Решение задач по курсу Теоретические основы автоматизированного упра.-1
.pdfДля к = л+/ имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рЛ+1 |
|
|
|
|
|
|
|
р ^ |
= |
----- j |
|
|
|
|
|||
Для к ~ п+2 имеем |
л-л! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Р |
|
|
|
|
п + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
“ — |
|
|
|
|
||||
Для к = л+r имеем |
^+2 |
“ |
>72 -л! |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1гп+г - |
пг -л! го> |
г |
|
|
|
||||
|
Рк = 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
А:=0 |
|
|
п |
|
|
Л/»-Н |
|
|
|
|
Р |
3 |
|
|
|
|
■-£— j |
|
||||
-~Ро+- ••+ — Р0 + ~— |
|
|
|||||||||
2! |
3! |
° |
|
п\ |
|
0 |
п |
п\ |
|
л '« ! |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
п |
|
П |
/ |
р |
+ |
2 |
3 |
г |
\ |
+ Р- + £ -+ . ,.+ Р_ |
|
|
|
|
р_ |
+ •••+ — + •■ |
|||||
2! |
3! |
и! |
|
л! I я |
л2 |
л3 |
пг |
/ |
|||
Имеем |
|
г |
|
г |
|
|
|
7 |
|
|
|
2 |
з |
|
|
|
|
|
г |
> |
|||
V |
|
• + Н-:= Р |
i+ £ |
|
+ • |
. |
|||||
п2 |
л3 |
лг л V |
|
л п2 |
|
" г |
J |
||||
|
|
|
|
|
|
|
геометрическая прогрессия |
|
|||
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S, =1 + - + ^ - + --- + ^ г' |
|
|
||||||||
Пусть £ < г |
|
п |
|
п |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s =lim ^ = |
i - P |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношение (12.10) с учетом (12.11) - (12.13) примет вид |
|||||||||||
|
Ро=- |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ Р _ + Р _ . _ ^ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
к=о к\ |
л! |
л - р |
|
|
|
|
(12.9)
= 1.
(12.10)
( 12.11)
( 12.12)
(12.13)
(12.14)
Определим среднее число заявок в очереди, умножая возможное чис ло заявок в очереди на вероятность того, что именно это число заявок бу дет в очереди, и складывая результаты:
r ~ 1 Рц+1 |
^ *Рп+2 + 3 • Рп+3 Н |
Ь Г • Pw+r Н |
— |
||
Лл+1 |
-Л+2 |
~«+з |
|
-//+/• |
|
< L -p„+ 2 - ^ - n + 3 - £ - |
/о +■" + /• |
Р0 + - = |
|||
я я! |
л -я! |
я |
• я! |
«г и! |
|
|
|
|
|
Г-1 |
|
я-я! |
1 + 2| - ] + з [ £ | |
+• |
• + г| — |
+ ••• |
|
|
|
|
|
|
|
Учтем следующее равенство |
|
_1_ |
|
||
|
Zfocк - 1 |
|
|
||
|
jfc=i |
|
(1- х )2 |
|
Следовательно,
я-я!
