1464
.pdfЧасть III
Задачи подземной гидравлики, допускающие элементарное решение
§ 1. Описание простейших фильтрационных потоков
Рассмотрим три типа фильтрационных потоков, полное исследо вание которых можно выполнить элементарными методами.
Предположим, что при движении жидкости или газа в пористой среде совокупность всех траекторий состоит из параллельных прямых линий, причем в каждом плоском сечении, перпендикулярном к на правлению движения, скорости фильтрации во всех точках не только параллельны, но и равны друг другу1.
Л, |
гг, |
А2 |
г- V* |
|
|
|
? |
|
1 * |
|
Г 7> |
г 3
А, ^ |
А, |
Рис. 42. Одномерный поток.
Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока совершенно одинаковы, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за декартову ось координат, например за ось х. Заметим, что положение частицы жид кости, движущейся вдоль оси, вполне определяется одной координатой.
*Для дальнейшего важно подчеркнуть, что при установившемся движении жид кости траектории совпадают с линиями тока. То же справедливо и для тех неустановившихся потоков, в которых с течением времени в каждой точке меняется лишь величина, но не направление скорости.
Кроме того, если рассматриваемый поток установившийся, то в любой его точке скорость фильтрации и напор будут функциями только од ной координаты х. Поток, обладающий перечисленными свойствами, называется одномерным.
На рис. 42 изображено сечение одномерного потока, параллель ное направлению движения. Как будет доказано ниже, в один и тот же момент времени в разных сечениях, перпендикулярных направле нию движения, скорости фильтрации оказываются различными только в том случае, если движется газ или если учитывается, что жидкость сжимаема. Так, например, на рис. 42 в сечении А\А\ скорость филь трации всех частиц сжимаембй жидкости или газа равна vi, а в се чении А2А2 — равна v2, причем v\ < г>2- Для одномерного движения несжимаемой жидкости v\ = г>2, т. е. скорость фильтрации оказывается одинаковой во всем фильтрационном потоке.
F о |
_if |
if |
о |
|
-4----- |
о |
|
---- |
о |
|
|
о |
a |
" ir |
F ° |
Рис. 43. Прямолинейная батарея скважин FF, эксплуатирующих залежь нефти АВС, и почти одномерный поток краевых вод.
С одномерным фильтрационным потоком приходится сталкивать ся на практике в следующих, например, случаях: в лабораторных усло виях при движении жидкости или газа через цилиндрический керн па раллельно его оси; на отдельных участках подземного артезианского потока, когда поперечное сечение потока мало изменяется. Допустим также, что залежь нефти АВС составляет часть пластовой водонапор ной системы, которая схематически изображена на рис. 43. АС — кон тур нефтеносности, FF — ближайшая к контуру батарея (группа) эксплуатационных скважин; залежь нефти испытывает односторонний напор краевой воды справа. Границу M ABCN считаем практически непроницаемой, определяющейся линиями выклинивания продуктив ного пласта, линиями сбросов или порогов фациальной изменчивости. При эксплуатации батареи равнодебитных скважин F F приток жид кости к ним справа можно считать почти одномерным (за исключе-
Рис. 44. Плоский радиальный Рис. 45. Вертикальное сечение плоского поток (в плане). радиального потока к гидродинамически
совершенной скважине.
нием ближайшей к скважинам зоны скорости фильтрации v всех ча стиц жидкости будут друг другу параллельны, см. подробности в гла ве XXI). Чем теснее в описываемых условиях расположены скважины в батарее FF, тем точнее поток жидкости к ним можно характеризо вать как одномерный. Если мысленно представить себе крайний пре дел уплотнения сетки скважин — заменить батарею скважин сплош ной прямолинейной галлереей, то движение жидкости к галлерее будет строго одномерным.
Перейдем к потоку второго типа, исследование особенностей кото рого имеет весьма большое значение для понимания законов притока нефти, воды и газа к скважинам. Предположим, что при движении жидкости или газа в пористой среде все его частицы движутся парал лельно одной и той же плоскости. Такое плоскопараллельное движение частиц жидкости или газа можно назвать двухмерным, ибо для пол ной характеристики потока достаточно изучить движение хотя бы в од ной плоскости, параллельной основной; положение же частицы в опре деленной плоскости вполне определяется двумя координатами. Если в каждой из упомянутых плоскостей движения траектории оказыва ются прямыми линиями, радиально сходящимися в одной точке (или расходящимися из одной точки), то такое движение называется двух мерным радиальным сечением или плоско-радиальным движением. На рис. 44 представлено сечение двухмерного сходящегося радиального потока, параллельное основной плоскости движения.
