1237
.pdfСПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Аляев Ю.А., Тюрин С.Ф.Дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 357 с.
2.Тюрин С.Ф., Аляев Ю.А. Дискретная математика: практическая дискретная математика и математическая логика. – М.: Финансы
истатистика, 2010. – 394 с.
3.Тюрин С.Ф., Ланцов В.М. Дискретная математика & математическая логика. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-
та, 2013. – 271 с.
4.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программиста. –
СПб.: Питер, 2001. – 502 с.
5.Дискретная математика [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 29.06.14).
6.Задача о Кёнигсбергских мостах [Электронный ресурс]. – URL: http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf (дата обращения: 27.06.14).
7.Законы Кирхгофа [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E0%E2%E8%EB%E0_%CA%E8 %F0%F5%E3%EE%F4%E0 (дата обращения: 28.06.14).
8.Frank_Harary [Электронный ресурс]. – URL: http://en. wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 26.06.14).
9.Зыков А.А. [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia. org/wiki/%C7%FB%EA%EE%E2,_%C0%EB%E5%EA%F1%E0%ED% E4%F0_%C0%EB%E5%EA%F1%E0%ED%E4%F0%EE%E2%E8%F7 (дата обращения: 30.06.14).
10.Денеш Кёниг [Электронный ресурс]. – URL: http://ru. wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 25.06.14).
11.Проблема четырёх красок [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%EE%E1%EB%E5%EC%E0_%F7 %E5%F2%FB%F0%B8%F5_%EA%F0%E0%F1%EE%EA (дата обращения: 22.06.14).
12.Теорема Кёнига [Электронный ресурс]. – URL: (комбинато-
рика) http://ru.wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 24.06.14).
111
13.Теорема Эйлера для многогранников [Электронный ре-
сурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Эйлера_для_
многогранников (дата обращения: 20.06.14).
14.Фуллерен [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia. org/wiki/%D4%F3%EB%EB%E5%F0%E5%ED (дата обращения: 21.06.14).
15.Куратовский Казимир [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 30.06.14).
16.Теорема Куратовского – Понтрягина [Электронный ре-
сурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%EB%E0%ED%E0% F0%ED%FB%E9_%E3%F0%E0%F4 (дата обращения: 10.06.14 г.).
17.Понтрягин Л.С. [Электронный ресурс]. – URL: http://ru. wikipedia.org/wiki/%CF%EE%ED%F2%F0%FF%E3%E8%ED,_%CB% E5%E2_%D1%E5%EC%B8%ED%EE%E2%E8%F7 (дата обращения: 11.06.14).
18.Гамильтон У. [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E0%EC%E8%EB%FC%F2%EE%ED, _%D3%E8%EB%FC%FF%EC_%D0%EE%F3%FD%ED (дата обращения: 12.06.14).
19.Гамильтонов граф [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C3%E0%EC%E8%EB%FC%F2%EE%ED %EE%E2_%E3%F0%E0%F4 (дата обращения: 13.06.14).
20.GRaph INterface (GRIN) [Электронный ресурс]. – URL: http://graph-software.narod.ru/main.html (дата обращения: 29.06.14).
21.Осипова В.А. Основы дискретной математики: учеб. посо-
бие. – М.: ФОРУМ: Инфра – М., 2006. – 160 с.
22.Тюрин С.Ф. Надёжность систем автоматизации: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 262 с.
23.Канцедал С.А. Дискретная математика: учеб. пособие. – М.:
ФОРУМ: Инфра – М, 2007. – 224 с.
24.Осипова В.А. Основы дискретной математики: учеб. посо-
бие. – М.: ФОРУМ: Инфра – М, 2006. – 160 с.
25.GRaph INterface (GRIN) [Электронный ресурс]. – URL: http://graph-software.narod.ru/main.html (дата обращения: 29.06.14).
112
26.Коды Прюфера [Электронный ресурс]. – URL: http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%B4% D1%8B_%D0%9F%D1%80%D1%8E%D1%84%D0%B5%D1%80%D0 %B0 (дата обращения: 11.06.14).
