1323
.pdfтенсивности рх параллельно оси х и интенсивности ру параллельно оси у, получим
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Nt |
|
|
|
|
|
|
Nj |
0 |
Px\ d S = |
|
|
|
|
0 |
Nj |
|
|
|
||
Ру) |
|
|
|
|
||
Nk |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
Nk |
|
|
|
|
|
|
~LX |
0 |
' |
|
fPx |
|
|
0 |
|
|
|
Py |
|
|
L, |
0 |
1!’A d S = |
!" |
. Px |
(12.24) |
|
0 |
L2 |
W |
2 |
Py |
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 _ |
|
°J |
|
где 5,7 — площадь поверхности стороны элемента между узлами i и /, Sij —t£ii. Компоненты результирующей силы в направлении координатных осей х и у равны соответственно pxSij и pyS^. Как видно из формул (12.24), на каждый из рассматриваемых узлов приходится по половине каждой компоненты результирующей силы.
На основе соотношений (12.20)— (12.24) строятся определяю щие элемент уравнения для треугольного элемента из изотропного материала. Вычисление матриц элемента иллюстрируется на сле дующем примере.
Пример
110. Нужно вывести определяющие элемент уравнения для изо браженного ниже элемента в случае плоского напряженного со стояния. Перпендикулярно к стороне jk действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности 20 Н/см2. Элемент испы тывает также тепловое расширение вследствие повышения его тем пературы на 15°.
Запишем матрицу градиентов |
|
|
|
|
~Ь, 0 |
bj |
0 |
bk |
0 ' |
Cl |
0 |
C) |
0 |
ck |
bt |
CJ |
bj |
ck |
bk |
где А =( 3 - 2) /2= 3 см2, |
|
|
|
|
b-t—Yj— Yk= —3, b j= Y k—Yt= 3 , by=Y t— Yj=0,
Ci= X k- X j = - U cj = X t - X k= - l , ck= X j — X j= 2 .
t-lCM
Е = 6 *Ю 6 Н /см 2
ас=7хЮ -6см/(см-°С)
11=0 25
К задаче 1 1 0 .
Подстановка числовых значений коэффициентов дает
3 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0" |
0 |
— 1 |
0 |
— 1 0 2 |
|
|
- 1 |
—3 |
— 1 |
3 |
2 |
0 |
Матрица упругих констант в данном случае имеет вид
1 |
ц |
0 |
|
|
1 |
- f |
о |
|
6-108 |
|
|
||||
р ] = 1 —ц2 (Л |
1 |
О |
|
1 |
О |
||
|
1 — |
0,252 |
|||||
О |
0 |
(1— |х)/2 |
|
|
|
о |
4- |
|
|
|
'8 |
2 |
0' |
||
[D]- |
6 , 4 . 1 0 е |
|
|
||||
2 |
8 |
0 |
|
|
|||
8 |
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем матрицу жесткости элемента
[£<0]=[Bf[D ] [B\tA,
■—3 |
о |
|
|
|
|
О |
— 1 |
|
8] |
2 О' |
|
3 |
о |
6,4.10е |
|||
2 - 8 £0 |
|||||
О |
— 1 |
8 |
|||
шля |
г -т шгч |
||||
о |
о |
|
о_ |
0J з |
|
|
|
|
О2
|
' —24 |
—6 |
—з- |
|
—2 |
—8 |
—9 |
6,4.10е |
24 |
6 |
—3 |
48 |
—2 |
—8 |
9 |
|
0 |
0 |
6 |
|
4 |
16 |
0 |
|
-—24 —6 —3" |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
—2 |
—8 |
—9 |
■—3 |
0 |
3 |
0 |
0 |
(Г |
||
[№]-- |
Мб,4- 10е |
24 |
|
6 |
—3 |
|||||||
|
0 |
— 1 |
0 |
— 1 |
0 |
2 |
||||||
|
288 |
—2 |
—8 |
|
9 |
— 1 |
—3 |
— 1 |
3 |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
16 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
’ |
75 |
|
15 |
|
—69 |
—3 |
—6 |
— 12- |
|
|
|
|
|
15 |
|
35 |
|
3 |
— 19 |
— 18 — 16 |
|
|
|
|
[£«>]= 13333 |
—69 |
|
3 |
|
75 |
— 15 |
—6 |
12 |
|
|
|
|
|
—3 |
— 19 |
|
— 15 |
35 |
18 |
— 16 |
|
|
||
|
|
—6 |
— 18 |
|
—6 |
18 |
12 |
0 |
|
|
||
|
|
— 12 |
— 16 |
|
12 |
— 16 |
0 |
32 |
|
|
Вектор нагрузки элемента {/(е)} обусловлен как тепловым воз действием, так и поверхностной нагрузкой. Вклад в вектор нагруз ки теплового воздействия определяется величиной
{f%}=lBlT[D\l4 }tA.