(12.15)
(12.16)
Определим среднее время ожидания заявки в очереди т ож до выпол
нения заявки СМО. Если заявка застанет не все каналы занятыми, то ей не придется ждать. Если заявка придет в момент, когда заняты все я каналов, но очереди нет, то она будет ждать обслуживания в среднем время, равное
среднему времени обслуживания одной заявки J _ , где яр - среднее чис-
п\х
ло заявок, обслуженное СМО в единицу времени. Если заявка застанет
одну заявку в очереди, то ей придется ждать в очереди время, равное |
. |
|
яр |
Если заявка застанет в очереди г заявок, то ей придется ждать в очереди
V л~\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
время-------Следовательно, |
|
|
||||||
яр |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = J _ р + — р |
+ — Р |
+ |
| г ^ р + . . . = |
|||||
|
|
яр |
|
яр |
яр |
|
яр |
|
|
|
ря п |
2рл+1 |
о-Л+2 |
|
л+г |
||
|
|
р0 + -Е— |
Р0 + ... + (г + 1 ) - ^ - л +. |
|||||
|
яр |
— Р0 + —— |
||||||
|
я! |
|
я-я! |
п • п\ |
|
п ■п\ |
||
- ± р |
го |
£ |
. |
1+ 21 |
e j + 4( £ j t . " t( r + l) ( £ j . |
|||
~ |
яр |
|
+ з[ £ |
|
|
|||
|
|
я! |
|
|
|
|
(12.17)
=- Л р "
пп\\1
1- р
Среднее число простаивающих каналов обслуживания заявок опре деляется формулой
N0 = i( n - k ) P k |
(12.18) |
||||
|
к=О |
|
|
|
|
Среднее время обслуживания |
|
|
|
||
|
1 |
_ |
|
(12.19) |
|
^ об |
~ |
~~ ^об |
’ |
||
|
|||||
т.е. совпадает со средней длительностью обслуживания заявки. |
|
||||
Среднее время пребывания заявки в СМО с ожиданием |
|
||||
*с ~ ^ож |
^об * |
( 12.20) |
|||
Среднее число занятых каналов К равно |
|
||||
^ = |
= ^об^- ~ |
= Р • |
0 2 .21) |
||
Значение критерия эффективности |
|
|
|||
Е = еи( п - К ) , |
|
(12.22) |
|||
где ен- штраф за неиспользование одного канала обслуживания. |
|
||||
Загрузка СМО |
|
|
|
|
|
\\1 = К /п - |
|
(12.23) |
|||
Среднее число заявок в СМО |
|
|
|
||
Z = г + К |
|
(12.24) |
Рассмотрим еще один класс СМО - СМр замкнутого типа. Для замк нутых СМО характерно конечное число заявок, циркулирующих в систе ме “источник заявок - СМО” Параметры суммарного входного потока заявок СМО зависят от состояния самой СМО.
Примером замкнутой СМО может служить вычислительная система оперативной обработки с диалоговым режимом работы. Система опера тивной обработки содержит М терминалов Т}-Тм. за каждым из которых работает пользователь П, формирующий запросы на обслуживание заявки (рис. 12.2).
Обслуживание запросов выполняется совокупностью из п однотип ных ЭВМ (я < М ), рассматриваемых без детализации внутренней струк туры как каналы с длительностью обслуживания, распределенной по экс поненциальному закону с математическим ожиданием хоб Все ресурсы
некоторой ЭВМ (канала обслуживания) полностью монополизируются назначенной на обслуживание заявкой до конца ее обслуживания. Заявка,
заставшая все каналы занятыми, занимает место в очереди, число мест в которой г = М - п\ заявки считаются терпеливыми, т.е. попав в СМО, не пременно дождутся конца обслуживания.
Рис. 12.2
Формирование нового запроса пользователь начинает лишь после получения ответа на предыдущий запрос, причем время, необходимое пользователю для формирования очередного запроса, будем считать рас
пределенным экспоненциально с математическим ожиданием Т , что по зволяет рассматривать пользователя как источник пуассоновского потока заявок с интенсивностью Х = \/Т
Построим граф состояний такой СМО (рис. 12.3).
Рис. 12.3
Возможные состояния системы будем связывать с числом пользова телей, ожидающих ответа на сделанные запросы, т.е. с числом заявок, находящихся на обслуживании и в очереди: х0 - в системе нет ни одной заявки, ЭВМ простаивают, все пользователи независимо друг от друга заняты подготовкой запросов, следовательно, интенсивность суммарного потока заявок, переводящего СМО в состояние х и равна M X ; х { - в систе ме одна заявка, обслуживанием которой занята одна ЭВМ, пославший запрос пользователь ждет ответа на свой запрос и не формирует новых запросов, следовательно, интенсивность потока перехода в состояние х2 равна (М-1) X, интенсивность потока переходов в состояние JC0 связана с интенсивностью суммарного потока обслуживаний, равной произведению числа занятых ЭВМ на интенсивность потока обслуживаний одной ЭВМ, т.е. 1 р, хп —в системе п заявок, все ЭВМ заняты обслуживанием за просов пользователей, очереди на обслуживание еще нет, интенсивность суммарного потока заявок равна (М-л)А., суммарного потока обслужива ний - п р ; хи.ц - в системе /7+1 заявка, все ЭВМ заняты, одна заявка стоит
в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна \М-(п+\)]\ = [М-(п+г)]\, где r= 1 - длина очереди, суммарный по ток обслуживаний имеет интенсивность яр ; хп+г - в системе п+г=М зая вок, т.е. все пользователи сформировали и ввели в систему запросы на обслуживание, я ЭВМ обслуживает я заявок, г=М-п заявок находится в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна нулю, так как все пользователи ждут ответа на свои запросы, интенсив ность суммарного потока обслуживания равна я р .
