Надежность систем автоматизации
..pdfОпределим h(t)∆t – вероятность того, что отказ произойдет в интервале ∆t при условии, что перед этим отказов не было в течение времени t, по формуле условной вероятно-
сти [6]:
h(t)∆t = |
f (λ,t)∆t |
, |
||||
1− F(λ,t) |
||||||
|
|
|
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
h(t) = |
|
|
f (λ,t) |
. |
|
|
1 |
− F(λ,t) |
|
||||
|
|
|
Для экспоненциального распределения
h(t) = λe−λt = λ,
e−λt
т.е. функция опасности есть интенсивность отказов.
Опыт эксплуатации показывает, что h(t) = λ изменяется следующим образом (рис. 2.8):
λ
I |
|
II |
|
III |
t |
|
|
|
Рис. 2.8. Изменение λ при эксплуатации технических объектов
I. 1-й период повышенных интенсивных отказов. Это период приработки, что связано с выявлением дефектов при изготовлении.
41
II. 2-й период, характеризующий постоянные значения интенсивных отказов. Это участок нормальной эксплуатации изделия.
III. 3-й период, характеризующий повышенную интенсивность отказов. Здесь начинается процесс старения.
Период приработки преодолевают путем предварительной «тренировки», испытаний и ускоренных испытаний перед началом эксплуатации.
С другой стороны, моральный износ аппаратуры наступает раньше периода старения. Это дает основания считать интенсивность отказов величиной постоянной и равной на всем периоде эксплуатации, т.е. пользоваться экспоненциальным законом распределения:
P(t) = e−λt ≈1−λt, F(t) =Q(t) ≈ λt.
2.5. Распределение Вейбулла – Гнеденко
Распределение предложено шведским ученым Вейбуллом для моделирования прочности сплавов и обосновано математически советским ученым Б.В. Гнеденко (1912–1995) – советским математиком, специалистом по теории вероятностей, математической статистике, вероятностным и статистическим мето-
дам (рис. 2.9).
Основными параметрами распределения Вейбулла – Гнеденко являются [4, 5] λ0 – масштаб кривой по оси абсцисс и α – острота и асимметрия распределения. Обычно берут 1 ≤ α ≤ 2. При α = 1 распределение Вейбулла – Гнеденко переходит в экс-
Рис. 2.9. Б.В. Гнеденко поненциальное.
42
P |
α > 1 |
f |
α < 1 |
λ |
α > 1 |
|
|
||||
|
|
α = 1 |
α = 1 |
α > 1 |
α = 1 |
|
|
α < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
α < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
а |
|
б |
|
в |
Рис. 2.10. Распределение Вейбулла – Гнеденко для различных α:
а – Р; б – f; в – λ
Примерный вид соответствующих кривых дан [4, 5] на рис. 2.10. С таким распределением хорошо согласуется время безотказной работы качественных полупроводниковых приборов.
2.6.Нормальное распределение (распределение Гаусса)
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний.
Карл Фридрих́ Гаусс́ (нем. Johann Carl Friedrich Gauß, 1777– 1855) – выдающийся немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времен [2] (рис. 2.11).
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец – садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте у мальчика проявились невероятные умственные способно-
43
сти. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счетные ошибки отца. Согласно легенде школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 и т.д., и мгновенно получил ре-
зультат 50 · 101 = 5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.
Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение – отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальный закон является предельным, к которому приближается ряд других законов при весьма часто встречающихся типовых условиях. Значения параметров соответствуют значениям среднего математического ожидания и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0, и стандартным отклонением, равным 1. Плотность вероятности нормального распределения изображена на рис. 2.12.
Функция распределения вероятности нормального закона представлена на рис. 2.13.
Функция распределения Гаусса имеет вид [6]
|
|
1 |
e− |
( x−µ)2 |
|
f (x) = |
|
2σ2 , |
|||
σ |
2π |
||||
|
|
|
где – среднее, σ – дисперсия, это N( , σ2).
44
Рис. 2.12. Плотность вероятности распределения Гаусса: 1 – µ = 0, σ2 = 0,2; 2 – µ = 0, σ2 = 1,0, линия соответствует стандартному
нормальному распределению – «колокол»; 3 – µ = 0, σ2 = 5,0; 4 –
µ = –2, σ2 = 0,5
Рис. 2.13. Функция распределения вероятности Гаусса: 1 – µ = 0, σ2 = 0,2; 2 – µ = 0, σ2 = 1,0, 3 – µ = 0, σ2 = 5,0; 4 – µ = –2, σ2 = 0,5
45
Произведем подстановку [6]: |
|
|
|
|
|
||||
|
x −µ |
=t, |
dt = |
dx |
|
, |
|
||
|
|
σ |
|
||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
b −( x−µ)2 |
||||
P(a < x < b) = |
|
∫e 2σ2 dx, |
|||||||
|
|
|
σ |
2π a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
b−µ |
1 |
|
||
P(a < x < b) = |
1 |
σ |
2 |
||||||
∫ e |
−2t |
dt. |
|||||||
|
|
|
|
2π a−µ |
|
|
σ
Этот интеграл не выражается через элементарные функ-
ции.
Интеграл вероятностей
|
1 |
x |
1 |
2 |
|
Ф(x) = |
∫e− |
2t |
dt. |
||
2π |
|||||
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
Интеграл вероятностей вычисляется по специальным таблицам [4, 5], тогда
b −µ |
a −µ |
||||
P(a < x < b) = Ф |
σ |
|
−Ф |
σ |
. |
|
|
|
|
Свойства интеграла вероятностей Ф:
Ф(0) = 0; