Статистическая механика композитных материалов
..pdfд __ |
^1122 ~Ь З С 2323_______ . g _ |
^1122 + . ^2323________ |
|
8л С2з23 (Сц22 4“ 2С232з) |
8лС2323 (Сшг 4"2С2323) |
При ограниченных размерах тела тензор Грина состо ит из двух слагаемых:
G (х, х') = G (х, х') + G' (х, х').
Функция G'(x, х') регулярна в открытой области V (в теле Г* без границы S). На границе 5 она равна тен
зору G(x, х') и противоположна по знаку, поскольку со ставляющие Gij(x, х') тензора Грина на границе S рав ны нулю.
Определение тензора Грина G(x, х')"для тел ограни ченных размеров сводится к определению функции G'(x, х'). Эта задача по сложности не уступает задачам клас сической теории упругости однородных изотропных тел с детерминированными свойствами [88]. Метод функций Грина не имеет преимуществ перед другими методами классической теории упругости, однако он оказывается полезным при решении статистических задач типа II.
Тензор Грина в случае однонаправленной композит ной среды. Рассмотрим однонаправленную композитную среду, трансверсально-изотропную в отношении макро скопических свойств. Симметрия тензора средних моду лей упругости С такой среды зависит от симметрии мо дулей упругости компонентов. В случае анизотропных компонентов С — трансверсально-изотропный тензор. Ме тод построения тензора Грина для анизотропной упругой среды предложен И. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом
[93]. В этой же работе в конечном виде получен тензор Грина для трансверсально-изотропной среды (см. также
[94]). Его выражение громоздко и поэтому здесь не при
водится. |
|
(это |
имеет место для |
Если тензор С — изотропный |
|||
композитной среды, |
составленной из изотропных компо |
||
нентов), то задача |
построения |
тензора |
Грина системы |
уравнений (2.47) при детерминированных перемещениях границ (задача И) существенно упрощается.
Система уравнений, задающих компоненты тензора
Грина GZj(x, х'), имеет вид |
|
|
CiaPv |
= - М ( х - х ') . |
(2.57) |
дхадХу |
|
|
6 Зак. 674 |
81 |
Здесь |
i, /, р = 1, 2, 3; а, 7 = 1 , 2, |
так как по свойству |
среды |
производные от функций Gi7(x, |
х') по координате х3, |
перпендикулярной плоскости изотропии свойств, равны нулю. Тогда система (2.57) распадается на систему
(i + |
ш) У0- . (х’ |
х'> |
+ ш |
<х- |
х'> |
|
дх,дха |
|
дха |
|
|
|
= — М (х — х') |
|
(2.58) |
||
для Gu (х, |
х') при t, / = |
1, |
2 и уравнение |
|
|
|
d2G33(x, |
х') |
«. |
, |
(2.59) |
|
m ----- Ж 2— •*- = — S(x —х') |
||||
|
(X |
|
|
|
|
для ^33 (х, х'). Здесь / и т — средние значения постоянных Ламе.
Применяя, например, метод, основанный на преобра зовании Фурье, записываем матрицу составляющих тен зора Грина G(x, х'), симметричную относительно диаго нали:
|
|
|
|
|
|
(Gu (х, |
х')) = |
|
|
||
. . . |
\ |
, |
n |
{Xi |
- |
X \Y |
АТ |
(X I — |
X ’ ) { X 2 — |
X '2) |
|
M |
|
r |
|
^ -----N ----------- о |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M \nr + N i f 2 |
Хг)2- |
О |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qlnr |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М « - — *4 З т |
; Д/ = |
/ -I- т |
2т) |
||||||||
|
|
|
|
4 л т (/ + 2т) |
|
4 л т (/ + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = — 2 ят |
|
|
|
82
5. ОБ УПРУГОМ КОНТАКТЕ СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ ШЕРОХОВАТЫХ ТЕЛ
Рассматривается взаимодействие структурно-неодно родных тел, к которым относятся, в частности, композит ные материалы, с учетом случайных свойств структурных составляющих и совместного влияния неоднородной
структуры и шероховатости границ |
на напряженно-де |
|
формированное состояние при |
упругом контакте. Пусть |
|
в ^ х 1) и 0 1Т(хп) — случайные |
поля |
модулей упругости |
элементов структуры тел I и II; |
системы координат, в ко |
торых заданы радиусы-векторы точек х1 и х11, связаны с соответствующим 1гелом (рис. 16); г)1 (х1) и г)п (хи) — случайные поля шероховатости границ, по которым про исходит контакт тел. В случае, если размеры неровностей малы (как и элементы структуры, они имеют порядок
е%), можно полагать, что границы в среднем гладкие. В дальнейшем будем полагать, что поля упругих свойств и шероховатостей тел — статистически однородные и эргодические. Далее, пусть р — вектор средней интенсивно сти внешней нагрузки на границе тел — макроскопически гладкая функция координат (р^ const на участке е*/0). Тогда напряженное и деформированное состояние каждо
го тела (индекс |
I, II |
тел опущены) |
описываются |
систе |
мой уравнений |
|
|
|
|
у |
| = 0; |
е = def х; 1 = |
0 ••е, |
(2.61) |
где е, х — напряжения, деформации и перемещения — случайные поля вследствие неоднородной микрострукту ры тел и шероховатости границ.
