Планирование эксперимента в химической технологии
..pdfпо принципу случайного разбрасывания факторов, находящихся на уровнях «+1»
и«—1». Использование планов полных
идробных факторных экспериментов в качестве отсеивающих затруднительно. Например, для 17 факторов план ПФЭ 217 будет слишком громоздким, план
ДФЭ |
2 17-12 также будет |
большой |
(32 |
|
|
|
|
|
||||
опыта), а |
план 217-13 (N = 16) имеет ме |
|
|
|
|
|
||||||
ньше опытов, чем факторов. Можно, коне |
0 |
Я |
|
Р |
X , |
|||||||
чно, |
использовать матрицу ДФЭ217-13и, |
|
||||||||||
Рис. 21 |
. Угловая ориента |
|||||||||||
получив сверхнасыщенный план (N — / < |
||||||||||||
ция |
симплекса на плоскости. |
|||||||||||
< 0), |
применить для |
отсеивания |
факто |
для |
отсеивания |
целесо |
||||||
ров метод случайного |
баланса. |
Однако, |
||||||||||
образно |
использовать |
насыщенные |
планы, |
для |
которых |
число |
||||||
степеней |
свободы / = |
0 |
(I = N). Такими |
являются |
симплексные |
|||||||
планы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уже упоминалось (с. 129), что симплекс |
на |
плоскости |
имеет |
|||||||||
вид |
равностороннего |
треугольника, |
в трехмерном |
пространстве |
||||||||
— т е т р а э д р а т * . д. |
Эксперименты ставятся в |
точках исследуе |
мого пространства, соответствующих координатам вершин симплекса. Обычно принято рассматривать два способа задания координат вер шин правильного симплекса. Если одну из вершин симплекса помес тить в начало координат, а остальные п вершин расположить так, чтобы ребра, выходящие из первой вершины, образовали одинаковые углы с соответствующими координатными осями (рис. 21), то коор динаты вершин симплекса могут быть представлены строками матрицы:
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Р |
Я |
Я |
(167) |
|
Я Р Я |
|||
|
|
|||
|
_ Я |
Я |
Я |
Р _ |
где |
р = |
—-Хт=г (п — 1 + 1 п + 1); |
||
|
|
п у |
2 |
|
(п — число факторов). Например, при реализации симплекс-плани рования для 3 факторов координаты вершин первоначального по ложения симплекса по вышеприведенному условию отображены
в табл. 77.
Второй способ ориентации симплекса заключается в следую щем. Если центр симплекса поместить в начало координат, а вер шину Vn+ 1 — на ось хпг то остальные вершины располагаются сим метрично относительно координатных осей, плоскостей или, в об
щем случае, гиперплоскостей (рис. 22)*. Координаты вершин при этом определя ются строками матрицы:
1 |
1 |
-ч |
|
1 |
с ? |
со |
|
||||
R l |
|
г |
2 |
|
Г 3 |
0 |
Я 2 |
— |
|
h |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
—Г п- \
|
|
~ |
г п |
~ |
— |
Г п - |
1 ~ |
Г п |
|
— |
/ л - 1 |
~ |
Г п |
|
|
Я л - 1 |
~ |
Г п |
|
|
0 |
|
R n |
- |
|
|
|
( 1 6 8 )
|
Если длина ребра равна единице, радиу |
||||
сы вписанной rL и описанной |
|
окружностей определяют по фор |
|||
мулам: |
|
|
|
|
|
г, = |
_1___ |
; |
— ]/ " 2(t- |
’ |
(169) |
|
У 2i (1+1) |
|
(i+ t) |
|
где i — номер столбца матрицы. В табл. 78 представлена матрица планирования для трех факторов по второму способу ориентации симплекса.
