1005
.pdfЗдесь yk = y(tk); tk = k∆t; L – N – число точек осреднения характеристик; xk−i = x(tk−i ) ; tk−i = (k −i)∆t; N – 1 – максимальный временной сдвиг.
В матричной форме уравнение (1.10) имеет следующий
вид:
|
|
|
|
|
|
Rxy = Rxx W , |
|
|
(1.13) |
|
где Rхх – симметричная матрица размера N×N: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Rxx = |
|
|
|
|
|
|
Rxx (0,0) |
Rxx (0,1) |
Rxx (0,2) |
... |
Rxx (0, N −1) |
|
|
||
|
|
Rxx (0,1) |
Rxx (1,1) |
Rxx (1,2) |
... |
Rxx (1, N −1) |
|
|
||
|
|
|
(1.14) |
|||||||
= |
|
Rxx (0,2) |
Rxx (1,2) |
Rxx (2,2) |
... |
Rxx (2, N −1) |
|
, |
||
|
|
|||||||||
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
R |
|
(0, N −1) |
R (1, N −1) |
R (2, N −1) |
... |
R (N −1, N −1) |
|
|
|
|
|
xx |
|
xx |
|
xx |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rxy и W – матрицы-векторы. Причем |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
= R |
(0) |
R (1) ... |
R |
(N −1) T ; |
|
(1.15) |
|
|
|
xy |
|
xy |
xy |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
W =[W (0) |
W (1) ... |
W (N −1)]T . |
|
(1.16) |
Точность идентификации, осуществляемой по уравнению (1.8), достаточно велика.
Оценка точности статистической идентификации динамического объекта
Оценить точность статистической идентификации динамического объекта путем определения относительной среднеквадратической погрешности идентификации по формуле
|
|
N −1 |
ˆ |
|
|
|
= |
∑ (ωi |
−ωi ) |
|
|
σ |
i=0 |
|
, |
(1.17) |
|
N −1 |
|
||||
W |
|
2 |
|
|
|
|
|
∑ |
ω |
|
|
|
|
i=0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
31
где ωi и ωˆ i – значения истинной и восстановленной ИПФ; N –
количество вычисленных значений ИПФ. Введем обозначение
∞ |
|
z(t) = ∫ ω(τ)x(t −τ)dτ. |
(1.18) |
0 |
|
Тогда соотношение (1.18) примет вид |
|
y(t) = z(t) +n(t). |
(1.19) |
Обозначим через σ2z дисперсию сигнала z(t) |
на выходе |
динамического объекта, а через σ2n – дисперсию случайной
помехи n(t). Эти дисперсии могут быть определены по формулам
σ2 |
= |
|
1 |
|
L |
(z − z )2 |
|
|
|||||
|
|
∑ |
, |
(1.20) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
z |
|
|
|
L i=1 |
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
σ2 |
= |
1 |
|
L |
(n −n )2 |
|
|
||||||
|
∑ |
, |
(1.21) |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
L i=1 |
i |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
1 |
|
L |
|
|
|
n = |
1 |
L |
|
|
||
|
|
∑ z |
; |
|
∑ n . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
L i=1 |
|
i |
|
|
L i=1 |
i |
||||||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
y |
= |
σn , |
|
|
|
(1.22) |
||
|
|
|
|
|
|
|
σz |
|
|
|
|
где sу – отношение шум – выходной сигнал, которое задается как отношение среднеквадратических значений шума и выходного сигнала.