Предельные вероятности состояний:
р = А/!р— р |
(12.25) |
'(M-i)\i\ 0
рп„ |
- |
|
м \р/7+/ |
I |
I ~ |
’ |
(12.26) |
|
|
(М - п -1)\п‘п\ |
|
|
|
||
Р0 = 1 + |
|
1 - |
М \р' |
|
М \рл+/ |
|
(12.27) |
|
;+ I - |
|
|
|
|||
|
|
(=1 (M-i)\i\ |
/=i(M - п- 1)\п\п' |
|
|||
Среднее число занятых каналов обслуживания к |
можно найти как |
математическое ожидание числа занятых каналов:
К = ^ Р , + п l - E / » • |
(12.28) |
ыV /=о )
Среднее время ожидания заявки в очереди
I |
- 1 _ Р + у ( ± 1/> |
|
(12.29) |
||||
* о ж |
“ |
яр |
Г п + L |
|
г п+1 |
|
|
|
|
1=1 яр |
|
|
|
||
Среднее время пребывания заявки в системе |
|
||||||
^с ~ ^ож |
^об “ |
^ож + |
Хоб ’ |
(12.30) |
|||
где to6 - среднее время обслуживания; |
хоб - |
средняя длительность об |
|||||
служивания заявки. |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число заявок, связанных с системой, |
|
||||||
|
|
Z = M - K / p . |
|
|
(12.31) |
||
Зная Z и К , найдем среднюю длину очереди |
|
||||||
Загрузка системы |
|
I - Z - К |
|
|
|
(12.32) |
|
|
|
\\f = K/n- |
|
|
(12.33) |
||
|
|
|
|
|
|||
Значение критерия эффективности |
|
|
|
(12.34) |
|||
£ = |
|
Л * +ен{ п - к ) , |
где еож - штраф за ожидание заявки в очереди.
Решение типовых задач
Задача 12.1. Определить число кладовщиков, распределяющих инст румент, оптимальное с точки зрения минимума потерь рабочего времени как у рабочих, так и у кладовщиков. Данные для решения:
л _ | ^ обращении _ интенсивность обращения рабочих к кладовщикам;
Лсд. времени
. , = 0 о 1 заявки _ _ интенсивность обслуживания заявок рабочих на |
|
г1 |
1ед. времени |
инструмент одним кладовщиком; |
|
С |
= 6 ед. стоимости ~ стоимость 1 часа простоя одного рабочего; |
Ск = 3 ед. стоимости - стоимость 1 часа простоя одного кладовщика.
Решение. Пусть за смену за инструментом обратится Np рабочих. Ес ли каждый из них в среднем проведет в очереди время тож, то потери со
ставят £р = Ср7/ртож[ед. стоимости] •
Если в течение смены каждый кладовщик будет время г пр ожидать
прихода рабочих, то потери составят SK=Склтпр[ед. стоимости] >где п -
число кладовщиков.
Суммарные потери S = S p + S K= С рN pT0X + Скптпр
Поскольку тож = /,(«)> тпр = / 2(и), то S = CpNpf ](n) +CKnf2(n)
является функцией от п. Следовательно, задача сводится к определению такого значения п, при котором величина S обращается в минимум. Таким
образом, задача сводится к поиску зависимости ож и т пр от п.
Организационно система раздачи инструмента построена таким обра зом, что имеется одно окно раздачи (общая очередь рабочих), которое обслуживается несколькими кладовщиками. Таким образом, имеем мо дель многоканальной СМО с ожиданием и с одной общей очередью. Чис ло мест в очереди не ограничено.
