Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdf
|
d"x |
Jff-1 v |
|
|
|
|
U |
X |
л |
(7.1) |
|
|
On---- + a< ----- r + ...+a„x = 0. |
||||
|
J . |
|
77-1 |
n |
|
|
u dtn |
1dtn |
|
|
|
|
Решение этого уравнения представляет собой сумму затухающих экс |
||||
понент |
|
|
|
|
|
|
x(t) = Z C le1”' , |
|
(7.2) |
||
|
м |
|
|
|
|
где |
С, - постоянные, определяемые начальными условиями; |
||||
|
р - корни характеристического уравнения системы |
||||
|
а0р" +ЧР"-' +... + а„= 0. |
(7.3) |
|||
|
Рассмотрим подробнее понятие характеристического уравнения, опе |
||||
рируя понятием передаточной функции. |
|
||||
|
Любую одноконтурную замкнутую линейную САУ можно представить |
||||
в виде передаточной функции |
|
||||
|
Щ р ) =------ --------------- , |
(7.4) |
|||
|
3 |
К Р(pW ociP)*' |
|
||
где |
Wnp(р) |
- передаточная функция |
прямого канала САУ (от входного |
||
воздействия до выхода), |
|
|
|||
|
|
_ A V P ) . |
|
(7.5) |
|
|
к Р(р)= |
|
|
||
|
|
Нпр(Р) |
|
|
|
|
WK(р) |
- передаточная функция канала обратной связи (от выхода до |
|||
входного воздействия), |
|
|
Мж(р) |
(7.6) |
|
НоЛ р )
Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как W (р), т. е.
|
|
_ |
M M M o c (p ) _ м 9(р) |
|
||
W |
= WnPi P W M |
|
пр |
|
|
|
= |
N ^ipW ociP ) |
Nf {p) |
(7J) |
|||
|
|
|
||||
Тогда |
с учетом |
(7.2) |
(7.4) |
характеристическое |
уравнение |
|
JVnp(PW 0C(p) + 1 = 0 замкнутой САУ будет иметь вид |
|
|||||
С(р) = М р(р) + Np(p) = М |
^ р Щ М |
+ Nnp(p)N oc(p) = 0. |
(7.8) |
Очевидно, что полином (7.8) знаменателя передаточной функции замк нутой САУ можно представить в виде (7.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.
Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.
Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, что бы все полюсы передаточной функции (7.4) имели отрицательные действи тельные части или все корни ее характеристического уравнения (7.8) были
левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, сис тема неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система нахо дится на границе устойчивости.
Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить ха рактер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.
7.2.Алгебраические критерии устойчивости
Калгебраическим критериям устойчивости линейных САУ относятся критерии А. Гурвица и Э. Рауса.
7.2.1. Критерий Гурвица
Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая харак теристическим уравнением «-го порядка
аорп + а\Рп 1+... + а„-\р + ап = 0, |
(7.9) |
устойчива, если при a<f>0 положительны все диагональные определители (оп ределители Гурвица) Дь Д2, ..., Д„, т. е.
*1 |
а3 |
О |
|
|
Яо |
а 2 |
О |
|
|
О |
11 а3 |
о |
|
(7.10) |
Д; = О |
|
о |
, i = l, 2,...,«, |
|
О |
0 |
д/ч |
0 |
|
0 |
0 |
|
а\ |
|
где Д|=Д|, Д2= Q\Cii~ |
Дз = Яз(Д1Я2-До^зХ--. |
|
Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель Д„= 0, а все остальные определите ли положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1-4-го порядка. Раскрывая определители, фигурирующие i общей формулировке критерия, можно получить следующие условия:
1. Для уравнения первого порядка (п=1) а0Р + а\ = ® условие устойчи
вости: Оо>0 и Ai=fl,>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и доста точно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были боль ше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (п=2) а0р 2 +ахр + аг = 0 условие
устойчивости:
а0> а Л 1=Ц| >0 |
1 |
А2 = д Д >0 или |
а2 >0.] |
Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие ус тойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (п=3) о0р + Q\P + а2р + а3 = 0 ус
ловие устойчивости:
аи > 0, Д. = а, > 0,
а.1 |
а.э = а]а2- а0ау > 0. Д3 = д3Д2 >0=> ау >0. |
а0 |
а2 |
При п=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы
все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения {аи а2) было больше про
изведения крайних (оо, Дэ)- 4. Для уравнения четвертого порядка (я=4)
Д0Р4 + fl,p3 + а2Р2 + азР + = 0
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
Д3 = а,я2а3 “ аоаг ~ а\ аА > 0 •
Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица были положительными.
