Применение метода конечных элементов
..pdfстоя.нным значениям рассматриваемых величин внутри элемента.. Црн этом подразумевается, что градиенты бесконечно малы.
Интерполяционные уравнения для элемента должны модели ровать постоянные значения, если только такие значения встреча ются. Эти критерии накладывают ограничения на функции фор мы. Предположим, что узловые значения элемента, который име ет г узлов, равны ф ,= ф :/= ф /1= ... = ф г= С , где С — постояннаш скалярная величина. В общем виде выражение для ср записывает ся в виде
Ф=л^Ф*4-л^Ф^-}--/у/гФл+ . . . + Nra>n
откуда |
|
Ф =(Ni + Nj + Nk-\------- |
Ь N,) Ф{. |
Однако, поскольку <p=C=Oi, |
|
2 ^ Р = 1. |
(3.47> |
Р =/ |
|
Итак, сумма значений функций формы должна равняться единице в каждой внутренней точке элемента. Если, этот критерий не вы полняется, то полиномиальная .аппроксимация ср не будет давать постоянных значений даже тогда, когда по условию они должны быть.
Запишем функции формы для одномерного элемента:
|
|
И |
Nj |
x— Xi |
|
|
|
L |
|
||
|
|
|
|
|
|
Складывая их, получаем |
|
|
|
|
|
\т I A T |
Xj — x |
, x — Xi |
|
Xj — X { |
L |
Hi + Nj— |
jr |
-г — x — |
---- -----1 |
—— — |
Эти функции формы в сумме дают единицу. Анализируя двумер ные и трехмерные симплекс-элементы, можно показать, что функ
ции формы для этих элементов тоже удовлетворяют условию (3.47).
Наличие постоянных значений ф (или перемещений и т. д.) внутри элемента подразумевает отсутствие градиента ф по любо му направлению. Рассмотрим градиент в направлении оси х:
Эф |
dNt |
dN] |
|
dNr |
дх |
дх Фг 4" |
дх |
Ф; + |
дх |
Если Фр равна константе С, то |
|
|
||
|
дер __ |
y i |
дМр |
|
дх ~ [ р Ь дх
Так |
как |
константа |
|
С не обязательно' .равна нулю, равенство |
||||
(3.48) удовлетворяется, если только |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
# = ° . |
(3.49> |
|
|
|
|
|
|
Р=< |
|
|
Преобразуя выражение |
(3.49), получаем |
|
||||||
2 |
dMfi |
dN i |
. |
dN j |
, |
, |
dNr |
|
P=i. |
дх |
дх |
* |
дх |
' |
‘ |
дх |
|
Г
Однако, так как сумма 2 Np = 1 , частная производная по х от
р=/ этой суммы равна нулю. Таким образом, критерий относительно*
градиента удовлетворяется автоматически, если только удовле творяется критерий (3.47).
3.6.2. Непрерывность
Дискретная модель для непрерывной функции строится на: множестве кусочно-непрерывных функций, каждая из которых: определена на отдельном элементе. Для интегрирования в даль нейшем кусочно-непрерывной функции необходимо1 сформулиро
вать условие ее непрерывности в межэлементной зоне. Интегралот ступенчатой функции f(x) определен постольку, поскольку* f(x) остается ограниченной [2]. Чтобы интеграл
был определен, функция ср должна быть непрерывна вместе со* своими производными допорядка (п— 1 ) включительно, что обес
печивает наличие у производной порядка п только конечного чис ла точек разрыва ступенчатого' типа. Соблюдение этого условия означает, что первые частные производные от аппроксимирующей; функции должны быть непрерывны на границах между элемен тами, если дифференциальное уравнение содержит частные произ водные второго порядка, т. е. п = 2. Все дифференциальные урав нения, рассматриваемые в этой книге, могут быть представлены! в форме соотношений, содержащих самое большее первые част ные производные, поэтому от интерполяционных функций следует* требовать непрерывности в межэлементной зоне, но их частные* производные не должны подчиняться этому условию.
Непрерывность для одномерного элемента гарантирована, так как любые два смежных элемента имеют общий узел. Однако треугольный элемент сложнее. Рассмотрим два смежных элемен та (фиг. 3.11). Начало системы координат поместим в i-м узле.
'Фиг. |
3.11. |
Непрерывность |
Фиг. 3.12. Значения L-координат в точках на |
вдоль |
общей |
границы двух |
границе элемента, |
треугольных элементов. |
|
Обозначим узловые значения через Фг-, Ф;-, Ф^ и Ф*. Аппроксими рующие функции для <р имеют вид
(Р<1>=^,)ф ,+ М 1)ф * + М 1) ф „
|
(3.50) |
Ф«> = N f> Ф, + |
Фj + N f Фк, |
где верхний индекс обозначает элемент.