Первый способ ориентации симплекса в факторном пространстве не удовлетворяет требованиям ортогональности и поэтому в расче тах коэффициентов моделей используется редко. Второй способ при
водит к диагональной обратной матрице (ХТХ)~1:
1
п+ 1
|
|
2 |
|
О |
|
(ХГХ)~1 |
|
2 |
|
(170) |
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
2 |
|
Таблица 77. Симплексный план по I способу ориентации |
|
||||
Опыты |
|
|
Факторы |
|
Переменная |
|
|
|
|
|
|
Вершина |
№ |
Хх |
*2 |
|
состояния |
|
|
||||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Ух |
|
2 |
0,944 |
0,236 |
0,236 |
Уг |
V, |
3 |
0,236 |
0,944 |
0,236 |
Уз |
^4 |
4 |
0,236 |
0,236 |
0,944 |
У4 |
Таблица 78. Симплексный план по II способу ориентации
Опыты |
|
|
Факторы |
|
Переменная |
|
|
|
|
|
|
Вершина |
JV8 |
|
*2 |
*8 |
состояния |
|
|
||||
Vi |
1 |
- 0 , 5 |
- 0 ,2 8 9 |
— 0,204 |
У\ |
V2 |
2 |
0,5 |
— 0,289 |
— 0,204 |
Уг |
Уз |
3 |
0 |
0,578 |
— 0,204 |
Уз |
у4 |
4 |
0 |
0 |
0,612 |
У\ |
т. е. удовлетворяет требованиям ортогональности. Коэффициенты линейной модели рассчитывают по формулам
л+1 |
л+1 |
|
К = — ту У уа, |
= 2 V Хшу |
(171) |
п г 1 и—1 |
и—1 |
|
Несложно подсчитать дисперсии коэффициентов уравнения:
4 , = iq r r s°> 4 = 2s° (< = 1. 2, ... , я), (*72)
где n — число факторов.
Из формулы (172) ясно, что ошибки в определении коэффициен тов Ъь значительны (кроме Ь0). Таким образом, симплексные планы, организованные по второму способу, нецелесообразно использовать для получения математических моделей объектов исследования, однако они-весьма эффективны при организации отсеивающих экспе риментов. Отсеивание можно проводить по известному критерию Стьюдента.
Симплексные планы широко используются при оптимизации объектов исследования.
§ 2. Планирование эксперимента в условиях дрейфа
Исследователю в любом эксперименте приходится иметь дело не только с основными факторами, но и побочными — «шумами», «дрейфами» и т. д. Все это мешает статическому экспери менту. Источники неоднородностей могут быть достаточно сильны ми и тогда выводы из расчетов эксперимента будут ошибочными.
Различают источники неоднородностей дискретного и непрерыв ного типов. К первым относятся различия в сырье, аппаратах, ма шинах, способах организации процессов и т. д. Чаще всего дискрет ные неоднородности оцениваются качественно («лучшие», «хуже» и т. п.). Указанные неоднородности, как правило, увеличивают ошиб ку опыта, и поэтому основная задача экспериментатора — свести влияние неоднородности к минимуму.
К непрерывным неоднородностям можно отнести изменение свойств во времени или по другой координате. В технологии тако выми являются изменение активности катализатора, старение ап* паратуры, изменение состава сырья и т. п. Иногда дрейф называют
нестационарными изменениями и применяют другой математиче ский аппарат — теорию случайных функций. Дрейф можно прове рять известными методами оценки нестационарности случайной
функции — изменение математического |
ожидания тх (t) |
за время |
At < Д£3. Здесь At3 — это, например, |
время проведения |
анализа |
переменной состояния. Исключение дрейфа в эксперименте можно проводить различными методами, но все они основаны на предва рительном выяснении типа дрейфа, его характеристики (формы или уравнения).
Методы исключения неоднородностей следует отличать от ме тода рандомизации, который уже ранее рассматривался. Случайное распределение опытов позволяет в какой-то мере снизить влияние неоднородностей. Однако эффект будет более мощным, если экспери ментатор, располагая априорной информацией об источнике неод нородности, разрабатывает соответствующий план, полностью иск лючающий его влияние. Здесь рандомизация применяется с опре деленными условиями, или как говорят, ограничениями.
