Механика композитных материалов 2 1983
..pdfУДК 539.3:678.067
Г И. Брызгалин, В. П. Багмутов, С. Д. Копейкин
АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАКОНОВ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПОДХОДА
Одним из существенных преимуществ композитов по сравнению с традиционными изотропными и однородными материалами является возможность изменения их внутренней структуры по усмотрению проек тировщика. Реализация этого преимущества связана с необходимостью подбора закона среды, т. е. уравнений связи между напряжениями, де формациями и параметрами структуры композитного материала, доста точно точно описывающего свойства не только одного материала, но це лого их ряда, получающегося при изменении структурных параметров, таких, как углы между волокнами, объемная доля волокон в слое и т. п. Более того, желательно, чтобы принятые модельные представления, из которых следуют определяющие соотношения, были пригодны для раз ных типов материалов, как, например, углепластики и металлические композиты. Это облегчит проектирование конструкции в целом, по скольку выбор типа материала является решающим моментом, опреде ляющим качества будущего изделия.
К настоящему времени советскими и зарубежными авторами, часть которых указана в библиографии, разработаны и экспериментально подтверждены разнообразные модели, приводящие к подходящим соот ношениям композитных сред.
Естественно, что каждый автор, предлагая свои соотношения, убеж дается в их удовлетворительном соответствии с экспериментом для неко торых композитов при некоторых условиях испытаний. Однако разнооб разие условий, в которых приходится работать изделиям из композитов, разнообразие форм и соотношений их внутренней структуры приводят к тому, что для каждого конкретного закона можно найти условия испы таний, когда он неудовлетворительно описывает свойства определенного материала. Эти несоответствия могут увеличиваться при смене типов со ставляющих материалов, даже если характер структуры остается прежним.
Такая ситуация вызывает естественные затруднение у проектиров щика при недостатке экспериментальных данных (который в действи тельности всегда имеет место) и может повлечь существенные просчеты
впроектировании.
Всвязи с этим, представляется своевременной для практики и теории инженерного проектирования постановка следующих задач:
1)выяснение областей применимости конкретного закона среды при изменении напряженных состояний, структурных параметров и состав ляющих композитных материалов;
2)расширение области адекватности по отношению к экспериментам конкретного закона композитной среды за счет варьирования свободных постоянных модели, к которым возможно отнести и постоянные, характе ризующие те механические и структурные параметры, определение кото
рых |
из эксперимента не отличается высокой степенью достоверности; |
3) |
подбор наиболее подходящего закона среды для конкретных усло |
вий проектируемого изделия.
Рассматриваемые задачи взаимосвязаны в том отношении, что для их решения необходимо ввести представления о качестве закона среды как многокритериальной оценке его адекватности имеющемуся объему экспериментальных данных.
Ниже на основе многокритериального подхода будет Дай анализ и произведена оптимизация ряда структурных моделей, с помощью кото рых решается типичная задача механики композитов — определение эф фективных модулей упругости в плоскости армирования материала, со ставленного из некоторого числа однонаправленных слоев с заданными углами <рп ориентации волокон в некоторой общей для пакета системе координат
Одним из распространенных приемов решения рассматриваемой за дачи является метод разбиения представительного образца волокнистого композитного материала (ВКМ) с выделением основного «строитель ного» элемента — однонаправленного слоя, упругие свойства которого при структурном подходе определяются при помощи той или иной мо дели (см. обзоры в [1—4]). Компоненты тензора модулей жесткости ВКМ В^м определяются в плоскости армирования 12 на основе закона анизотропной упругости
а « = В « « е ы |
( / , / , * , / = 1 . 2 ) |
(1). |
игипотезы совпадения усредненных деформаций отдельных слоев пакета
тп= гы, где п — номер слоя, по формуле
д^пр dlnq d U <J£n« B n pqrs&n. |
(2) |
В (1), (2) использовано правило суммирования по повторяющимся ин дексам; Qn — относительная толщина я-го слоя в единице толщины па кета; £* — единая система координат, лежащая в плоскости 12, и — система координат п-го слоя, связанная с направлением волокон этого слоя; BnP^rs — компоненты тензора модулей жесткости я-го слоя.
