1785
.pdflim |
u |
|
u |
. |
|
|
|||
l 0 l |
|
l |
Если функция u=f(x,у,z) дифференцируема, то приращение функции вдоль прямой L записывается в виде
u fx x, y,z x fy x, y,z y fz x, y,z z 1 x 1 y 1 z,
где 1 x 1 y 1 z - бесконечно малая величина более вы-
сокого порядка малости по сравнению с x , y |
и z. Примем |
|||
во внимание, что x lcos , |
y lcos , |
z lcos . |
||
Тогда отношение |
u |
равно |
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
fx x,y,z x fy x,y,z y fz x,y,z 1 x 1 y 1 z .
l
fx x,y,z cos fy x, y,z cos fz x,y,z cos +1 cos 1 cos 1 cos .
Переходя к пределу при l 0, и учитывая, что 1 , 1
и 1 - бесконечно малые величины, получаем формулу для производной функции u=f(x,у,z) по направлению
u u cos u cos u cos .
l |
x |
y |
z |
Пример 5.4.1. Вычислить производную функции u xy2 z3 в точке M 3,2,1 в направлении вектора l 3,4, 1 .
Решение. Найдем направляющие косинусы вектора l :
cos |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, cos |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
32 42 1 2 |
26 |
32 42 1 2 |
26 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. Вычислим значения частных |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
32 42 1 2 |
|
26 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90
производных |
|
в |
точке |
|
M 3,2,1 : |
|
u |
y2 z3 ; |
u |
2xyz3 ; |
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
u |
|
2 |
|
2 |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|||||
|
|
3xy |
|
z |
|
; |
|
|
|
4 |
; |
|
|
|
12 |
; |
|
|
|
36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
x M |
|
|
|
|
|
|
z M |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y M |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
u |
|
4 |
|
3 |
|
|
12 |
|
4 |
|
36 |
1 |
|
|
|
|
24 |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
26 |
|
|
26 |
|
|
||||||||||
В случае функции двух переменных |
|
z z x, y |
имеем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
l cos ,sin и |
z |
|
|
|
z |
cos |
z |
sin , |
где - угол, обра- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
зованный вектором l |
|
с осью Оx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример |
5.4.2. |
|
|
|
Вычислить |
производную |
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||
z xy y2 |
по направлению вектора l |
3,4 в точке M 1,2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
cos |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
, sin |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
32 42 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 42 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Вычислим |
частные |
производные |
функции |
|
в |
|
точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
M 1,2 : |
|
fx x, y y , |
|
fx 1,2 2, |
|
|
fy x,y x 2y, |
fy 1,2 1 4 5. Производная по направлению вектора l в
точке M равна
z z cos z sin =2 3 5 4 26.
l |
x |
y |
5 |
5 5 |
Во многих задачах при изучении поведения функции в данной точке пространства наибольший интерес представляет
вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направление задаётся специальным вектором – градиентом.
Пусть функция u=f(x,y,z) имеет в точке M0(x0,y0,z0) непрерывные частные производные. Тогда в точке М0 можно построить вектор с координатами:
91
f (x , y |
0 |
,z |
0 |
) |
|
f (x ,y |
0 |
,z |
0 |
) |
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
,z |
0 |
) |
||
|
0 |
|
|
; |
0 |
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|||||||
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Началом этого вектора служит точка М0, в которой вычислены частные производные. Вектор называется градиентом скалярной функции u=f(x,y,z) в данной точке и обознача-
ется gradu(M0 ) или grad f (x0, y0,z0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
u |
|
|
u |
|
u |
|
|
u |
|||||||
grad u |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
i |
|
j |
|
|
|
k. |
|||
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
x y |
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
||||||||
Аналогично определяется градиент функции двух пере- |
|||||||||||||||||||
менных u=f(x,y). Это – вектор на плоскости Oxy: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|||||
gradu(M) |
|
|
|
i |
|
|
j . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 5.4.3. Найти градиент функции |
|
u x2 y2 в |
|||||||||||||||||
точке М1 (2,1). |
|
|
|
|
|
|
|
grad u M1 4i 2j . |
|||||||||||
Решение: grad u 2xi 2yj , |
|
||||||||||||||||||
Производная по направлению может быть представлена в |
|||||||||||||||||||
виде скалярного произведения вектора |
|
grad z |
и единичного |
вектора l вдоль указанного направления. Поскольку скаляр- l
ное произведение принимает наибольшую величину, когда направления векторов grad z и l совпадают, то вектор grad z
указывает направление максимальной скорости возрастания функции z f x, y , модуль этого вектора характеризует
скорость возрастания функции в точке.
