общими уравнениями прямой в пространстве
A x B y C z 0 |
. |
(6.1) |
||
1 |
1 |
1 |
||
A2 x B2 y C2 z 0 |
|
|
Однако, более удобными для решения задач является
канонические уравнения прямой в пространстве.
|
Для их определения |
введем |
|
точку |
M1 (х1, у1,z1), |
|||||
принадлежащую прямой, и направляющий вектор |
|
|||||||||
q l; m; n . Для |
||||||||||
любой (текущей) точки прямой |
M (х, |
у, z) будет выполняться |
||||||||
условие коллинеарности векторов |
M1M = x x1; y y1; z z1 и |
|||||||||
|
l; m; n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x x1 |
|
y y1 |
|
|
z z1 |
|
(6.2) |
|
|
|
l |
|
n |
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
||||
- |
канонические уравнения прямой в пространстве. |
|
||||||||
|
Прямую, заданную общими уравнениями можно привести к |
каноническому виду. Для этого необходимо найти координаты точки M1 (x1 , y1 , z1 ) , лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой. Положим z1 0 и найдем координаты x1 и y1 , решая систему уравнений
A1x B1 y D1 .
A2 x B2 y D2
50
|
Для нахождения координат l, m, n вектора |
|
|
||||||||
|
q , заметим, что q |
||||||||||
ортогонален каждому |
из |
нормальных |
векторов |
плоскостей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N1 |
A1 ; B1 ;C1 ; N2 |
A2 ; B2 ;C2 . Так что можно положить q = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[n1 |
n2 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
q |
|
[n1 |
n2 |
] |
A1 |
B1 |
C1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
l = B1C2 – B2C1; m = C1A2 – C2A1; n = A1B2 – A2B1.
Пример 6.1. Привести общие уравнения прямой
x 2 y 3z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к каноническому виду. |
|
|
|||||||||||
3x 2 y |
5z 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Найдем координаты точки M1 x1 , y1 , z1 , через |
|||||||||||||||||||||||||
которую проходит прямая. Положим z1 0 , тогда |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 2 y1 0 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y1 4 |
, отсюда |
y1 1 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x1 |
|
|
|
z |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Найдем координаты направляющего вектора прямой: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q |
|
|
i (10 6) j ( 5 9) k (2 6) 4i |
14 j |
8k . |
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Канонические уравнения прямой имеют вид |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z |
|
|
или |
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
14 |
8 |
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
4 |
|
|
|
6.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М1(х1, y1, z1) и М2(х2, y2, z2) могут быть получены из канонических
51
уравнений, если в качестве направляющего вектора взять вектор
М1М 2 = x2 x1; y2 y1; z2 z1 :
|
x x1 |
|
|
y y1 |
|
|
z z1 |
, |
(6.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
x |
y |
2 |
y |
z |
2 |
z |
|
||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
Пример 6.2. Составить канонические уравнения прямой, |
|
||||||||||||||||||||
проходящей через две заданные точки M1 (1,-2,1) и M 2 (3,1,-1) |
|
||||||||||||||||||||
Решение. Применяя формулу (6.3), имеем |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
y 2 |
|
|
z 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х 1 |
|
|
у 2 |
|
z 1 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6.3.Параметрические уравнения прямой
впространстве
Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (6.2).
Приравняем параметру t каждую из дробей из соотношений
(6.2),
|
х х1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
t . |
|
l |
m |
n |
|||
|
|
|
|
|||
Получаем параметрические уравнения прямой: |
|
x lt x1 , |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
y mt y1 |
(6.4) |
||
|
z nt z . |
|
||
|
|
1 |
|
|
Пример 6.3. Составить параметрические уравнения прямой |
||||
3x 4 y 5z 10 0, |
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
6x 5y z 17 |
|
|
|
Решение. Найдем координаты точки M1 x1 , y1 , z1 , лежащей на прямой. Положим z1 0 .Тогда система уравнений примет вид
52
3x1 4 y1 10.