Переходим к числовым расчетам, связанным с определением опти
мального значения п. Вычислять |
тож будем только для тех случаев, когда |
P = _AL ^ Поэтому для п= 1 |
расчетов вести не следует, так как |
п п\1 |
|
р = - =_L*L ~ 1 76 > 1’ а это значит>что °Дин кладовщик не справляется с
ц0,91 ~
очередью и очередь увеличивается непрерывно в течение всей смены. Определим по формулам (12.14), (12.16), (12.17) т ож и f Для раз
личных значений п. Для п = 2 имеем
Р = 1.76; —= - о 88 < 1;
п2
Ро = |
1 |
=0,066; |
1-t 1,76 -I 1’-7<U |
!’7 6 М ’76 |
|
|
2 |
2!(2 -1,76) |
1 1,762 - 0,066 |
= 3,9 [мии]\ г = —1,762■0,066 = 6,3. |
|
“*■ 2 • 2!-0,91(1 - 0,88)2 |
|
2 2!(1 - 0,88) |
Для п = 3 имеем
Р = W76 = 0,58’
п3
1+ и 6 + ^ Д Х + Ь 7 б Ч 7 6 |
= 0,16’ |
||
^0 = |
3! |
31(3-1,76) |
|
2! |
|
||
тож = 0,26 [мин]; |
г = 0,43 • |
|
Для п - 4 получим Р/п = 0,44; Р0 = 0,168; хож = 0,13 [мин]; г = 0,208 •
Если принять за единицу времени минуту, то в течение 8-часового рабочего дня количество рабочих, пришедших на пункт раздачи инстру мента, будет равно
N =\ Xdt =Xt = 1,6^Ращений8 ■60 = 768 ’
Н 0 м ин
Таким образом, число заявок в течение рабочего дня равно 768. Один кладовщик затрачивает на выполнение одной заявки в среднем время,
равное 1 |
. Тогда общее время занятости кладовщиков равно |
|||
-[мин] |
|
|
|
|
И |
|
|
1 |
768 |
|
|
|
||
|
|
N0 -—=-----= 845 мин «14,08 часов |
||
|
|
р ц |
0,91 |
|
Ежедневная продолжительность простоя кладовщиков определяется |
||||
по формуле хпр = 8 • п - |
14,08 • |
|||
Для п = 2 |
т пр = 16 - |
14,08 = 1,92 [час]. |
||
Для п = 3. |
т пр = 8 3 - |
14,08 = 9,92 [час]. |
||
Для п = 4. |
т пр = 8 • 4 - |
14,08 = 17,92 [час]. |
Для каждого из этих случаев вычислим время, потерянное рабочими из-за ожидания в очереди. Имеем
=Л^ож Для п = 2 имеем ти= 768 3,9 = 50 [час].
Для /7 = 3 получим т п = 768 0,26 - 3,32 [час].
Для п = 4 имеем т п = 768 0,13 = 1,66 [час].
Общая ежедневная стоимость времени, потерянного рабочими и кла довщиками
5 = Сртп + С кхпр = 6тп + Зхпр
Для п = 2 имеем S = 6 50 + 3 1,92 = 305,76. Для п = 3 получим 5 = 6 *3,32 + 3 • 9,92 = 49,68. Для « = 4 имеем S = 6 1,66 + 3 17,92 = 63,72. Следовательно, 5 достигает минимума при /7 = 3.
Таким образом, три кладовщика в данных условиях обеспечивают минимум потерь, связанных со случайным характером обслуживания ра бочих.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 12.2. Имеем СМО с ожиданием. Отсутствие ограничений на время пребывания заявки в системе и “бесконечное” число мест в очереди приводят к СМО без потерь. Число каналов СМО /7 = 2, интенсивность потока обслуживания одного канала ц = 20 с'1 Суммарный входящий поток заявок - пуассоновский с интенсивностью X = 30 с'1
Найти F Тож, Рк , k = 0,n + r, N0, to6, tc , К , \|/, Z , Е, если
ен= 10 ед/канал.
Задача 12.3. Рассмотрим вычислительную систему оперативной об работки с диалоговым режимом работы (см. рис. 12.2.). Число входящих в систему однотипных ЭВМ (каналов обслуживания) /7 = 2, быстродействие их процессоров В = 104опер/с, трудоемкость обработки запросов распре делена по экспоненциальному закону с математическим ожиданием О - 5-10s опер - Число пользователей М = 6 соответствует числу термина
лов. Время, необходимое пользователю для формирования нового запроса и ввода его в систему, распределено по экспоненциальному закону с ма тематическим ожиданием Т = 100с. Значение штрафов еож = 1 усл.ед/с,
ен = 10 усл.ед/канал. Таким образом, мы имеем замкнутую многоканаль ную ^ СМО. Средняя длительность обслуживания Тоб = О/В = 5 105/ l 04 = 50 с. Интенсивность потока заявок от одного ис
точника Х - \ / Т = 10 ~2 с~х Число мест в очереди г = М - п = 4. Приве денная интенсивность потока заявок р = А,/р, = А,тоб = 10~2 • 50 = 0,5 .
