Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfпричём |
поскольку |
равенство Рх = 0 |
возможно |
только при xj = х9 = |
|
= |
х1а = |
0 , то изгибающие моменты |
все равны |
нулю: |
|
|
|
|
M l = M9 = Mli = 0, |
|
|
а |
силы |
находятся |
из простых соотношений: |
|
Тг - j T a — Sl = h j - z v
Г9 - 1 г , |
= S s = A ^ Sa) |
(4.41) |
т __ 2 л |
_L 2Of |
|
*12— 3-^12 — л з ^ е1а* |
|
|
Легко видеть, что формулы (4.41) получаются простым |
умножением |
на h формул (4.2), имеющих место при плоском напряжённом состоя* нии, причём
Tt = hXx, |
T2 = hYyy Г1а = |
hXy. |
(4.42) |
Соотношения (4.23'), |
(4.24') или (4.26), |
(4.27) дают |
выражения |
сил и моментов, действующих на элемент оболочки, через три квад
ратичные формы |
Р „ |
Р х, Ршх: |
|
|
Рш= |
e |
j |
- | - 62-з[-е?2э |
|
Рх = Xi-j- XJXJ -J- X2 -j- X?2, |
(4.43) |
|||
p *x= |
®i*i + |
®a*a+ ^ eix2 + |
J 8axi + xi2si2 |
и шесть компонентов деформаций и искривлений
|
® i i е з> 8 13э * 1 » * а> * i a > |
|
а следовательно, |
через три |
компонента вектора перемещения w |
точки серединной |
поверхности |
|
|
w = |
t e + / p + ftw, |
поскольку деформации и искривления имеют определённые диффе ренциальные выражения через и, v, w.
Покажем, что и обратно все деформации и искривления можно выразить через силы и моменты. Для этого прежде всего найдём выражения квадратичных форм (4.43) через аналогичные квадратич ные формы от сил и моментов. Согласно выражениям 5 и //, через
Т и М (4.23), (4.24) имеем тождества: |
|
||||||
Ps = sl+ |
5,Sa+ |
sl H- Sf2= l |
( Tl — 7\ ra+ Tl + 3 Ti2), |
||||
Р в = |
Н \ + |
В Д a + H \ + |
Н \г = |
|
|
АГа+м1+ЗЛ1?2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.44) |
PSff = |
5 ,Я , + S9tf9 + i |
S jtf2+ |
- i 5аЯх + |
S12tf19 = |
|||
= Ц т м + |
тям я- |
1 T,M2- |
1 тям , + з г 12аг12). |
||||
Интересно отметить, что |
величины |
Р в, Я* |
с точностью до множителя |
и обозначений по форме совпадают с квадратом интенсивности
деформаций, а величины P s , Рн по |
форме и с |
точностью до множи |
||||||
теля совпадают с квадратом интенсивности напряжений. |
|
|||||||
Составим |
теперь |
квадратичные |
формы |
Я я, |
P s n |
согласно |
||
соотношениям |
(4.23') |
и (4.24'), |
предварительно заменив |
входящие |
||||
в них интегралы |
обозначениями |
(4.25) через |
Jl9 Уа, |
У8. Для этого |
||||
необходимо воспользоваться свойством (4.8), (4.9) |
квадратичной |
|||||||
формы Ри и аналогичным свойством билинейной формы |
P uv. Из |
|||||||
группы уравнений |
(4.23') имеем: |
|
|
|
|
|
||
|
|
P s = А р , - 2 |
. W |
>.x+ .& > x. |
|
(4.45') |
Аналогично из группы уравнений (4.24') находим:
Рн = А р , — 2 W - + А Р %. |
(4.45") |
Составляя, наконец, из обеих групп уравнений (4.23'), (4.24') били нейную форму PSH »
P s H = (^1е1 |
J 2*1) ( Л е1 |
^ BXl ) |
0^1е2 |
*^2* 2 ) |
2®2 *А&х2) *4"" |
|
||
—(- ~2 |
Jg*i) (*^2е2 |
h H ) 4" ‘2’ (*^2е1 |
*^8xl) (А®2 “ |
’ ^2*2) ”1“ |
||||
|
|
|
|
+ |
1е12 |
^2Х12) (^2 е12 |
^ 3Х1 я)> |
|
а ватем, собирая коэффициенты при произведениях Ju |
J2 и |
^8» |
||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ЯЯ = V a |
Я ,— (Л Л + ^ 2 ) Я.х + |
/ 9/ 8Ях. |
(4.45"') |
Поскольку левые части соотношений (4.45) являются известными функциями (4.44) сил и моментов, а правые зависят только от Я„ Ях, Я.х, так как Ух, У9, У8 через них выражаются по формулам (4.38), (4.37), (4.34), то соотношения (4.45) представляют три алгебраиче ских уравнения, из которых формы Я„ Ях, Я,„ можно выразить через Ps, РнI Я яд!