Система (2.61) эквивалентна системе дифференциаль ных уравнений относительно флуктуаций перемещений
х°=х— ч (ч = <х>); |
= — у П , |
(2.62) |
||
|
|
у С -* \Д 0 |
||
где С = |
< 0 ) ; |
П = С--е + |
0°--е + 0°--ух°; |
е = < в > ; |
0° = ©_ |
С. |
х ')— функция |
Грина уравнений (2.62) рас |
|
Пусть G(x, |
сматриваемой задачи (для полупространства), удовлетворяю щая системе уравнений
у С- -vG(x, х') = — Е6(х — х'), |
(2.63) |
6” |
83 |
Рис. 16. Схема контактирования шероховатых тел: |
|
|||||||
сплошная |
линия — недеформированная граница; |
|
||||||
пунктирная линия — деформированная граница |
|
|
||||||
где Е = (8и) — единичный тензор второго ранга; |
8и — сим |
|||||||
волы Кронекера; |
6 (х — х') — 5-функция. |
|
|
|
||||
Уравнения (2.62) |
и (2.63) |
описывают два напряженных |
||||||
и деформированных состояния, создаваемых объемными |
си |
|||||||
лами у-П и Е6(х — х'), а |
также |
силами |
v • С • • у)у |
и |
||||
п-С- • yG на поверхности (v — вектор нормали к |
поверхно |
|||||||
сти тела); соответствующие им перемещения |
%° |
и G. |
По |
|||||
теореме Бетти [88] |
|
|
|
|
|
|
|
|
(у • П) • GdV + |
j |
(v • С • • ух°) • GdS = |
|б (х —х')Е- %°dV + |
|||||
V |
s |
|
|
|
v |
|
|
|
|
+ |
j |
х°•(n •с •-v G) dS- |
|
(2.64) |
|||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
В силу свойства б-функции
j б (х — хЛ) Е• %°dV — х°'
V
(штрихи здесь и далее обозначают функцию от х'). Поэтому из уравнений (2.64) следует
%°г = J |
(у • П) GdV — f x°-(n-C..yG)dS + |
V |
s |
84
+ j (v-C ..Vx?)-GdS.
Согласно теореме Максвелла, G(x, x') = G*(x\ x), где звездочка означает транспонирование. После замены обозна чений точек х+±х' получаем следующую систему интегродифференциальных уравнений:
Х°= j |
G .(y II)'d V '- x0'-(n .C .-VG*)'dSr + |
|
V |
s |
|
|
+ j G (v -C --v x 0)' dS' |
(2.65) |
Система (2.65) ютличается от системы (2.48) наличи ем третьего слагаемого в правой части.
Совместное решение уравнений (2.65) для тел I и II находим по методу итераций. В первом приближении по лагаем
i° |
j |
G ^ v - e 1' |
•е1)' dVv + j Gl .{vl - С1• - ух;)' dSv |
|||
X1 |
||||||
|
vl |
|
|
si |
|
(2.66) |
|
|
Xl,e = |
J G11 - ( у в 11" • -e11)' dV11 — |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
v11 |
|
|
|
|
|
- |
j |
(v11 • C11 • • yG11)' |
£ d S " ' |
|
|
Это соответствует заданию напряжений на части поверх |
|||||
ности тела I, |
находящейся в контакте с телом И, |
и пере |
||||
мещений |
на |
соответствующей части |
поверхности |
тела II. |
Условие контакта имеет вид ri1 +'Пп + u > h (см. рис. 16). Здесь и = и13 и131 — сближение, известное из решения
классической краевой задачи теории упругости для данного вида контакта (ы* и и\1— проекции перемещений). Функ
ции Хд и yXs на границе выражаются через величину h:
Xs — (Л1+ |
Л11— |
VXs = (v1+ v11) ф, (2.67) |
|
где |
fl, |
Р(Ц1+ ЛП > h — «); |
|
|
|||
V |
[0, |
P(i\l + i \ u < h — и). |
85
Для определения неизвестной величины h найдем отно сительную площадь контакта на участке размером AS = —е2 /2
(A S ) |
и эргодично |
По условию статистической однородности |
|
сти полей г]1 и г]11 имеем |
|
S* = P(r)i г)11 > h — и). |
(2.68) |
Вероятность Р (ч1+ rj11> h — и) находится в результате решения задачи о пересечении случайных полей г]1 и rj11. Кроме того, выполняются условия равновесия на границе тела I:
J (v '- lls ) ^ d S \ |
(2.69) |
(A S )
где Is = С --e + 0°--e + C--vXs + ®°--VXs
Таким образом, имеем систему уравнений (2.67) —
(2.69), из которой находится xsВторое приближение по лучаем, подставляя (2.66) в (2.65). Продолжая анало гичные операции, находим решение рассматриваемой за дачи относительно флуктуаций перемещений х10 и хи°- Выражаем флуктуации напряжений через флуктуации
перемещений:
|° = 0° - - е + С - • ух° + 0°* • VX°— h- -е,
где h — поправка к макроскопическим модулям упруго сти (см. пп. 1, 2, гл. 3), и находим распределение случай ных напряжений по одному из методов, описанных в гл. 4.