5.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть дана функция z= f (x,y). Частные производные
92
z |
|
f (x, y)и |
z |
|
f |
(x, y) |
могут быть рассмотрены как но- |
|
|
||||||
x |
x |
y |
y |
|
|
вые функции двух переменных х и у. Их можно снова дифференцировать по этим переменным.
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго поряд-
ка и обозначаются следующим образом:
2z |
|
|
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
fxx |
|||
x2 |
x |
x |
|
|
2z |
|
|
|
z |
|
|
(x, y) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
fxy(x, y) ; |
||||||
|
x y |
|
y |
x |
|
|
2z |
z |
f |
(x, y); |
2z |
|
z |
f |
(x, y) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y x |
|
|
|
|
yx |
|
y2 |
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
y |
y |
|
|
|||||||
Производные |
|
|
|
|
называются смешан- |
|||||||||||
fyx(x, y), fxy (x, y) |
ными производными второго порядка. Смешанные производные второго порядка, вычисленные с помощью различной последовательности дифференцирования по переменным x и y , равны при условии, что они непрерывны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
2z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
||||||
|
|
|
Пример 5.5.1. Найти частные производные второго по- |
||||||||||||||||||
рядка функции z x5 x4 y2 y3 |
xy 8. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Решение: |
z |
5x4 |
4x3y2 |
y, |
z |
2x4 y 3y2 x , |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
2z |
20x3 |
12x2 y2 , |
|
2z |
|
2x4 6y, |
2z |
8x3y ; |
||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
x y |
||||||
|
2 z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные производные от частных производных второго порядка образуют частные производные третьего порядка:
93
|
3z |
|
|
2z |
|
3z |
|
|
|
2z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
x |
|
x |
|
x |
|
|
x |
y |
|
x |
|
y x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д.
Рассмотрим дифференциалы второго и более высоких порядков для функции z=f(х,у), имеющей непрерывные частные производные высоких порядков. Полный дифференциал первого порядка
dz fx(x, y)dx + fy (x, y)dy
содержит dx = x и dy= y. Эти величины не зависят от х и у, поэтому при дифференцировании по х или у их можно считать постоянными.
Полный дифференциал от полного дифференциала пер-
вого порядка называется полным дифференциалом второго
порядка и обозначается d2z d dz :
d2z d z dx z dy =( f (x, y)dx + f |
(x, y)dy) |
dx+ |
|
||||||||
|
x |
y |
|
|
x |
|
y |
x |
|
|
|
|
(x, y)dx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+( fx |
fy (x, y)dy)y dy =[ fxx(x, y)dx+ |
fyx (x, y)dy]dx + |
|||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+[ fxy (x, y)dx |
fyy (x, y)dy]dy= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
2 |
. |
|
= fxx(x, y)dx |
|
+2 fxy (x, y)dxdy |
fyy(x, y)dy |
|
По аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.
5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Пусть неявно заданная функция z= f(x,y) определяется тождеством: F(x,y, f(x,y))=0.
Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:
Fx xx Fz zx 0, Fx Fz zx 0, zx |
Fx(x, y,z) |
|
|
. |
|
|
||
|
Fz (x, y,z) |
|
94 |
|
|
По аналогии находим: zy |
Fy(x, y,z) |
|||
|
|
. |
||
|
|
|||
|
|
Fz (x, y,z) |
||
Чтобы частные производные неявной функции сущест- |
||||
вовали, надо чтобыFz (x, y,z) 0. |
|
|
||
Пример 5.6.1. Найти производную |
yx для неявно задан- |
|||
ной функции x y ex y 0. |
|
|
||
Решение: |
Fx(x, y) 1 ex y ; |
Fy(x, y) 1 ex y ; |
ex y 1
yx . В точках у = -х производная не существует.
ex y 1
5.7. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в точке М0(x0,y0) и некоторой ее окрестности. Точка М0(x0,y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)<f(М0) или z=f(М) - f(М0)<0. Точка М0(x0,y0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f(М)
f(М0) или z=f(М) - f(М0) 0.
Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.
Теорема. (Необходимое условие экстремума). Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в
этой точке экстремум, то |
fy (x0, y0) 0. |
fx(x0, y0) 0; |
|
95 |
|
Доказательство. Рассмотрим случай наличия в точке М0(x0,y0) максимума функции z= f(x,y). Неравенство
f(х,у) <f(х0 ,у0)
выполняется для всех точек некоторой окрестности точки М0. В частности, это неравенство выполнено для точек, ординаты которых равны у=у0 : f(х,у0) <f(х0 ,у0). На прямой у=у0 функция z= f(x,y) становится функцией одной переменной z= f(x,y0). Из неравенства f(х,у0) <f(х0 ,у0) следует, что функция одной пе-
ременной |
z= f(x,y0) имеет в точке х0 |
экстремум (максимум). |
Поу0+сколькуу |
эта функция в точке х = х0 |
имеет производную, то |
на основании необходимого признака экстремума функции одной переменной заключаем, что fx(x0, y0) 0.