Я, = / х (Яд, Яя. Ядя)> Ях= / 9(Яд, Я я, Яая),
P , x = A ( P s , Рн, Рзн)-
Фактически это можно выполнить, конечно, только после того, как дана конкретная характеристика материала оболочки, т. е. будет задан вид функции о{ = Ф(е4). Предполагая, что выражения (4.46) уже найдены, мы легко можем найти выражения деформаций е, х
через |
силы |
Г, |
М или |
5, Я . Для этого необходимо подставить (4.46) |
||||||
в (4.38) и выразить Ju |
J2>Js через Psy Р кУPSH>после чего решить |
|||||||||
уравнения (4.23')» |
(4 .24') |
относительно |
е, х. Например, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ej/j — Xj/g — Sly |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
2 — xi^s = |
Hi > |
|||
|
|
SjJa — Я1/3 |
|
SjJj — Hjjj |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
h h — A. ’ |
1 |
h h — j\ |
|||
Таким |
образом |
получим |
окончательные |
формулы: |
||||||
|
e i — д - ( ^ i ^ 8 |
Нi^ a ) * |
Х 1 = д - ( ^ У г — ^ V i ) » |
|||||||
|
®а = |
J |
( V |
B — |
а |
д |
, |
х 2 — |
C |
^ S ----- ^ 2 ^ l ) * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.47) |
|
1 2 “ |
д |
^ |
1 2 |
^ |
а |
) > |
5ti 3 = = |
Х ^ |
1 2 ^9 — ^ 1 2 ^ 1 ) |
A = V s - ■Л.
В исключительном случае безмоментного напряжённого состояния, когда формулы (4.32)—(4.38) теряют смысл или, лучше сказать, приводят к неопределенностям, выражение деформаций через напря жения можно найти непосредственно из соотношений (4.41). Для этого достаточно только из кривой at = Ф (е() найти обратную зави симость et = Ф-1 (о(), а величину
= У X |
l — |
Xн-x4Y +y з х 1 |
умножением на — | — заменить, |
согласно (4.44), на ] /Я 5: |
|
Тогда найдём: |
|
|
§25. Потенциал сил и моментов и постановка задачи
оравновесии оболочек.
В§ П уже было показано, что напряжения, возникающие в теле при активной упруго-пластической деформации, имеют потенциал, причём последний представляет собой работу внутренних сил. В слу
чае |
несжимаемого |
материала работа внутренних сил, приходящаяся |
на |
единицу объёма |
тела, равна |
ei
W = J а{ deit
о
Естественно ожидать, что силы Т и моменты М9 возникающие в обо лочках, также имеют потенциал, который представляет работу внут ренних сил, приходящуюся на единицу площади серединной поверх
ности её
Л/2
U = f Wdz.
— Ь/2
Вариация функции V, соответствующая вариациям деформаций 8е1э 8®2> *ei2 и искривлений 8х1э 8ха, 8х12, должна равняться работе сил Ти Л 2 и моментов Ми Afa, Л112 на вариациях деформаций и искривлений:
8С7= T fa + |
Га8еа + |
2Г1а8е1а— Af^X! — AfaBxa — 2М 198х12. (4.49) |
||||||
Если вариацию |
8U подсчитать по формуле |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ь/2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ш = |
( 0{be{ dz, |
|
|
|
(4.50) |
|
|
|
-hj2 |
|
|
|
|
|
|
причём ei взять по формуле |
(4.19), то мы |
получим новый |
способ |
|||||
выражения сил и моментов через деформации |
и искривления: |
|
||||||
„ |
d U |
_ |
d U |
|
|
1 d U |
|
(4.51) |
Т 1 = д Г , ' |
|
|
Т 12 — 2 дгп |
’ |
||||
|
d U |
.. |
d U |
iWia = |
___ 1 |
д Ц |
|
|
м ‘ = |
- д й ' |
Л*а — |
д ъ ' |
2 <hcj2 |
|
|||
|
|
|
Что формулы (4.51) точно совпадают с (4.26), (4.27), легко убе диться путём вычисления вариации 8^ согласно (4.19):
= 8Р. ~ 2гЬР,х+ гЧРх
Отсюда, между прочим, видим, что величины
р |
Р |
1 ■« |
* *1 |
можно принять за обобщённые перемещения, а величины
— за соответствующие им обобщённые силы, причём
|
|
2 , |
_ дЦ |
|
4^ . _ |
дЦ |
2 . |
dU |
|
(4.53) |
||
|
|