Запасом устойчивости САУ по алгебраическому критерию Гурвица считается некоторая величина а , при которой самый минимальный опреде литель Гурвица не должен быть меньше этой величины, т. е. при А, >0 minА, > а .
Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При л>4 целесообразно применять критерий Рауса.
7.2.2. Критерий Рауса
Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу
а о |
fl2 |
а . |
'l* |
••• |
в| |
Яз |
а ь |
'2* |
|
'з. |
'32 |
'зз |
'з* |
••• |
'■ I |
гп |
'.3 |
'а |
( 7 . П ) |
••• |
||||
'п+1,1 |
'п+1,2 |
'и+1.3 |
'.ил |
••• |
Формулировка критерия: САУ будет устойчивой, если будут положи тельны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а{), рас считываемые по выражению:
r ij ~ Г/-2,7 +1 “ ( Г/-2 ,1 Г/-1, / +1 ) /^*/-1.1 , |
(7 -1 2 ) |
где / - номер строки,у - номер столбца.
Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то сис* тема неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Рассмотрим пример.
Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:
G(p) = 1024/ + 1 0 2 4 / + 5 1 2 / + 1 2 8 / + 16р + 1= 0 . |
(7.13) |
||
В соответствие с (7.12) имеем: |
|
|
|
гп = а 0 =Ю24; |
г)2 = а2 = 512; |
г13= а 4 = 16; |
|
' 2i = ai —1024; |
г22 =аг = 128; |
г23 = а5 = 1; |
|
г31 = 'п - ( П |'и ) / '21 = 5 1 2 - (1024-128)/1024 =384; г32=ги ~ (гпг2з)^г21 =16-(1024-1/1024) = 15;
'зз = 'i4 ~(rnru )lr2, =0-(1024-0)/1024 = 0; Ли = г22-(Л>1г32)/гз, =128-(1024-15)/384 = 88;
'42 = '23 - ('21'зз)/ '31 = 1 - (1024 • 0/ 3,4)= 1;
г4з= 0; '51 = '32 - ('31'42)/ '41 = 15- (384 • 1/ 88) = 10,64;
'52 = 'ээ “ ( 'з |'4 з ) / г 41 = 0 - 3 8 4 ' 0/88 = ° ;
'53=
''б! = '42 - ('41Г52) / ' 5| = 1 - (88 • 0 7 1 °«6 4 ) = 1 •
Все коэффициенты первого столбца выражения (7.11) положительны, что означает - система устойчива.
Проверим полученный результат с помощью системы программирова ния Matlab, непосредственно вычислив корни характеристического уравне
73. Частотные критерии устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертогопятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают на глядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили час тотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характери стик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только опре делить устойчивость сисгемы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.
7.3.1. Критерий Михайлова
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (7.9). Заменим в нем оператор р на уш. Тогда кривой Михайлова будет называться функция
вида
[>(№) = a0(jv>)n +а,(уа>)""1+... + . , ( » + |
(7.15) |
Выделим в (7.15) действительную и мнимую части: |
|
Re(co) = ап - а„_гш2 + а„^со4 -...
(7.16)
Im(to) = а„_,со- <v3£o3 + a„.s(os -...