Среднеквадратическая погрешность идентификации σω динамического объекта зависит от величины sy, т.е. имеет место функциональная зависимость вида
σω = f1 (sy ). |
(1.23) |
32
Кроме того, σω зависит от величины L: |
|
σω = f2 (L). |
(1.24) |
Величина σω возрастает с увеличением sy и убывает с увеличением L. Величина L связана с интервалом наблюдения TN реализация процесса x(t) приближенным соотношением
TN ≈ L∆t. |
(1.25) |
Структура программного обеспечения
Укрупненная блок-схема программы статистической идентификации динамического объекта показана на рис. 1.3. В табл. 1.1 приведены некоторые переменные и массивы, а также идентификаторы этих переменных и массивов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
Рис. 1.3. Блок-схема программы статистической идентификации динамического объекта
|
|
Таблица 1.1 |
|
Идентификаторы переменных |
|||
|
|
|
|
|
Обозначение |
||
математическое |
|
в программе |
|
N |
|
N |
|
T |
|
T |
|
∆t |
|
DT |
|
L |
|
L |
|
σn |
|
SN |
|
σz |
|
SZ |
|
σw |
|
SW |
|
sy |
|
SY |
|
ωi |
|
W[I] |
|
ˆ |
|
W0[I] |
|
ωi |
|
|
33
Дадим краткое описание блок-схемы программы. Назначение отдельных блоков программы следующее:
блок 1 – ввод исходных данных;
блок 2 – чтение массива xi , i =1, L, из файла “DD1.PAS”;
блок 3 |
– вычисление массива wi ,i = |
|
|
|
||
0, N −1 ; |
|
|||||
блок 4 |
– вычисление zk ,k = |
|
, по формуле |
|
||
1, L |
|
|||||
|
N −1 |
|
||||
|
zk = ∑ωi xk−i |
(1.26) |
i=0
(формула (1.26) есть приближенная реализация на ЭВМ фор-
мулы (1.18);
блок 5 – формирование с помощью датчика псевдослучайных чисел массива ni ,i =1, L , где ni = n(ti ), ti =i ∆t, случайных чисел массива ni ,i =1, L , где ni = n(ti ), ti =i ∆t;
блок 6 – формирование массива yk = zk +nk , k =1, L;
блок 7 – вычисление Rxy(i) по формуле (1.11); блок 8 – вычисление Rxx(i, j) по формуле (1.12);
блок 9 – решение уравнения (1.13) и определение W; блок 10 – вычисление σω, σz, σn, sy по формулам (1.17),
(1.20), (1.21), (1.22);
блок 11 – запись результатов расчета по программе ident
в файл “DD1.PAS”.
Порядок выполнения практической работы
1.Ознакомиться с руководством по выполнению данной практической работы.
2.Получить у преподавателя вариант задания (табл. 1.2).
3.Запустить на выполнение программу ident, находящую-
ся в файле “LN19.PAS”.
4.Ввести из табл. 1.2 исходные данные: номер варианта
задания T, параметры N, ∆t, L, sy.
34
5.Выполнить расчеты по программе ident, содержащейся
вфайле “LN19.PAS”.
|
ˆ |
|
|
|
|
6. |
i = 0, N, а также |
||||
Вывести на печать массивы ωi, ωi , |
значения параметров T, N, ∆t, L, Sy, σn, σz, σω (распечатать содержимое файла “DD1.PAS”).
7.Пункты 3–6 повторить при Sy = 0,02, Sy = 0,05, Sy = 0,01.
8.Пункты 3–7 повторить при L = 1000.
9.Построить графики истинной и восстановленной ИПФ динамического объекта при L = 500, Sy = 0,01.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2 |
|
|
|
Варианты заданий |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры |
|
|
|
|
|
Вариант |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИПФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динамиче- |
ω(τ) = ω |
(τ) |
|
ω(τ) = ω |
(τ) |
ω(τ) = ω |
(τ) |
|
ω(τ) = ω |
(τ) |
|
ского |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объекта ω(τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
26 |
|
|
|
26 |
|
26 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
0,2 |
|
|
|
0,2 |
|
0,2 |
|
|
0,2 |
|
L |
500 |
|
|
|
500 |
|
500 |
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sy |
0,01 |
|
|
|
0,01 |
|
0,01 |
|
|
0,01 |
|
ω (τ) = e−0,8τ sin(1,118τ); |
ω |
(τ) = 0,78e−0,58τ −0,29e−5,8τ; |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ω (τ) =(4τ−5)e−τ |
+6e−2τ; |
ω (τ) = e−0,8τ cos |
(1,118τ). |
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
10. Построить график зависимости σω = f1 (Sy ) при L =
=500 и при L = 1000.
