Механика композиционных материалов
..pdfЭти же условия являются входными данными для решения задачи Д в(0), решение которой имеет вид
|
|
|
|
|
*•» |
= |
- у |
- . |
|
|
|
|
(4.28) |
||
Входные данные для решения задачи Дв(1) |
будут |
|
|
||||||||||||
Л°) = Я 1) = |
ф(‘>= (2<1) = |
Я 1>= 0, |
м Г = — ( ? № ! ! (е)]|г,. (4.29) |
||||||||||||
Из |
(4.17) |
следует, что значению |
х2 = — 1/2 |
|
соответствует £ = 0 |
||||||||||
и п= 1, |
а значению лг2 = 1 /2 |
соответствует £=1 |
и n= N, где N, как |
||||||||||||
и прежде, — число ячеек |
периодичности, составляющих |
полосу, |
|||||||||||||
а п= 1, 2, ..., N — номер этой |
ячейки (начиная |
от нижней грани |
|||||||||||||
цы полосы |
х2 = — 1/2), |
которой |
|
принадлежит |
рассматриваемое |
||||||||||
значение медленной координаты |
х2. Из (4.13) |
|
получаем |
|
|||||||||||
ГШ (0) = |
ГШ (1 )= < Е А В> = |
( i ( v ( i ) - < v ) ' ^ - ) ) |
= - d . (4-30> |
||||||||||||
Следовательно, М 1)и= ^ . Решение задачи |
Дв(1) |
при входных |
|||||||||||||
данных (4.29) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Х“ >= |
|
2gdxl |
|
|
|
|
(4.31) |
||
Для задачи Дв(2) |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
т|(2) = |
Я 2) = |
ф<2>= |
Q(2>= |
|
Mi2) = |
О, Я 2) = 1 2 # ^ , |
(4.32) |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-< * . - |
Г ш (1) = |
г ,,, (0) = |
<ЕВц> = |
( е |
|
- 1 ) ) |
• |
|||||||
Функция напряжений х(2) определяется формулой |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Х(2) = |
6qddi |
|
|
+ - у j* |
|
|
|
(4.33) |
|||
Вообще для задачи Д в(5 ), |
s > 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х<*> = |
Y |
plS) (*2 + |
т |
) 2 + |
ш »‘ } *2 ’ |
|
(4'34) |
|||||
Где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(! > = |
|
|
м Р |
= |
dip(s~''l — 24d2M<s_2>, |
м (°) = 0. |
|||||||||
|
|
|
(1) = |
- |
М 22 (0) = |
|
у |
[<k + ( S* ( - ^ g - |
- 1 ) |
) ] .(4.35) |
|||||
Из (4.31) и (4.34) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X<2s_1) = |
2 p * 'V * 2 . X<2s> = |
6p - 1qdd1 (x2,+ y ^ 2 |
(s = |
1,2, ... ) , (4.36) |
|||||||||||
6 Б . E . П о б е д р я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
161 |
где |
|
|
|
|
|
Р - |
12 (df - |
2<g = |
1 - 12 |
<^ £><<^>)г (SE)2 ■ |
(4.37) |
Подставляя, |
далее, |
(4.14) |
и (4.36) |
в ряд (4.8.30) |
и суммируя |
его, получим следующие ненулевые компоненты тензора напря жений:
= Ч [о (I) - (V) - S f f + I2ad Ш . - ^ ] .(4.38)
В выражение для оц входят функции быстрой переменной |, параметр а, а также константы d, d\ и ft, величина которых зави сит от вида неоднородности в ячейке периодичности. Поэтому их можно назвать локальными параметрами неоднородности. Ис пользуя зависимость (4.17), можно выразить локальные парамет ры неоднородности d, dx и ft через глобальные параметры неод нородности
d= --L ..w ° - W i., d1= _ _ L A ,
|
|
a |
JI0 |
|
а Ро |
|
|
|
|
|
(,з9) |
|
1/2 |
