Математическое моделирование в естественных науках

сти материала, смоляные карманы, усадочные раковины, складки и искривления в слоях, подрезка слоев.

Наиболее часто встречаемыми дефектами в конструкции корпусных деталей авиадвигателя являются смоляные карманы, поры, складки (или волны в одном или нескольких слоях) и расслоения. Последнее является наиболее распространенным видом дефекта и часто считается определяющим фактором при решении вопроса об использовании композитов в конструкциях.

На первом этапе решения задачи об оценке влияния дефектов на прочность деталей авиадвигателя необходимо оценить влияние размеров, конфигурации и расположения локального дефекта по толщине и площади элемента конструкции на его напряженно-деформированное состояние при характерных условиях нагружения и закрепления.

Изучение полунатурных образцов фланцев кожуха авиадвигателя, выполненных из тканого стеклопластика, позволило выделить типичные дефекты, их конфигурацию и расположение, характерные для данных конструктивных элементов (рис. 1).

Рис. 1. Видимые дефекты в конструкции фланца кожуха авиадвигателя: а – расслоение; б – смоляные карманы; в – поры; г – складки

171

Для получения упрощенной оценки влияния возможных дефектов на напряженно-деформированное состояние (НДС) детали использовалась двумерная осесимметричная модель, созданная в пакете конечно-элементного анализа ANSYS.

На рис. 2 показаны примеры моделирования описанных выше дефектов.

Для анализа НДС композитного фланца с дефектами решалась задача теории упругости для неоднородного анизотропного тела. Фланец нагружался единичной нагрузкой, равномерно распределенной по силовым слоям наружной и внутренней оболочки кожуха, не включая внутренние коробчатые элементы, эквивалентной суммарной силе 8198 Н. Такой вид нагружения соответствует эксплуатационной нагрузке, эквивалентной действию отрывающей силы реактивной струи сопла и изгибающему моменту от масс присоединенных корпусных деталей. В результате численного решения задачи определяются поля напряжений и деформаций, в наиболее нагруженных участках конструкции – на границе слоев проводится их детальный анализ, а с использованием критериев прочности оцениваетсязапас статической прочности.

Рис. 2. Осесимметричные модели фланца с дефектами типа искривления слоев, смоляного кармана и расслоения

Сравнение полученных результатов для моделей фланца с дефектами с соответствующими оценками для неповрежденной конструкции позволяет оценить степень влияния различных типов дефектов на статическую прочность данного узла авиационного двигателя. Кроме того, возможен учет как одного типа дефекта, так и различных их сочетаний.

172

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект № 15-19-00259: «Создание портативной установки для микрофокусной рентгенографии с целью оперативного контроля микроструктуры, физико-химических свойств и определения остаточного ресурса авиационных деталей и узлов из полимерных композиционных материалов»

Список литературы

1.Аношкин А.Н., Ташкинов А.А. Прогнозирование несущей способности композитных фланцев корпусных деталей авиадвигателей: монография / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1998. – 101 с.

2.Repair of damage in aircraft composite sound-absorbing panels / A.N. Anoshkin, V. Yu. Zuiko, M.A. Tashkinov, V.V. Silberschmidt // Composite Structures. – 2015. – Vol. 120. – P. 153–166. DOI: 10.1016/j.compstruct.2014.10.001

3.Оценка эффективности ремонта в конструкциях из полимерных волокнистых композиционных материалов / В.Э. Вильдеман, А.Н. Аношкин, А.И. Чихачев, Д.С. Лобанов // Механика композитных материалов. – 2014. – Т. 50. – № 3.

ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ДИНАМИКУ ВЕРТИКАЛЬНОГО КАНАЛА В ГИДРАТОНАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

А.О. Иванцов1, Т.П. Любимова1, Д.В. Любимов2

(1Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, aivantsov@icmm.ru,

2Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь, Россия)

Численно иисследуется поведение вертикального канала, пронизывающего слой гидрата, пребывающего в стабильном состоянии. Давление в верхней части расчетной области периодически меняется со временем, что позволяет учесть влияние приливов на рассматриваемую систему. Расчёты демонстрируют, что возможно как заполне-

173

ние канала гидратом, так и его долговременное существование. Оценки показывают, что за время жизни канала в окружающую среду через него может быть выброшено значительное количество газа.