Для большинства относительно простых модельных зависимостей, употребляющихся в расчетной практике, при описании упругих свойств однонаправленного слоя характерно следующее: в качестве структур ного параметра используется объемный коэффициент армирования Vf\ чаще всего однонаправленный слой наделяется свойствами трансвер сально-изотропной с осью симметрии, параллельной направлению воло кон, или ортотропной среды; в приближенных моделях обычно рассмат ривается плоское напряженное состояние как слоя, так и его компонентов.
В ряде случаев для определения модулей упругости однонаправлен ного слоя образуется комбинация из формул, соответствующих разным моделям.
В моделях работ [5, 6], а также в методике последовательной раз резки композита (МПР) [7, 8] использовано понятие подслоя, с помощью которого однонаправленный слой можно представить состоящим из ар мированного подслоя с относительной толщиной со и подслоя связующего с толщиной (1—со). При этом приспособляемость указанных простых моделей по отношению к экспериментальным данным несколько возрас тет, так как появляется второй структурный геометрический параметр т], учитывающий плотность укладки арматуры в плоскости слоя (для одно направленного слоя Vf = сот]). Кроме того, вводится параметр модели с, позволяющий отразить влияние слагаемых, соответствующих нижней и верхней оценкам сдвиговой жесткости слоев и ВКМ в целом на его упру гие характеристики. Использование параметров укладки со и г] делает модель более удобной для расчета и проектирования тел с переменной интенсивностью армирования.
Для удобства анализа и сопоставления результатов по разным моде лям в качестве единого приема формирования величин В^м для ВКМ принят метод разбиения на слои [формула (2)], несмотря на наличие и других методик расчета, например [1, 4, 8]. Свойства же слоев определя ются в соответствии с методикой авторов рассматриваемых моделей. В таблице указаны структурные параметры используемых в работе мо делей 1—7 двухфазного однонаправленного слоя и двухэлементных мо делей 8—11 армированного подслоя однонаправленного слоя.
При использовании моделей 8—11 [5—8] суммирование по формуле (2) производится с уче том толщин (оп армированных подслоев и толщин 1—соп про слоек связующего между ними (в этом случае Qn заменяется в (2) на о)п и 1 —(On,)- Модели 10, 11 [7, 8] построены при помощи МПР и отличаются друг от друга не значительными коэффициентами; модель 9 введена в основном для выявления степени влияния объ емности напряженного состояния на упругие характеристики двух элементной модели и получена на основе гипотез работы [6] без до полнительных упрощений.
Нумерация расчетных моделей (законов композитной среды) и их структурные параметры
№ мо |
Структурные параметры |
Источник |
|
дели |
|
модели |
литературы |
1 |
Е |
G', Е \ G", vf |
19, 10] |
2 |
|
То же |
1[П] |
3 |
|
|
([12] |
4 |
|
|
[1] |
5 |
|
|
[3] |
6 |
|
|
[3] |
7 |
Е \ |
G', Е"\ G", л, со, с |
[3] |
8 |
[5 |
||
9 |
|
То же |
ю: |
10 |
|
|
[7 |
11 |
|
|
is; |
В модели 3 использованы приближенные выражения работы [12]. Мо дели 5—7 сформированы в работе [3] следующим образом: продольный модуль Юнга Е\ в направлении армированного слоя и коэффициент Пу ассона V21 определяются по правилу смеси; формулы для модуля сдвига G12 взяты из работ [13], [12, 14], [15] соответственно для моделей 5, 6, 7; для вычисления поперечного модуля Е2 использовалась модель Рейсса (для модели 5), а Для моделей 6, 7 — выражения работы [15]. В таблице величины, обозначенные штрихом, относятся к арматуре, двумя штри хами — к связующему.
Пусть имеются некоторый композитный материал и эксперименталь ные данные по его упругим характеристикам.
Выделена группа законов среды, подлежащих оптимизации и ана лизу, с целью определения наиболее приемлемых вариантов для описа ния упругих свойств данного материала. Степень соответствия между соотношениями закона среды, полученными из некоторой модели, и имеющимися экспериментальными данными может зависеть от струк туры соотношений, определяемой выбранной моделью; статистических свойств исходных составляющих, технологического процесса изготовле ния композитного материала и экспериментальных данных; неучиты ваемого изменения свойств составляющих при изготовлении композита.