3 Ji ~ |
дР, ’ |
3 J* — дР„ ’ |
3 J* |
"" дРх |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
Если |
вычислить |
вариации |
8 |
8Я,Х 8РХ, согласно |
выражениям |
||||||
(4.43), |
и заметить, что: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ЪР, = 2Р„и, |
8Я.Х= |
Р«М + |
Р Ь*Х, |
8РХ= 2 / \ )3>) |
(4.54) |
|||||
то, |
собирая коэффициенты при |
вариациях одних |
и тех |
же деформа |
||||||||
ций |
и искривлений |
в (4.52), получим, например, |
при Sex: |
|
||||||||
|
|
3 ^ = |
4 yi( ei + У |
е* ) ~ Т Уа(х1 + Т Х>)’ |
|
|
||||||
что, согласно (4.26), совпадает с Тх; аналогично |
убеждаемся в спра |
|||||||||||
ведливости всех |
остальных формул (4.51). |
|
|
|
|
|||||||
|
Возможны три основные постановки задачи о равновесии пла |
|||||||||||
стинок. |
1) Постановка |
задачи |
в усилиях и моментах; для этого |
необ |
ходимо написать уравнения равновесия элемента оболочки и к ним присоединить условия совместности деформаций и кривизн, выражен ные через усилия и моменты, согласно (4.47). Уравнений равновесия
будет, вообще |
говоря, |
пять: три уравнения равновесия проекций |
||
сил Tlf |
Г2, Г12, |
Nv ДГ2 на оси х, у, |
г и два уравнения равновесия |
|
моментов |
М1У Мъ, М^ |
и моментов |
сил Nly N2 около осей х и у; |
недостающие уравнения находятся из условия совместности шести
величин е1, е2, |
е12, хг х2, |
х12 |
(4.47), |
которые выражаются |
через |
три компонента |
перемещений |
я, |
v 9 w. |
2) Постановка задачи в |
пере |
мещениях получается, если из уравнений равновесия исключить пере
резывающие силы |
N u N2, а |
остальные усилия и моменты выразить |
||||
согласно (4.26), (4.27) через |
три компонента перемещения. 3) |
На |
||||
конец, |
возможна |
постановка |
задачи без |
уравнений |
равновесия |
эле |
мента |
в виде вариационного |
уравнения |
равновесия |
оболочки. |
Для |
этого необходимо составить вариацию работы внутренних сил всей оболочки
8 У = / / 8 С Ю Е , |
(4.55) |
обобщённых сил на соответствующих им вариациях четырёх обоб щённых перемещений, составленных из 8и, 8г/, 8*0/, и их производных по координатам; обозначая эту работу 8'А, получим вариационное уравнение равновесия
8 1 / = 8 'Л,
решение которого можно искать, например, методом Ритца.
Ввиду громоздкости выражений деформаций е1у е2, е12 и искрив лений х1э хд, х12 через перемещения и, v, w, а также пяти уравне ний равновесия элемента для оболочки произвольного очертания, мы не будем их выписывать, отсылая интересующихся к книге Лява. В конкретных же задачах, которые будут рассмотрены ниже, мы будем пользоваться частным видом всех этих соотношений.
§ 26. Конечное соотношение между |
силами и моментами |
||||||
и постановка |
задачи |
о |
несущей способности |
оболочек. |
|||
Если интенсивность деформаций ei (4.19) любого |
слоя оболочки |
||||||
достаточно велика |
по |
сравнению с |
пределом текучести еаУ т. е. |
||||
- ^ |
V |
Р. - |
2гРп + |
г>Рх= |
е, |
(4.56) |
|
и материал её не обладает упрочнением, то закон а4= |
Ф (е{) совпа |
||||||
дает с условием пластичности Мизеса: |
|
|
|||||
|
|
о, |
= |
ов = |
const., |
|
(4.57) |
или приближённо может быть |
заменён условием пластичности Сен- |
||||||
Венана-Кулона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.58) |
Покажем, что в этом случае между силами и моментами существует конечное (не дифференциальное) соотношение. По формулам (4.37), вынося за знаки интегралов постоянную о{у мы можем вычислить значения функций А, В, С.