Ключевые слова: газовые гидраты, периодическое воздействие, многофазная фильтрация в пористой среде, численное моделирование.

Гидрат метана представляет собой похожее на лёд вещество, в котором молекулы метана содержатся в пространственной решётке, сформированной молекулами воды. Интерес к исследованиям гидратов связан с возможностью развития технологий, позволяющих использовать природные газовые гидраты в виде альтернативного углеводородного сырья [1]. По некоторым оценкам [2] суммарное содержание углерода в гидратах вдвое превышает общее его количество в залежах всех прочих углеводородов, вместе взятых.

Настоящая работа посвящена исследованию процессов в пористой среде, насыщенной газовым гидратом, газом и водой. Исследуется поведение вертикального канала, пронизывающего слой гидрата, пребывающего в стабильном состоянии. Наличие геотермального градиента обусловливает существование диапазона глубин, в котором гидрат устойчив. Этот диапазон ограничен снизу высокой температурой, верхняя граница объясняется падением давления в среде.

Вработе численно исследовано поведение свободного от гидрата вертикального канала, пронизывающего слой гидрата, пребывающего в стабильном состоянии, обозначенного на рис. 1 как a. Выше и ниже гидратонасыщенного слоя пористая среда содержит значительное количество воды – с (см. рис. 1). При этом газовая фаза присутствует как в слое гидрата, так и в областях, где гидрат отсутствует. Предполагается, что в канале вследствие каких либо причин гидрат полностью распался и образовалось некоторое количество газа и воды – в (см. рис. 1).

Входе численного моделирования динамики многофазных сред в гидратонасыщенной пористой среде использовалась программа, позволяющая проводить параллельные вычисления

174

с использованием адаптивной сетки. Разработанная программа написана на языках Fortran 90 и С. Коммуникации между расчетными узлами осуществлялись с помощью библиотеки MPICH2, реализующий интерфейс передачи сообщений (MPI: The Message Passing Interface).

Рис. 1. Начальное распределение фаз

В ходе расчета исходная расчетная сетка делится на блоки одинакового размера. Затем проводится процедура адаптации сетки под решение – «adaptive mesh refinement (AMR)»: в облас-

тях, где необходимо проводить вычисления с более мелкой сеткой, создаются новые блоки сетки. В результате строится древовидная иерархия блоков сетки. Разработанный алгоритм позволяет, независимо от местоположения блоков в иерархии, проводить вычисления в них по одному и тому же алгоритму. Адаптация сетки проводилась таким образом, чтобы обеспечить максимальную плотность узлов вблизи границы раздела сред. Реализован алгоритм динамического распределения нагрузки между вычислительными узлами.

Уравнения для плотности момента импульса и функции тока решались неявно методом сопряженных градиентов (BiConjugate Gradient Stabilized) с использованием процедуры пре-

добуславливания. Разработанный алгоритм позволяет эффек-

175

тивно решать системы линейных уравнений с разреженной, распределенной по вычислительным узлам, матрицей.

Пространственная дискретизация уравнений проводилась методом конечных объемов. При использовании этого метода расчетная область делится на конечное число контрольных объемов. В центре каждого контрольного объема на основе интегральной формы уравнений сохранения вычисляется значение переменной. Поверхностные и объемные интегралы аппроксимировались с помощью конечных разностей второго порядка точности.

При моделировании фазового перехода в каждом контрольном объеме, в котором в соответствии с диаграммой устойчивости должна пройти реакция диссоциации или образования гидрата, решается уравнение баланса тепла с учетом выделения или поглощения теплоты фазового перехода. При этом в данном узле сетки изменяются водо-, газо- и гидратонасыщенности, а также в соответствии с количеством выделившегося газа и измерением температуры средыменяется и плотность газа [3].

Моделирование проведено для различных соотношений объемных долей газа и воды. В случае, когда пористая среда содержит большое количество газа, водная и газовая фазы в поле тяжести движутся в различных направлениях: вода осаждается вниз, газ поднимается вверх. Вследствие большого коэффициента теплоемкости воды ее осаждение приводит к значительному переносу тепла, в результате канал в слое гидрата со временем зарастает.

