1222
.pdff Div (бр + Cc : бе') •bu'dV = |
— |
f б е ': (6p + |
О : бе) dV = O.f; (4.28) |
|||
V |
~ |
~ |
|
V |
~ |
|
Используя формулы (4.26), (4.27), получим |
|
|||||
У iP: 6i ' — |
: бр) dV = |
J ( e ': Cc : бе — б е ': C‘ : e)dV. |
(4.29) |
|||
В силу симметрии тензора Сс: |
|
|
|
|
||
|
|
Cijki = |
Ccklij |
|
(4.30> |
|
интеграл, |
стоящий |
в правой |
части (4.29), |
равен нулю. Поэтому |
||
равен нулю и интеграл, стоящий |
в левой части (4.29) и в правой |
части (4.25). Таким образом справедлива формула (4.23), что и требовалось доказать.
Сформулируем |
теперь |
вариационный |
принцип, являющийся: |
||
обобщением вариационного |
принципа |
Хашина—Штрикмана. |
|||
Этот принцип состоит из двух утверждений. |
|
имеет макси |
|||
1. Функционал |
(4.22) |
в положении равновесия |
|||
мум (т. е. стационарная точка |
функционала (4.22) |
является точ |
|||
кой максимума), |
если оператор |
&р (4.11) |
имеет положительны" |
«касательный модуль».
2. Функционал (4.22) в положении равновесия имеет минимум
(его стационарная точка является точкой |
минимума), если |
опера |
||||||
т о р ^ (4.11) имеет отрицательный |
«касательный модуль». |
|||||||
Сначала докажем первое утверждение. Для этого от выраже |
||||||||
ния (4.24) возьмем функциональный дифференциал: |
|
|||||||
д а (бр) = |
f ( Sp : бе' — бр : |
: Ьр\ d,V, |
(4.31) |
|||||
- |
J \ |
- |
~ |
дрдр |
~ ) |
|
||
|
V |
|
|
|
~ |
- |
|
|
или, используя равенства |
(4.28) |
и (4.8), |
|
|
|
|||
д а ( б р ) = — f |
f бе: О : бе + |
бр : |
---- |
; бр ^ dV. |
(4.32) |
|||
~ |
у |
\ ~ |
~ |
|
~ |
~ ) |
|
|
J |
|
дрдр |
|
|||||
В силу того что Сс> 0 |
и по условию |
|
теоремы |
«касательный мо |
дуль» оператора &гр положителен, а следовательно и «касатель ная податливость» положительна, из (4.32) вытекает
D2< f m < |
0, |
(4.33) |
и Утверждение 1 доказано. |
2 рассмотрим |
вспомога |
Для доказательства утверждения |
||
тельный интеграл |
|
|
/ , = f 6р : : bpdV |
(4.34) |
V ~
Если обозначим тензор, стоящий в круглых скобках выражения (4.16), через q:
|
|
q = |
p-\-Cc :e', |
|
|
|
|
(4.35) |
||
то в силу (4.16) и (4.17) этот |
тензор q^T 0, |
а поэтому |
для нею |
|||||||
♦справедливо тождество (4.18). Подставляя |
(4.35) в (4.34), |
имеем |
||||||||
1г = |
\(6q — Cc : 6 е '): Jc : {dq — 0 |
. 6е') dV = |
|
|
|
|||||
v |
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
= J (Sq : Jc : 6q — 26е' : бq + 6б' : Сс : 6е') dV = |
|
|
|
|||||||
v ~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
= J (bq: V : bq + 6 е ': С*: 6е') dV. |
|
|
(4.36) |
|||||||
Из сравнения последнего из выражений для Л в (4.36) |
и форму |
|||||||||
лы (4.34) видно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J Ьр: Jc : bpdV > |
J fie': Cc : 6 e W . |
|
|
(4.37) |
|||||
Используя (4.37), получим из (4.32) |
|
|
|
|
|
|||||
|
(Ьр) > - |
J |
6 p : (J‘ |
+ |
|
: bpdV. |
|
|
(4.38) |
|
|
|
v |
|
|
----- |
|
|
|
|
|
Для того чтобы выполнялось условие |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
D2<F(6p)>0, |
|
|
|
|
(4.39) |
|||
в чем и состоит утверждение 2, требуется доказать, что |
|
|
||||||||
|
JC+ |
|
= |
j » + *?L < |
о. |
|
|
(4.40) |
||
|
дрдр |
|
|
др |
|
|
|
|
|
|
•Умножим (4.40) |
на положительно |
определенный тензор |
Сс |
|||||||
|
Л + - ^ - : С с < 0 . |
|
|
|
|
(4.41) |