|
|
1/2 |
|
4k= |
j |
4 |
V (х2) |
рЛ== j |
х2 Е (х2) dx2, |
|
—1/2 |
|
|
—1/2 |
|
где уk и р,* — глобальные параметры неоднородности. |
|||||
Подставим |
(4.39) |
в |
(4.38) |
и заменим |
в (4.38) функции от | |
функциями от х2, сохранив за ними прежние обозначения. Окон чательно получим
°22 ~ Я> ^11 = |
V (Х2) Ро YO-E (*2) |
|
Ро |
L |
|
— Е (х2) (*2Ро—PiHYiPo—Y0P1) |
(4.40) |
|
|
Р2Р0—Р? |
|
Напряжения (4.40) удовлетворяют уравнениям равновесия, ус
ловиям |
совместности |
и граничным условиям (*4.27) |
при произ |
||
вольных функциях £ (* 2) |
и v(x2) (необязательно |
периодических). |
|||
Из |
(4.40) следует, |
что |
нормальное давление |
через |
неоднород |
ную полосу передается без изменений, независимо от вида неод нородности полосы, но при этом возникают самоуравновешенные напряжения ап, причем эти напряжения сохраняются и в том слу
чае, если модуль Юнга |
полосы Е не зависит от |
координаты х2. |
В этом случае из (4.40) |
имеем |
|
0\1= q [v (х2) —Yo— 1 2*2YI] > |
(4.41) |
где у0 и -Yi определяются по формуле (4.39). Например, если по
лоса состоит из двух изотропных однородных слоев одинаковой толщины, причем
Vl> |
— |
v(x2) = |
(4.42) |
Vs. |
О < хг < -L, |
тогда
<*н = Я |
[3*s!+ ( - |
|
где п = 0 при — 1/ г « : * 2 < 0 и |
п= 1 |
|
при 0< *2<7г. Эпюра |
распреде |
|
ления 1напряжений |
(4.43) |
при |
v i> v 2 показа/на на рис. 18. |
ъ • |
|
Нетрудно видеть, что по тео |
||
рии эффективного модуля |
реше |
|
ние этой задачи имеет вид |
|
1)л]. (4.43)
f z
-LH И тш тттпт
%
£
(722э= <7> 011Э= О. |
(4.44) |
т п т ТПТГ Н И Ж Н Р 4 |
|
Решение по |
теории |
нулевого |
Рис. 18. |
приближения |
получается (учи |
|
тывая только решение по теории эффективного модуля (4.28))’ в виде
4S* = <?, |
ей» = - 2 - [v (х2) щ, - |
у„Е (*)]. |
(4.45) |
|
|
Ро |
|
|
|
т. е. отличается от точного решения (4.40) |
на величину |
(4.46) |
||
СТ2- (7$ = 0; andi? =aj1/2 (*2- у) £ (у ) d y , |
||||
|
|
- 1/2 |
|
|
где постоянная а равна |
|
|
|
|
|
а = Л — |
|
(4. 47) |
|
|
Ро |
РгРо—Pi |
|
|
Из (4.38) видно, что |
для того |
чтобы решение по теории |
нулево |
го приближения отличалось от точного на заданную величину б:
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
(<*и (*а) — <*!1* (*s)> dx* < |
6' <?- |
(4-48) |
|||
- |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
необходимо взять |
не |
менее |
N ячеек |
периодичности, |
где |
||
N = |
— |
> л / |
+ Р |
. Ь = |
12<Й1- |
(4-49) |
|
|
|
а |
У |
о |
|
|
|
Например, для двухкомплектного композита с объемной концент рацией у = 7 г с постоянным коэффициентом Пуассона v и модуля ми компонентов El = const, Е2 = const, из (4.49) имеем
дг^ |
-2L + 1 |
х = -^ -. |
(4.50) |
2 1+х г |
б |
Ех |
|
2.Избиг неоднородной консоли равномерной нагрузкой. Кон
соль |х2| < 72, OC J C IC /, l^>1 одним концом х\ = 1 заделана и изги бается нормальной нагрузкой интенсивности q, распределенной равномерно по стороне х2= 72.