27.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: учеб. пособие для вузов. – М: Энергия, 1972. – 376 с.
28.Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики: учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Энерго-
атомиздат, 1987. – 496 с.
29.Зыков А.А. [Электронный ресурс]. – URL: http://ru.wikipedia. org/wiki/%C7%FB%EA%EE%E2,_%C0%EB%E5%EA%F1%E0%ED% E4%F0_%C0%EB%E5%EA%F1%E0%ED%E4%F0%EE%E2%E8%F7 (дата обращения: 30.06.14).
30.Савин А. Ханойская башня [Электронный ресурс]. – URL: http://ipuzzles.ru/tower-of-hanoi/savin-tower-of-hanoi/ (дата обращения: 17.06.2015).
31.Икосаэдрическая игра и Ханойская башня [Электронный ре-
сурс]. – URL: http://alexlat.ucoz.ru/publ/matematika/matematicheskie _igry/ikosaehndricheskaja_igra_i_khanojskaja_bashnja/218-1-0-1372.
113
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Нестрогие размышления о цикломатическом числе графа и теореме Эйлера
Куб
Вот горячо любимый некоторыми преподавателями и студентами куб – «кубик» соседних чисел (рис. П1.1).
Проверим выполнение соотношения теоремы Эйлера для выпуклых многогранников. Число вершин S = 8, число граней H = 6, число рёбер A = 12.
По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 8 + 6 = 12 + 2. Всё сходится!
А цикломатическое число:
|
λ(G) = A – S + 1 = 12 – 8 + 1 = 5. |
|
|
Но позвольте, как же 5, когда у нас по |
|
Рис. П1.1. Куб сосед- |
каждой грани цикл?! А их 6. |
|
Но то в пространстве трёхмерном… |
||
них чисел (решётка |
«Сносим» вершину 2 ниже вершины 0 |
|
Хассе) |
||
(рис. П 1.2–П 1.5). |
||
|
Рис. П1.2. Разворачивание куба |
Рис. П1.3. Разворачивание куба |
на плоскости |
на плоскости 2 |
114 |
|
Рис. П1.4. Разворачивание куба |
Рис. П1.5. Разворачивание куба |
на плоскости 3 |
на плоскости 4 |
Это мы хотим «вывернуть» куб на плоскость… Вывернули (рис. П1.6).
Рис. П1.6. Развертка куба на плоскости
Теперь его раскрасим (рис. П1.7).
Рис. П1.7. Развертка куба на плоскости в красках
115
Рис. П1.8. Развертка куба на плоскости, вид сверху
Действительно, пять циклов! А где шестой – ба! Да это – всё, что вне этих пяти! А куб-то – плоский граф!
Иначе изобразим куб, вот так: цикл, соответствующий нижней грани, содержит внутри себя 5 других циклов, поэтому его цикломатическое число и не учитывает
(рис. П1.8).
Это как пирамида ацтеков (майа?).
Пирамида
А вот пирамида египетская (рис. П1.9)
Здесь 5 вершин, 8 рёбер, получаем: 8 – 5 + 1 = 4,
λ(G) = A – S + 1 = 8 – 5 + 1 = 4.
Так и есть: 4 цикла, цикл нижней грани – внутри себя содержит 4 цикла и не учитывается. Но граней на одну больше, чем циклов, т.е. 5. Число вершин S = 5. Число граней H = 5. Число рёбер A = 8. По теореме
Рис. П1.9. Развертка Эйлера S + H = A + 2, т.е. 5 + 5 = 8 + 2.
пирамиды на плоскости, вид сверху
Шар
Сколько вершин у шара? Как бы одна, хотя, может быть, и ни одной…Сколько рёбер? Для одной вершины – одно, это типа петли… Петля в пространстве – это пузырь-шар...
S + H = A + 2, т.е. 1 + 1 = 1 + 2.
Нет, не получается, тогда вроде как ни одного ребра для пространственной фигуры:
1 + 1 = 0 + 2.