В случае доминирующих деформаций изгиба формулы (4.37') принимают вид:
= °e (eit
(4.59')
а в случае доминирующих удлинений серединной поверхности из формул (4.37") находим:
^ 1 |
— ° в (е<ш e4i)i |
|
в |
In |
|
|
« + У < - 4 |
(4.59") |
С, = -7 Г |
------ U -Bt. |
|
В обоих |
случаях величины eit, еи, еи |
выражаются формулами (4.34). |
Рассматривая последние как уравнения относительно трёх квадра
тичных форм Рх, Р „ , Р „ |
перепишем их |
в виде: |
Р . + |
ЛР,х + £ - Р х = |
.1 ^ , |
Решение |
их |
относительно квадратичных форм |
весьма несложно и |
приводит |
к |
следующим результатам: |
|
|
|
*р..=4<«,’-*у. |
|
|
|
л = | п - К ) - т р. |
(4.60) |
^ V ‘l - 4
Для того чтобы определить знак в последней формуле, воспользуемся неравенствами (4.35) и (4 .3 6 )..В случае доминирующей деформации изгиба из (4.35) имеем:
|
|
— 2 - £ р х< А Р . х< 2 . |
|
|
|
|
|||
Легко проверить, |
что |
это |
неравенство |
будет |
иметь |
место, |
если |
||
в формуле (4.60) |
для |
Рх в |
скобках |
взять знак ( + ). Аналогичным |
|||||
образом убедимся, |
что |
неравенство |
(4.36) будет |
иметь |
место, |
если |
|||
для Рх в скобках взять знак ( — ). |
|
|
|
|
|
||||
Ниже во |
всех |
формулах, |
имеющих два знака, верхний знак будет |
||||||
относиться к |
случаю доминирующего |
изгиба оболочки, |
а нижний — |
||||||
к случаю доминирующего растяжения-сжатия её. |
|
|
|
||||||
Введём два основных параметра \ |
и ji |
следующим образом: |
|
Эти |
параметры |
удовлетворяют |
условиям: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 < Х > р < 1 , |
|
|
|
(4.61') |
|||
поскольку еи — есть |
минимальное |
значение интенсивности деформа |
||||||||||
ций |
в |
данной |
точке |
оболочки. |
Тогда |
формулы |
(4.60) |
можно пере- |
||||
писать |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
2 |
Р |
= |
^ д д |
и |
|
|
|
|
|
|
И%— 4Д2 ui> |
|
|
8h |
|
|
(4.62) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р , — ^ Ч 4 ,.> + 4 » ) , |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
и Д обозначают следующие функции: |
|
|
|
|
||||||
|
|
*1 |
/ 1 — |а2±:]Л* — |*9 , |
Д = |
|
(4.63) |
||||||
Вид |
формулы |
(4.62) |
для Р%станет вполне понятным, |
если принять |
||||||||
во внимание тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4р»+ Д * = |
1 + |
X a-f 2 p * + 2 V (1 - |
|
р») (Л» - |
^ ) . |
|||||
Пользуясь обозначениями |
X, р |
и установленным |
правилом примене |
ния двузначных формул, можно теперь переписать выражения функ
ций А, |
В, С (4.59) |
в |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 = |
|
|
|
|
*0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я = |
сгвф(Х, |
р), |
|
|
|
|
|
|
|
(4.64) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = |
\ |
V®, 17.(*. Н^) — I4®Ф (*, Р)]. |
|
|
|
|||||||||
причем |
функции ф, ф и х |
определяются |
так: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
<Р = |
X — 1, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
In |
1 + y f l — Р * |
+ |
1 п |
Х + |
т/~Х» — fi» |
|
|
(4.65) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
11/*1 — р8 ± Х / Х 8 — р* |
|
|
|
|
|||||||||
Пользуясь |
формулами |
(4.62) |
и (4.64), |
теперь |
мы можем убедиться |
|||||||||||
в том, |
что квадратичные формы Рд, Рц |
и Рдв, |
согласно |
формулам |
||||||||||||
(4.45) |
и |
(4.38), |
не |
зависят |
от величины |
eti и |
являются |
функциями |
||||||||
только |
параметров |
X |
и р. |
|
В |
самом |
деле, |
слагаемые |
(4.45') |
имеют |
||||||
общий |
множитель о* А®, но не зависят |
от |
e't, так как |
обратно про |
||||||||||||
порционально е8, |
а Рщ прямо |
пропорционально |
е^, и потому |
У8 Р, |
||||||||||||
не зависит от etl. |
Аналогично убедимся, что слагаемые (4 .45") |
имеют |
||||||||||||||
общий |
множитель |
о* |
A4, |
a |
е{ |
в |
