Метод конечных элементов
..pdf/СХ2 постоянны, т. е. оболочка имеет геометрию 2-го порядка. Если геометрия оболочки более высокого порядка и кривизны Ki, /<о> /Си представляют собой, функции от х и //, то, вычисляя интеграл, с этими величинами нужно обращаться не как с константами, а как
сфункциями.
§30. Использование плоских КЭ для расчета оболочки
В§ 29 рассмотрен криволинейный КЭ оболочки, поверхность которого в принципе соответствует поверхности всей рассматривае мой в каждом конкретном случае оболочки. Построенная по мето дике этого параграфа матрица жесткости имеет большой недоста ток — наличие жестких-смещений. Это означает, что если придать такому КЭ перемещения, моделирующие его перенос в простран стве (например, wl = w2 = w3 = w4 — (, а все остальные степени свободы равны нулю), то в нем возникнут некоторые напряжения, что противоречит физическому смыслу. Появление .этого эффекта (который, кстати, может возникнуть при неудачном Еыборе ап проксимирующих функций и для более простых элементов).суще ственно снижает точность расчета, а иногда может привести и к от сутствию сходимости решения. Устранение этого эффекта может быть проведено за счет определенной обработки полученной матри цы жесткости, что приводит к нарушению симметрии матрицы жест кости, совместности элементов, полноты аппроксимирующих функ ций. Таким образом, проблема построения КЭдля оболочки двоякой кривизны очень сложна и до сих пор не имеет приемлемого решения.
Сточки зрения физического смысла для расчета оболочек двоя кой кривизны целесообразно использовать плоские КЭ. В этом случае КЭ оболочки можно получить простой комбинацией конеч ных элементов для плоского напряженного состояния и для изгиба пластины с удовлетворением всех необходимых требований. Гео
метрические же |
особенности оболочки |
б у д у т учитываться |
геомет |
||
рией вписанного |
многогранника. Поскольку со |
сгущением |
сетки |
||
увеличивается точность аппроксимации поверхности оболочки |
гео |
||||
метрией вписанного многогранника, |
то можно |
утверждать, |
что |
сходимость МКЭ в этом случае будет обеспечена. Погрешность же, обусловленная тем, что в пределах одного КЭ не учитываются осо бенности геометрии оболочки (так, мембранные и изгибные группы усилий и деформаций не зависят друг от друга), по-видимому, соиз мерима с погрешностями, которые вносятся при учете геометрии оболочки в масштабе одного КЭ эффектом жесткого смещения, а при его устранении нарушением других требований.
Назначая расчетную схему оболочки, нужно следить за тем, чтобы плоские КЭ вписывались в геометрию оболочки. Поэтому для развертывающихся на плоскость поверхностей (цилиндрические по верхности) можно использовать прямоугольные КЭ, а при нераз-
.вертывающихся поверхностях (поверхности двоякой кривизны) — треугольные КЭ.
Матрицу жесткости прямоугольного (.треугольного) плоского КЭ оболочки можно получить простым совмещением матрицы жест кости прямоугольного (треугольного) КЗ плоского напряженного со:тояния (гл. 4) и матрицы 'Жесткости прямоугольного (треуголь ного) КЗ изгибаемой пластины (гл. 5).
Глава 9. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ § 31. Пластина, подкрепленная ребрами
Изгибаемые плиты, подкрепленные ребрами или структурами, часто встречаются в инженерной практике. С точки зрения теории упругости они представляют собой сложную контактную задачу. Вместе с тем МКЗ дает возможность достаточно просто подойти к ре шению задач такого типа.