Таким образом, методы борьбы с источниками неоднородностей основаны на специальных приемах рандомизаций опытов и на ап риорной информации.
Неоднородности дискретного типа обычно устраняются с по мощью различных схем дисперсионного многофакторного анализа — латинских квадратов, гипер (греко)-латинских квадратов, кубов и других латинских планов, а также неполноблочных планов (ре шетчатые квадраты, кубические решетки и др.) [37].
Неоднородности непрерывного типа — дрейфы устраняются с помощью ортогональных полиномов Чебышева, специальных пла
нов типа 2п и др. Рассмотрим некоторые планы, учитывающие вре менной дрейф характеристик объекта исследования.
Учет дрейфа с использованием ортогональных блоков. Предлагает ся разбить матрицу планирования на ортогональные блоки, так, чтобы временные изменения сказались только на численном значе нии свободного члена [52, с. 82].
Если исследователь использует план первого порядка, то мат рицу планирования разбивают следующим образом. Вводится но вая переменная Хт, связанная с временным дрейфом. Она прирав нивается тому эффекту, которым можно пренебречь, например, тройному взаимодействию. Все эксперименты разбиваются на 2 бло ка так, чтобы в первый блок попали опыты, где хТ на верхнем уров не, а во второй блок — на нижнем уровне. Для плана 23 разбивка на блоки представлена табл. 79.
Коэффициенты регрессии будут оценками следующих эффектов: ^О^Ро» ^1—>-Pi, ^2 ^ р2>
^12 —^ Pl2» ^ 1 3 “ *"Pl3> ^ г З ^ Р г З » ^123 “ ^ P l23 "f“ Рт-
Удобно представить результаты так, будто наблюдения в пер вом блоке не искажены дрейфом, а во втором блоке «скачком» умень-
Таблица |
79. |
Матрица |
планирования с разбитием |
на блоки |
|
|
|||
Номер |
Опыты |
|
|
|
План |
|
|
|
Перемен |
блока |
|
|
|
Х1Х2 |
|
|
*1***з=*х |
ная сос |
|
|
|
*1 |
*2 |
*3 |
* 1*3 |
* 2*3 |
тояния у |
||
|
1 |
—1 |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
У \ |
I |
2 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
- 1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
Уг |
|
3 |
— 1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
— I |
+ 1 |
Уз |
|
4 |
+ i |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
Ух |
|
5 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
У \ |
тт |
6 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
у 2 |
11 |
7 |
— 1 |
+ i |
+ 1 |
-^1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
Уз |
|
8 |
+ i |
+ i |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
Ух |
шены на 2|3Х, т. е. на величину межблоковой разности. Тогда оцен ка для свободного члена изменится:
&о = I f IУ1 + Уъ + Уз + У4— (Уъ— 2рх) +
(^6 2рх) + (у7— 2рх) -f- (у8— 2рх)] = -g- 2 Уи— Рт = Ь0— рх,
т. е. вместо Ь0 р0 будем иметь Ь0-> р0 — рт. Все остальные оцен ки останутся теми же. Например, для Ь2:
^2 = [— f/i — У2 + Уз + Ух1— (#5 — 2рх) — (ув— 2рх) +
+(У7— 2рх) + (у8— 2рх)] =
=-g- (— У\ — У2 + Уз + Ух — Уъ— Уо + Уп + Ув)-
Таким образом, разбивая эксперимент на блоки, получают коэф фициенты уравнения ортогональными к дрейфу, если от Ь0 вычесть Рх, найденное из предварительных опытов.
Планирование эксперимента в условиях линейного дрейфа [43]. Наиболее широко на практике используется линейное представле ние дрейфа. Это связано с тем, что, как правило, характер дрейфа заранее неизвестен и поэтому можно начинать исследования с ап риорного мнения о его линейности. Такое решение позволяет ис пользовать для организации эксперимента, ортогонального к ли нейному дрейфу, обычные планы полного факторного эксперимента типа 2п.
Алгоритм построения многофакторного эксперимента в условиях непрерывного линейного дрейфа следующий.