6. О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Уравнения в моментных функциях. Ниже рассматри ваются некоторые методы решения статистической кра евой задачи теории упругости для структурно-неоднород ной композитной среды при заданных на границе детер минированных перемещениях (задача II согласно п. 4 гл. 2). Решение этой задачи позволяет исследовать эф фекты, обусловленные неоднородной структурой компо зитных материалов.
86
Результат решения статистической краевой задачи при полной постановке — многоточечные законы распре деления случайных напряжений, деформаций и переме щений, при частичной постановке — моментные функции соответствующих случайных полей. Частичная постанов ка задачи наиболее исследована, поэтому рассматривает ся первой.
Пусть модули упругости композитной среды 0 (х) — статистически однородные и локально-эргодические слу чайные подя; случайные поля напряжений §(х), дефор маций е(х) и перемещений х(х) — макроскопически глад
кие и локально-эргодические |
(см. п. 1 гл. 2). При этих |
условиях р= < | > , е = < е > , |
и — <х ) — макроскопи |
ческие напряжения, деформации и перемещения. Приме няя оператор математического ожидания к уравнениям (2.44), получаем систему уравнений рассматриваемой за дачи в моментных функциях первого порядка:
|
|
у р = 0, е —defи, |
р= С °--е. |
(2.70) |
|||
Здесь С°— тензор |
макроскопических модулей |
упругости. |
|||||
С учетом (2.48)—(2.51) он может быть записан в виде |
|||||||
С° = С + h; h = |
|
Ф > ; е° = Ф- е; Ф = |
оо |
||||
<0°- |
Ф ,; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.71) |
Ф0 = |
1; |
Ф, (х) = def |
J |
G(х, |
х ') • (у • в'° • • Ф,_0' dV |
||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
(i = |
1, 2, |
.); |
|
|
С = < 0 |
) ; |
h — тензор поправок к средним значениям мо |
|||||
дулей упругости, |
учитывающих |
взаимодействие |
элементов |
структуры.
При изложенных выше предположениях уравнения (2.70) совпадают с уравнениями классической краевой задачи теории упругости, методы решения которой при заданных на границе перемещениях известны (см., на пример, [88, 95—98]).
Уравнения краевой задачи термоупругости получим, заменив физические уравнения системы (2.70) уравне
87
ниями, полученными в результате применения оператора математического ожидания к (2.36'):
р = С- -е+ < 0 °--е°> — ( В - - а у t. |
(2.72) |
С другой стороны, |
(2.73) |
р = С°.-(е — a°t). |
Здесь а° — тензор макроскопических коэффициентов ли нейного теплового расширения; / — детерминированная разность температур естественного (напряженного) со стояния и эксплуатации.
Флуктуации деформаций е°, входящие в уравнение (2.72), при детерминированных перемещениях границ
равны |
|
|
х')-(уП )' dV', |
|
е° = |
def j |
G(x, |
(2.74) |
|
|
V |
|
|
|
где П = 0°. • е° + |
П*; |
П* = |
0 • • (е — а^). Решая |
систему |
интегродифференциальных уравнений (2.74) по методу ите раций, в первом приближении полагаем
8j--^defj G(x, |
х')-(уП *)' dVf |
(2.75) |
||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В произвольном |
приближении |
i (i = 2, |
3, |
.) |
|
|
г] - |
def j |
G (x, х').(у© °- -e!.,)' d r |
(2.76) |
|||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя e° = ^ |
8I c учетом (2.75) |
и (2.76) в (2.72) и |
i= 1
приравнивая правые части, получаем макроскопические по стоянные С° и а°. При этом выражения для С° совпадают с вычисленными по формулам (2.71).