Доказать непрерывность <р вдоль общей границы элементов просто, если воспользоваться ^координатами. L-координаты LJ1' и LP измеряются от сторон, противоположных i-му узлу. Перепи шем формулы (3.50), используя L-координаты:
Ф‘1>=11»Ф| + Ц')ФА+ Ц 1)Ф/,
ф«) = Ц2)Ф<+ 1|2)Ф/ + 1^Ф А.
L-координаты и Lф измеряются от общей границы, поэтому вдоль этой границы Ly>=L£2>=0. Соотношения (3.51) в точках
общей г.раяицы сводятся к следующим:
|
Ф(1) = Ь ^ Ф г + |
|
|
+ (1 -L<») ф „ |
|
|
|
|
(3.52) |
|
ф«> =Ц 2)Ф г + Д2)Ф, = 1р Ф , + (1 - I f ) ) Ф„ |
|||
так как |
L<»+Lp = l |
|
Lp + D» = l, |
|
|
и |
|||
Рассмотрим произвольную точку общей границы, которая рас |
||||
положена |
на расстоянии |
s от |
£-го |
узла (фиг. 3.12). Отношения |
и |
Л < М 2) равны |
величине |
s/b и, следовательно, равны |
между собой. |
С другой |
стороны, |
указанные отношения представ |
||||
ляют |
собой |
числовые |
значения |
L-координат Lff> и |
L(2), откуда |
||
можно |
заключить, что |
Ц 1' = Ц2> для |
произвольной |
точки общей |
|||
границы. Используя это равенство |
в |
формуле (3.52), получаем, |
|||||
что .всюду вдоль границы фС1) = ф(2>, |
что и требовалось доказать. |
Задачи
11. Вычислите функции формы для следующих элементов. Узловые координаты указаны в круглых скобках.
i J
а
12. Определите локальные функции формы для одномерного элемента, если начало локальной системы координат расположе но в центре элемента.
13. Узловые значения температуры для треугольного симплексэлемента равны 71/= 130°С , 7^=100°С и 7л=120°С. Выясните, где изотерма 125 °С пересекает границы элемента.
14. Покажите, что N% для симплексного треугольника равна шулю в узлах / и k.
15.Покажите, что Ni для симплексного треугольника равна шулю в произвольной точке отрезка, соединяющего узлы / и k.
16.Покажите, что функции формы для симплексного треуголь-
k
зика удовлетворяют критерию ЕЛ/р= 1 в каждой точке элемента.
р—1
17. Матрица [С] - 1 для тетраэдрального элемента с узлами i, У, k и I в точках (0 , 0, 0 ), (2 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 1 ) и ( 1 , 1 , 2 ) соответ
ственно имеет вид
Убедитесь, что эта матрица является обратной к [С] и затем •определите функции формы для этого элемента.
18. Что вы можете сказать 6 строках матрицы [С] - 1 в задаче
17, если критерий сходимости Ni-\-Nj+Nh-{-Ni= 1 удовлетворяется, когда рассматривается тетраэдральный элемент?
19. Определите градиент dy/dx для тетраэдрального элемента
.двумя способами: 1 ) выбирая в качестве исходных соотношения
(3.16), выполняя дифф-еренцн,ро.ва.ние, а затем умножение матриц; 2 ) дифференцируя функции фо,рмы.
20. Заданы узловые перемещения для двумерного симплексэлемента:
U2^! = 2 мм, |
U2i= |
4 мм, |
U2J-_ 1 = 6 мм, |
U2] = 5 мм, |
U2/e—о.= |
— 1 мм. |
|
Определите компоненты перемещения в точке В (10, 10). Коор динаты узлов (в миллиметрах) указаны в круглых скобках.
21.Вычислите интеграл
РЧ
Nj
|
K J |
|
%ц |
где |
— длина стороны симплексного треугольника между узла' |
ми i и /, a Ni, Nj и N&— функции формы.
22.Вычислите объемный интеграл
РЧ
Nj dV
w
для симплексного треугольника площади А и толщины
ЛИТЕРАТУРА
1. Eisenberg М. A., Malvern L. Е., On Finite Element Integration in Natural Coor dinates, Intern. J. for Numerical Methods in Engineering, 7, 574—575 (1973).
2.Kaplan W., Advanced Calculus, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1952.