Как и в случае одномерного потока, частицы жидкости или газа здесь движутся по прямолинейным траекториям, но в основной плос
кости движения траектории, а следовательно, и скорости фильтрации друг другу непараллельны.
Допустим, например, что непроницаемые кровля АА! и подо шва В В' однородного пласта друг другу параллельны и эксплуатацион ная скважина CD вскрывает пласт на всю его мощность (см. рис. 45). Заметим, что скважину, вскрывшую пласт на полную мощность, на зывают в подземной гидравлике « гидродинамически совершенной по степени вскрытия пласта». Если такая скважина сообщается с пла стом только через отдельные отверстия в колонне труб (будут ли они отверстиями специального фильтра или отверстиями, простреленными в трубах и цементном кольце, когда пласт вскрыт по методу сплошной заливки), то ее называют «гидродинамически совершенной по степени вскрытия, но гидродинамически несовершенной по характеру вскры тия». Если башмак водозакрывающей колонны остановлен у кровли пласта, пласт вскрыт на всю мощность, забой скважины открытый, так что жидкость может свободно притекать к скважине через всю по верхность ее стенок, то такую скважину называют «гидродинамически совершенной и по степени и по характеру вскрытия пласта» или просто
«гидродинамически совершенной».
Понятно, что чем больше отверстий в фильтре или чем больше дыр прострелено в колонне труб и в цементном кольце и чем большую мощ ность пласта вскрывает скважина, тем лучше условия ее работы при ближаются к условиям работы гидродинамически совершенной сква жины.
Допустим, что скважина CD на рис. 45 гидродинамически совер шенная, причем уровень жидкости в скважине, даже при ее работе, находится выше кровли пласта; если к тому же скважина находит ся вдали от соседних эксплуатационных скважин и вблизи нее нет нарушений в сплошности и однородности пласта, то приток жидко сти (или газа) к забою такой скважины будет плоско-радиальным. На рис. 45 стрелками указаны направления скоростей фильтрации жид кости; рис. 44 можно рассматривать как изображение в плане притока жидкости к гидродинамически совершенной скважине. Даже если бы скважина CD вскрывала пласт не на полную мощность, то отклоне ние потока от плоско-радиального имело бы место лишь в ближайшей окрестности забоя скважины. Строгое гидродинамическое исследова ние доказывает, что уже на расстоянии от такой скважины, равном мощности пласта (и тем более на еще большем расстоянии), движение жидкости почти точно следует законам плоско-радиального движения. Если бы скважина была не эксплуатационная, а нагнетательная, т.е.
внее нагнетали бы воду или газ, то направления стрелок на рис. 44
и45 пришлось бы переменить на прямо противоположные.
Итак, в произвольном установившемся плоско-параллельном (двухмерном) потоке скорость фильтрации и напор должны быть, во
обще говоря, функциями двух координат, определяющих положение точки в плоскости потока.
Рис. 46. Вертикальное сечение сферического радиального потока к сква жине, вскрывшей кровлю пласта весьма большой мощности.
Однако в частном случае плоско-радиального потока картина упрощается: благодаря осевой симметрии величина скорости фильтра ции и напор в какой угодно точке М потока зависят только от ее рас стояния г до точки пересечения О всех траекторий, лежащих в одной плоскости с М (см. фиг. 44). Зависимость величины скорости филь трации и напора только от одной координаты — от радиуса вектора точки — позволяет провести полное исследование плоско-радиального потока столь же элементарными методами, как и в случае одномерного потока.
Перейдем к третьему типу потоков. Если все частицы жидкости (или газа) движутся в пористой среде так, что их скорости фильтрации не параллельны одной и той же плоскости, то такое движение называ ется пространственным, или трехмерным, ибо для определения поло жения частицы жидкости в пространстве требуются три координаты. Если при пространственном движении все траектории прямолинейны и радиально сходятся в одной точке (или расходятся из одной точки), то такое движение называется трехмерным радиальным, или сфериче ским радиальным. Рис. 44 можно рассматривать как плоское сечение сферически-радиального движения, проведенное именно через ту точ
ку О пространства, в которой все траектории сходятся.