Определить Р., / = 0, п + г, ЛГ, Гож, lc
Задача 12.4. Ателье по ремонту различной радиоаппаратуры имеет п = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт X, =10 радиоаппаратов. Общее число радиоаппара тов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они неза висимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимо сти от характера неисправности также требует различного, случайного, времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множе ства других причин. Пусть статистика показала, что в среднем в течение
рабочего дня |
каждый из мастеров в ателье успевает отремонтировать |
|
р, = 2,5 радиоаппарата. |
|
|
Найти |
F,xoyK,Pk,k ^ O ,n + r ,N 0J o6,tc,K ,\ \ i,Z ,E , |
если |
еи= 10 усл.ед/канал. |
|
Задача 12.5. Морской порт имеет п = 5 причалов для разгрузки сухо грузных судов. В среднем в течение месяца в порт прибывает с грузами около 20 судов большого тоннажа. Поступление судов в порт носит слу чайный характер, так как они выходят из различных портов и покрывают различные расстояния до пункта разгрузки. Кроме того, на скорость дви жения судов влияет погода. Проведенная статистика частоты прихода судов в порт показала, что поступающие на разгрузку суда образуют пу ассоновский поток. Время разгрузки каждого судна является также слу чайной величиной, которая зависит от тоннажа судов, особенности груза и многих других причин. В среднем в течение месяца разгружается 6 судов.
Найти г, т ож, Рк, к = 0, п + г, N 0, fo(5, t c, K ,\\i,Z, Е , если
ен= 15 усл.ед/канал.
Задача 12.6. На вход трехканальной системы с неограниченным вре менем ожидания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью
^ = 4 (заявки в час). Среднее время обслуживания одной |
заявки |
|
mto6= 30 мин. |
|
|
Найти |
F, тож, Рк,к = 0, п + г, N0, t0&, i c, K , \ y , Z , E , |
если |
ен = Ю усл.ед/канал.
Практическое занятие № 13
СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРЕЖДЕНИЕ (ПРОГНОЗИРОВАНИЕ)
Теоретические сведения
Назовем задачей статистического упреждения (прогнозирования) способ нахождения при отсутствии помех [л(0 = 0] передаточной функции Ф(/с») системы, дающей минимум среднего значения квадрата ошибки
s 2 = M | AW(/ + £0)-Z (£ )]2} между величиной Z(t) на выходе в момент
времени t и величиной m(t + /0) (/и(0 - полезный сигнал) на входе в неко торый будущий момент времени /0 (рис 13.1).
Ф(S) |
|
+ |
Z(t) |
|
|
|
|
|
|
m{t) |
|
> |
е (0 |
|
|
|
|
||
— ^ |
|
1 |
Х 0 =М *+ 'о) |
|
|
|
|
||
L ( S ) = е |
|
|
|
|
|
Рис. 13.1 |
|
|
|
Итак, в рассматриваемом случае |
|
|
|
|
Х 0 = т(‘ + to); |
LU &) = |
; |
|
|
^ т (со) = г ^ 5 т (ш); |
|
► |
(13Л) |
|
|Т(усо)|2 = 5„(а>); |
|Т(усо)|2 = Ч'О'соЩ-усо), |
|
где 5,„(й)) - спектральная плотность сигнала m(t).
Формула для оптимальной передаточной функции упреждающей
системы имеет вид |
|
|
ФС/со) = — 3 — |
J¥O<o)eM, " 0W |
(13.2) |
Z T C T ^ C O ) О |
—со |
|
Предположим, что нам задано аналитическое выражение для спек тральной плотности Sm(ca) входного сигнала m(t) в виде дробно рациональной функции от о :
$„№) = |
bQ+ 6,со2 + — + £ма>2м |
(13.3) |
|
а0 +а]ю2+ •••+ avco2v |
|||
|