Системы типа плиты, подкрепленной ребрами в двух направле ниях (р,ис. 64, а), рекомендуется решать с использованием КЗ двух типов: плиты с тремя степенями свободы в узле и балочного стерж ня, также имеющего 3 степени свободы в узле. Поскольку типы и количество степеней свободы для этих КЭ совпадают, то с точки
Центр тяжести _
— |
и------ |
1 Г " м |
|
|; |
|
----- 1I____ I |
L____ I |
|_. |
|||
г— 1 1— |
-| г — |
|
I г - |
||
I |
11 |
11 |
1 ! |
||
I----- |
1I------- |
1 I_____I |
L _ |
||
1 п |
п |
Г |
1 |
г |
- У |
Рис. 64
Центр тяжести ребра
6
зрения МКЭ такой подход вполне правомерен. Коэффициенты, си стемы канонических уравнений определяются суммированием ко эффициентов жесткости КЭ плит и стержней, соответствующих определенным степеням свободы. Но тогда будет рассчитана система, у которой центры тяжести ребер совпадают со срединной поверх ностью плиты (рис. 64, б). Такая система, безусловно, не соответ ствует действительности, и отклонение ее от реальной тем больше, чем больше высота ребер по отношению к толщине плиты. В этом случае не учитывается, что часть плиты, находящаяся у ребра, включается в работу на сжатие или растяжение подобно верхним фибровым волокнам ребра, т. е. ребро работает как тавровая баЛка. Чтобы учесть этот эффект, можно вместо КЭ плиты использо-
вать КЭ плоской оболочки, расчетные узлы которых расположить в уровне срединной поверхности плиты (рис. 64, в), а вместо КЭ балоч ного стержня использовать КЭ стержня, работающего не только на изгиб и кручение, но и на продольные деформации. Причем такой стержень на абсолютно жестких вставках, ортогональных к оси стержня и имеющих длину ус<подвесить к расчетным узлам, распо ложенным на срединной поверхности плиты. В этом случае при до статочно густом дроблении плиты на КЭ между ребрами (рис. 65) эффект включения плиты на продольные деформации вблизи ребер (т. е. эффект перемещения нейтральной оси изгиба по области си-
Рис. 66
стемы) будет учитываться. Такой прием требует значительного увеличения количества степеней свободы, так как помимо увеличе ния густоты сетки увеличивается количество степеней свобод в узле — до 5 (3 линейных перемещения и 2 угла поворота) по срав
нению с |
тремя степенями свободы (вертикальное перемещение |
и 2 угла |
поворота) для случая рис. 64, б. Этого можно избежать |
введением нового КЭ(рис. 66). (На рис. 64 такой КЭ в общей схеме заштрихован). Однако для построения матрицы жесткости такого КЭ необходимо заранее назначить функцию местоположения нейт ральной поверхности этого КЭ (на рис. 66 ее примерное положение обозначено жирной линией). Конечно, неправильное ее назначение может привестщк значительным погрешностям, однако в этом случае могут помочь опытные данные и данные численных экспериментов.
При расчете плит, подпертых структурами (пространственными шпренгелями), можно рекомендовать приведенный уже прием, когда для плиты используются КЭ плоской оболочки, а элементы структур (пространственных шпренгелей) моделируются шарнир ными стержнями.
§ 32. Пластина на упругом основании
При построении КЗ, моделирующих работу плиты на упругом основании, используем методику расчета фундамента на упругом основании с учетом сжимающих и сдвигающих усилий в грунте. Такая методика дает возможность учесть.работу грунта, лежащего за пределами конструкции. Потенциальная энергия системы в этом случае
|
|
|
II |
=*П г + |
И2 + П3, |
(9.1) |
где rij — потенциальная |
энергия |
собственно |
конструкции; П2 — |
|||
потенциальная |
энергия |
упругого |
основания, |
контактирующего |
||
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
|
2 |
1 |
/ |
1 |
2 |
|
|
2 |
/ |
/ |
/ |
2 ^ |
|
|
3 |
2 |
2 |
2 ‘ |
5 |
|
|
|
Рис. |
67 |
|
|
|
с конструкцией; П3 — потенциальная энергия упругого основания, лежащего за пределами конструкции.
Выражение для |
зависит от типа конструкции, а выражения |
для П2 и Пз имеют вид |
п <= т I М + [(й)2 + (0)1}dQ{’ |
(9.2) |
2/ |
|
где схи с2 — жесткости основания соответственно на сжатие и сдвиг; i — 2; 3; wt — (х9у) — функции упругой осадки основания по области упругого основания Q;.
