- •Выполнил:
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Z ai |ф*ФА = /ф* cosxdx’ к = 0,4,
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Результаты расчётов
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •2.1. Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями
- •Алгоритм решения
- •Результаты расчетов
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Разрешающие соотношения
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •3.1. Явная разностная схема
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
- •Разрешающие соотношения
- •Программа 3.2
- •Реализация алгоритма
- •Алгоритм решения
- •Реализация алгоритма
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»
М.Г. Бояршинов
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Часть 5
Рекомендовано к изданию Федеральным государственным автономным образовательным
учреждением высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2014
УДК 519.6(075.8) Б86
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор А.А. Роговой (Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь);
д-р физ.-мат. наук, профессор Д.Л. Андрианов (Пермский государственный национальный исследовательский университет);
д-р техн. наук, доцент О.Ю. Сметанников (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);
канд. физ-мат. наук, доцент Д.А. Зубов (Московский физико-технический институт (государственный университет))
Бояршинов, М.Г.
Б86 Численные методы : учеб, пособие / М.Г Бояршинов. - Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехи, ун-та, 2014. - Ч. 5. - 205 с.
ISBN 978-5-398-01283-5
[Рассматриваются основы метода Галёркина для аппроксимации функ ций и решения стационарных и нестационарных задач теплопроводности. Излагаются алгоритмы решения прикладных задач с использованием вы числительной техники, методы оценки погрешностей получаемых реше ний, возможные способы отображения результатов расчетов. По каждой рассматриваемой теме приведены задания для самостоятельной работы^
Предназначено для бакалавров, магистров и аспирантов направления 15.03.03 «Прикладная механика», специалистов, занимающихся построе нием компьютерных и математических моделей систем и процессов. Мо жет быть использовано при проведении факультативных занятий по вы числительному моделированию.
УДК 519.6 (075.8)
ISBN 978-5-398-01283-5 |
(ч. 5) |
©ПНИПУ, 2014 |
ISBN 978-5-398-01064-0 |
|
|
Введение........................................................................................................... |
4 |
1. Аппроксимация функции с использованием |
|
метода Галёркина........................................................................................ |
12 |
1.1. Кусочно-постоянные функции........................................................... |
13 |
1.2. Кусочно-линейные функции.............................................................. |
22 |
1.3. Кусочно-квадратичные функции...................................................... |
33 |
1.4. Иерархическая система кусочно-непрерывных функций................ |
49 |
1.4.1. Кусочно-непрерывные полиномы 1-й степени....................... |
51 |
1.4.2. Кусочно-непрерывные полиномы 2-й степени....................... |
53 |
1.4.3. Кусочно-непрерывные полиномы 3-й степени....................... |
63 |
1.4.4. Кусочно-непрерывные полиномы 4-й степени....................... |
75 |
2. Граничная задача. Одномерное стационарное дифференциальное |
|
уравнение теплопроводности.................................................................... |
89 |
2.1. Аппроксимация решения кусочно-линейными |
|
функциями.......................................................................................... |
91 |
2.2. Аппроксимация решения кусочно-квадратичными |
|
функциями......................................................................................... |
105 |
2.3. Аппроксимация решения иерархической системой |
|
кусочно-непрерывных полиномов 1-й степени.............................. |
127 |
2.4. Аппроксимация решения иерархической системой |
|
кусочно-непрерывных полиномов 2-й степени.............................. |
130 |
3. Дифференциальное уравнение параболического типа. |
|
Одномерное уравнение нестационарной теплопроводности............... |
150 |
3.1. Явная разностная схема............................................................. |
152 |
3.2. Неявная разностная схема......................................................... |
169 |
3.3. Разностная схема Кранка - Николсон...................................... |
183 |
4. Задания для самостоятельного выполнения........................................... |
199 |
4.1. Аппроксимация функции.................................................................. |
199 |
4.2. Одномерное стационарное дифференциальное уравнение |
|
теплопроводности.................................................................................... |
200 |
4.3. Одномерное нестационарное дифференциальное уравнение |
|
теплопроводности................................................................................... |
202 |
Список литературы..................................................................................... |
204 |
Учебное пособие предназначено для бакалавров и магистров на правления 15.03.03 «Прикладная механика», выполняющих вычис лительные работы при изучении методов вычислительной математи ки, на практических занятиях и лабораторных работах дисциплин «Численное моделирование технических задач», «Численный анализ механических процессов», «Прочностные расчёты в математических пакетах программ», «Вычислительная механика», «Проекционные методы решения задач» и других. Пособие может быть полезно при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ, а так же аспирантам и специалистам, проводящим вычислительные экспе рименты при решении прикладных задач математики, механики, фи зики, химии, электротехники, геологии и других направлений.