Представим исследуемый процесс обычной блок-схемой (см. рис. 2). Под дрейфом будем понимать изменение выходной перемен ной при постоянных значениях входов yt = <р [у/х1У х2, хп].
Предположим, что функция |
дрейфа |
допускает |
аппроксимацию |
линейным полиномом |
|
|
|
(О |
|
|
|
« Л , |
я = 1, |
2, . . . , со. |
(173) |
Х=1 |
|
|
|
Удобно считать, что временной дрейф аддитивен, т. е. его дей ствие на у независимо от X. В этом случае влияние временного дрейфа и факторов можно разделить. Воспользуемся матрицей ПФЭ, столбцы которой ортогональны. Часть из них будет исполь зована для представления временного дрейфа, а остальные — для факторного эксперимента. Для N значенийлинейного дрейфа необходимо, чтобы
CD= log2Af |
(174) |
первых столбцов матрицы ПФЭ использовались для представления временного дрейфа. Число N определяется априори. Тогда коэф фициенты уравнения дрейфа (173) определяют по формуле
1 N
ах = -л гИ |
t u y t u . |
(175) |
Правилополучения планов, |
ортогональных |
к дрейфу, |
можно сформулировать так. Для N опытов составить матрицу ПФЭ и первые со столбцов использовать для описания дрейфа линейным полиномом. Остальные столбцы обозначить необходимыми фактора ми и их взаимодействиями и использовать как матрицу планирова ния. Коэффициенты регрессии, полученные по ней, будут ортого нальны — независимы от изменения yt.
Предположим, что в результате анализа процесса N может быть принято равным восьми. Тогда воспользуемся условием
со = log2 8 = 3
и в матрице ПФЭ типа 23 первые три столбца применим для описа ния дрейфа, а остальные — для уравнения регрессии (табл. 80) с числом факторов не более четырех и при условии незначимости двойных и тройных взаимодействий. Уравнение регрессии будет иметь вид
У= ь0 + V i + Ь2 Х 2 + |
Ь3хз 4- Ь4х4; |
|
|
коэффициенты этого уравнения определяют по |
известным |
форму |
|
лам (69) — (70). |
|
временной |
дрейф, |
Вычислив коэффициенты а^, описывающие |
|||
можно проверить гипотезу линейности |
по условию |
|
которое достаточно хорошо должно удовлетворяться.
Опыты |
Вектор дрейфа |
|
|
Планирование |
|
|
Уи »% |
||
h = 2i |
|
h = 2 3 |
*1 = 2 tz2 |
|
|
|
У |
||
|
/ 2 = 2 2 |
* 2 = ZXZ3 |
*3 = Z223 |
* 4 = Z ,Z 2Z3 |
|
|
|||
1 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
У\ |
58,9 |
2 |
+ i |
+ 1 |
— 1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
—1 |
У2 |
70,9 |
3 |
+ i |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
—1 |
Уз |
70,4 |
4 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
Ух |
61,0 |
5 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
—1 |
Уь |
61,8 |
6 |
— 1 |
+ 1 |
^ 1 |
— 1 |
+ 1 |
^ 1 |
+ 1 |
Уз |
56,8 |
7 |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
Уч |
50,9 |
8 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
+ i |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
Уз |
40,1 |
Пример 1 [39, с. 117]. Исследовалась реакция получения тре тичного додецилмеркаптана (трет-ДДМ) из тетрамера пропилена
исероводорода в присутствии алюмосиликатного катализатора. Была поставлена задача получения максимума целевого продук
та, а также проверки устойчивости свойств катализатора во вре мени. Выбраны следующие факторы: Х4 — температура реакции, °С;
Х 2 — давление |
сероводорода, атм\ Х3 — объемная скорость |
||
подачи олефина; |
Х4 — молярное |
соотношение |
сероводорода и |
тетрамера пропилена. Переменная |
состояния |
у — содержание |
трет-ЩЩ в катализаторе, вес. %. Приняты ограничения: Х г > 100, Х3 > 0,5, 50 < Х 2 < 65.