Уравнения для центральных моментных функций вто рого и более высоких порядков получаются -по следующе му общему правилу: записываются флуктуации напряже ний, деформаций или перемещений в двух или нескольких точках, перемножаются и к произведению применяется оператор математического ожидания. Здесь, как и при получении уравнений в моментных функциях первого по
88
рядка, математические ожидания напряжений, деформа ций и перемещений могут быть вынесены за знак опера тора математического ожидания ввиду макрогладкости случайных полей напряжений, деформаций и перемеще ний и локальной эргодичности случайного поля модулей упругости. В частности, для моментных функций случай ных напряжений имеем
|
К*(х, |
х') = < 1°, |
Г > |
= |
F :: ее'; |
(2.77) |
|
F = < С- Ф(С* Ф)' > + |
< 0° |
.ф (0° .ф)' > + |
|
||
+ |
<0 ° ..ф 00' > + |
<0°(0°..ф)' > + |
< 0 ° ..Ф (С ..Ф )' > + |
|||
|
+ <С- •Ф (0°• |
Ф)' > + <0°0°' > + |
< в°(С. -Ф)' > + |
|||
|
|
+ < С ..ф 0 |
° '> — hh'. |
|
||
Тензор F зависит только от структуры и свойств компози |
||||||
та |
(от случайного поля 0(х)), поэтому вычисление, со-^ |
гласно (2.71), сводится к вычислению интегралов от мо ментных функций поля 0(х).
Другой метод вывода уравнений в моментных функци ях, согласно которому составляются системы уравнений для предварительно сконструированных смешанных мо ментных функций случайных полей свойств и параметров состояния, применен Л. П. Хорошуном 1[99].
Различные методы решения в моментных функциях статистических краевых задач теории упругости структур но-неоднородных тел исследованы в работах [2—5, 99,
.100]. Результаты решения зависят в первую очередь от вида координатной зависимости моментных функций слу чайных полей модулей упругости. Как видно из выраже ний (2.71) и (2.77), даже для вычисления корреляцион ных моментов напряжений и деформаций требуется вы числить интегралы от моментных функций высших порядков. Экспериментальное и аналитическое постро ение моментных функций высших порядков — трудоем кий процесс, не всегда обеспечивающий необходимую точность (см. п. 4 гл. 1). Вычисление интегралов от мо ментных функций выше второго, порядка произвольного вида громоздкое и далеко не всегда выполняется в эле ментарных функциях. Для упрощения вычислений накла
89
дываются ограничения на вид координатной зависимо сти моментных функций свойств, т. е., по существу, на структуру материала. Случай предельно локальной за висимости, позволяющий упростить вычисления, рас смотрен е п. 1 гл. 4. При этом напряжения в компонентах материала (условные начальные моменты первого поряд ка) оказываются детерминированными, т. е. недостаточно полно учитываются эффекты, связанные с формой и рас положением элементов структуры. Ограничиться лишь моментными функциями первых порядков — это значит потерять часть информаций о случайном поле свойств и снизить точность построения законов распределения по вычисленным моментам. Таким образом, нужны более эффективные методы решения статистических краевых задач типа II.
Вычисление статистических характеристик или зако на распределения лапряжений или деформаций сводится к выполнению двух операций интегрирования: по коор динатам и по пространству реализаций (осреднения). При вычислениях в моментных функциях операция осреднения предшествует операции интегрирования по координатам. Такой порядок действия вполнеестествен ный при вычислении лишь некоторых моментов случайно го поля состояния структурно-неоднородного тела, например поправок к макроскопическим модулям упру гости [16, 53, 61, 62, 86, 101—104]. Именно этот путь вы числений был указан в основополагающей работе И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга '[53]. При исследо вании случайных полей напряжений и деформаций прово дить вычисления в моментных функциях нецелесообраз но. В этом случае предпочтительнее прежде выполнить интегрирование по координатам для некоторой реализа ции случайного поля свойств, а затем, имея некоторую совокупность реализаций случайных величин, задающих состояние среды, построить закон распределения или най ти некоторые параметры. Возможность изменения после довательности интегрирования и осреднения обсуждалась в работе 1[53], однако до сих пор фактически не была реализована, хотя некоторые тенденции этого подхода можно найти в работах [105—107].
Рассмотрим статистическую краевую задачу теории упругости для двухкомпонентной среды с изотропными компонентами. Представление общего решения задачи от
90