Численные методы Часть 3
..pdfПодстановка формул (5.2) в выражение (5.3) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ц/,
(5.8)
Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнение несжимаемости (5.6) и исключить из уравнений Навье - Стокса давление Р Решение системы уравнений (5.7) и (5.8) позволяет найти распределения функций о и \|/,а использование соотношений (5.2) - определить компоненты vxи vy вектора скорости.
С другой стороны, дифференцирование уравнения (5.4) по переменной х, а уравнения (5.5) - по переменной у,
и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости (5.6) приводит к соотношению
(5.9)
которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления Р в случае, если распределения компонентов vx и vy вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений. Преобразование уравнения несжимаемости (5.6)
позволяет преобразовать уравнение (5.9) к виду
д2Р | |
д2Р |
2dv |
дх ду ’ |
дх2 |
ду2 |
дх ду |
а с учетом формул (5.2) записать это уравнение в форме
д2Р . д2Р „Э2ч/ д \
дх2 |
ду2 |
дх2 ду2 {дхду^ |
Для записи граничных условий для функции завихренности на твердой границе выбирается произвольная точка А. На расстоянии I от нее по нормали в глубь области Q выбирается точка В (рис. 5.1). Вблизи точки В функция тока у разлагается в ряд Тейлора,
i2 д \
-0{l2).
2 дп2
Поскольку, как показано ранее, ду/дп = vt, ду/д% = - уя и, согласно (5.8),
32ф 32ф
_а*г + Зу2"
А
получается
д |
\ |
d2\\f |
£ |
ГЧ |
см |
А.
<4 32ф
дп2 _
/2
Ч,=4«-Н+т дх- - с о
Отсюда следует формула Тома [16] для функции завихренности,
(5.11)
В частности, vn = 0 вдоль твердой границы, и формула (5.11) упрощается,
Соотношения метода взвешенных невязок
Решения дифференциальных уравнений (5.7) и (5.8) в пределах отдельного треугольного конечного элемента представляются в форме
г=».М
2> г(*Ы * .зО . r=i,j,k
где, как и ранее, пробные кусочно-линейные функции для р-го конечного элемента имеют вид
Фг(х ,у )= а г + М+УгТ> r = i,j,k,
уco (f) - узловые значения функций ц>„и о т, подлежащие определению.
Пусть приближенное решение сот уравнения (5.7) для некоторого момента времени t известно. Невязка уравнения (5.8) на приближенном решении \j/m взвешивается по области Q р конечного элемента с использованием тех же пробных функций Ф? {х,у), q = i,j,k ,
|
|
/а2 |
|
+ а |
ф /Л = 0, |
q = ij ,k |
|
|
||||
|
f |
|
дх12 |
ду2 |
|
|
||||||
|
“Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразования этого уравнения с использованием теоремы |
||||||||||||
Остроградского2 - Гаусса приводят к выражению |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
&Ут Э(Р« |
ду ду |
+ <*>тФ, |
dQ.= |
||||
|
|
|
|
|
|
дх |
дх |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
д% , |
|
|
с1П+ | а тф?й/П = |
||
|
|
|
|
|
|
дх |
дх |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ду |
ду J |
|
а, |
|||
^ ■ а г - |
f |
|
I |
|
|
+ |сотф ^ Л = 0, |
q= ij,k- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дп |
|
I |
дх |
дх |
ду |
ду J |
О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
способ |
представления |
решений |
фт, |
|
ют |
и |
соотношение |
||||
Зф/Эи = v,, полученное выражение можно переписать в виде года |
|
|||||||||||
r=i,jjc Д |
дх |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Согласно [2], поток вектора Ф через замкнутую поверхность Г равен интегралу от
дивергенции Ф по объему Q, ограниченному этой поверхностью, |
• ФсЮ. - j d Г • Ф |
2 Остроградский Михаил Васильевич [24.9.1801 - 1.1.1862] - русский математик. С 1816 по 1820 год учился в Харьковском университете, с 1822 по 1828 год слушал лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье в Париже. В 1828 году стал профессором офицерских классов Морского кадетского корпуса, с 1830 года - профессором Института корпуса инженеров путей сообщения. В 1830 году избран в Петербургскую академию наук. Занимал должности профессора в Главном педагогическом институте (с 1832 года), в Главном инженерном училище (с 1840 года), в Главном артиллерийском училище (с 1841 года). Один из основателей Петербургской математической школы. Основные труды относятся к математическому анализу, теоретической механике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей.