Учитывая формулу (12.22), имеем |
|
|
|
|
|
— 3 |
—2520 |
||
|
— 1 |
|
—840 |
|
7 • 10~® • 6 *10е • 2 -15 |
|
3 |
|
2520 |
2(1 — 0,25) |
— 1 |
|
—840 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
2I |
1 |
1680 |
Вклад в {/(е)} поверхностной нагрузки определяется следую щим образом. Компоненты полной величины этой нагрузки рас пределяются поровну между узлами / и k. Длина стороны jk равна
%!к= У ( 2 — 1)»+ (3— 0 )* = у 7 б = 3 ,1 6 3 .
Компоненты внешней поверхностной нагрузки по осям х н у равны соответственно
рх = р cos 0 = 2 0 (3/3,163) = |
18,97 Н/сма, |
Ру— р sin 0 = 2 0 (1/3,163) = |
6,32 Н/см2. |
Функция формы Ni обращается в нуль на стороне jk, поэтому
-0 |
0 |
- |
0 |
0 |
|
N j |
0 |
|
0 |
N j |
|
7* N k |
0 |
|
0 |
N k |
|
j ? |
EX in |
II |
№ |
\ p y \
-0 0“ 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
После подстановки рх Ру, а также числового значения площади S/* = 3,163-2=6,326 см2 и умножения матриц получаем
0)
0
60 (/<?>} = 20
60
20
Теперь можно записать полную систему уравнений для эле мента:
75 15 |
—69 |
—3 |
—6 |
— 12- |
|
—2520 |
35 |
3 |
— 19 |
— 18 |
— 16 |
Un |
—840 |
13333 |
75 |
— 15 |
—6 |
12 |
Uy-i |
2580 |
|
35 |
18 |
— 16 |
|
—820 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
12 |
0 |
|
60 |
Симметрично |
|
|
32 |
У2k |
i 1700 |
Вектор-столбец {/(в)} равен сумме {/^ } + {/<,е)}.
Для того чтобы проиллюстрировать применение формул (12.20) — (12.24), приведенного выше примера вполне достаточно. Нетрудно заметить, что здесь необходимо выполнить большой объем вычислений. Очевидно также, что выбирать в качестве ил-
15-763
люстрации пример, в котором рассматривается несколько элемен тов, непрактично.
Существуют два способа проверки правильности составления матрицы Прежде всего [6(е)] должна бытв симметричной матрицей с положительными коэффициентами на главной диаго нали. Кроме того, сумма коэффициентов любой строки или столбца матрицы должна обращаться в нуль.
