1859
.pdfЕсли указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расхо-
дящимся.
Пример 2.7.1. Вычислить несобственный интеграл +∞∫ dx.
1 x2
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
+∞dx |
= |
lim |
b dx |
= |
lim |
|
|
1 |
|
b |
= lim |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
x |
|
1 |
x |
|
− |
|
|
1 |
|
|
b |
+1 =1. |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
b→+∞ |
2 |
|
|
|
b→+∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Несобственный интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Пример 2.7.2 |
|
|
|
Вычислить |
несобственный |
интеграл |
|||||||||||||||||||||||||
+∞ |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение: |
+∞ |
|
xdx |
|
|
|
|
b |
|
xdx |
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
ln |
|
+1 |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫1 |
x2 + |
1 |
|
b→+∞ ∫1 |
x2 +1 |
b→+∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 lim (ln(b2 +1)−ln 2)= ∞.
2 b→+∞
Предел равен бесконечности, следовательно, интеграл расходится.
Геометрическая интерпретация сходящегося несобствен- |
||||||
ного интеграла при |
f (x)≥ 0 - площадь бесконечно длинной |
|||||
криволинейной трапеции (рис 4). |
||||||
|
y |
|
|
|
y = f (x) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
a |
x |
||
|
||||||
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
Большинство свойств определённого интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.
Если f(x) непрерывна на промежутке (−∞,b], то аналогичным образом может быть определен несобственный интеграл первого рода на промежутке (−∞,b]:
∫b |
f (x)dx = alim→−∞ ∫b |
f (x)dx . |
−∞ |
N |
|
Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то
∞ |
f (x)dx = |
lim |
c |
f (x)dx + |
lim |
M |
f (x)dx . |
∫ |
∫ |
∫ |
|||||
−∞ |
N→−∞ N |
|
M →∞ c |
|
∞
В этом случае интеграл ∫ f (x)dx сходится, если сходятся
−∞
оба интеграла в правой части.
2.8. Несобственные интегралы второго рода
Пусть функция f (x) определена и непрерывна на промежутке[a,b), а в точке b терпит разрыв II рода (рис. 5).
y
y = f (x)
O a |
b |
x |
Рис. 5
b−ε
Тогда, если существует конечный предел lim ∫ f (x)dx ,
ε→0 a
( ε >0), то его называют несобственным интегралом второго
51
b
рода и обозначают ∫ f (x)dx . Если предел не существует или
a
бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяется интеграл с особенностью подынтегральной функции на нижнем пределе. Пусть f (x) не-
прерывна на промежутке (a,b], а при x = a имеет разрыв II рода, тогда
b |
|
b |
∫ f (x)dx = |
εlim→0 |
∫ f (x)dx. |
a |
|
a+ε |
Если функция y = f (x) испытывает разрыв второго рода во внутренней точке c отрезка [a,b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
b |
|
|
c−ε |
|
b |
f (x)dx . |
|
∫ |
f (x)dx = |
lim |
∫ |
f (x)dx + |
lim |
∫ |
|
a |
|
ε→0 |
a |
|
ε→0 c+ε |
Несобственный интеграл слева сходится, если сходятся каждый из несобственных интегралов, расположенных справа.
Если f (x)≥ 0 , то несобственный интеграл второго рода
b
∫ f (x)dx интерпретируется геометрически как площадь беско-
a
нечно высокой криволинейной трапеции.
∫1
0
∫1
0
Пример 2.8.1. Вычислить несобственный интеграл
dx . 1− x
Решение:
|
dx |
|
= lim |
∫b |
|
dx |
|
= − lim 2 |
|
|
|
b |
= lim 2( |
|
−1)= 2 . |
|
|
|
|
1− x |
|
|
1−b |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1− x |
|
b→1−0 |
0 |
1− x |
|
b→1−0 |
|
|
0 |
b→1−0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
52
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение определенного интеграла.
2.Каков геометрический смысл определенного интегра-
ла?
3. Что является достаточным условием интегрируемости функции?
4. Перечислите свойства определенного интеграла.
5. Выведите формулу Ньютона – Лейбница.
6. Как производится замена переменной в определенном интеграле?
7.Формула интегрирования по частям.
8. Что собой представляет несобственный интеграл первого рода?
9. Дайте определение несобственного интеграла второго
рода.
10. Каков геометрический смысл несобственных интегралов первого и второго рода?
Задачи для самастоятельного решения
Вычислить определенные интегралы
1 |
xdx |
|
1 ). |
|
1. ∫ |
(Ответ: |
|||
2 |
||||
0 |
(x2 +1) |
|
4 |
e1
2. ∫ln2 xdx (Ответ: e − 2 ).
1 e
3. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
(Ответ: |
π ). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
x |
1−ln2 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x dx |
|
|
|
π |
|
3 |
|
||||||
4. |
∫ |
(Ответ: |
+1− |
). |
|||||||||||
1 |
6 |
|
|||||||||||||
|
0 |
− x |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 3 |
2 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 + 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
). |
|
|
||||||||||||||||
|
3 + 2cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ). |
|
|
|||||
7. |
∫sin x cos2 xdx (Ответ: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∫2 sin3 xdx (Ответ: 2 − |
π ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
∫arctgxdx (Ответ: |
|
|
|
|
−ln 2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 −5 ). |
||||||||||||||||
10. |
|
∫x2e−x dx |
(Ответ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ). |
||||||||||||||||
11. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
|
|
|
− 4x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x2 −1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π ). |
|||||||||||||||||
12. ∫ |
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: ln 2 ). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 |
|
|
x2 + 2x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
). |
|||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 1+sin |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π ). |
||||||||||||||||||||
15. |
∫sin6 |
|
dx |
(Ответ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
π2 sin 1
16. ∫ 2x dx (Ответ: 1).