них сокращается и, |
наконец, что |
||||||||
слагаемые |
(4.45'") |
не зависят от |
и имеют общий множитель |
А8. |
В связи с этим естественно ввести обозначения для характерного
значения сил 7\, Га, Г19 и моментов |
M v Afa, Ж 12: |
|
Ts = OrA, |
|
|
M, |
(4.66) |
|
• I |
||
~ |
Как увидим, величины Ts и Ms соответственно в задачах о безмоментных деформациях оболочек и задачах о чисто моментных дефор мациях их играют такую же роль, как предел текучести os в задаче о плоском напряжённом состоянии. Поэтому целесообразно ввести обозначения для безразмерных сил и моментов:
Ti |
II |
T , |
to |
II |
s 4 |
Ts ’ |
Ts ’ |
• H |
|||
A fj |
m2 = |
M i |
|
|
A fjj |
M s |
|
|
|||
’ |
M s |
’ |
|
|
а вместо квадратичных форм (4.44) рассматривать формы от безразмерных сил и моментов:
(4.67)
квадратичные
Qm = |
m \ |
m 1m 2 + ^ + |
|
|
|
(4.68) |
||
Qtm — |
|
|
2*^1/л2 |
*2 *2т 1“H^2^2 |
|
|
|
|
Последние связаны с |
|
PR 9 PSH очевидными |
соотношениями: |
|||||
О = |
— |
’ |
О — |
4/>я |
о — 4PsH |
■ |
а |
|
Qt |
зТ2 |
Q m — |
З М 2 » |
Qtm ~ |
37^ |
|
Произведя довольно громоздкие преобразования правых частей урав нений (4.45), а именно возведение в квадрат многочленов и пере множение, и собирая затем коэффициенты при
<р4'. хФ> <рх> х9»
получим следующие уравнения:
Q tm = |
(i*9^ 9 + A®2 - h tt9T<l' + Tic). |
|
|
ff"-2 (j*8 -f Д9Иа+ (4|A8+ |
(4.70') |
Qm = ~ r |
Д2) <P2 + |
|
al |
|
|
|
+ 2(хаД<рЦ» — 2 (i^ x + |
2Д<PX+ X9] • |
Поскольку правые части уравнений (4.70'), согласно (4.63) и (4.65), являются функциями только двух параметров \ и р., то в трёхмер ном пространстве с переменными Qt, Qm, Qtm они представляют поверхность
Qm, Qtm) *= 0» |
(4.70) |
а (4.70')^ является параметрическим уравнением этой поверхности. Получаемая таким образом связь между квадратичными формами (4.68)
называется |
конечным соотношением между силами и моментами, |
||||||||||
действующими |
в |
оболочках. Конечное |
соотношение было получено |
||||||||
из |
гипотезы |
Мизеса о{ = |
о8 и потому оно является обобщением усло |
||||||||
вия |
Мизеса1) I1!. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Существование конечного соотношения между силами Т и момен |
||||||||||
тами М в случае |
идеальной пластичности, т. е. при условии |
Мизеса |
|||||||||
и при малости упругих деформаций, вытекает и |
непосредственно из |
||||||||||
формул |
(4.23') |
и |
(4.24'), |
поскольку при этом |
они являются |
одно |
|||||
родными |
нулевой |
степени |
относительно |
шести |
величин elf |
е2, е12, |
|||||
xi> |
*12* |
Отношение |
любой |
деформации к |
е{9 согласно |
(4.19), |
|||||
может быть выражено через пять независимых параметров. В |
самом |
||||||||||
деле, пусть, |
например, |
ф |
0; |
обозначая пять соотношений |
|
мы можем выразить правые части уравнений (4.23') и (4.24') через
Cl
эти пять параметров, так как —— или
будут |
зависеть только |
от |
них. Но |
если шесть |
величин |
Su |
S2, S12, |
|
Hv / /2, Hi2 являются |
функциями |
только |
пяти |
параметров, |
значит, |
|||
между |
ними существует |
одно конечное |
соотношение, |
и оно пред |
ставляет поверхность в пространстве с шестью переменными Tv Г2, Г12, М и М2> М 12, Поверхность (4.70) представляет трёхмерный образ указанной поверхности шестимерного пространства.
Переходим к более подробному анализу конечного соотноше ния (4.70'). Прежде всего отметим три частных случая конечного соотношения.
1.Безмоментное напряжённое состояние имеет место при %х=
*=»ха = х12= 0; при этом и Рп = 0 (4.68). Конечное соотношение получим из (4.70'), если положим, что деформации волокон по тол щине оболочки одинаковы:
х = |
1. |
1) Заметим, что конечное соотношение, выведенное нами из уравнений теории малых упруго-пластических деформаций, будет иметь такой же вид и согласно теории течения Сен-Венана-Мизеса.