Требуется разработать методику и алгоритм, позволяющие опреде лять наилучшие значения варьируемых параметров соотношений закона среды; осуществлять градацию анализируемых законов по степени адек ватности расчетных и экспериментальных данных; в процессе оптимиза ции и анализа учитывать статистические и информационные характерис тики экспериментальных результатов.
Повышение качества прогнозирования характеристик упругости предлагается осуществлять путем корректировки их числовых парамет ров (параметров управления), в том числе и тех, которые обычно пони маются как заданные.
Конкретно в качестве параметров управления брались структурные параметры модели, включающие модули упругости компонентов ВКМ, объемные содержания волокон, относительные толщины слоев, и вели чину с.
Частные критерии качества. Для решения задачи оптимизации зако нов композитных Сред введены две группы частных критериев качества. Первая — для характеристики степени отклонения расчетных показате лей упругости от экспериментальных, вторая — для характеристики сте пени отклонения Оптимальных параметров управления от их средних значений, рассчитанных по имеющимся экспериментальным данным.
С целью функционального отражения точности описания экспери ментальных данных с учетом вероятностного разброса каждой характе
ристики упругости и количества информации от реализации эксперимен тов при ее получении частные критерии качества первой группы опреде
лялись зависимостью 2= /бя/бР, где 6н=Убя2; 6Р = Убр2; 6я2 — сумма квадратов невязок расчетных и средних значений экспериментальных данных, приходящаяся на одну точку некоторой аппроксимируемой кри
вой. Так, если имеется k средних значений экспериментальных точек, яв-
к
ляющихся функцией заданного аргумента, то 6я 2 = 26яг2/&, 6P = 3S(1/} — 1
утроенное среднеквадратичное отклонение, характеризующее разброс экспериментальных данных относительно среднего. / — коэффициент, характеризующий количество информации (полученное при реализации экспериментов по определению упругой характеристики) относительно ее истинного значения, представляющий аналог меры информации Шен-
п
нона и имеющий вид [16] 1= —ЕР* log* Pi. В данном выражении Pi — до- 1
верительные вероятности отклонения среднего экспериментального зна чения упругой характеристики от ее математического ожидания, опреде ляемые на основании неравенства Чебышева; я — число экспериментов. Как известно, неравенство Чебышева для симметричного одномерного распределения имеет вид [17]
х — — |
----- (р= 1 —Pt а= б Р/3). |
|||
ЗУ/яг |
|
3 Урп |
|
|
|
|
|
|
2 о |
Задавая величину доверительного интервала Д = — = й доверитель- |
||||
|
|
|
|
3 ipn |
ную вероятность Р, определяем необходимое число экспериментов |
||||
_ 4 |
о2 |
_ 4 |
б,,2 |
|
П |
9 |
рА2 |
81 |
рА2 ' |
Таким образом, желая |
описать |
упругие характеристики композита |
с точностью до одного среднеквадратичного отклонения Д= 6Р/3 с дове рительной вероятностью Р = 0,95, получаем я*= 9. Изменяя я от 1 до я*, вычисляем значения соответствующих доверительных вероятностей Р{ = = 1 —4/9яг-.
Положим при я = я* значение коэффициента /= 1, тогда основание
логарифма х определится как |
|
x=l/UPipi. |
(3) |
1 |
|
Задавая основание логарифма х в форме (3), можно сказать, что опре деляется нормированное значение коэффициента / относительно числа экспериментов я*, необходимого для описания значений упругих харак теристик с заданнойkстепенью точности. Соответственно при я = & (k<.
<я*) имеем 7= /fe-Ei P i logxPi.
Если экспериментальные значения рассматриваемой упругой харак теристики являются функцией некоторого аргумента (например вели чины угла ориентации волокон), то окончательное значение коэффи-
т
циента I определится суммой I = Ihm= 2 //t2’, где т — число фиксирован- i=i
ных значений аргумента.
Вторая группа частных критериев качества назначалась из следующих соображений. Подбирая наилучшие значения параметров управления, мы тем самым повышаем адекватность закона среды. Од нако при расширении диапазонов варьирования этих параметров увели чивается степень риска неточности прогноза значений упругих характе ристик произвольно армированных пакетов анализируемого материала.