0π1 x
Вычислить несобственные интегралы
|
∞ |
(x2 dx+ 49) (Ответ: |
π |
|
||
17. |
∫0 |
). |
||||
14 |
||||||
|
∞ |
|
1 ). |
|
||
18. |
∫e−3x dx (Ответ: |
|
||||
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ dx
19.∫1 x2 + x (Ответ: ln 2 ).
20.∞∫1+xln x dx (Ответ: интеграл расходится).
1
1
21. ∫ |
|
xdx |
|
(Ответ: 1). |
|
|
|
|
|||
1− x2 |
|||||
0 |
|
|
1 ln xdx
22.∫ x2 (Ответ: 1).0
55
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
3.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
Если |
f (x) ≥ 0 |
на отрезке [a,b], то площадь криволиней- |
|||||
ной трапеции вычисляют по формуле |
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
S = ∫ f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Если |
f (x) ≤ 0 |
на [a,b], то |
|
|
|
|
|
|
|
S = −∫b |
f (x)dx = ∫b |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
a |
|
|
|
|
Если f(x) принимает на [a,b] значения разных знаков, то
b
S = ∫ f (x) dx
a
Пример 3.1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2x+1, y = 0, x =1, x = 3 (рис. 6).
Решение:
3 |
xdx |
|
|
|
1ln(x2 |
+1) |
3 |
|
1 |
(ln10 −ln 2)= |
1 ln 5. |
|||
S = ∫ |
|
|
= |
= |
||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||
1 |
x + |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 +1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S
|
|
|
x |
O |
1 x |
3 |
Рис. 6
56
Площадь фигуры, ограниченной линиями |
y =ϕ1 (x), |
|
y =ϕ2 (x), x = a , x = b , |
если выполняется |
условие |
ϕ2 (x)>ϕ1 (x), может быть вычислена по формуле: |
|
|
b |
|
|
S = ∫(ϕ2 |
(x)−ϕ1 (x))dx. |
|
a
Пример 3.1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 −3x − 4, y = x +1. (рис. 7).
Решение:
y y = x +1
-1 0 |
5 |
x |
y = x2 |
|
|
−3x − 4 |
Рис. 7
Для нахождения абсцисс концов отрезка интегрирования приравняем y = x2 −3x − 4 и y = x +1. В результате получаем
квадратное уравнение x2 − 4x −5 = 0 , |
решая которое находим |
||||||||||||||||||
x1 = −1 и x2 |
= 5 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
5 |
(− x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S = ∫(x +1−(x |
2 |
−3x − 4))dx = ∫ |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
+ |
|
|
− |
|
|
+ 2x |
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
4x +5)dx = |
3 |
|
+5x |
|
−1 |
||||||||||||
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= − |
125 |
+50 + 25 − |
|
1 |
+ 2 |
|
= −42 + |
78 |
= 36 . |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
3 |
−5 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
Рассмотрим случай, когда криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной уравнениями в параметрическом виде:
x =ϕ(x) |
, t1 ≤ t ≤ t2 , прямыми x = a и x = b и осью Ox , |
|
|
y =ψ(x) |
|
где ϕ(t1 ) = a, |
ϕ(t2 ) = b . |
Формулу для вычисления площади криволинейной тра- |
|
|
b |
пеции можно получить из формулы S = ∫ ydx , выполнив заме-
ну переменной x =ϕ(x), |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||
dx =ϕ (t)dt, y =ψ(t): |
|||||||
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
S = ∫ψ(t)ϕ′(t)dt . |
|
|
|
|||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
Пример 3.2.3. Вычислить площадь фигуры, ограничен- |
|||||||
|
x = a cost |
, |
0 ≤ t ≤ 2π . |
|
|
|
|
ной эллипсом |
|
|
|
||||
|
y = bsin t |
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим четверть площади эллипса, |
когда x меняется |
||||||
от 0 до a , в то время как t |
меняется от π |
до |
0 . |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
= 0 |
|
|
|
|
O |
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
||
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
1 S = |
a |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ydx = |
∫bsin t(a cost)′dt = −∫absin2 tdt = ab∫2 sin2 tdt = |
|||||||||||||||
4 |
0 |
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1−cos 2t |
|
ab |
sin 2t |
|
|
ab π |
|
|
|
πab |
|
|
|||
dt = |
|
2 |
= |
−0 |
|
= |
, |
S =πab. |
||||||||
= ab∫ |
2 |
|
t − |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
||||||
0 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат
Полярная система координат образуются точкой O , называемой полюсом, полярной осью, представляющей собой луч, выходящий из полюса. Произвольная точка на плоскости характеризуется полярным радиусом ρ , равным расстоянию
от полюса O до точки, а также полярным углом ϕ . Полярный
угол отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки и меняется в пределах от 0 до 2π .
Для выяснения связи полярных и декартовых координат совместим с полюсом начало системы декартовых координат, а ось Ox - с полярной осью (рис.9). Рассмотрим точку M ,
имеющую декартовы координаты (x, y) и полярные координаты (ρ,ϕ).
Из треугольника на рис. 9 следуют формулы перехода от полярных координат к декартовым координатам и наоборот:
|
|
|
|
|
x = ρ cosϕ, |
ρ = |
x2 + y2 , |
||
y = ρsinϕ, |
tgϕ = |
y |
. |
|
|
||||
|
|
x |
59