И здесь, благодаря пространственной симметрии относительно центра О, величина скорости фильтрации и напор в какой-нибудь точ ке потока будут функциями только от расстояния г между этой точкой и центром О. Поскольку величина скорости фильтрации и напор оказы ваются функциями только от одной переменной (от радиуса-вектора г), постольку полное исследование сферического радиального потока так же можно выполнить элементарными методами.
Можно привести такой пример сферического радиального потока: допустим, что гидродинамически несовершенная скважина В'ВЕСС' малого диаметра едва вскрыла непроницаемую горизонтальную кров лю ABCD однородного пласта весьма большой мощности (см. рис. 46). В таком случае приток жидкости или газа в ближайшей окрестности к забою скважины будет почти точно (тем точнее, чем меньше сте пень вскрытия пласта, чем больше его мощность и чем меньше ра диус скважины) следовать законам трехмерного радиального движе ния.
§ 2. Напор и приведенное давление; поверхности равного напора и изобары
Рис. 47. Элемент пласта (вертикальный разрез).
Рассмотрим вертикальное сечение элемента пласта ABCD (см. рис. 47); AD и ВС — сечения подошвы и кровли пласта.
Проведем опорную горизонтальную плоскость, пересекающую вы бранное нами вертикальное сечение пласта по прямой, которую примем за ось х. Будем отсчитывать высотные отметки различных точек пла
ста от выбранной горизонтальной плоскости, а в сечении ABCD — от оси х .
Обозначим высотные отметки точек Е и К через Z E и Z K , дав ления в этих точках — через ре и рк, вес единицы объема жидкости в пластовых условиях — через 7 . Тогда напоры Не и Нк в точках Е и К определяются как суммы пьезометрических высот и высотных отметок:
|
|
(1, |
v n i) |
1 |
Р к . |
(2, |
VIII) |
" к = |
— + Z K , |
Если в этих формулах давления р измерять в атмосферах, то вы сотные отметки z и напоры h необходимо измерять в сантиметрах, а ве личину 7 — в кг/см3.
Определим приведенные давления р*Е и р*к в точках Е и К с по
мощью следующих формул: |
|
|
|
|
|
Р е |
= P E |
+ 1 Z E |
= |
(3, |
VIII) |
Р к |
= Р к |
+ I Z K |
= 7Ь к - |
(4, |
VIII) |
Итак, для подсчета напора или приведенного давления в какой- |
|||||
либо точке пласта необходимо знать |
высотную отметку |
и давление |
в той же точке, а также вес единицы объема жидкости в пластовых условиях.
Приведенным давлением часто удобнее пользоваться, чем истин ным. Действительно, в реальных условиях забои скважин в одном и том же пласте имеют разные гипсометрические отметки, ибо, во-первых, скважины имеют различные глубины проникновения в пласт и, во-вто рых, одни скважины вскрывают пласт в более повышенной, а дру гие — в менее повышенной части структуры.
Благодаря этому глубинные манометры, помещенные на забоях скважин, зафиксируют различные пластовые давления даже тогда, ко гда никакого движения жидкости в пласте нет. Однако напоры и при веденные давления будут в последнем случае одинаковы во всех сква жинах. Наоборот, если жидкость в пласте движется, то напоры и при веденные давления уменьшаются в сторону ее движения.
Приведенные давления в точках Е и К были бы равны истин ным давлениям в точках Е* и К *, лежащих в опорной плоскости на одних вертикалях с Е и К, если бы поток однородной жидкости в пла сте был плоско-параллельным, и именно горизонтальным, и если бы опорная плоскость была расположена внутри потока. Конечно, то же
заключение о равенстве истинных и приведенных давлений было бы справедливо и в частном случае однородной покоящейся жидкости.
На практике за опорную горизонтальную плоскость чаще всего принимают либо первоначальное зеркало водо-нефтяного контакта, ли бо помещают опорную плоскость на уровне моря.