Учитывая весьма ограниченную экспериментальную информацию, представляется целесообразным осуществлять варьирование параметров управления следующим образом: в достаточно узком диапазоне (обус ловленном реальным разбросом свойств) для упругих характеристик со ставляющих компонентов и в широком диапазоне для структурных пара метров моделей. Вид зависимости частных критериев качества второй группы, характеризующей отклонение параметров управления от их средних значений, рассмотрен ниже, после определения единого крите рия качества.
Единый критерий качества и алгоритм оптимизации. За единый критерий качества принята обобщенная функция желательности Хар рингтона D [18], определяющаяся как среднее геометрическое част-
п ______
ных желательностей D =j/ndi, где п — число параметров оптимизации.
Частные желательности di вычисляются по функции Гомперца (рис. 1—a) di = exp[—ехр(—у*)], где Уг — значение i-ro критерия ка чества, переведенное в безразмерную шкалу. Характерной особенностью обобщенной функции желательности Харрингтона является невозмож ность получения высокого значения D при низком значении частной желательности хотя бы одного параметра оптимизации.
В основу вычисления частных желательностей заложена идея преоб разования частных критериев качества в безразмерную шкалу жела тельности, оценки которой расположены в интервале (0, 1). Максималь ное значение функции Харрингтона, соответствующее отличным значе ниям частных параметров оптимизации, £> = 1, минимальное значение функции Харрингтона, соответствующее неудовлетворительным значе ниям частных параметров оптимизации, D = 0. Назначение безразмерной шкалы желательности — установление соответствия между рассматри ваемым диапазоном частных параметров оптимизации и качественными оценками степени их приемлемости. Применительно к первой группе частных параметров оптимизации выбирались две граничные точки — правая 2* соответствует оценке «отличная адекватность» и может иметь значение, равное нулю (6н = 0), что определяет абсолютно точный прог ноз (см. рис. 1—а). Левая точка z° соответствует оценке «неудовлетвори тельная адекватность» и задается экспертом исходя из требований, предъявляемых к точности описания той или иной упругой характерис тики.
Применительно ко второй группе частных параметров оптимизации желательности отклонений значений параметров управления от их сред-
Рис. 1. Функции частных желательностей и граничные точки оценок степени приемле мости для первой (а) и второй (б, в) групп параметров оптимизации.
Упругие cboucmba составляющих и структурные параметры КМ
Рис. 2. Структурная схема процесса анализа и оптимизации законов композитных сред.
них значений определялись следующим образом. По каждому пара метру управления назначался интервал безразличия (u*i, u**i), лежа щий внутри полного диапазона изменения (^°, щ00) и характеризую щийся значением частной желательности /* = 1. В случае выхода пара метра управления за интервал безразличия, изменение частной желательности U определялось функцией Гомперца (рис. 1—б).
В частном случае (например для структурной константы с) интервал безразличия задается равным интервалу варьирования (рис. 1—в).
Рис. 3. Блок-схема алгоритма анализа и многокритериальной оптимизации законов композит ных сред.
Рис. 4. Экспертные зависимости утроенных значений средне квадратичных отклонений мо дулей упругости (Е, G, v) от угла армирования ср однонаправленного слоя или подслоя, схема которого приведена в
верхней части рисунка.
15 30 45 60 75 90
В окончательном виде единый критерий качества вычислялся по фор
муле D=i/Dap.Du, где £ ад — обобщенная функция желательности адек-
N
ватности £>ад= (Ш ;)1/*; di — частные желательности адекватностей, со
ставляющие первую группу параметров оптимизации; N — общее число экспериментальных характеристик упругости по всем анализируемым пакетам; Du — обобщенная функция желательности управления Di =
т
= (Пti)x!m\ ti — частные желательности значений параметров управле- 1
ния, составляющие вторую группу параметров оптимизации; т — число
параметров управления.
Структурная схема процесса анализа и оптимизации законов компо зитных сред представлена на рис. 2.
На рис. 3 представлен алгоритм анализа и многокритериальной опти мизации законов композитных сред, построенный в диалоговом режиме и базирующийся на методе Монте-Карло.