Разложим D(jto) на множители
ао0“-hХ/ю- а*)•■-С/<»- *.-1хл®- О =о.
где Xj - корни данного уравнения, /=1.. .п.
Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корню А* на комплекс ной плоскости соответствует некоторая точка А,. Если соединить эту точку с
нулем, то можно говорить о векторе ОЛ, (рис. 7.3). Длина вектора равна мо дулю комплексного числа А* а угол, образуемый положительной действи тельной осью и вектором А.,, есть аргумент комплексного числа X,.
усо
Рис. 7.3. Размещение корня А.,
характеристическогоуравнения на комплексной плоскости
Рассмотрим, как будет вести себя вектор уш - А.,- при изменении часто ты от —оо до +оо. Считаем движение против часовой стрелки положительным.
Заметим, что OB = усо, a AtB - OB - OAi =у'со-Х| (см. рис. 7.3), Тогда для
корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты сое(-оо;+оо), вектор усо- А., описывает угол Ис. Для корней, нахо
дящихся в правой полуплоскости, вектор усо-А., при изменении частоты со € ( - °о;+оо) опишет угол -л .
Будем полагать, что порядок системы равен л, причем т корней поло жительно. Тогда остальные п-т корней будут отрицательны. Суммарный
угол поворота всех векторов определяется выражением. |
|
|
Д arg D W C Z |
= ( л - т ) я - т п = п(п-2т ). |
(7.17) |
Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +оо приращение аргу |
||
мента вдвое меньше: |
|
|
Aarg£>0<o)|“" ~ |
= ^ ( п - 2 т ) . |
(7.18) |
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все пра вые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит,
для устойчивости системы необходимо соблюдение условий |
|
|
(7.19) |
Д у с о )|* 0 . |
(7.20) |
Выражения (7.19) и (7.20) представляют собой математическую фор мулировку критерия Михайлова.
Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплекс ной плоскости Re(co), Im(co) носит название годографа Михайлова. Для ус тойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до оо, начав свое движение с положительной полу оси, последовательно проходил п квадрантов комплексной плоскости, нигде
не обращаясь в ноль (рис. 7.4).
Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравне ний (7.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку веществен ная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом пооче редно.
Очевидно, что если годограф Михайлова не проходит последовательно
п квадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то
система неустойчива.
сводится к построению на комплексной плоскости вектора (годографа Найк виста), начало которого находится в точке (-1,у0), а конец скользит при из менении частоты от 0 до оо по АФЧХ разомкнутой системы Wp(j(b).
Аргумент частотной передаточной функции (7.21) при изменении час
тоты от 0 до оо определяется формулой |
|
||
Д arg<p О'о>) = Д arg D (/со)- |
Лarg |
(/со) •(7.22) |
|
0 « D < + C O |
0 <05 < -ИЗО |
0<0)<ЬОО |
|
Рассмотрим три случая.
1. Система в разомкнутом состоянии устойчива.
Тогда для устойчивости замкнутой системы в соответствие с (7.22) не обходимо, чтобы
Д arg<p(yo))= л— - я ~ = 0.
о<ох+ао |
2 |
2 |
Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение ар гумента функции ф(/со) при изменении частоты от 0 до оо составит ноль.
Критерий Найквиста для первого случая:
замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой сис темы не пересекает отрезок (-оо; -/), т.е. не охватывает критичедкую точку (- /; jO).
На рис. 7.5,а изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на 7 .5,6 - неустойчивой системы.
Рис. 7 5. Годографы Найквиста устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы
Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответ ствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, хотя бы один раз пересечет точку (-1 J0).
2. Разомкнутая система неустойчива, причем число ее правых кор равно т.
Замкнутая система устойчива, если изменение аргумента при измене
ние частоты от 0 до оо представляется формулой:
Д arg |
ф(усо)= n - - ( n - 2 m ) — = 2 k — = m%. |
||
0<сооо |
2 |
2 |
2 |