Основная задача, на решение которой ориентировано настоящее пособие, - формирование у бакалавров и магистров направления 15.03.03 «Прикладная механика» целого ряда общекультурных и профессиональных компетенциий:
- использование основных законов природы в профессиональ ной деятельности, применение методов математического и компью терного моделирования в теоретических и расчетно-аналитических исследованиях;
-выявление сущности научно-технических проблем, возникаю щих в ходе профессиональной деятельности, и привлечение для их решения соответствующего физико-математического аппарата, ана литических и расчетных методов исследований, методов вычисли тельной математики;
- выполнение расчетно-аналитических работ в области при кладной механики с использованием вычислительных методов, высокопроизводительных вычислительных систем и компьютер ных технологий;
- разработка оригинальных прикладных программ, проведение расчетов машин и приборов на динамику и прочность, устойчи вость, надежность, трение и износ;
- обработка и анализ полученных результатов, подготовка опи сания выполненных расчетных работ, отчетов и презентаций, докла дов, статей и другой научно-технической документации;
- проектирование деталей и узлов с использованием систем компьютерного проектирования и выполнение многовариантных расчетов.
Первая глава настоящего пособия посвящена методам аппрок симации функции на основе метода Галёркина с использованием кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно-квадратичных функций, иерархических многочленов. Рассматриваются апостери
орные способы оценки погрешности |
аппроксимации |
функции |
с использованием последовательности |
сгущающихся |
разност |
ных сеток. |
|
|
Во второй главе выполняется построение методом Галёркина разрешающих соотношений для задачи стационарной теплопровод ности при различных вариантах кусочно-непрерывной аппроксима ции искомого решения. Это позволяет свести решение исходной дифференциальной задачи к нахождению решения системы линей ных алгебраических уравнений известными методами (прямыми и итерационными). Последовательности численных решений, опре деляемые с использованием сгущающихся разностных сеток, позво ляют получать эмпирические оценки погрешностей приближённых решений.
В третьей главе пособия метод Галёркина применяется для построения разрешающих соотношений для параболического диф ференциального уравнения нестационарной теплопроводности при кусочно-линейной аппроксимации искомого решения и различных вариантах представления производной по времени. Как и в предыду щих случаях, значительное внимание уделяется получению оценок сходимости численных решений, получаемых на последовательности разностных сеток.
Для каждого задания приводится подробное описание процеду ры построения разрешающих соотношений. Формируется матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по системам кусочно-непрерывных пробных функций, приводятся числовые значения этой матрицы и правой части, результаты решения сформированной системы урав нений, анализ погрешности получаемого решения. Эти числовые данные могут использоваться для контроля правильности построения алгоритма численного решения дифференциальных уравнений, от
ладки вычислительных программ на алгоритмических языках высо кого уровня. Каждый раздел сопровождается текстом вычислитель ной программы на алгоритмическом языке Си для реализации по ставленной задачи.
Особое внимание следует обратить на подготовку отчетов по ре зультатам выполнения вычислительных работ. Образец титульного листа отчета представлен на рис. В.1. В тексте отчета в обязательном порядке должны содержаться следующие разделы:
1.Математическая постановка задачи.
2.Краткое описание численного метода (при необходимости -
сграфической иллюстрацией), условия его применимости и, по воз можности, проверка выполнения этих условий для решаемой задачи.
3.Описание алгоритма получения численного решения.