6x1 5y1 17
Решая эту систему, получим x1 2; y1 1 . Следовательно, на прямой фиксирована точка M1 2; 1;0 . Найдем координаты направляющего вектора прямой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
21;27;9 . |
|||||
q |
21i |
27 j |
9k ; q |
||||||
|
|
6 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда параметрические уравнения прямой примут вид x 2 21t; y 1 27t; z 9t.
6.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Расстояние от точки до прямой
|
Определение угла между прямыми сводится к определению |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1; m1; n1 и |
||
угла между их направляющими векторами q1 |
||||||||||||
|
l2 ; m2 ; n2 по формуле (4.14:) |
|
|
|
|
|
||||||
q2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos |
|
|
l1l2 |
m1m2 n1n2 |
|
|
|
(6.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l 2 |
m2 |
n2 |
|
l 2 |
m2 |
n2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
2 |
, |
- угол между прямыми в пространстве.
Условие параллельности прямых эквивалентно условию
коллинеарности их направляющих векторов q1 и q2 :
l1 m1 n1 l2 m2 n2 .
Условие перпендикулярности прямых записывается как
условие перпендикулярности направляющих векторов q1 и q2 : l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0
(6.6)
(6.7)
53
|
Пример 6.4 . Найти угол между прямой |
x 3 |
|
y 4 |
|
z 5 |
и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
3 |
|
||||||||
прямой, проходящей через две точки A 2, 3,1 ; B 1,1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой |
|||||||||||||||||||||||||||
2; 1;3 . Для второй прямой направляющим является вектор |
|
|||||||||||||||||||||||||||
q |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 3;4;0 . Угол между направляющими векторами вычислим, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
используя формулу (6.5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cos |
|
2 3 1 4 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 2 1 2 32 32 42 02 |
14 |
25 5 |
14 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1 lt,
Расстояние от точки M 0 x0 ; y0 ; z0 до прямой y y1 m t,
z z1 nt
вычисляется по формуле
|
|
|
y y |
|
z z |
|
|
2 |
|
|
x x |
|
z z |
|
|
2 |
|
|
x x |
|
y y |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
d |
|
|
m1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
l1 |
|
m1 |
|
|
|
. (6.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
m |
2 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6.5. Найти расстояние от точки M 0 1; 2;3 до прямой |
|||||||||||||||||||||||||||
x 9 2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой (6.8). Так как
x0 1, y0 2, z0 3, x1 9, y1 4, z1 7,l1 2, m1 4, n1 4, то
54
|
|
|
|
4 ( 2) |
7 3 |
|
2 |
|
|
9 1 |
7 3 |
|
2 |
|
9 1 |
4 ( 2) |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2)2 ( 4)2 42 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
402 |
402 |
( 20)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3600 |
10. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 16 |
16 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, расстояние равно 10.
6.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве могут: пересекаться; быть
параллельными; скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.
Пусть прямые L1 |
и L2 заданы каноническими уравнениями: |
||||||||||||||||||
|
x x1 |
|
|
y y1 |
|
z z1 |
; |
x x2 |
|
|
y y2 |
|
z z2 |
. |
|
||||
|
l1 |
|
|
|
m1 |
n1 |
l2 |
m2 |
n2 |
|
|||||||||
Для принадлежности двух прямых к одной плоскости |
|
||||||||||||||||||
необходимо и достаточно, чтобы три вектора |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 , ( M1 и M 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
М1М 2 x2 |
x1; y2 y1; z2 |
точки на прямых L1 и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L2 ), q1 l1; m1; n1 ; q l2 ; m2 ; n2 были компланарны, т.е. |
|
||||||||||||||||||
смешанное произведение этих векторов равно нулю. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
|
(6.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
l1 |
m1 |
n1 |
0, |
||||||||||||
M1M 2 , q1 |
q2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
m2 |
n2 |
|
|
|
- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
Пример 6.5. Доказать, что прямые
x 2t 3 |
x t 5 |
||
|
|
|
1 пересекаются. |
y 3t 2 и |
y 4t |
||
|
|
z t 4 |
|
z 4t 6 |
|
|
Решение. Применим формулу (6.9).