12.3. Трехмерные задачи теории упругости
Трехмерный симплекс-элемент в задачах теории упругости рас сматривается почти так же, как двумерный элемент. Три компо ненты перемещения и, v и w аппроксимируются внутри элемента соотношениями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^si-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U«-i |
|
Ni |
0 |
0 |
Nj |
0 |
0 |
N* |
0 |
0 |
и* |
|
Ua]-2 |
|
|||||||||
0 |
Nt |
0 |
0 |
Nj |
0 |
0 |
Nk |
0 |
U'.9J —1 |
(12.25) |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
Nj |
0 |
0 |
К |
|
|
t V a
Uu
Двенадцать узловых значений изображены на фиг. 3.5 и воспро изводятся для удобства здесь (фиг. 12.2). Функции формы опре делены в гл. 3. В общей форме они записываются как
Nt = ~W ^ + Ь(,х+ СрУ + dP2)- |
(12.26) |
где ар, 6р, ср и dp выражаются через координаты узлов. Соотношения связи между перемещениями и деформациями в
данном случае имеют вид
|
ди |
|
ду |
|
dw |
|
&хх |
дх ' |
|
£уу— д у ' |
Ъг* ~ ~ д г ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12.27) |
|
__да , |
ди |
dw |
. ди_ |
dv . |
dw |
^хУ ~ ~ д х + |
~дй’ |
дх |
+ дг ’ |
УУг ~ ~ д г + |
1 у - |
Матрица градиентов '[В] в формуле {е} =i[.6] {£/} легко вычис ляется дифференцированием (12.25) с последующим использова нием зависимостей (12.27). Приведем здесь окончательный резуль тат:
% |
0 |
0 |
bj |
0 |
0 |
bk |
0 |
0 |
bt |
0 |
0~ |
|
|
0 |
Ci |
0 |
0 |
C] |
0 |
0 |
ck |
0 |
0 |
Cl |
0 |
|
|
0 |
0 |
dt |
0 |
0 |
dj |
0 |
0 |
dk |
0 |
0 |
dt |
(12.28) |
|
Cl |
bt |
0 |
Cj |
bj |
0 |
ck |
bk |
0 |
Cl |
bt |
0 |
||
|
|||||||||||||
di |
0 |
bt |
dj |
0 |
bj |
dk |
0 |
bk |
dt |
0 |
bt |
|
|
0 |
dt |
Cl |
0 |
d} |
Cj |
0 |
dk |
Ck |
0 |
dt |
cl_ |
|
У
Фиг. 12.2. Компоненты перемещения для трехмерного симплекс-элемента.
Запишем компоненты вектора деформаций {е}: |
|
{е}г =[в** ъуи ггх уху ухг Ууг]. |
(12.29) |
Компоненты вектора напряжений {о} должны располагаться в той же последовательности.
Матрица упругих характеристик [£>] для трехмерного изотроп ного материала имеет вид
. E ( 1-p)
(1+ |i)(l-2ц)
"1 p/(l—p) |
jx/(1 —p) |
0 |
0 |
0 |
1 |
p/(l —p) |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 —2ц |
0 |
0 |
|
|
2(1-ц ) |
||
|
|
1—2p |
|
|
|
|
|
о |
|
Симметрично |
|
2(1 — p) |
||
|
1 —2p |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
2(1-p ) |
15*
Вектор начальной деформации |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
{е0}=аА 7’ |
1 |
(12.31) |
О |
||
|
О |
|
|
О |
|
Вычисление интегралов, определяющих |
матрицы элементов, |
|
не составляет труда, поскольку [В] |
и ;[£>] содержат только посто |
янные члены и, следовательно, могут быть вынесены за знак ин теграла. Для матрицы жесткости элемента имеем
[ДО]—Г[В\т[£>] [В] dV=[B]T [D\ [В] j dV=[B]T1£>] [В] V. (12.32)
Перемножение матриц выполняется ЭВМ. Вектор-столбец {/И} представляется суммой трех интегралов, после вычисления кото рых имеем
Ж |
|
|
|
|
Рх |
|
У |
|
|
|
|
Ру |
|
эе |
|
1 |
|
|
Pz |
|
|
|
|
Рх |
|
||
У |
|
1 |
|
|
Ру |
|
£ |
. оУ£(АГ)гв1Т |
1 |
, |
% |
Pz |
(12.33) |
г |
+ 1 —2р |
0 |
1 |
3 |
Рх |
|
У |
|
0 |
|
|
Ру |
|
X |
|
0 |
|
|
Pz |
|
г |
|
|
|
|
0 |
|
У |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Из первого вектор-столбца видно, что объемные силы распределя ются поровну между четырьмя узлами элемента. Второй векторстолбец, соответствующий тепловому расширению материала, сохранен в виде произведения матриц, которое будет вычислять ЭВМ. Как видно из последнего вектор-столбца, поверхностные на грузки распределяются поровну между тремя узлами стороны элемента, к которой приложены эти нагрузки. В формуле (12.33) предполагается, что указанная сторона определяется узлами i, / и k, a Siik — ее площадь. Последние три члена в вектор-столбце рав ны нулю, потому что они связаны с интегралом / NtdS, a Nt равно
нулю на этой стороне. Расположение нулевых членов в столбце
зависит от того, к какой стороне элемента приложены поверхност ные нагрузки. Если поверхностные нагрузки действуют более чем на одной стороне элемента, в выражении для {f(e)} появятся до полнительные вектор-столбцы.