Граничные условия:
|
|
в*22!* — |
1 ~ |
&2 2 1^ |
1 |
L = |
°^i21^ =4_ 1 ~ |
Q- |
(4.51) |
||||
|
|
* |
2 |
|
2 |
|
|
* |
“ |
2 |
|
|
|
Условия равновесия любого сечения: |
J |
x2andx2= |
qx\ |
|
|||||||||
|
J |
a1ylxt |
= q x |
l, ^ |
|
= 0,. |
|
||||||
|
1/2 |
|
|
1/2 |
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
- 1 /2 |
|
|
—1 /2 |
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
“ Г - |
(4-52> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В этом случае решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аi2= |
— |
J Y (у) Е (у) dy, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*22= |
( |
dz |
f Y (у) E (у) dy, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
—1/2 |
—1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«и = W° ["г" |
K (*a)E (X^ + |
V (Xa) — |
|
|
|||||||
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
- F° (Ш - |
ИЛ) E (x,) |
f V (y) dy - |
n»K (хг) E (xa) |
(j yW (y) dy, (4.53> |
|||||||||
|
|
'F ( X 2 ) = E (X2 [ |
J |
dz |
j |
Y (y)v(y)dy — |
|
|
|||||
|
|
|
|
—1/2 |
—1/2 |
|
|
|
|
|
|
||
X , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X , |
|
z |
|
- |
f -77-Г |
f Y(y)E .(y)dy] + |
|
|
f |
dz |
f |
Y (y)E (y)dy, |
|||||
- 1 / 2 |
— 1 / 2 |
|
J |
|
|
— 1 / 2 |
|
— 1 / 2 |
|
|
|
||
= |
(p^o - |i? )-i, |
К (у) = |
р01/ - |
px, |
G (*2) = |
— |
|
■, (4.54) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(l+v(x*)) |
|
|
где G (X2) — модуль сдвига, а |
константы |
|
определяются по |
||||||||||
формулам |
(4.39). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Изгиб опертой балки равномерной нагрузкой. Для изотроп
ной неоднородной |
по ширине |
балки |*2 |<У2, |*i|</, |
/ » 1 , шар |
нирно опертой по |
концам и |
изгибаемой нормальной |
нагрузкой, |
равномерно распределенной по стороне х2 = 1/2, формулы для о\ч и 022 получаются такими же, как и в предыдущем примере, а про дольное напряжение определяется в виде
*11 = W 0 [ |
Х'~ ‘2 Y (хг) Е (хг) + V W |
_ |
||
|
1/2 |
1/2 |
|
|
— Ц0(Ца — И1 *а)£(*а) |
^ |
У (y)dy — \i0Y(x2)E(Xz) |
j |
y'¥(y)dy. (4.55) |
- |
1/2 |
- |
1/2 |
|
4. Изгиб неоднородной консоли линейной нагрузкой. Консоль |*2| < 72> 0 < * i< /, l^>1 одним концом Х\=1 заделана и изгибается нормальной нагрузкой интенсивности qxи распределенной по сто роне Хч —!/2.
Граничные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ffaal |
1 = |
— <7*1. |
°аа I |
|
i = 0 , |
<*1а| |
. 1 = 0 . |
[(4.56) |
||||
|
|
'■= 7 |
|
|
|
'“ |
|
7 |
|
|
Х,=±Т |
|
|
Условия равновесия любого сечения: |
|
|
|
|
|||||||||
|
1/2 |
|
2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
1/2 |
|
3 |
|
|
J 0*12^2 = |
—^ |
^ |
|
011^*2 = |
|
J ^2^11^2 = g |
• (4.57) |
|||||
- |
1/2 |
|
|
- |
1/2 |
|
|
|
|
- 1/2 |
|
|
|
Решение задачи имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0ц = - у - |
\i°Y(.х2)Е (х2) + |
qxffl* [ V (*2) — Р° (Рг — |
|
|||||||||
— |
Piх2) Е ( х2) |
1/2 |
y¥ (y)d y — |
\L°Y(x2)E (x 2) |
г2 |
уЧ (у) dy J, (4.58) |
|||||||
Г |
j |
||||||||||||
|
|
|
—1/2 |
|
|
|
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
|
|
022 = |
<7*iP° |
J dz |
j |
Y (у) E (y) dy, |
|
||||||
|
|
|
|
|
— |
1/2 |
- |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X , |
К(у) E (у) dy— fli° [ |
1/2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
Г |
j V { y ) d y - |
|
|||||||
|
|
|
|
—1/2 |
|
|
|
|
|
—1/2 |
|
|
|
|
|
|
X , |
|
|
|
|
|
|
/2 |
I |
|
|
|
|
— Po Г(P2— Piy)E(y)dy |
j |
|
— |
|
|||||||
|
|
|
—1/2 |
|
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
x, |
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
- P o |
{ Y (у) E (y) dy |
j |
yV (y)d yj. |
|
|||||||
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
-1/2 |
|
|
|
|
На рис. 19 показаны эпюры распределения напряжений, отне сенных к q в среднем сечении х\= 1/2 = 5 двухслойной консоли (один пакет) при Vi = 0,2; л>2= 0,4; у.^ Е 2/Е\ = 1/10; у=1/2. Кривые, соответствующие теории эффективного модуля, помечены «э»,
теории нулевого приближения — «0», а соответствующие точному решению — «т».