11.Оформить отчет по практической работе.
35
Содержание отчета
1.Цель работы.
2.Краткие теоретические сведения.
3.Исходные данные.
4.Графики истинной и восстановленной ИПФ динамического объекта при L = 500, Sy = 0,01.
5. Графики зависимости σω = f1(Sy ) при L = 500 и при
L = 1000.
6. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1.Постановка задачи стохастической идентификации динамического объекта.
2.Уравнение Винера – Хопфа.
3.Факторы, обусловливающие некорректность задачи идентификации.
4.Метод минимума статистической неопределенности.
5.Чем характеризуется точность статистической идентификации динамического объекта?
Список литературы
1.Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. – Л.: Энергоатомиздат, 1989. – 280 с.
2.Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. – М.: Энергия, 1974.
3.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления: оценивание параметров и состояния. – М.: Мир, 1975. – 683 с.
4.Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользова-
теля. – М.: Наука, 1991. – 432 с.
5.Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. – М.: Энергия, 1975. – 375 с.
36
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 Цифровые фильтры и их применение при мониторинге
безопасности сложного объекта
Цель работы – изучить теоретические сведения о цифровой фильтрации, выполнить фильтрацию измеренного датчиком сигнала, оценить точность (ошибку) фильтрации.
Теоретические сведения
Цифровые фильтры широко применяются в технических приложениях. Это связано с тем, что статистическая обработка измерительной информации позволяет оценивать параметры состояния процессов управления и по полученным оценкам синтезировать оптимальные автоматизированные и автоматические системы управления. Фундаментальные теоретические исследования в области цифровой фильтрации, а также большие возможности современных ЭВМ создали предпосылки для широкого использования цифровых фильтров в технических задачах различных прикладных направлений.
Цифровые фильтры могут применяться при решении задачи статистической идентификации объекта (технологического процесса). Структурная схема идентификации объекта показана на рис. 2.1, где V(t) – погрешность измерения датчиком входного сигнала x(t); n(t) – погрешность измерения датчиком выходного сигнала y(t); xИ(t) – измеренное значение x(t), yИ(t) – измеренное значение y(t); ω(t) – весовая функция объекта; xˆ(t) – оценка сигнала x(t); yˆ(t) – оценка сигнала y(t); ωˆ (t) –
оценка весовой функции ω(t); ФНЧ – фильтр нижних частот. При этом V(t) и n(t) являются случайными функциями времени.
Цифровые фильтры могут использоваться в системах управления технологическими процессами (СУТП). Структурная схема СУТП приведена на рис. 2.2, где u(t) – управляющее воздействие; W(t) – случайное возмущающее воздействие на
37
x(t)
V(t) |
+ |
|
|
|
+ |
xИ(t)
Объект (технологический процесс), ω(t)
Фильтр1 xˆ(t) (ФНЧ1)
|
n(t) |
|
|
|
y(t) |
+ |
|
yИ(t) |
|
|
|
|||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фильтр2 |
|
|
|
|
(ФНЧ2) |
|
yˆ(t) |
|
|
|
|
Получение оценки ω(t) (идентификация)
ωˆ (t)
Рис. 2.1. Структурная схема идентификации объекта
W(t)
|
|
|
|
n(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε(t) |
Объект |
|
+ |
|
|
x(t) + |
управления |
y(t) + |
yИ(t) |
|||
|
||||||
|
|
(технологический |
|
|
|
–процесс)
Фильтр (ФНЧ)
u(t) |
Управляющее |
ˆ |
y(t) |
||
|
устройство |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. Управление технологическим процессом
объект управления; ε(t) – ошибка СУТП; x(t) – задающее воздействие.