С использованием обозначений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Эф; Эф| |
5ф* дф1 + дф1 дф1 |
||||
|
ах |
ах |
ау |
ау |
ах |
ах |
ву |
ду |
||||
|
Зх |
дх |
ду |
ду |
||||||||
\А | = |
f |
|
+дф±.?Ъ_ |
Зфу Эфу t |
ЭфJ |
|
афt ^Pj | |
аФ)саф; |
||||
р |
I' дх |
дх |
ду |
ду |
дх |
дх + |
ду |
ду |
йх |
ах |
эу |
Л1, |
ау |
||||||||||||
|
dq>, a<pt |
| аф, оф^ |
Зф£ аф4_+ 5ф1 аф1 |
дф1 дф1 + дф1 дф* |
||||||||
|
_3х |
Зх |
ду |
ду |
дх |
дх |
ду |
ду |
йх |
Эх |
ду |
ду |
V |
14(0’ |
Ф.Ф/ |
фуф, |
Ф*Ф, |
•. |
К (')}=• ©4): |
Ф(Фу |
Фуф |
Ф4Фу |
.V*. |
МО. |
Ф,Ф* |
фуф* |
Ф*Ф_ |
полученный результат удобно представить в матричной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Ч'мЧ/рЧ/*,
k k l = [ c , ] k ( 0 } + h } |
(5-12) |
Разрешающие соотношения для функции завихренности
Пусть задача (5.12) решена, то есть решение \утуравнения (5.8) найдено, в соответствии с формулами (5.2) вычислены компоненты vx и vy вектора скорости. Невязка уравнения (5.7) на приближенном решении шт взвешивается по области Пр конечного элемента с применением пробных функций срД*,у),
д(йп■+ V. |
<4, |
''а 2© ,,. |
э 2со„ |
Ф,<Ю = 0, |
|
ду2 |
|||
I dt |
ду Re Эх2 |
|
q = i,j,k.
Слагаемые, входящие в это выражение, преобразуются с учетом представления приближенного решения сот,
(5.2). Невязка уравнения (5.9) взвешивается по области &р конечного элемента с применением пробных функций (рч(х,у),
J |
д2Рт |
д2Рт |
„ 3v |
а» |
(dv |
V |
(dvУ V Ф/а= о, |
q = ‘J ,k |
дх2 |
ду2 |
дх |
ду |
|||||
|
|
|
|
|
v * |
’ + \ д у , |
|
|
Использование обозначений |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5vLavJ_+ |'9v£ |
fd v ^ |
|
||
|
|
|
/ - 2 |
ду |
у дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
дх |
|
и представление приближенного решения Ртразложением ^(*»У)= £ ! > ,( * ,у),
позволяют получить систему уравнений для нахождения давления Р„ в виде
|
д_(дК |
|
|
дРшЭ<р, |
дРшЗф, |
|
||||
I |
з Д дх Ф. |
ду |
^ Ф |
------- r3—- |
^ Z Z ± +/ ф |
|||||
дх |
дх |
ду |
ду |
q dO =О, |
||||||
А ( ^ ф |+ |
дРт |
dO - J |
|
|
|
dO.+ Jfyi'dQ. = 0, |
||||
——ф |
|
дх |
ду |
|||||||
3x1 Эх ^ ) |
ду |
ду * |
оХ дх |
ду |
|
|||||
|
/ |
ЗР. Зф, +<К .дф«\ д |
в jggiLф а г + J /ф |
dci |
||||||
|
1 \ дх |
дх |
ду |
д у) |
|
г, дп ^ |
QJ/ |
|
||
I |
Q , l & |
дх |
ду |
ду ) |
I |
дп |
|
^ |
|
|
£ j* |
|
|
||||||||
В матричной записи эта система линейных алгебраических уравнений |
||||||||||
записывается в форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
№ ,} = { /■ } . |
|
|
(514) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р: |
|
|
ф, |
|
ф, |
|
|
|
ЛЬ 'Г, ■ |
w |
- / £ ■ |
ф/ ></г+ J /■ Ф) ><Х1 |
||||||
|
|
|
А . |
р |
.ф*. |
Q |
.ф*. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Алгоритм решения задачи
Вычисления начинаются в предположении, что в начальный момент времени функция завихренности а = 0 во всей области Л Решением системы уравнений (5.12) определяется распределение функции тока ф в той же области R По найденному полю ф с помощью формул (5.2) вычисляются компоненты
|
|
girls’! |
|
|
|
|
Jq>WM<K I =,-------------- r 2 F B, |
|
|
|
|||
Q. |
|
W + r + ^ + 2)! |
p |
|
|
|
где bp - площадь p -го |
конечного |
элемента. С |
учетом |
этого |
выражения |
|
получены матрицы |
|
|
|
|
|
|
'РД+У.У, |
РД+уд, |
РД + у ку, |
|
|
'2 |
1 Г |
РД+yj/ |
РД+уд, |
РД+уд, |
■^ |
4 12 |
1 2 1 |
|
РД+УД* |
РД+уд, |
РД+уд,_ |
|
|
1 1 2 |
Рис. 5.3. Сетка конечных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость
1 Из выражений (5.2) следует, что при аппроксимации функции тока ц/ линейными пробными функциями компоненты vx и vv вектора скорости оказываются постоянными в
пределах конечного элемента.
На рис. 5.3 показана сетка конечных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость, занятую жидкостью. Числами обозначены номера узлов (прямой шрифт) и треугольных элементов (курсив).
На рис. 5.4 представлены результаты вычисления функции тока ц/ на сетках с увеличивающимся числом конечных элементов (структура сетки показана на рис. 5.3), число Рейнольдса Re = 400, шаг интегрирования по времени At = 0,01. Результаты вычислительного эксперимента показывают, что уже при числе элементов, равном 512 и 2048, различие решений незначительно.
Рис. 5.4. Изолинии функции тока, полученные при расчетах на сетках с числом конечных элементов, равным 32 (а), 128 (б), 512 (в) и 2048 (г)