Рассмотрим применение МКЭ для расчета плит и ленточных фундаментов в соответствии с приведенными предпосылками. Рас чет прямоугольной плиты можно выполнить, имея 3 типа КЭ (рис. 67). Первый тип — прямоугольный КЭ, моделирующий работу собственно конструкции и упругого основания, контактирующего
с ней. Второй и третий типы КЭ моделируют работу |
упругого осно |
|
вания за пределами плиты. |
|
|
Потенциальная энергия для |
1-го типа КЭ |
|
П - |
Пх + П2. |
(9.3) |
Первый член выражения (9.3) включает в себя потенциальную энер гию элемента плиты:
d*w
n- i ° f e y + & )■ + *£ - ду* + 2(1 — ц) х |
||
О о |
Гачв\* |
|
X |
dxdy. |
|
|
\дх ду) |
|
Второй член является потенциальной энергией элемента упругого основания:
а Ъ
^-тШО О **+.[(£)’+(&dxdy,
ЬК“
где D = 12(| _ ^ 8 ) — цилиндрическая жесткость плиты; Е, h, р —
соответственно модуль продольной упругости, толщина и коэффи
циент |
Пуассона |
плиты; д, |
b — размеры КЭ |
(рис. |
68). |
Аппроксимацию перемещений по области |
КЭ примем в виде |
||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
W (х, |
у) = £ Л (X, у) ф„ |
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
где ф,— степени свободы |
в узлах КЭ (в кажДом |
узле их 3 — wh |
|||
a,-, р, |
(рис. 68); |
At (я, у) —- аппроксимирующие |
полиномы, соот |
ветствующие i -й степени свободы (табл. 17). Такая аппроксима ция упругой осадки соответствует выбору аппроксимирующего
полинома 4-й степени по области КЭ. |
|
|
|||
Матрицы жесткости для КЭ плиты и уп |
|
|
|||
ругого основания даны соответственно в |
|
|
|||
табл. 18 и 19. Общая матрица жесткости |
|
|
|||
прямоугольного КЭ плиты на упругом ос |
|
|
|||
новании с двумя коэффициентами постели |
|
|
|||
определится |
суммированием этих матриц. |
|
|
||
Для |
нахождения матрицы жесткости |
|
|
||
1-го типа законтурного КЭ упругого осно- |
|
Рис* 69 |
|||
вания (рис. |
69) |
примем, что в каждом узле |
|
wi%а аппрокси |
|
КЭ одна степень свободы — вертикальная |
осадка |
||||
мирующий полином |
|
|
|||
|
|
|
w (х , у) = -—- er^Wx + |
е ~ayw2t |
(9.4) |
где a = |
1/ |
— |
Тогда потенциальная энергия законтурного КЭ |
||
упругого |
Г |
е2 |
|
|
|
основания |
|
|
о о
1 X У
Л, 1 0 0
А, 0 0 1
^3 0 — 1 0
Ах |
0 |
0 |
0 |
Аъ |
0 |
0 |
0 |
Л$ |
0 |
0 |
0 |
А-1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
а9 |
0 |
0 |
0 |
Аю |
0 |
0 |