55
|
5 3 |
1 2 |
4 6 |
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
4 |
8(3 16) (2 4) 10( 8 3) |
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
=-104 – 6 + 110 = 0.
Таким образом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, поскольку непараллельны.
6.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Угол между прямой L ( |
х х1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
) и плоскость |
|
l |
m |
n |
|||||
|
|
|
|
( Ax By Cz D 0 ) является дополнительным к углу
|
|
|
|
|
A; B;C и направляющим |
|||||
между вектором нормали плоскости n |
||||||||||
|
l; m; n; , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|||
вектором прямой q |
|
|
|
|
|
|
||||
sin cos( |
) |
|
|
Al Bm Cn |
(6.10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
A2 B2 C 2 |
|
l 2 m2 n2 . |
|
||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11
Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и
нормального вектора плоскости |
|
Аl +Bm +Cn = 0 |
(6.11) |
56
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
эквивалентно условию параллельности n и q
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
(6.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
m |
n . |
|
||||
Пример 6.6. При каком значении l и m прямая |
|
||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
и плоскость |
5x 3y z 4 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
l |
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
перпендикулярны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности |
|
||||||||||||||||||
прямой и плоскости . Тогда |
5 |
3 |
|
|
1 |
. Получаем l 10; m 6. |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
m |
|
2 |
|
|
|
|||||
Пример 6.7. При каком значении n прямая |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 5t; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 5 |
|
|
|
|||||||
параллельна плоскости 2x 4y 6z 7 0 . |
|
||||||||||||||||||
Решение. Используем условие параллельности прямой и |
|||||||||||||||||||
плоскости (6.10). Подставляя соответствующие значения в это |
|
||||||||||||||||||
уравнение, получим 2 5 4 2 ( 6) n 0 |
или 18 6n 0, откуда |
n 3.
6.7. Пересечение прямой и плоскости
Координаты точки пересечения прямой
x x1 ty y1 mtz z1 nt
и плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений
57
Ax By Cz D 0 |
|
|
||
|
|
t |
|
|
x x1 |
|
|
||
y y |
m t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z z |
nt |
. |
(6.13) |
|
|
1 |
|
|
|
Пример 6.8. Найти точку пересечения плоскости
x 6 2t; 3x 4y 5z 16 0 и прямой y 7 t;
z 8 3t.
Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для x; y; z в уравнение плоскости
3( 6 2t) 4(7 t) 5(8 3t) 16 0.
После упрощения получим 5t 10 0, откуда t 2. Из уравнения прямой при t 2 находим координаты точки пересечения x 2; y 5; z 2.Таким образом, искомой точкой пересечения является точка N( 2;5;2).
Вопросы для самопроверки
1.Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?
2.Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?
3.Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?
4.Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве, между плоскостью и прямой?
5.Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве, прямой и плоскости?
58
7.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
7.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой
вотрезках. Нормальное уравнение прямой
Рассмотрим |
прямую L в декартовой прямоугольной системе |
||||||||
координат |
Oxy . |
Прямая L |
содержит |
точку M o xo , yo |
и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормальный |
вектор n = A; B . |
Уравнение |
прямой, |
содержащей |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку M o , |
|
и перпендикулярной вектору |
n , |
получается из условия |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярности векторов n и М о М x xo , y yo |
|
||||||||
|
|
|
A(x xo ) B( y yo ) 0 . |
(7.1) |
|||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n A; B |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 12
Упрощая уравнение (7.1), получаем уравнение прямой общего
вида |
|
Ax By C 0 ,. |
(7.2) |
где вектор = A; B является нормальным вектором прямой. n
Если хотя бы один из коэффициентов A, B,C уравнения (7.2) равен нулю, то уравнение называется неполным. Например, прямая Ax By 0 проходит через начало координат, прямая Ax C 0 параллельна оси Oy .
Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению
прямой в отрезках: |
|
|
|
|
|
|
х |
|
у |
1 , |
(7.3) |
|
a |
b |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
59 |
|