||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
д$р |
|
|
|
* |
|
тензором |
д&Р |
|
||
Тензор ------ является взаимно-обратным с |
де |
|
|
|||||||
др |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д$Р . |
д&Р = д |
|
|
|
|
(4.42) |
||
|
|
др |
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя |
(4.42) в |
(4.41), |
получим, |
используя |
(4.11) |
|||||
(4-9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
др^ |
у де |
|
|
J |
др |
де |
|
|
(4.43) |
|
|
|
|
|
|
т
В силу |
того что оператор & {г, х) |
имеет |
положительный |
«каса |
|||||
тельный модуль», а оператор &р{ъ), а значит |
и &р(р), |
в |
силу |
||||||
предположения — отрицательный касательный |
модуль, |
то |
нера |
||||||
венство |
(4.43) |
очевидно, а |
потому |
справедливо неравенство- |
|||||
(4.39) |
, чем и заканчивается доказательство утверждения |
2. |
|||||||
Упражнение 4.5. Доказать, что для упругой среды, когда опе |
|||||||||
ратор |
^ (в , х) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(е, |
х) = |
С(х):е, |
|
|
|
(4.44> |
|
функционал (4.22) выражается следующим образом: |
|
|
|||||||
|
<f = |
Д - j [tf7: е' + 2р: ег + р: е ' — р: У : p]dV, |
|
(4.45) |
|||||
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
Л'»— [С^]—», СР = С — СС. |
|
|
(4.46). |
||||
|
|
|
|
||||||
Упражнение 4.6. Показать, что для упругой среды функционал |
|||||||||
(4.40) имеет максимум, если |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
С*< С(х), |
|
|
|
|
(4.47> |
|
и минимум, если |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Сс >С(х). |
|
|
|
|
(4.48> |
||
Упражнение 4.7. Доказать, что для упруго-пластической сре |
|||||||||
ды, когда оператор & (е, х) |
имеет вид |
|
|
|
|
||||
|
|
& (е, х) = |
s + |
ст/, |
|
|
|
|
|
|
|
s = q“ (e"'* ) е, |
в = |
К й |
е, |
|
|
(4.49) |
вфунИЦи°нале (4.22) следует положить
оРи
w (р) = |
------------------- + |
f eu (pu, х) dpu, |
(4.50> |
|
IS (К й - X е) |
у |
|
где ев (Р«> х) —функция, |
обратная к функции |
|
|
Ри(®и. х) = (Г„ (е„,х) — 2р% , |
|
||
ец(р„, *) = |
[cf„(е„, х) — 2|»ceJ_1. P = tri>. |
|
|
|
Pa = t r ( p - - l - p / ) 2 |
(4.51 > |
Упражнение 4.8. Показать, что для упруго-пластической среды функционал (4.22) имеет в положении равновесия максимум, если
|
Кс < |
К (х), |
^ < ц Й |
[ 1 - |
со (е„, х ) ------dM(dee“J-v)- |
е, ], |
(4.52) |
||
где со(еи, х) |
— функция пластичности Ильюшина, и минимум, если |
||||||||
|
К с> |
К (*), |
ti'> Ц (X) [ l - |
0) (е„, х ) ------da,^ ’ x) |
виj • |
(4.53) |
|||
Н Е К О Т О Р Ы Е Л И Т Е Р А Т У Р Н Ы Е У К А З А Н И Я |
|
|
|
||||||
§ |
1, § 2. Вариационные принципы теории |
упругости |
имеются |
по |
|||||
|
чти в каждом |
учебнике по теории |
упругости, |
например |
в |
||||
|
[58, 71]. Вариационный принцип Лагранжа для |
теории |
|
ма |
|||||
|
лых упруго-пластических деформаций изложен в [33], вари |
||||||||
|
ационные принципы теории вязкоупругости имеются в [92]. |
||||||||
|
Вариационные принципы для определяющих соотношений в |
||||||||
$ |
операторном виде описываются в [84]. |
|
|
|
84], |
||||
3. Новый |
вариационный |
принцип описан в работах [83, |
|||||||
|
причем в работе [83] имеется ошибка, в результате которой |
||||||||
|
теоремы пункта 4 нельзя считать доказанными. |
|
|
|
§4. Принцип Хашина—Штрикмана [113] для упругих сред по дробно изложен в работе [105].