На рис. 20 изображены эпюры напряжений для того же ком позита, но составленного из 4-х слоев (2-х пакетов).
Упражнение 4.5. Показать, что во всех рассмотренных приме рах 1—4 выполняется
lim m axltf^ — cru |= 0. © |
(4.59) |
N-+оо
Итак, асимптотический метод осреднения позволяет в некото рых случаях получить точное решение поставленной задачи, при
чем решение по теории нулевого приближения стремится к точно му при увеличении числа ячеек периодичности (пакетов) к оо, хотя даже при одном-двух пакетах оно правильно отражает осо бенности точного решения (рис. 19, 20).
Упражнение 4.6. Получ'ить решения |
рассмотренных задач |
1— |
|
4 для плоской деформации, произведя |
во всех формулах |
замену |
|
Е-+-Е' = —£—, v “->■ v/ == — —— . |
(4.60) |
||
1—V2 |
1—V |
' |
' |
§ 5. Слоистые квазипериодические структуры
Пусть в некоторой криволинейной системе координат х1, х2, х3 тензор модулей упругости С зависит только от координаты х3, причем
С (г Ч /г 6 )= С (х 3), п = 0, 1, ..., N. |
(5.1); |
Такой композит называется слоистой квазипериодической струк турой. (Все рассуждения, проведенные ниже, будут годиться и для регулярных слоистых структур (4.5.8).) Решение задачи тео рии упругости (4.5.12) — (4.5.14) для такого композита согласно (4.5.16) и (4.5.32) ищется в виде ряда
“ ‘•= Е |
а ,Е Е ]С«|Й<е- *)*££!*,<*)• |
(5-2) |
<7=0 |
р = 0 Р = 0 |
|
где I — быстрая переменная, связанная с медленной х3 зависи мостью
* з= Хоз+ ( „ _ ! + £ ) а, /г=1, 2, ...» N, |
(5.3)] |
где |
(5.4) |
Xo3< x 3<Xjv3, |
|
г N — число «пакетов» (ячеек периодичности), состоящий |
из не |
скольких слоев, внутри каждого из которых модули упругости яв ляются непрерывными функциями х3.
Заметим, что граничные условия вида (4.5.14) формулируются
только |
на границе 2 = {х3 = х03 и x3 = xN3}, а на остальной поверх |
ности |
(если она имеется) граничные условия удовлетворяются ин |
тегрально.
Для отыскания членов ряда (5.2) нужно решить две рекур рентные последовательности. Одна из них состоит в многократном
решении краевой задачи теории упругости |
Д а(р ) |
для однородно |
|
го тела (4.5.33), (4.5.34)". |
|
|
|
hilw\p} + |
= |
0, |
(5.5) |
(А«ЦМ + ^ 4 |
' })« ik = s o(p) |
(5.6) |
при интегральных граничных условиях на 2'. Входные данные каждой задачи ДА(р) определяются с помощью соотношений (4.5.37) — (4.5.39).
Вторая рекуррентная последовательность состоит в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.5.22) при выполнении условий (4.5.23), (4.2.15), (4.2.22), причем в каждой задаче Ж(<7, Р) этой последовательности дифференцирование про изводится только по переменной £.