Зависимости утроенных значений среднеквадратичных отклонений модулей упругости (£, G,v) от угла армирования <р для базовой модели (однонаправленный слой или подслой) задавались на основе экспертных оценок (рис. 4).
В качестве параметров управления были выбраны модули упругости связующего Е", G” и объемные содержания волокон в слоях Vjn\ для мо делей 8—И производилось также варьирование величин т] и с.
Разработанный метод оптимизации и выбора расчетных моделей (законов композитной среды) был реализован на базе экспериментов [19, 20] для двух композитных систем — углепластика и боропластика с различными сочетаниями слоев.
На рис. 5 представлены диаграммы, на которых указаны эксперимен тальные значения [19, 20] модулей упругости некоторых из исследован ных материалов (левые столбцы) и соответствующие им расчетные зна чения. Остальные столбцы изображают значения модулей упругости, рассчитанные по некоторым моделям (например, М2, М3 и т. д.) до оптимизации и после нее. Стрелками указан процесс улучшения началь ных расчетных значений в процессе оптимизации.
Анализ результатов позволяет заключить, что оптимизация законов композитных сред дает возможность значительно улучшать степень
адекватности расчетных моделей, что существенно расширяет |
возмож* |
||
|
°12 |
|
|
щ . |
Ш |
т |
' Ш |
16573 |
;15906' |
/17985/ ;i567i ^ |
|
IIIIII '15808' |
15887' '15720' '16612/ |
||
эксп / МП J’ М2 -/ М9 |
' ' М3 ^ |
||
ж а 222Z |
Ь |
Y /Z L/ / / / / . |
|
а |
|
|
е
Рис. 5. Диаграммы соответствия экспериментальных и расчетных значений некоторых модулей упругости, вычисленных по моделям 2, 3, 9, 11 до и после оптимизации, ГПа. Результаты оптимизации представлены на основе всей совокупности исследованных материалов — углепластика, 16 слоев (а—в), и боропластика (г—е). а: ±45°, и/ = 0,343;
б: ±30°, v/ = 0,385; в: сложное армирование, |
у, = 0,51; г: 1 слой, 0°, = 0,37; д: 3 слоя! |
0°, ±60°, у/ = 0,52; е: |
1 слой, 0°, а,=0,37. |
ности их применения при описании упругих свойств новых композитов. Многокритериальный подход позволяет осуществлять выбор оптимальных расчетных моделей применительно к используемым композитным системам. Для рассмотренных материалов наиболее эффективными ока зались модели 1, 2, 8, 10, 11 (углепластик) и модели 8—11 (боропластик).
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Скудра А. М., Булаве Ф. Я., Роценс К■А. Ползучесть и статистическая усталость
армированных пластиков. Рига, 1971. 240 с.
2.Иванова В. С., Копьев И. М., Ботвина Л. Р., Шермергор Т. Д. Упрочнение ме
таллов волокнами. М., 1973. 207 с.
3. Аннин Б. Д., Баев Л . В. Обзор по критериям прочности и механизмам разруше ния композитных материалов (отчет по первому этапу темы «Интроскопия»). Новоси
бирск, 1977. 203 с.
4. Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пластиков.
Рига, 1978. 215 с.
5. Багмутов В. П., Брызгалин Г. И., Исаев В. Ф. К выводу определяющих урав нении для волокнистых композитов при плоском напряженном состоянии. — В кн.; Ме ханика деформируемого твердого тела, 1977, вып. 3, с. 118— 124 (Куйбышев).
6. Багмутов В. П. О законе среды для упруго-вязких волокнистых композитов при объемном напряженном состоянии. — В кн.: Физика структуры и свойств твердых тел. Куйбышев, 1979, с. 142— 152.
7.Багмутов В. П. О соотношениях между напряжениями и деформациями для слоистого материала. — В кн.: Металловедение и' прочность материалов. Волгоград 1979, с. 180— 189.
8.Багмутов В. П. К определению физических соотношений для армированной среды. — Проблемы прочности, 1980, № 3, с. 73—78.
9.Аболиныи Д. С. Тензор податливости однонаправленного армированного мате риала. — Механика полимеров, 1965, № 4, с. 52—59.