12.4. Осесимметрические задачи теории упругости
Важный класс задач теории упругости включает задачи, в ко торых рассматриваются тела вращения при осесимметричном на гружении. Хотя такие тела и являются трехмерными, но ни их гео метрия, ни условия нагружения не зависят от азимутальной коор динаты. Поэтому при решении может быть использован тот же подход, что и к двумерным задачам. Осесимметричный треуголь ный элемент, полученный вращением треугольного симплекс-эле мента, образует треугольный тор.
Уравнения для элемента составляются почти так же, как в предыдущих трех разделах. Необходимо записать несколько новых соотношений, потому что удобнее использовать компоненты тензо ров напряжения и деформаций в цилиндрической системе коорди нат. Здесь представлены основные величины [1]: компоненты век тора напряжений
{tf}T = [°>r |
<*ее |
°гг TJ , |
(12.34) |
компоненты вектора деформаций |
|
|
|
(е}г = [е гг |
е00 |
уГ2]. |
(12.35) |
Соотношения связи между деформациями и перемещениями име ют вид
Схематически компоненты 'тензора напряжений показаны на фиг. 12.3. Заметим, что кольцевое нормальное напряжение а00 и деформация ее0 также используются в расчетах.
Предполагая материал изотропным, запишем матрицу упругих характеристик
1—ц 1—ц
1 — 2ц
О О О
и вектор начальной деформации, вызванной тепловым воздейст вием,
(1
{е0}=аД Г
1
1 •
0
Поле перемещений внутри элемента аппроксимируется соотно шениями, идентичными (12.14), за исключением того, что функции
Фиг. 12.3. К/ *.г.»енты напряжений в осесимметрических задачах.
формы теперь кыражаются через г и z, а перемещения обознача ются буквам»' :/ и w. Итак, для перемещений имеем
'Nt 0 |
0 |
Nk |
0 |
.0 |
0 N, |
0 |
(12.37) |
N |
Vn-x
К
Дифференцируя (12.37) и используя соотношения связи между де формациями и перемещениями (12.36), получаем
|
|
bt |
О |
bj |
0 |
bk |
о |
и* |
|
|
|
о |
«I |
0 |
|
О |
ck |
|
|
ezz |
1 |
с) |
U2}- 1 |
|
|||||
Ni_ |
Nj_ |
|
|
(12.38) |
|||||
еев |
— 2Л |
О |
0 |
|
|
u v |
|||
г |
Г |
|
|
|
|||||
'r z |
, |
С |
bt |
с) |
bj |
ck |
bk |
Uu-I |
|
, У |
|
V,k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица коэффициентов в (12.38) соответствует [В], так как
{е} = [ Я ] № Вычисление интегралов, определяющих матрицы элементов, не
сколько сложнее, чем это было в одномерных, двумерных и трех мерных задачах. Матрица [В] содержит теперь коэффициенты, являющиеся функциями координат, и не может быть вынесена за знак интеграла.
Матрицу жесткости можно определить, вычислив [В] по зна чениям г и z в центре элемента. Такой способ позволяет выносить
матрицу [В] из-под интеграла: |
|
|
|
[£<*»]= [В]Г [D][B] |
\dV. |
|
|
|
|
V |
|
Учитывая, что объем элемента дается формулой |
|
||
V= |
2ъгА, |
|
|
где А — площадь поперечного |
сечения |
элемента, |
получаем для |
[&(е)] окончательное выражение: |
|
|
|
[№\ = [В]Т [D]{B\2n~A. |
(12.39) |
Черта над [В] указывает на приближенное значение. Формула (12.39) приближенная, но она дает приемлемые результаты, если разбиение на элементы согласуется с ожидаемым распределением напряжений, т. е. в области с большими значениями градиентов напряжений используются малые элементы и т. д.
Вектор-столбец, связанный с тепловым расширением, опреде ляется точно так же, поскольку под интегралом стоит матрица [В].
Приближенное соотношение получается вычислением [В] по зна
чениям г и г для данного элемента. Приведем окончательный ре зультат:
1
аЕ(АТ) |
—т |
1 |
2тсгД |
(12.40) |
{$>) = (1-2(1) |
[Б{ |
1 |
О
Объемный интеграл от объемных сил может быть проинтегри рован точно с использованием L-координат или приближенного