Г л а в а 3
ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПОЗИТОВ
В этой главе даются различные определения эффективных ха рактеристик МДТТ и доказывается их эквивалентность, дается определение периодических структур. Излагаются основные по ложения теории эффективного модуля, с помощью которой при ближенно решаются задачи МДТТ для физически линейных и не линейных композитов. С помощью вариационных принципов, опи санных в предыдущей главе, устанавливаются границы изменения эффективных характеристик линейных и нелинейных композитов. Упоминаются некоторые распространенные методы определения эффективных характеристик.
§ 1. Эффективные определяющие соотношения
Рассмотрим определяющие соотношения МДТТ (1.1.1) для не однородного тела
|
я *?(*■ *> ■ |
о . о |
В записи Выражения |
(1.1) учтено, что эти определяющие соотно |
|
шения явно зависят |
от координат. Предположим, что |
(1.1) опи |
сывают некоторую модель МДТТ, а потому существует обратная зависимость
е * 9 ( м ) , |
(1.2) |
причем, если материальные функции, соответствующие операто
рам (1.1) и |
(1.2), являются |
разрывными функциями координат, |
|
то мы имеем дело с композитом. |
определимости |
||
Согласно |
Постулату |
макрофизической |
|
А. А. Ильюшина (§ 6 гл. 1) |
эти материальные |
функции в прин |
ципе могут быть найдены на макроскопических образцах, однако может случиться, что таких образцов потребуется огромное ко личество, т. е. Практически невозможно экспериментально опре делить все материальные функции. В этом случае можно попы таться найти неКие «осредненные» материальные функции на об разцах из неоднородного материала, в которых однородное на-
3 Б. Е . r io ^ eApj |
65 |
или просто периодической структурой. Векторы at определяют пе риод этой структуры.
Эффективные определяющие соотношения (1.3), (1.4) могут быть найдены экспериментально, например способами, описанны ми в § 6 гл. 1, на представительных образцах. Можно найти экспериментально и теплофизические характеристики (тензоры теплопроводности, теплового расширения и т. д.).
Эффективные определяющие соотношения (1.3), (1.4) могут быть найдены также и теоретически.
Пусть, например, решается квазистатическая задача МДТТ в
перемещениях, т. е. три уравнения |
(1.2.11) |
относительно трех пе |
ременных щ: |
|
|
& / . /( « ) = |
О |
(1.6) |
(без массовых сил) при выполнении трех граничных условий |
||
ЩU = е?,х,-, |
(1.7) |
где е° — симметричный тензор-константа. Предположим, что обоб
щенное решение задачи (1.6), (1.7) |
(задачи |
А) единственно. Тог |
|||||
да, найдя решение и(х)у по соотношениям Коши |
находим тензор |
||||||
деформаций е(х) |
и по формуле |
(1 .1)— тензор напряжений |
а(я), |
||||
а также средние по объему этих тензоров |
|
|
~ |
||||
<е> = |
-L j е й |
dV, |
<tf> = |
J в(х) dV |
(1.8) |
||
|
V |
|
|
|
V |
|
|
Упражнение 1.1. Доказать, что из соотношений |
Коши (1.2.1) и |
||||||
теоремы Остроградского— Гаусса следует, что |
|
|
|||||
|
= ~ W ^ u‘ni + uini)<®- |
|
(1-9) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Упражнение 1.2. Доказать, что из формулы (1.9) для гранич |
|||||||
ных перемещений (1.7) справедливо равенство |
|
|
|||||
|
|
<б) = |
е». |
С |
|
|
(1.10) |
Из формулы (1.10) вытекает, что решение сформулированной |
|||||||
выше задачи А каждому тензору е° ставит |
в соответствие |
тензор |
|||||
< а > . Закон, по |
которому |
осуществляется |
это |
соответствие, и |
определяет эффективные определяющие соотношения между сред ними напряжениями и средними деформациями:
(а) = /(£ » ). |
(1.11) |
|
Рассмотрим теперь |
квазистатическую задачу МДТТ в напря |
жениях (без массовых |
сил), которая заключается в решении ше- |
|
3* |
|
67 |
тропны, «осредненная» среда (или «размазанная», как ее часто называют), как правило, является анизотропной.