В формулах (1, VIII) — (4, VIII) напор выражается в сантимет рах столба жидкости с удельным весом, соответствующим пластовым условиям. Когда величину 7 в пластовых условиях можно считать по стоянной, это не вызывает особенного неудобства.
Однако часто приходится сталкиваться с такими случаями, когда в пласте находятся две жидкости, с разными удельными весами, напри мер вода и нефть или соленая и пресная вода. В этих случаях(а так же при наличии в пласте газированной жидкости) для сопоставлений статических пластовых давлений в разных точках пласта удобнее пе ресчитать напоры и измерять их в метрах или сантиметрах столба од ной определенной жидкости, например воды с удельным весом, равным единице.
При подсчетах величины «избыточного напора», определяющего высоту уровня жидкости в открытой скважине, в формулы (1, VHI) — (4, VHI) следует вместо абсолютных давлений подставить избыточные над атмосферным.
До сих пор в данном параграфе мы упоминали лишь о жидкостях, ибо при движении газа в пласте и при сравнении давлений в различных точках чисто газовой залежи влиянием веса самого газа пренебрегают. Считая величину 7 для газа в формулах (3, VIII) и (4, VIII) пренебре жимо малой, можно сделать вывод, что в чисто газовой залежи нет надобности различать истинное давление и приведенное. Поэтому все, что ниже будет говориться о приведенном давлении, следует для чисто газовой залежи считать справедливым и по отношению к истинному давлению.
Геометрическое место тех точек в пласте, в которых напор име ет одну и ту же величину, образует поверхность равного напора; эта поверхность одновременно является и поверхностью равного приведен ного давления. Как дальше будет показано, в любой точке пласта ско рость фильтрации жидкости всегда направлена по нормали к поверх ности равного напора, проходящей через ту же точку пласта.
Всегда, когда поверхность равного напора не вырождается в го ризонтальную плоскость, давления в разных точках этой поверхности напора оказываются различными (но приведенные давления, повторя ем, будут одинаковыми).
В плоско-параллельных горизонтальных фильтрационных потоках поверхности равного напора оказываются цилиндрическими поверхно
стями с вертикальными образующими; в частном случае эти поверх ности могут быть боковыми поверхностями круглых цилиндров или вертикальными плоскостями (см. дальше анализ плоско-радиальных и одномерных потоков).
Как уже упомянуто выше, в условиях плоско-параллельных гори зонтальных потоков достаточно исследовать движение только в одной горизонтальной плоскости. Любая горизонтальная плоскость в этих условиях будет пересекать поверхности равного напора по кривым, вдоль каждой из которых не только напор и приведенное давление, но и просто давление остается одинаковым. Такие линии, во всех точках которых давления остаются одинаковыми, называются изобарами.
На карте необходимо вычерчивать только те изобары, которые удо влетворяют следующему правилу: разность давлений при переходе от каждой изобары к соседней должна быть всюду одинаковой. Так, на пример, на одной карте изобар приращение давления при переходе от любой изобары к соседней всюду равна 1 am, на другой — 5 am и т. п.1 Смысл упомянутого правила построения карт изобар выясняется даль ше.
Из определения трех типов простейших потоков, рассмотренных в § 1, следует, что для сферического радиального потока недостаточно изучить распределение давления в одной какой-то плоскости, но необ ходимо исследовать форму поверхностей равного напора.
Наоборот, для горизонтального одномерного и плоско-радиально го потоков исследование изобар в горизонтальной плоскости вполне достаточно для определения давления в любой точке пласта.
§ 3. Общие методы исследования одномерного, плоско-радиального и трехмерного радиального
потоков
Допустим, что ось I направлена вдоль движения одномерного (на клонного или горизонтального) потока (см. рис. 48); О — начало ко ординат; Мо — начальное положение некоторой частицы, движущей ся вдоль оси l\ М и М 1 — две точки, соответственно с координата ми I и (/ + dl), где dl — величина положительная, v — вектор скорости фильтрации в точке М ив любой другой точке, лежащей в сечении ЛВ, перпендикулярном к направлению движения потока.
Согласно линейному закону фильтрации (8, VI), абсолютное зна чение (модуль) скорости фильтрации потока в точке М определяется
1 Иными словами, величины давлений, соответствующие изображенные на карте изобарам, возрастают и убывают в арифметической прогрессии.
10 Подземная гидравлика