Например, для задач Ж а (— 1, —2) и Ж а (— 1, — 1) имеем урав нения (4.6.52), (4.6.53):
[С'3т3 (N‘mJ - Г ^ С '3"»]' = 0,1 |
(5.7) |
|
[C‘s^ (M ? )m) '+ C ^ ] ' = |
0, |
(5.8) |
ИЗ которых находятся локальные функции |
# | 0 ) т ( £ ) |
И ^ U ) m U ) » n o " |
еле чего можно найти эффективные характеристики, входящие в
(5.5), |
(5.6) |
и зависящие, вообще говоря, от медленных координат |
||||||||||
х 1, |
х 2, х 3. |
(Штрих означает производную по |
быстрой координате |
|||||||||
£.) |
Из |
(4.6.48) — (4.6.51) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
h“й = < -rlt/Cilmn+ 2r5ic/^m3(jV'0)m)'— |
|
||||||||
|
|
|
|
_ 2 Г < - 0 > - Г ^ + |
С"-Л7{0)т1П1/>. |
|
(5.9) |
|||||
|
|
|
|
h‘k‘ (Г) = |
(С'*т3 (N\a)m)' - |
ГLC 1*” " + |
|
|
||||
|
|
|
|
+ 2Г<‘С/)т3 (Щ\)тУ + 2Г^С/к«), |
|
(5.10) |
||||||
|
|
|
|
ЫМ Й |
= (С‘1т3 (Nt\)m)’ + С*7«>. |
|
(5.П) |
|||||
|
|
|
|
f t f Й |
= |
(С,,т3 ( < 0)т)' |
|
|
. |
|
(5.12) |
|
зор |
Заметим, что локальные функции |
No)m(l) |
в |
и эффективный тен |
||||||||
модулей |
упругости |
h‘’kl уже |
найдены |
§ |
1 (см. (1.14) и |
|||||||
.(U 2 )l: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
* 8 „ ( 8 = ц ? ( 0 - < д г > . |
|
|
|
(513) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
Й ( 0 - } |
С^з‘,3 (n ) |
: [ |
< ( ^ ' 3 p 3 |
) (Ср^зС’- 1 ) - 3'*)1 |
- С '3'* (Т))] dr\, |
(5.14) |
||||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h‘M = |
(СИ») + |
( C ^ C - 'J |
((С"3'’3)-1) - 1 (С ~ '3Ст 1 ) - |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.15) |
|
Упражнение 5.1. Показать, что из решения |
уравнений |
(5.7) |
|||||||||
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Mo)m(I.x) = |
- r ' , ^ ? )m. |
|
|
(5.16) |
Упражнение |
5.2. Показать, что из решения уравнений (5.7) и |
из (5.9), (5.10) |
следуют (4.6.54), (4.6.55). |
Упражнение 5.3. Показать, что задачуДА (/?) (5.5), |
(5.6) мож |
||||
но сформулировать в виде |
|
|
|
|
|
|
+ X* = 0, |
|
(5.17) |
||
|
hiikly lwlP)nj \zt = |
So{p}. |
(5.18) |
||
Упражнение 5.4. Показать, что тензор модулей упругости нуле |
|||||
вого приближения, определяемый формулой |
(4.6.59), |
имеет вид |
|||
( 1.11): |
|
|
|
|
|
с% ‘ (|) = С‘Ш (I) + |
С"” 3 (I) [С-^,3 (I) ((С»303)-1>-1(С--,зС,34() _ |
||||
|
-Щ й з (| )С "3*'(|)]. |
с |
|
|
(5Л9> |
Обратим внимание на то, что если найдено решение по теории |
|||||
эффективного модуля |
vk(x) = Wk^ (я), |
то |
напряжения |
в теории |
|
нулевого приближения подсчитываются |
по |
формуле (4.6.57) |
|||
4 ) = |
(Ю Ъ$ + С(Й' (|) » , , W . |
(5.20) |
где кроме тензора модулей упругости нулевого приближения, оп ределенного в (5.19), нужно еще подсчитать величины Ci/k(o)- Од
нако в силу справедливости соотношения |
(5.16) |
легко показать, |
|||
что |
|
|
|
|
|
|
С(61® = |
- Г£,С(Й?®- |
(5-21) |
||
Отсюда находятся входящие в |
(5.6) величины /г'7**: |
|
|||
|
/г ;/* = (С $ ) = - |
|
(5.22) |
||
Теперь |
достаточно решить |
задачу Да(0) для однородного |
те |
||
ла, чтобы |
сразу жевыписать решение этой |
задачи |
по теории |
ну |
левого приближения, т. е. учесть микронапряжения.