4.Оценка погрешности 5и получаемого численного решения, которая выполняется, как правило, с применением чебышёвской
нормы отклонения приближённого решения y h (xj), полученного
с шагом h интегрирования, от точного решения у(х ; ) на заданном
отрезке [а, А],
При отсутствии точного решения поставленной задачи погреш ность получаемого результата оценивается с использованием чебышёв
ской нормы отклонения приближённого решения у н(х,), полученного
с шагом А, от решения y h^ (х,), полученного с шагом А/2, на заданном
отрезке [а, А]:
либо, что то же самое, от решения, полученного с удвоенным числом шагов интегрирования:
5т, 2т
Министерство образования и науки Российской Федерации
Пермский национальный исследовательский
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра динамики и прочности машин
Лабораторная работа № 1
Использование метода Галёркина
ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИИ
Вариант 01
Выполнил: |
А.Б. Волков |
студент гр. ДПМ-10 |
|
« _ » ______ 2014 |
|
Проверил: |
М.Г. Бояршинов |
профессор |
|
« » ______ 2014 |
|
Пермь 2014
Рис. В. 1. Образец титульного листа отчета по лабораторной работе
Пусть, например, получена последовательность y h(*, ) числен
ных решений дифференциальной задачи с различными сеточными шагами (табл. В.1). Для получения оценки 8ЛЛ/2 используются значе
ния двух приближений искомой функции (например, y h(х,)
и у h!2(JC/)) в общих узлах х,- разностной сетки: 0; 0,5; 1; 1,5; 2 (выде
лено жирным шрифтом).
Таблица В.1
Последовательности численных решений у ■дифференциальной
задачи с различными сеточными шагами
Xi |
у! |
|
уГ |
0 ,0 0 0 |
1 ,0 0 0 |
1 ,0 0 0 |
1,000 |
0,125 |
|
|
0,875 |
0,250 |
|
0,750 |
0,76563 |
0,375 |
|
|
0,66992 |
0 ,5 0 0 |
0 ,5 0 0 |
0 ,5 6 2 5 0 |
0,58618 |
0,625 |
|
|
0,51291 |
0,750 |
|
0,42188 |
0,44879 |
0,875 |
|
|
0,39269 |
1 ,0 0 0 |
0 ,2 5 0 |
0 ,3 1 6 4 1 |
0,34361 |
1,125 |
|
|
0,30066 |
1,250 |
|
0,23731 |
0,26308 |
1,375 |
|
|
0,23019 |
1 ,5 0 0 |
0 ,1 2 5 |
0 ,1 7 7 9 8 |
0,20142 |
1,625 |
|
|
0,17624 |
1,750 |
|
0,13348 |
0,15421 |
1,875 |
|
|
0,13493 |
2 ,0 0 0 |
0 ,0 6 2 5 |
0 ,1 0 0 1 1 |
0,11807 |
Разность y h ( x j) - y ^ 2(х,) дает набор соответствующих значе
ний: 0; 0,0625; 0,06641; 0,05298; 0,03761. Это позволяет оценить по грешность 5лл/2 (в соответствии с принятым выше определением)
значением, равным 0,06641.
Затем для вычисления 5Лд Л/4 выбираются координаты х/ = 0,
0,25, 0,5, 0,75, узлов разностной сетки, общие для решений y h,2{xi) и уЛ/4(х,), определяется максимальная по модулю разность
между значениями найденных решений в этих узлах и т.д.
Полученная указанным способом зависимость от шага интегриро вания А погрешности численных решений, приведенных в табл. В.1, показана на рис. В.2 {а - обычные, б - логарифмические координаты). Приведенная зависимость может быть использована для количествен ной оценки погрешности получаемого численного решения.
Рис. В .2. Зависимость от шага интегрирования А погрешности
численных решений, приведенных в табл. В .2, в обычных (а)
и логарифмических (б) координатах
Поскольку в логарифмических координатах, использованных для построения рис. В.2, б, зависимость погрешности от шага А при ближенно представляется отрезком прямой, эту зависимость можно аппроксимировать выражением
1п5 = 1п^4+ а1пА,
что соответствует 5 = Aha, где а - оцениваемый порядок погрешно сти 8 решения. Используя значения 8;,8Г и А,,АГ на левом (/) и пра вом (г) концах этого прямолинейного отрезка, оцениваемую величи ну можно определить выражением
я = (1п5г -1п5/ )/(1пАг - InА,). |
(В.1) |
Для данных, представленных на рис. В.2, требуемые величины
И,= 4,7684-КГ7, 5, =4,3855 1(Г8; hr = 0,25, 5Г =2,7203 10'2. Соот ветствующее значение порядка погрешности решения
а = (-3,6044 +16,9424)/(-1,3863+ 14,5561) = 1,0128,
что позволяет приближенно оценить погрешность приближённого решения как величину первого порядка относительно шага h интег рирования.