Априорные сведения и принятие решения. Предварительный эксперимент показал, что активность катализатора во времени па дает. На один опыт уходит At = 4 -f- 5 ч.
Факторов — четыре, поэтому для определения линейной моде
ли необходимо иметь 8—16 опытов (ПФЭ 24 или ДФЭ 24""1). С дру гой стороны, время, в течение которого активность катализатора падала равномерно, было около t = 40 -ь 50 ч. Заранее известно, что влияние эффектов взаимодействия на у незначительно. Для уси ления влияния этой информации предлагается в планировании ин тервалы варьирования факторов выбирать небольшими.
В этих условиях можно учесть дрейф катализатора в линейной
форме, |
используя матрицу планирования 24” 1, где хг — ^1^2» |
— |
= z ^ , |
х3 = z2z3, х4 = z^Zg (см. табл. 80). Центром эксперимента |
выбрана точка предварительного исследования с выходом у = 70,5%. Результаты опытов приведены в последнем столбце (табл. 80).
Значения коэффициентов |
в описании дрейфа рассчитаны по |
|
формуле (175): |
|
|
«л = 4" (58,9 + 70,9 + |
70,4 + |
61,0 — 61,8 — 56,8 — |
— 50,9 — 40,1) |
= 6,45; |
а , = 3,25; а3=1,65.
Значения коэффициентов линейного уравнения регрессии вычис лены по формуле (69):
Ь0 = 58,85; |
Ь± = |
— 3,65; Ь2 = — 2,30 |
Ь3 = |
— 3,40; |
Ь4 = — 1,95. |
Гипотеза линейности |
дрейфа |
подтверждается: |
ах = 6,45 да 2ос2 = 6,50 да 4сх3 = 6,60.
Таким образом, полное уравнение с членами, учитывающими дрейф, может быть записано как
у = 58,85 + 6,45^ + 3,25/2 + 1,65/3 — 3,65^ — 2,30*2 —
ь—3,40^з— 1,95*4,
а уравнение, свободное от влияния дрейфа:
у = 58,85 — 3,65*! — 2,30*2 — З,40*3— 1,95*4.
Можно провести анализ временного дрейфа, выяснив, насколько изменилось значение переменной состояния в центре плана за вре мя эксперимента. Для этого найдем у10 и у20 для X = (0, 0, 0, 0):
Ую = 58,85 6,45 -f- 3,25 -f- 1,65 = 70,20%;
у20 = 58,85 — 6,45 — 3,25 — 1,65 = 47,50 %,
т. е. снижение активности катализатора во время эксперимента уменьшило выход целевого продукта на Ау = 22,7%. Скорость дрейфа примерно равна 22,7% 7,5 = 3% за опыт. Имея эти све дения, можно решить две задачи:
1)как часто необходимо менять катализатор;
2)где находится оптимальное значение переменной состояния. Важно отметить, что теперь в любой фазе проведения процесса
можно пользоваться уравнением регрессии (после загрузки новым катализатором или в конце его действия).
§ 3. Планирование эксперимента при построении диаграмм «состав — свойство»
Построение диаграммы «состав — свойство» является важной частью физико-химических исследований смесей. Эта фор ма описания систем сформировалась давно и в настоящее время при нята повсеместно. Например, для трехкомпонентных смесей по тер минологии Дж. В. Гиббса и Н. С. Курнакова диаграммы «состав — свойство» по интересующей исследователя переменной (свойство) представляют собой сеть изолиний на треугольнике концентраций. Для построения таких диаграмм требуется выполнить очень большой объем экспериментальных исследований. Например, для шага 5%
Рис. 23. Расположение экспериментальных точек в симплекс-решетчатых планах на плоскости для полиномов:
а — второго порядка; б —третьего порядка; в —. четвертого порядка.
при изучении трехкомпонентной смеси требуется провести 210 опы тов. Естественно, что исследователей и математиков давно интере суют подобные диаграммы с точки зрения оптимального планирова ния и резкого уменьшения числа опытов при их построении.