116
Сделаем проекцию шара на плоскость – появляется ребро
(рис. П1.10).
Рис. П1.10. Развертка шара на плоскости
Одно ребро (петля), одна вершина – один цикл.
λ(G) = A – S + 1 = 1 – 1 + 1 = 1.
Две вершины – два ребра (рис. П1.11).
Рис. П1.11. Развертка шара на плоскости – две вершины
Но цикл всё равно один,
λ(G) = A – S + 1 = 2 – 2 + 1 = 1.
А в пространстве?
Вроде как киндер-сюрприз из двух половинок… Две вершины, две грани, два ребра:
S + H = A + 2, т.е. 2 + 2 =2 + 2.
Тогда всё сходится! А так один цикл (рис. П1.12).
λ(G) = A – S + 1 = 3 – 3 + 1 = 1.
Может ли такое быть на шаре? Вид сверху (рис. П1.13).
117
Рис. П1.12. Развертка шара |
Рис. П1.13. Развертка шара на плос- |
на плоскости – три вершины |
кости – три вершины, три грани |
Тогда сколько граней? Типа «половинка половинки»? Три вершины, три грани, четыре ребра:
S + H = A + 2, т.е. 3 + 3 = 4 + 2.
Да, велик товарищ Эйлер!
λ(G) = A – S + 1 = 4 – 3 + 1 = 2.
Хорошо, а вот мячик из скольких сегментов (рис. П1.14)?
Рис. П1.14. Развертка шара на плоскости – две вершины, восемь граней
Видим 4, да не видим 4 – всего 8, 8 граней – 8 сегментов. Рёбер? 8 рёбер, вершин, однако, всего 2:
S + H = A + 2, т.е. 2 + 8 = 8 + 2.
Но на плоскости – 5 ребер!
λ(G) = A – S + 1 = 5 – 2 + 1 = 4.
118
Проективная плоскость Фано
О такой плоскости шла речь в курсе дискретной математики. Рассмотрим матрицу инцидентности (табл. П1.1).
Таблица П.1.1 Матрица инцидентности для плоскости Фано
Обратите внимание, что каждая строка получена особой перестановкой – циклическим сдвигом исходной строки влево!
Это не граф, где бинарные отношения, это тернарные отношения, т.е. это модель множества троек Т = {(1,2,4), (1,3,7), (2,6,7), (1,5,6), (4,5,7), (3,4,6), (2,3,5)} (рис. П1.15).
Рис. П1.15. Граф проективной плоскости Фано
119
Каково цикломатическое число?
Вершины S: 1,2,3,4,5,6,7. Рёбра A: (1,5),(1,7),(1,2),(2,5),(5,7),(2,7) (5,6),(6,7),(6,3),(7,3),(3,5) (3,2),(3,4),(4,7),(4,2)
Итак, рёбер A = 15, вершин S = 7
λ(G) = A – S + 1 = 15 – 7 +1 = 9.
По существу, тройки Т – это линии (прямые), одна из которых (2,3,5) – круг, т.е. это прямые как бы на шаре. А если это так, то сколько граней?
Уберём пока круг (2,3,5) – пирамида почти получается, вершина – это как бы 7 (рис. П1.16).
Число вершин S = 7, число граней H = 7 (одна – основание), число рёбер A = 12. По теореме Эйлера S + H = A + 2; т.е. 7 + 7 = 12 + 2.
Круг (2,3,5) даёт 3 дополнительных ребра на грани основания (1,6,4) – теперь будет 4 грани вместо одной (рис. П1.17).
Рис. П1.16. Пирамида проективной |
Рис. П1.17. Пирамида проективной |
плоскости Фано без круга (2,3,5) |
плоскости Фано с кругом (2,3,5) |
|
на нижней грани |
Было (1,6,4), стало (1,2,5), (3,5,6), (2,3,4) и сердцевинка (2,3,5).
Тогда число вершин S = 7, число граней H = 10, число рёбер
A = 12 + 3 = 15. По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 7 + 10 = 15 + 2.
120