Когда газовой фазы значительно меньше, чем водной, моделирование можно проводить в рамках модели общей скорости газовой и водной фаз. В этом случае предполагается, что вода содержит маленькие пузырьки газа, размер которых меньше характерного размера пор. Моделирование показало, что для этого случая при достаточно большом значении коэффициента проницаемости пористой среды возможно разрастание канала. Начальный избыток газовой фазы приводит к движению вверх

176

3. Иванцов А.О. Любимова Т.П. Любимов Д.В. Динамика сквозного вертикального канала, пронизывающего слой гидрата // Вестник Пермского университета. Сер.: Физика. – 2012. –

Вып. 4 (22). – С. 65–68.

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ СОРБЕНТОВ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Е.В. Иканина, В.Ф. Марков, А.Е. Бобылев

(Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия, ikael@yandex.ru)

Изучена кинетика сорбции меди (II) композиционными сорбентами на основе катионита КУ-2×8 с неорганической составляющей гидроксида железа (III) или сульфида свинца. Методами математического моделирования в динамических и статических условиях определены коэффициенты внутренней диффузии тяжелых металлов в композиционных сорбентах на примере меди (II). Установлено, что композиционные сорбенты по кинетическим свойствам близки к синтетическим органическим ионитам.

Ключевые слова: композиционный сорбент, тяжелые металлы, кинетика, диффузия, теория теплопроводности и массопередачи, математическое моделирование.

Математическое моделирование широко применяется для определения неизвестных характеристик сорбционных процессов по результатам опытов. Большое значение имеет минимизация числа трудоемких опытов без потерь в точности моделирования. Кинетические характеристики сорбентов − основные показатели при выборе технологического режима процесса сорбции. К ним относятся внешнедиффузионный коэффициент β (с–1) и коэффици-

ент внутренней диффузии D (см2/с), первый зависит от гидродинамического режима процесса, второй − от свойств и структуры

сорбента. Экспериментальное определение коэффициента D явля-

178

ется сложным и дорогостоящим, поэтому практически важно решить данную задачу методами математического моделирования.

На основе катионита КУ-2×8 нами получены композиционные сорбенты с активной фазой гидроксида железа (III) или сульфида свинца и доказана их эффективность при извлечении тяжелых цветных металлов из водных растворов [1]. Наличие в составе сорбентов органической и неорганической фазы обусловливает ряд особенностей, проявляющихся при проведении сорбции и требующих учета при моделировании.

Цели данной работы заключались в определении коэффи-

циента внутренней диффузии тяжелых металлов D в композиционных сорбентах на примере меди (II), в установлении зависимо-

сти коэффициента D от условий проведения сорбции и оценке кинетических свойств сорбентов.

Экспериментальная часть работы состояла из нескольких этапов. В динамических и статических условиях были проведены эксперименты по извлечению меди (II) из водных растворов различной концентрации композиционными сорбентами с гидроксидной и сульфидной составляющей. Результаты опытов представлены графически. Опираясь на теорию теплопроводности и массопередачи, были подобраны трансцендентные уравнения, наиболее точно описывающие экспериментальные данные. Определены все корни уравнений и отброшены значения, не удовлетворяющие начальным условиям. Полученные результаты проанализированы и кратко приведены ниже.

Известно [2], что уравнение Бойда дает решение задачи диффузии в шарообразной частице, на поверхности которой концентрация диффундирующего вещества постоянна (граничные условия I рода, выполняющиеся при ведении сорбции методом потока):

179

где F – степень заполнения сорбента, Qτ и Q∞ – динамическая емкость сорбента в момент времени τ, с, и полная емкость, мг/г, n – натуральные числа от 1 до ∞, Bτ – критерий гомохронности Фурье.

Bτ = D 2 τ , r

где r – радиус частиц сорбента, см.

С помощью зависимости F = f (Bτ) , табулированной в ра-

боте [3], найдены значения критерия Фурье для степеней заполнения сорбента, соответствующих экспериментальным точкам кинетической кривой F = f (τ) . По результатам расчетов постро-

ен график функции Bτ = f (τ) , представляющий собой прямую

(R2 = 0,975) с угловым коэффициентом D / r2 (рис. 1). Значение D , вычисленное по графику, составляет 1,94 · 10–7 см2/с.

Рис. 1. Зависимость критерия гомохронности Фурье от времени сорбции меди (II) композиционным сорбентом (температура опыта 303 K)

Приближенное решение задачи диффузии ионов в шар при сорбции из ограниченного объема раствора имеет вид [4]:

180