3.Kreyszig E., Advanced Engineering Mathematics, 3-rd ed., Wiley, N. Y., 1972.
4.Oden J. T., Finite Elements of Nonlinear Continua, McGraw-Hill, N. Y., 125— 137 (1972); есть русский перевод: Оден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, изд-во «Мир», М., 1977.
5.Zienkiewicz О. С., The Finite Element Method in Engineering Science, McGrawHill, London, 1971, p. 93; есть русский перевод: Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, изд-во «Мир», М., 1975.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПОЛИНОМЫ ДЛЯ ДИСКРЕТИЗОВАННОЙ ОБЛАСТИ
В гл. 3 обсуждались интерполяционные соотношения для симплекс-элементов. Числовые значения узловых координат при этом не фиксировались, так что размеры элемента и его ориен тация могут быть выбраны так, как это необходимо. Это одно из важных достоинств метода конечных элементов. Свобода в вы боре размеров и ориентации элементов позволяет составить весь ма общие вычислительные подпрограммы, включающие различ ные элементы. Такие подпрограммы могут быть использованы без изменения при рассмотрении областей с самыми разнообразными границами.
Теперь сосредоточим внимание на отдельном элементе, с тем чтобы вывести систему уравнений для области в целом. Точнее говоря, мы хотим включить каждый элемент в рассматриваемую область и выразить через глобальные координаты и глобальные узловые значения интерполяционные уравнения для каждого ис пользуемого элемента. Начнем с рассмотрения скалярных вели чин и затем обобщим полученные результаты на случай вектор ных величин.
4.1. Скалярные величины
Интерполяционный полином |
в общей форме, |
полученный в |
|
гл. 3, имеет вид |
|
|
|
|
|
(ф|1 |
|
|
|
ф, |
|
<f,e)= \N] (Ф} = [ < \ |
N f\ |
ф* |
( 4. 1) |
|
|
Ф, |
|
где г — число узлов элемента, верхний индекс |
(е) |
означает про |
извольный элемент.
Техника включения элемента в область может быть проиллю стрирована на примере простой пятиэлементной конфигурации, показанной на ф:-:г. 4.1. Узлы пронумерованы от единицы до шее-
Значения индексов i, / и k могут быть подставлены в формулу (4.1), что приводит к следующей совокушюети уравнений для эле ментов:
ф(И = ДГ(1) ф 2 + щ \ ) ф ъ + щ \ ) ф ±9
|
ф(2) = |
^ 2)ф3 4- |
Ф2 + |
ЛГ(2>Ф4, |
|
|
|
|
ф (з) = |
дг(3) ф 5+ |
^ ^ з )ф з + |
^ ( 3) ф 4> |
|
( 4.3) |
|
|
ф(4)= ы р Фв + Л^>ф3 + NM Ф5. |
|
|
||||
|
ф(6) = y V(5) ф х + |
УУ(5)ф3 + |
/V(5) ф #. |
|
|
||
Функции |
формы — множители при узловых значениях |
в фор |
|||||
мулах (4.3) — определяются |
подстановкой числовых значений t, / |
||||||
и k в уравнения для функций формы. В обозначениях i, |
/, k функ |
||||||
ция формы |
записывается в виде |
|
|
|
|||
|
= |
2д(С)' [а*е>+ |
+ $ у\ |
|
(4.4) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а£е)= Х гК,— Х;Г(, |
|
|
|||
|
|
b ^ = Y t - Y j , |
|
|
|
||
|
|
c(k)= X j — Xt. |
|
|
|
||
Для пятого |
элемента i= 1 , /= 3 |
и й = 6. Подставляя эти |
значения |
||||
в выражение |
(4.4), получаем |
|
|
|
|
||
|
Ni5) =~ЯйГ [а«5) + Ь°5>х + с« )у]' |
|
(4.5) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a-f = Х 1К3- Х 3К11 |
|
|
|||
|
|
W = Y 1- Y V |
|
|
|
||
|
|
c f |
= X t - X v |
|
|
|
|
Функции формы АДв4> и Nfi |
в (4.3) — совершенно разные |
величи |
|||||
ны, даже если Л(4) разно Л(5). В выражение для N 41 входят сле |
|||||||
дующие константы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= X 3Ys- X bY3 |
|
|
||
|
|
b p = Y a- Y 6 |
|
|
(4.6) |
||
|
|
с ^ = Х 6- Х 3. |
|
|
|
||
Сравнение формул (4.5) и (4.6) яоно показывает, что N& отли |
|||||||
чается от N^K |
|
|
|
|
|
* |