Цифровые фильтры могут использоваться в системах связи общего назначения. Эти системы охватывают огромные области технических приложений и широко применяются в теле-
38
видении, радиовещании, телефонии, сетях ЭВМ, авиации, геодезии, метеорологии и др. Для исключения искажений, обусловленных влиянием внешних и внутренних помех, и повышения надежности связи используются цифровые фильтры в трактах передачи и приема сообщений. Задача фильтрации состоит в том, чтобы оценка сообщений xˆ(t) наилучшим обра-
зом соответствовала передаваемому сообщению x(t). В этом случае потребитель примет сообщение с минимальными искажениями.
Типовая структурная схема системы связи общего назначения приведена на рис. 2.3. Источник сообщения вырабатывает сообщение x(t), которое поступает на вход передатчика. В передатчике сообщение преобразуется в сигнал S(t). Преобразования, выполняемые передатчиком, искажаются погрешностями, возникающими при кодировании, модуляции и передаче сигнала. Для исключения влияния помех передатчика и минимизации искажений при кодировании и модуляции в системе связи используется фильтр, формирующий на выходе улучшенный сигнал S*(t). Сигнал S*(t) по линиям связи передается на вход приемника. Однако при этом он снова подвергается искажениям, возникающим в линии связи, используемой для передачи сообщений из-за изменений окружающей среды, а также в самом приемнике при декодировании, демодуляции и приеме сигнала (шум приемника). Чтобы избежать этого, на выходе приемника устанавливают фильтры, обеспечивающие однозначное соответствие передаваемого и принимаемого сообщений.
|
|
|
|
|
S(t) |
|
|
S*(t) |
|
y(t) |
|
|
z(t) |
|
|
|
|
|
||
|
|
Передат- |
Фильтр1 |
Линия |
Прием- |
|
Фильтр2 |
|
|
|||||||||||
|
|
чик |
|
|
|
связи |
|
|
|
ник |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
VП(t) |
|
|
VП(t) |
|
VПР(t) |
|
xˆ(t) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Источник |
|
|
Источник |
|
|
|
Источник |
|
|
Источник |
|
Потреби- |
|||||||
сообщения |
|
|
помех |
|
|
|
помех |
|
|
помех |
|
тель |
Рис. 2.3. Структурная схема системы связи общего назначения
39
Цифровые фильтры могут также применяться для обработки экспериментальных данных в геофизике, геологии и других естественных науках, которые связаны с проведением экспериментов в натурных и полевых условиях (обработка данных идет непосредственно в процессе эксперимента). Цифровые фильтры можно использовать для подавления помех при обработке речевых сигналов, радио- и гидролокационных сигналов, для обработки данных в биологии, медицине и т.д.
Теоретические сведения о цифровой фильтрации
Общее соотношение между процессами x(t) на входе и y(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки вида
∞ |
|
y(t) = ∫ h(τ)x(t −τ)dτ, |
(2.1) |
−∞
где h(τ) – весовая функция фильтра. Интеграл в интегральном уравнении (2.1) есть свертка функций h(t) и x(t). Частотная характеристика фильтра представляет собой преобразование Фурье (F-преобразование) функции h(τ).
∞ |
|
H ( f ) = F {h(t)} = ∫ h(t)e− j 2πft dt, |
(2.2) |
−∞
где f – частота, Гц.
Если h(τ) = 0 при τ < 0, то соотношение (2.2) примет вид
∞ |
|
H ( f ) = ∫h(t)e− j 2πft dt. |
(2.3) |
0 |
|
Соотношение (2.2) можно также записать в виде |
|
∞ |
|
H (ω) = ∫ h(t)e− jωt dt, |
(2.4) |
−∞
где ω – угловая частота, рад, ω = 2πf.
40