10. Малмейстер А. К Т ам уж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких полимер ных материалов. Рига, 1967. 398 с.
И. Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. — В кн.: Расчеты на прочность, 1966, вып. 12, с. 3—31 (М.).
12.Ван Фо Фы Г А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев, 1971. 2ig с
13.Рабинович А. Л., Верховский И. А. Об упругих постоянных ориентированных стеклопластиков. — Инж. жури., 1964, т. 4, вып. 1, с. 90— 100.
14.Хашин 3., Розен Б. В. Упругие модули материалов, армированных волокиамн Прикл. механика. Сер. Е (США), 1964, № 2, с. 72—82.
15.Beer F. VDJ — Ztschr., 1959, Bd 101, S. 12.
1976^136^Л° в ^ ^ " Филиппов Л* И- Теория информации в упражнениях и задачах. м .,
17. Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений
М., 1968. 288 с. |
F |
ении‘ |
18. Адлер Ю. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента Ппи |
||
поиске оптимальных условий. М., 1976. 280 с. |
• |
F |
19. Тарнопольский Ю. М., Розе А. В., Жигун И. Г., Гуняев Г. М. Конструкционные
особенности материалов, армированных высокомодульными волокнами. — Механика пп лимеров, 1971, № 4, с. 676—685. по’
2^. Гуняев Г. М., Жигун И. Г., Думин М. И., Воронцов И. А., Якушин В. А., Румян-
цев А. Ф. Зависимость упругих и прочностных характеристик высокомодульных компп зитов от схем армирования. — Механика полимеров, 1974, № 6, с. 1019— 1027.
Волгоградский политехнический институт |
Поступило в редакцию 06.Qg g2 |
УДК 539.376:678.067
В. Я. Радченко, Ю. П. Самарин
ВЛИЯНИЕ ПОЛЗУЧЕСТИ НА ВЕЛИЧИНУ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ СЛОИСТОГО КОМПОЗИТА
Рассматривается двухфазный слоистый композит, каждая фаза ко торого является однородной и изотропной. Предполагается, что фазы в композите соединены с идеальной адгезией, т. е. скольжение фаз друг относительно друга исключено. Считается, что линейный размер композитного образца по оси Ох\ много больше, чем по осям Ох2 и 0*з, т. е. l^>b^>h (рис. 1—а). Ограничимся рассмотрением симметрич ной относительно ОхХх2 структуры пакета, чтобы исключить влияние макродеформаций изгиба и кручения. Предполагается, что композит ный образец нагружен средним напряжением o(t).
В скрепленном пакете везде, кроме узких краевых зон по пери метру композитного образца, при заданной деформации еп поперечная и сдвиговая деформации одинаковы в слоях и равны макродеформа циям 622 и 2ei2Обеспечение совместности деформаций в пакете осу ществляется за счет появления межслойных касательных напряжений -с»]з\ 02з* (i — номер слоя) в этих узких краевых зонах [1—4]. Из вестно [5], что касательные межслойные напряжения убывают от края х2= const по закону, близкому к экспоненциальному:
Очз ~ СХ13 (Ь) ; (Т23 ж о23(Ь)
а величины характеристических показателей Г\ и г2 обратно пропорци ональны величине толщины одного слоя. Поэтому, если выбрать тол щины слоев h\ и h2 каждой из фаз композита достаточно малыми (но сохраняя /ii//z2 = const), то величины касательных напряжений с^з и (Т2з будут незначительными и ими можно пренебречь (по сравнению с на пряжением ап). Несущественным будет и напряжение азз, возникаю щее за счет о\3 и о23. В связи со сказанным задача сводится вдали от концов образца (по оси Oxi) к одномерной, т. е. композит можно рас сматривать как систему двух стержней, жестко скрепленных концами (рис. 1—б).
Предполагается, что нагрузка не выводит каждую из фаз за пре делы упругости (в том смысле, что не возникает мгновенных пласти ческих деформаций) и деформацию каждой фазы можно представить в виде
& i= = @i~\~Pii |
( 1 ) |
где |
= |
— упругая |
деформация; |
|
pi = Pni — деформация ползучести. |
||||
С |
учетом |
введенных |
допущений |
|
формулируется |
основная |
задача дан |
ной работы: изучить для случая од
ноосного |
напряженного |
состояния |
|
влияние |
ползучести |
на |
обратимость |
упругой |
деформации |
слоистого ком |
позита при разгрузке, а также при ступенчатом изменении внешнего на пряжения.