5.Графическое представление численного решения, полученное
спогрешностью, не превышающей заданное значение, например
5<10^
6.Оценка времени, затраченного на получение численного
решения, и характеристики ЭВМ, используемой для расчетов (объ ем оперативной памяти, тип процессора и его тактовая частота). Поскольку современные компьютеры обладают высоким быстро действием, могут возникать проблемы с оценкой времени работы используемого алгоритма. В этом случае приходится, как правило, замерять время, затраченное на многократное исполнение изучаемо го алгоритма, повторяемое, например, 100, 1 000, 10 000 или боль шее число раз.
7. Общие выводы по выполненной работе. При этом каждому пункту задания должно соответствовать краткое, но точное описание полученного результата.
Пристальное внимание следует обратить на оформление резуль татов вычислительных работ. Массивы чисел, получаемые в резуль тате расчетов, не являются конечным результатом вычислительного эксперимента. Это лишь «сырье» для кропотливой, вдумчивой рабо ты исследователя, основа для размышлений и выводов. Массивы чи словых данных должны быть обработаны и представлены в виде, удобном для последующего анализа, т.е. в виде таблиц, рисунков, диаграмм, графиков и пр.
Каждый рисунок следует снабжать исчерпывающим коммента рием, разъясняющим смысл приведённых данных. Координатные оси должны быть в обязательном порядке подписаны и размечены. Если координатные оси отражают значения размерных величин, в подписи к рисунку следует указать используемую размерность. Иногда целе
сообразно использовать логарифмические координаты для большей наглядности представления результатов (см. рис. В.2).
При использовании ссылок на печатные работы (тезисы докла дов, статьи, учебники, монографии) следует руководствоваться об щепринятой системой оформления списка используемых литератур ных источников. Список цитируемых источников помещается в кон це отчета, все литературные источники нумеруются и располагаются по алфавиту, либо по порядку цитирования, либо по годам издания (в качестве примера см. библиографический список, приведенный
вконце учебного пособия).
Втексте отчета для ссылок на цитируемые литературные источ ники используются квадратные скобки, в которых номера литера турных источников из библиографического списка перечисляются через запятую.
Существенную помощь при подготовке настоящего пособия ока зали студенты направления «Прикладная механика» Борзакова Ната лья (гр. ВВТм-11), Дудин Сергей и Чиннов Николай (гр. ДПМб-09), принимавшие участие в реализации алгоритмов и выполнении вычис лительных экспериментов.
1.АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ
СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА
Под аппроксимацией заданной функции/ (г) понимается нахожде ние функции f m(х) из некоторого класса (например, среди алгебраиче ских многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к/(х) и дающей ее приближенное представление. Функция f m (х) может определяться, например, следующим образом:
т
/ » W = Z ° - (Р/(*)’
ы\
где ф, (х) - пробные функции. Близость функции f(x) и ее прибли-
т
жения ]Гя.ф. (JC) оценивается с использованием какой-либо подхо-
;=1
т
1/ - ^ ^ ,Ф / • При использовании метода Галёркина
наиболее удобной является чебышёвская норма
|
П1 |
Sm= |
( 1 .1 ) |
Функция / (x) на отрезке [а, Ъ] приближенно представляется раз ложением
|
f { X) ~ f m{X) = Y ;aWi(X)- |
|
(1.2) |
||
|
|
;=1 |
|
|
|
|
Для определения коэффициентов я, используется условие орто |
||||
гональности погрешности |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ M |
- Z ^ . M |
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
каждой пробной функции ф;. на отрезке [а, Ь], |
|
|
|||
" |
т |
в |
о |
т |
^ ) Е а/(Р/(дг>& |
J |
|
1/ М |
фф Л ^^)л) ^=- | ф Л |
к =\,т.