Полагая, что х = х0, точно так же докажем, что
fy (x0, y0) 0.
Вточках, где существуют частные производные и хотя бы одна из них отлична от нуля, экстремума быть не может.
Экстремум следует искать либо в стационарных точках,
вкоторых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. О наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.
5.8. Достаточный признак экстремума
Теорема. Пусть функция z= f(х,у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в не-
которой окрестности точки М0 (х0 ,у0), |
а сама точка М0 являет- |
||
ся критической: |
fy (x0, y0) 0 |
|
|
fx(x0, y0) 0; |
|
|
|
Обозначим: |
|
|
|
|
, y0) C. |
||
fxx(x0, y0) A |
fxy (x0, y0) B fyy (x0 |
||
|
96 |
|
|
Тогда:
1.Если число =AC B2 >0, то точке М0 (х0 ,у0) функция f(х,у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.
2.Если число =AC B2 <0, то точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.
3.Если число =AC B2 =0, то признак не применим, поскольку использовавшегося при его доказательстве дифференциала второго порядка оказалось недостаточно для того,
чтобы сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. Пример 5.8.1. Исследовать на экстремум функцию
z x3 y3 9xy 27. |
|
|
|
|
|
|
Решение: Имеем, |
z |
3x2 9y , |
z |
3y2 9x. |
Найдем |
|
|
|
|||||
|
|
x |
y |
|
||
точки |
возможного |
экстремума. |
Решение |
системы |
||
3x2 |
9y 0 |
|
|
|
|
|
|
дает две точки возможного экстремума: М1(0,0) |
|||||
3y2 |
9x 0 |
|
|
|
|
|
и М2(3,3). |
частные |
производные |
второго |
порядка: |
||
|
Найдем |
|||||
fxx 6x, fyy 6y, fxy 9. |
В точке |
М1(0,0) |
имеем |
|||
AC B2 81<0 , что указывает на отсутствие экстремума |
||||||
в |
данной |
точке. |
В |
точке |
М2(3,3) |
имеем |
AC B2 324 81>0. |
Поскольку A 18>0, то |
в точке |
||||
имеется минимум. |
|
|
|
|
5.9. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой области
D . В области D найдётся хотя бы одна точка, в которой функция принимает своё наибольшее значение M, и найдется
97
хотя бы одна точка, в которой функция принимает своё наименьшее значение m: m f(x,y) M.
Точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значение, могу располагаться либо внутри, либо на границе области.
Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений надо:
1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках.
2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции.
3)затем выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.
Пример 5.9.1. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = 3x2 3y2 |
6x 3y 1 в области D, ограничен- |
ной линиями x y 2, |
x 0, y 0. |
Решение: Найдем критические точки внутри области, для
z
чего приравняем нулю частные производные xz
y
6x 6 0
.
6y 3 0
Получаем критическую точку M1(1, |
1 |
). |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
Рассмотрим границу области D, представляющей собой |
||||
треугольник АОВ (рис. 23). |
y |
|
||
2 |
A |
|
||
|
|
|
x+y=2 |
|
|
|
|
|
B |
O |
2 |
x |
||
|
98 |
Рис. 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала исследуется |
отрезок |
ОА, |
на котором имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
и, |
|
значит, |
|
|
z 3y2 |
3y 1. |
Приравняв |
|
производную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
z 3y2 3y 1 нулю, |
имеем 6y 3 0 |
и, |
|
следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
тельно, получаем стационарную точку |
2 |
0, |
|
|
. Выделяем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки O 0,0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
A 0,2 , где функция тоже может принять наи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
большее и наименьшее значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
На отрезке OB имеем y 0, z = 3x2 |
6x 1, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dz |
6x 6 0, |
что дает стационарную точку M3 1,0 . Добав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляем точку B 2,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Осталось рассмотреть сторону AB , |
на которой y 2 x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
3x2 |
3 2 x 2 6x 3 2 x 1=6x2 15x 7 . |
|
Найдем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную |
dz |
|
12x 15=0, после чего добавим еще одну |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
точку M |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
M |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Вычислим |
|
|
значения |
функции |
в точках |
A, |
B, |
|
O, M1 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M2 ,M3 , M4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z A z 0,2 3 4 3 2 1 7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z B z 2,0 3 4 6 2 1 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z O z 0,0 3x2 3y2 |
|
6x 3y 1 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
z M1 |
z 1, |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
z M2 |
z |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
z M3 z 1,0 3 6 1 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
25 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
38 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
z M4 |
z |
|
, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
16 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|