0 |
^11 |
0 |
0 |
0 |
Л19 0 |
0 |
0 |
ХУ
3 1
и* ab
0 _ 1
а
2\
а6
3_ |
1 |
а2 |
ab |
01
а
1 |
0 |
|
а |
||
|
||
0 |
1 |
|
ab |
||
|
||
0 |
0 |
01
6
0 |
1 |
~55 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
У*
3
Ь2
2
6
0
0
0
0
3
Ь2
1
ь
0
0
0
0
|
х*у |
ху2 |
|
i/* |
|
x9y |
xy• |
2_ |
3 |
3 |
. |
2 |
|
2 |
2 |
а3 |
а2Ь |
аб* |
|
63 |
|
a86 |
a 63 |
0 |
' 0 |
2 |
|
1 |
|
0 |
1 |
ab |
|
6s |
|
ab2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
__ J _ |
2 |
0 |
|
0 |
|
i |
0 |
а 2 |
ab |
|
|
a*b |
|||
|
|
|
|
|
|||
■2 |
3 |
3 |
|
0 |
|
2 |
2 |
|
а2Ь |
a62 |
|
|
a36 |
ab9 |
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
2 |
|
0 |
|
0 |
i |
ab |
|
|
ab* |
||||
|
|
|
|
|
|
||
1 |
__ 1 |
0 |
|
0 |
|
J _ |
0 |
|
ab |
|
|
a 26 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
___ 3_ |
3 |
|
2 |
|
_ 2_ |
2 |
а2Ь |
ab2 |
|
|
|
a36 |
ab9 |
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
ab |
|
b2 |
|
ab2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
0 |
2 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
ab |
|
|
a2b |
||||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
_3_ |
3 |
|
0 |
_ |
2 |
ab9 |
а2Ь |
ab* |
|
|
a86 |
|||
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
__ J _ |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
ab |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
___ 1_ |
0 |
|
ab |
|
|
a2b |
||||
|
|
|
|
|
|
Элементы матрицы жесткости КЭ, полученные на основе выра жений (9.4) и (9.6),
ьь S i l f l i i L * .
11 |
И |
’ |
(9.6) |
L. |
U |
2«ia* — 6с4 |
|
д1а =* Лц — |
12ea |
|
Следует отметить, что аппроксимирующий полином (9.4) — решение однородного дифференциального уравнения осадочной по верхности упругого основания
CiW |
0. |
|
Щ |
а, |
Pi |
W1 |
а» |
Р, |
|
а» |
Р. |
WA |
а 4 |
Р4 |
Qi |
1 |
2 |
26 |
4 |
5 |
21 |
7 |
8 |
27 |
10 |
11 |
24 |
Л4«, |
2 |
13 |
28 |
5 |
15 |
0 |
16 |
17 |
0. |
18 |
19 |
0 |
" э . |
26 |
28 |
20 |
6 |
0 |
22 |
27 |
0 |
23 |
12 |
0 |
25 |
<?» |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
1Q |
11 |
12 |
7 |
8 |
9 |
К , |
5 |
15 |
0 |
2 |
13 |
14 |
18 |
19 |
0 |
16 |
17 |
0 |
м е. |
21 |
0 |
22 |
3 |
14 |
20 |
24 |
0 |
25 |
9 |
0 |
23 |
Qs |
7 |
16 |
27 |
10 |
18 |
24 |
1 |
29 |
26 |
4 |
30 |
21 |
Ма, |
8 |
17 |
. 0 |
11 |
19 |
0 |
29 |
13 |
14 |
30 |
15 |
0 |
м ь |
27 |
0 |
23 |
12 |
0 |