Если операторы (1.1) и (1J2) потенциальны, то существуют та
кие скалярные |
операторы № (е, х) и w(cf, х), что |
выполняются |
|||||
условия (1.1.4)’ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
ЗЩе, х) |
~ |
dw(a, х) |
(1.19) |
||
^ (е ,х ) = |
=— |
де |
— , |
8 (о ,х ) = |
— =------ |
||
------ |
|
|
|
----- |
да |
|
|
Кроме того, согласно (1.1.17) |
|
|
|
||||
Ф(е) = |
] W(e, x)dV==V (W(e, х)), |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( 1.20) |
Ф (cr) = |
J* w(а, х) dV = V {w(а, х) ) , |
|
|||||
|
~ |
v |
~ |
|
~ |
|
|
где V — объем, занимаемый телом |
(композитом). |
|
|||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(W7 (в, я)) = № 0« е )), |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( 1.21) |
|
|
(ку(а, х)> = ш 0(<а>). |
|
|
|||
Из сравнения |
(1.19) |
и (1.3), (1.4) видно, что |
|
||||
< #(*.*)> |
= |
|
= / « ! ) > . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( 1.22) |
Упражнение 1.5. Записав выражение функционального диффе ренциала от Ф (е) и ф(а) (1.20) и используя формулы (1.21), до казать, что можно принять
idW{ej7) |
v _ а г 0((е>) |
||
' |
де |
• |
д(е) |
|
|
|
0.23) |
I dw(a, х) |
\ |
dw0((<y)) |
|
' |
да\ |
' |
а(а) |
Упражнение 1.6. Доказать, используя (1.1.6), (1.20) и (1.21),
что
W0 + w0= (а: е). с |
(1.24) |
Формулы (1.23) доказывают, что |
операторы (1.3) и (1.4) явля |
ются потенциальными: |
|
( 5 > = / « е » |
= dWo«е » |
д(г)
(1.25)
dw0((а))
(e> = g((a)) =
д{а)
Упражнение 1.7. Доказать, что для краевой задачи А, сфор мулированной при определении соотношений (1.3), лагранжиан имеет вид
L = Ф(е) = {W (s ,x ))V = W0( ( s ) ) V = L0. |
(1.26) |
Упражнение 1.8. Доказать, что для краевой задачи Б, сфор мулированной при определении соотношений (1.4), кастильяниан имеет вид
Ж = - < p (t f)= (w(a, x ) ) V = |
w0( ( a ) ) V = - W 0. £> |
(1.27) |
|||||
Заметим, что |
из определения эффективных определяющих со |
||||||
отношений следует, что для упругой среды |
|
|
|||||
(W (в. х)) = |
-L |
(в •С (х) :в> |
= |
Y |
<в>: h : <е) s |
W„ ( ( e ) ) , |
|
{w(a,x)) = |
-^ |
<CT:J (X) : O) |
= |
- i - <£> :H : (a) = |
w0((a )), |
(1.28) |
где h — так называемый эффективный тензор модулей упругости, а Н — эффективный тензор упругих податливостей. Как уже от мечалось, эти тензоры инвариантны относительно преобразований, характеризующих класс анизотропии, вообще говоря, иного вида,
нежели тензоры С(х) |
и J(x). |
|
|
||||
Из соотношений |
(1.28) |
и (1.25) получаем |
|
||||
|
|
|
< £ > = (C (T ):e ) |
= h :( e ) , |
|
||
|
|
|
(e> |
= |
(J (x ):ff) |
= H :{a > . |
(1.29) |
Для |
линейного |
вязкоупругого |
тела, используя |
обозначения |
|||
(1.4.40), |
получим |
|
|
|
t t |
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
( W (е, х)) = |
± |
j |
£ (de(t) : R ( t — r , x ) : de( t)> |
= |
0 0
t t
= Y J J < * (0 > : h « - T ) : (de(r)> - V , « e > ) ,