1. Пусть в промежутке времени / е ] 0, f*[ композитный образец нагру
жен постоянным средним напряже
б
Tit б(о
Рис. 1. Напряженное состояние
слоистого композита.
нием о (/) = оо, которое снимается при t=t* (a(t)= 0 при t>t*). Задача состоит в изучении обратимости упругой деформации композита как
целого, |
которая возникает при /= + 0 и должна исчезнуть после раз |
грузки |
(/><*). |
Определяющие уравнения для каждой из фаз композита берутся в
виде (1), где |
(2) |
e,-= <Pi!>,•(/)]; Pi{t)=Aiai(t)\ i= 1,2, |
где Ai — некоторый временной оператор; аг=о»ц£ — напряжение в фазе; фг(0)=0. Все изменяющиеся во времени напряжения считаются непрерывными слева функциями, Ог(0)=0.
Запишем уравнения равновесия и совместности деформаций:
«<Т|(/) + (1 —сь)СГ2 (/) =<т(/); (3) 81 (0=82(0. |
(4) |
где а — отношение величины объема первой фазы к величине объема
композита. Тогда с помощью (1) —(4) |
для определения начальных на |
|
пряжений при а е ]0 , 1[ получаем систему уравнений |
|
|
aCTi0+ (1 —а)а2°=сто; |
фг (cri°) = ср2 (а2°), |
(5) |
где cri0 = <Ti(+0).
В результате ползучести фаз композита при a(t)=ao напряжения
<Tj(0 будут изменяться. |
К |
моменту разгрузки |
значения напряжений |
||
a*i = Oi(t*) согласно (3), |
(4) |
должны удовлетворять системе уравнений |
|||
aa*i+ (1-а)а*2 = сг0; |
q>i(o*i)+Р*1 = ф2(а*2)+р*2, |
(6) |
|||
где деформацию ползучести |
в соответствии с |
(2) можно' представить |
|||
в виде |
|
|
|
|
|
|
Р |
i = |
A i( J i ( /) | |
|
|
После того как произведена разгрузка при / = /*, в фазах композита возникнут остаточные напряжения. Их значения в момент снятия на
грузки Даг=(7г(Г + 0) должны |
удовлетворять системе уравнений |
[см. |
||
(3), |
(4), |
(6)} |
|
|
|
|
aA(Ti+ (1 —а)Лсг2—0; |
(pi (Aci)+р*1 = ф2(До2)-ЬР*2- |
(7) |
Очевидно, что упругая деформация образца из композитного матери ала будет полностью обратимой, если выполняется условие
|
|
ф1 (СГ1°) =ф! (cr*i) —фх (ДсгО. |
|
(8) |
|||||
Для исследования условия (8) удобно |
из систем уравнений (5)— |
||||||||
(7) исключить соответственно 02°, о*2. Д<т2- |
В результате |
получим |
|||||||
, пч |
/ |
а о - а с т , ° \ |
, |
* ч |
, |
* |
/его — oco*i |
\ |
, |
ф1 (СГ1°) —ф2 ^ |
— ——J |
ф1 (<т |
i) |
+р |
1= ф2 ^ |
j |
+ Р 2', |
||
|
|
фДДстО +Р*1=ф2 ( |
|
|
+р*2. |
|
|
Пусть материал обеих фаз композита удовлетворяет линейному за кону упругости, т. е. (pi(а) =о/Еи ф2(а) = а/£2, где — модуль Юнга.
С учетом конкретизации функций фгпервое уравнение системы (9) дает
Ф1(<*1°) =— р"Т7Г— Vr~
(1 — а ) . с 2
а второе и третье позволяют вычислить разность (величины р*\ исклю чаются путем вычитания рассматриваемых равенств)
о*1 —Детj |
(То |
ф! (cr*i) —ф|(Д<Т1) = |
<хЕ\ + (1 —а )Д2 |
Ei |
откуда ясно, что условие (8) выполняется.