Были сделаны попытки применить известные планы ПФЭ с обыч ной формулировкой экстремальной задачи [1, 24]. В этих задачах преследовалась цель описания локальной области поверхности от клика, при этом одна компонента (основа смеси) не вошла в план. Другими словами, здесь игнорировался тот факт, что диаграммы «состав — свойство» должны подчиняться закону
i *,. = 1 (i> 2), |
077) |
i = 1
где х( — концентрация /-го компонента. Учет этого закона в ПФЭ приводит к нарушению регрессионного анализа о независимости изме нения всех рассматриваемых переменных и поэтому планы ПФЭ непригодны для полного описания диаграмм «состав — свойство».
Шеффе предложил использовать полиномы вида
^ |
п |
п |
(i78) |
у = S Рл + 2 Мл; |
|||
|
£=1 |
*=1 |
|
|
|
*</ |
|
^ п |
п |
п |
|
у = 2 М< + 2 Мл + 2 7<лл(Х[ — х,) + |
|
||
' |
*</ |
*</ |
|
|
|
п |
(,79> |
|
+ 2 Р//л*л- |
||
|
|
/</</ |
|
которые получаются по планам, представляющим собой симплекс
ные решетки (рис. 23).
Симплекс-решетчатый план эксперимента (рис. 23, а) представ лен в табл. 81, а уравнение регрессии к нему имеет вид:
у = blXl + Ь2х2+ Ь3хз + Ь12хгх2+ Ь13х1Хз + Ь23х2х3. |
(180) |
Таблица 81. |
Симплекс-решетчатый |
план эксперимента |
|
|
||||
Опыты |
|
|
Планирование |
|
|
Уи |
||
*1 |
*2 |
Хз |
*1*2 |
*1*3 | |
*2*3 |
|||
|
|
|||||||
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
У\ |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Уз |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Уз |
|
4 |
0,5 |
0,5 |
0 |
0,25 |
0 |
0 |
У\з |
|
5 |
0,5 |
0 |
0,5 |
0 |
0,25 |
0 |
У\з |
|
6 |
0 |
0,5 |
0,5 |
0 |
0 |
0,25 |
Узз |
Легко показать, что (при решении шести уравнений с шестью неизвестными)
|
|
^ 1 = |
|
Ь ‘2 = |
У 2 » Ь 3 ~ У зу |
|
|
||
а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5&х |
0,5b2+ |
0,25fe12 = |
г/12, |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь12 = |
4г/12 — 2у1— 2г/2. |
|
|
||||
Также можно найти: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ь13 = |
4у13 — 2г/х — 2г/3; |
|
|
||||
|
|
^гз ~ 4^23 |
2г/2 |
2г/3. |
|
|
|||
В случае любого числа компонентов смеси коэффициенты для |
|||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
2 |
bixi + |
2 |
|
(t |
= |
1. 2, |
«) |
(181) |
|
i |
|
i</ |
|
|
|
|
|
|
рассчитывают |
по формулам: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
bt = |
|
|
|
|
(182) |
|
|
bij = |
4г/;;- — 2yt — 2yt. |
|
(183) |
||||
Формулы расчета коэффициентов для различных моделей при |
|||||||||
ведены в работе |
[44, с. 191]. |
|
|
|
|
|
|||
Проверка адекватности. |
Рассматриваемые симплекс-решетчатые |
планы являются насыщенными. Поэтому для проверки адекватнос ти уравнения необходимо выбрать несколько проверочных точек, провести в них эксперимент и изучить разность между эксперимен тальным значением и значением, полученным по уравнению. Эти точки выбирают либо в интересующей исследователя области, либо в точках, которые можно использовать для построения полинома более высокого порядка. В [44, с. 177] предлагается следующая про цедура проверки адекватности.
Коэффициенты bt и bif являются линейными комбинациями зна чений yt и ijij, полученных в точках решетки. Поэтому уравнение