25 |
26 |
14 |
20 |
6 |
0 |
22 |
Qi |
10 |
18 |
12 |
7 |
16 |
9 |
4 |
30 |
6 |
1 |
29 |
3 |
Л*а4 |
11 |
19 |
0 |
8 |
17 |
0 |
30 |
15 |
0 |
29 |
13 |
28 |
м ь |
24 |
0 |
25 |
9 |
0 |
23 |
21 |
0 |
22 |
3 |
28 |
20 |
|
|
Примечания! |
1. 4-£ + 4-^-+ 2-t 4 -— — ; |
2 |
2— 4- ^ 4- А А |
7 ' |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ? ^ аЪ ^ 5 ab ’ |
|
|
+ 1 + Т |
|||||||
3. гЛ + i + l 4 г 4 2— - 4 — - 2 ^р. _ |
ii14 |
Х_Х•ч а |
И- |
1 Я, |
|
||||||||||||||
|
|
а* ‘ |
6 ~ 5 |
6 |
*’ ^ *з |
|
о? |
аЬ |
~ — >5' — — —— —— |
а |
|||||||||
6. 2—г |
|
|
|
|
|
|
|
5 ab |
|
b2 |
а |
|
5 |
||||||
4 - |
-=• -J—I |
|
7 . 4—- — 4- 2—— |
— о М' • |
14 |
Я ,. |
о |
~ а |
i |
1 |
Я. |
||||||||
|
|
“ ^ |
|
|
5 Ь |
|
|
4 Я + 27 |
- 2й ' 5 Й |
' |
8^ + - б 7 |
|
|||||||
9. |
- А- |
— |
|
И: — |
1 |
|
;10 _ 2~ |
- |
2— |
. а ^ |
14. |
Я, |
. |
о |
|
1 |
1 |
||
|
|
а |
— |
6 |
|
; |
ft |
• 2 <* |
|
и |
. .. |
IR2 |
a |
|
1 1 ? - 5 |
|
7 ; |
|
|
12. |
|
- А |
А |
А |
13. |
± ± л _ ± А |
: |
|
4 Я б. |
- * Т > - |
|
||||||||
|
1 |
к |
|
5 6 |
М3- 3 T + I 5 ? :1 4 - W |
|
|
|
|
|
|||||||||
— |
|
|
17. |
4 |
—— А А 1; |
1 8 ___ 5_ I |
I |
Я, . |
|
. |
а1 |
1 |
Я6 |
|
|||||
х |
— ; |
|
|
|
5 а |
b3 |
15 а |
i ' + П 19* ' У 7 + 1 В 7 |
20 |
|
1 * . 1 |
. 91 |
|
о ^ |
1 А • 99 |
Т |
^ ^ |
1 Х а . |
23. |
1 |
А . — |
|||||
|
3 |
|
156 ' |
2 • |
' |
|
R |
|
h • ^ |
7 “~Тс т • |
|||||||
- |
i . ^ - 2 4 |
-L |
J _ 1 |
Х |
: 25 |
1 |
fe |
а . |
1 |
^ |
. 9fi |
o fc |
И |
1 |
|
||
|
15 |
Т ’ ^ — —» + J у ’ 2&- Т ~ + |
7И |
Т ’ 26- -2-г» - тг — -Е |
Ь |
||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
а |
~ |
15 |
b |
|
|
|
5 |
||
27- |
^ |
ft |
I |
А • |
|
~ ^ |
29- |
- |
а |
|
|
|
30- - ^ |
+ |
£ + |
||
+ M |
5y |
6 ; 28' |
2- р - - ^а |
|
|||||||||||||
+ |
|
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
а- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обшнй |
|
|
|
|
£А® |
. 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
множитель — О = 15 (1 - ц») |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 19
<?1 M V|
"р , <?2
ЛЧ
МЬ
Q»
м«,
мп,
<?4
м а.
a>i |
а, |
3. |
ш9 |
|
а , |
3* |
|
щ ' |
а* |
3. |
U>4 |
|
3* |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 ■ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
13 |
14 |
|
5 |
15 |
16 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