Как частный случай слоистой квазипериодической структуры, можно рассмотреть слоистый шар и слоистый цилиндр, для чего во все формулы нужно подставить конкретный вид символов Кристоффеля.
С тем, чтобы сохранились все предыдущие выкладки, коорди натой хг следует считать радиус г. Тогда в обоих случаях тензор
модулей упругости обладает свойством |
|
|
|||
С (г + л б )= С (г ), |
п= 0, 1, |
N, |
R0< r< R N, |
(5.23) |
|
(если рассматривается сплошной шар или |
цилиндр, то |
Ro=0). |
|||
Положим в случае шара |
|
|
|
|
|
|
* 1= 0, |
Jt2=<p, |
хъ = г. |
|
(5.24) |
Тогда имеем (см: приложение III) |
|
|
|
||
gn = |
(г sin ф)2, g22= r 2, gss= U |
|
|||
ц 2= — г, |
TJj = — г 81л2 ф, |
Г2п = |
— sin фcos Ф, |
(5.25) |
Г|з= Г!з= 1/ П2= Ctgcp.
Для цилиндра положим |
|
*1 = 0, *2 = Z) хъ=Гу |
(5.26) |
тогда |
(5.27) |
g п = г2, ^22 =^зз=1, Гц3 = — г, Г131= 1 /г. |
Обратим внимание на то, что при решении задач теории упру гости обычно пользуются физическими компонентами векторов и тензоров. Чтобы получить выражение в физических компонентах, например для цилиндра, следует каждую ковариантную компо ненту с индексом 1 разделить на г (столько раз, сколько встре чается индекс 1), а каждую контравариантную компоненту с ин дексом 1 умножить на г (приложение I).
Тогда, например, подставляя выражение (5.27)
T in = - |
гбз & |
6 i + |
6 { (Sind1 + |
б* |
6 i |
). |
(5.28) |
|||
|
|
|
|
2г |
|
|
|
|
|
|
в уравнения равновесия |
(4.5.12) и соотношения Коши |
|
||||||||
г тп = |
|
( ит,п + |
ип,т) |
|
Н п А ’ |
|
|
(5.29) |
||
получим соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tr„. j + |
"гз+ба^з-бйЯи |
+ |
х е - |
о, |
|
|
(5.30) |
|||
«1/ = Y (И*./ + |
«/.о + |
|
— |
фи |
А А / |
+ |
S a A i ) ; |
(5.31) |
здесь (как и далее) считаем компоненты векторов и тензоров фи зическими (индекс «ф» будем опускать), а частные производные понимаются в следующем смысле:
f |
1 |
3 / |
. |
df |
. |
df |
(5.32) |
1. 1 -------------— |
> / ,2 |
~ |
» 7.3 - — . |
||||
|
r |
d0 |
|
dz |
|
дг |
|
Например, из (5.21) и (5.28) имеем |
|
|
|
|
|||
Ф (I) |
= |
|
(I) «и - |
С % (I) < у . |
(5.33) |
||
Рассмотрим теперь плоскую задачу теории упругости. В этом |
|||||||
случае необходимо |
ввести |
приведенные |
упругие характеристики |
(6 независимых приведенных упругих постоянных в общем случае вместо 21-й в трехмерном случае). Эти характеристики будут раз личными в зависимости от того, рассматривается ли бесконечная слоистая труба (плоское деформированное состояние) или состав ное тонкое кольцо (обобщенное плоское напряженное состояние); см. приложение V. Чтобы сохранить в прежнем виде эффектив ные характеристики плоского случая, необходимо переобозначить координаты, а именно полагаем
х1= 0, x2 = r, x3 = z. |
(5.34) |