Полученные выражения представляют собой систему т линей ных алгебраических уравнений
1 ] в/1ф/(*)ф*(*)Л |
= ]/(* )ф * (* )Л * к = 1,т. |
(1.3) |
(=1 а |
а |
|
относительно т искомых коэффициентов ап i = 1,/и разложения (1.2).
Вдальнейшем рассматривается построение приближения (1.2)
сиспользованием кусочно-непрерывных пробных функций. Проце
дура аппроксимации заключается в разбиение отрезка [я, b] на т сег ментов равной длины h = (b -a )/m
[a,b\ = Gx UG2U ...u G m.,U G m,
где G, =[х0,х,], G2=[*p *2], Gm.t =[xm_2,xm_{], Gm=[xm_l,xm];
x0 =a, xm=b. Для каждого из этих сегментов выбираются кусочно-не прерывные функции, которые в дальнейшем используются для по строения разложения (1.2). Порядок формирования систем пробных функций на основе кусочно-непрерывных полиномов рассматривается ниже.
1.1. Кусочно-постоянные функции
Задание. Аппроксимировать методом Галёркина на отрезке [О, п] функцию cos х с использованием кусочно-постоянных пробных функций. Сформировать систему линейных алгебраических уравне ний относительно коэффициентов разложения этой функции по заданнной системе функций; разработать вычислительную програм му для определения коэффициентов разложения для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; для указанной последовательности определить погрешности аппроксимации; исследовать зависимость погрешности аппроксимации от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вы числительной программы.
Разрешающие соотношения
Заданный отрезок [0,л] разбивается на т сегментов Gi =[*м ,*,],
i = 1,/и, равной длины h = xi - JCM =п/т. На каждом из сегментов оп ределяется кусочно-постоянная пробная функция1
1Число пробных функций совпадает с числом т сегментов, т.е. п = т.
|
|
|
fl, |
x e G n . |
-— |
(1.4) |
|
|
|
ф' м = |
о, |
|
,=1’я - |
||
|
|
|
|
||||
|
Для формирования системы уравнений (1.3) с учетом определе- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Л |
ния (1.4) пробных функций вычисляются интегралы |
Jcp^ (лг) ф,- (л:) |
||||||
|
л |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
(jt)cosx<ix:. |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Если к = /, |
т.е. ср* (л:) = ф;. (х), |
|
|
|
||
|
Л |
Л |
|
х ! |
|
x i |
|
|
|ср,(х)ф; (х )Л = ^ ] (x )d x = |
|ф ](x)dx= j l dx = xi -x .^= h . |
|||||
|
О |
0 |
|
дг,_, |
дгу_, |
|
|
|
Е с л и к * /, |
ф у н к ц и и |
ф* ( х ) и |
ф;. ( х ) |
о т л и ч н ы о т |
н у л я н а р а з н ы х |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
сегментах и, следовательно, |
|ф, (х)ф* (х) dx = 0. Иными словами, |
||||||
|
|
|
|
|
IК |
k = i, |
|
|
|
/фД*)ф*(*)А = 0, |
к * L |
|
Для того же сегмента G,= [JC/_I, JC,-] интеграл в правой части фор мулы (1.3) с учетом определения (1.4) пробных функций определяет ся выражением
лХк
|ф А(JC)COS*<&= Jco sxdx = s i n = s i n ( ^ ) - s i n ( ^ _ , ) =
о**-i
= sin (kh) - sin [(к -1) A].
Подстановка полученных значений в выражение (1.3) приводит к системе п линейных алгебраических уравнений
ахh |
+ |
а20 |
+ |
аъ0 |
+ |
+ |
ал0 |
= sin (Л), |
ах0 |
+ |
a2h |
+ |
аъ0 |
+ |
+ |
ап0 |
= sin(2A)-sin(A), |
ах0 |
+ |
а20 |
+ |
аък |
+ |
+ |
ап0 |
= sin(3A)-sin(2A), |
ах0 + а20 + аъ0 + |
+ anh = -sin [(/w -l)A ], |