16 |
3 |
14 |
22 |
23 |
|
19 |
2 |
|
9 |
16 |
25 |
26 |
16 |
27 |
4 |
5 |
23 |
1 |
|
2 |
28 |
|
10 |
11 |
26 |
7 |
8 |
29 |
5 |
15 |
19 |
2 |
|
13 |
30 |
|
20 |
21 |
19 |
17 |
18 |
ю |
6 |
16 |
24 |
28 |
|
30 |
22 |
|
12 |
19 |
27 |
29 |
19 |
25 |
7 |
17 |
9 |
ю |
|
20 |
12 |
|
1 |
31 |
3 |
4 |
32 |
6. |
8 |
18 |
16 |
’ И |
|
21 |
19 |
|
31 |
13 |
30 |
32 |
15 |
19. |
9 |
19 |
25 |
26 |
|
19 |
|
27 |
3 |
30 |
22 |
23 |
16 |
24 |
10 |
20 |
20 |
7 |
|
17 |
29 |
|
4 |
32 |
23 |
1 |
31 |
28 |
11 |
21 |
16 |
8 |
|
18 |
19 |
|
32 |
15 |
16 |
31 |
43 |
14 |
12 |
16 |
27 |
|
29 |
16 |
25 |
|
6 |
19 |
24 |
28 |
1 |
22 |
П р и м е ч а н и я |
: |
1. |
0 ,1 3 7 1 с 1а^ + |
0,43812—с -j- |
0,4 38 1 2с у I |
2. 0,т З с1аЬг + 0 ,0 |
5 2 5 с , |
|
+ 0 ,0 3 3 3 с аа; 3. |
— СММвЗе^** |
- 0 .0 5 2 5 с , - у |
— 0 ,0 3 3 3 с ,6; |
4 . |
0 ,0 4 8 6 c 1a6 |
— 0 ,4 3 8~1 c +, |
0 ,1619c, у |
; |
5.0,00796^* - |
|||
— 0,0525c,-51 + |
0,0167c,a; |
|
6. 0,0109^0*6 — 0,0333ca6 + 0,0309c, — • |
||||||
7. |
0,0486e1aft + |
0,1619ea — — 0,4381ca- l ; 8. |
—0,0109c,a6a - |
0,0309c, — + |
|||||
|
|
|
|
d |
|
o |
|
|
a |
+ 0,0333c,a; |
9. |
-0,0079^ *6 — 0,0167c,6 + |
0,0525c,-y- ; 10. 0,0157^86- |
||||||
— |
0 ,1 6 1 9 c ,-5- — |
0 ,1 6 1 9 c ,у |
; |
11. — 0 ,0 0 4 5 e 1a6a + |
0 ,0 3 0 9 c , 5 1 + 0a;,0 1 6 7 e , |
||||
12. |
0 ,0 0 4 5 с ,а а6 |
— |
0,0167c,ft |
— 0 ,0 3 0 9 c , ;у |
13. 0 ,0 0 3 c xa6* + 0 ,0 0 9 4 c ,- 5 1 + |
+ |
0 ,0 1 4 4 cab;, |
14. |
— 0 ,0 0 2 7 cxa a6a; |
150,00160,. 06* — |
0 ,0 0 9 4 c , -5 1 + |
0 ,0 2 2 5ab;c , |
|
|||||||||||
16. |
|
0 ,0 0 1 3 c xa a6a; |
17. |
|
0 ,0 1 0 |
9 0 ,0 6 * |
+ |
0 ,0 3 0 9 c , |
^ |
— |
0 ,0 33 3e ,a; |
|||||||
18. |
|
— 0 ,0 0 2 5 c ,a 6 a — 0 ,0 0 7 2 ca, |
— — 0 ,0 1 1 4 c ,об; |
|
19. - 0 ,0 0 1 3 c xa*6a; |
2 |
||||||||||||
0 , 0 0 4 5 c ,аб* - 0 , 0 3 0 9 c , у |
— 0 ,0 1 6 7 c ,o ; |
21. |
|
— 0 ,0 016* +lc ,o0,0 0 7 2 c , |
-5 1 — |
|
||||||||||||
— |
0 ,0 0 5 4 c ,об; |
22. |
0 ,0 0 3 с,а *6 |
+ |
0 ,0 4 4 4 c ,об + |
0 ,0 0 у9 4 c;, |
23. |
— 0 ,0 1 0 9 e ,a J6 + |
|
|||||||||
+ |
0 ,0 3 3 3 c ,6 - |
0 ,0 3 0 9 c ,у |
; |
|
24. |
— 0 ,0 0 2 5 c,a » 6 — |
0 ,0 1 1 4 c , a 6 - 0 , 0 0 7 2 c , - |
|||||||||||
25. |
0 |
, 0 0 1 6 cxaa6 + |
0 ,0 2 2 5 c ,a 6 |
— 0 ,0 0 9 4~c , |
; |
26. |
- 0 ,0 0 4 5 c ,a a6 + |
0 , 0 1 6 7 c,6 + |
|
|||||||||
+ |
0 ,0 3 0 9 c, у |
; |
27. |
|
|
— 0 ,0 01 lca6, |
— |
0 ,0054c,ab |
+ |
|
|
a> |
|
|||||
|
|
0 ,0 0 7 2 c,y . |
|
|||||||||||||||
28 . |
0 ,0 1 8 3 c ia a6 + |
0 ,0 3 3 3 c ,6 + |
0 ,0 5 2 5 c , - y |
; |
|
29. |
0 ,0 0 7 9 c1a a6 + |
0 ,0 1 6 7 c , |
||||||||||
— |
0 ,0 5 2 5 c ,0- S i ; |
30. |
0 ,0 0 2 7 e ,a a6 J ; |
31. |
- 0 ,0 1 8 3 c ia 6 a — |
0d,0 52 5c, |
-51 |
|||||||||||
— |
0 ,0 3 3 3 c ,a ; |
32 . |
— 0 ,0 0 7 9 e xa6 a + |
0 ,0 5 2 5 c ,— |
|
— 0 ,0a167c,. |
|
|
|
|
Однако этот полином не удовлетворяет условиям совместности по перемещениям на линии соединения 1-го и 2-го типов КЭ плиты на упругом основании. Д л я обеспечения совместности в каждом узле принимаем 2 степени свободы, а в качестве аппроксимирующего полинома берем выражение
w (X, у) = ^ — у |
+ а* e-^Wx — 2*8 а83- ** er*»wt — |
|
— ?8 ~ 2а1*+ |
е~ауРх — ** ~ а— е~ау$г. |
(9.7) |
Матрица жесткости, основанная на аппроксимации полиномом (9.7), приведена в табл. 20.
Находя матрицу жесткости для 3-го типа КЭ (рис. 70), выражение его потенциальной энергии запишем в полярной системе коор динат:
я/2 < |
|
|
\ ± I dw) |
|
|
|
|
п = у ] | {ciW2 + |
са |
|
pdcpdp. |
(9.8) |
|||
О О |
|
|
L Ра Ucp / +&)■ |
|
|
||
|
|
|
|
Таблица |
20 |
|
|
|
|
|
Pi |
“ >а |
Ра |
|
|
Qt |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
" а , |
2 |
|
5 |
6 • |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qa |
3 |
|
6 |
1 |
|
|
|
Мо |
4 |
|
7 |
—2 |
5 |
|
|
Ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
1. |
, |
|
13 |
6Cia с2, , |
13 |
0, |
||
|
П р и м е ч а н и я : |
7 5 - ^ + ^ |
^ |
+ |
7 0 СаЯа; |
2> ~ |
|||||||
|
11 |
5 |
|
0 |
9 |
сга |
6 |
с2 . |
9 |
|
4. |
||
|
420 |
С*а |
|
3 ‘ |
Т40 |
~ а |
|
То5а |
+ |
Т 4 0 е з а а ’ |
|
||
, |
13 |
2 |
: |
С ♦ 1 |
С1а 8 _1_ |
^ |
С2а |
г |
——С 0?OL' |
|
|||
+ |
8 4 0 с>а а |
|
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|||
|
|
|
|
Ъ- 2 Г 0 ~ + 3 0 ^ + <>'<'С*а *' |
|
||||||||
“ |
13 |
2 |
_ |
|
1 |
gja8 |
|
1 |
gaa |
1 |
- |
|
|
840с»а а : |
|
280 |
а |
|
60 |
а |
|
2180 |
|
Рис. 70
_П |
gxfla |
1 |
_ |
420 |
а |
20 |
а |
13 |
сха а |
1 |
I |
840 |
" а |
20 |
а ‘ + |
13 |
Cia2 |
1 |
2с |
840 |
а |
' 2 0 |
а |
Примем такой аппроксимирующий полином:
И Р . <р) =* |
(9 -9 ) |
Матрица жесткости КЭ.(в данном случае она состоит из одного эле мента) имеет вид
( 9 Л ° )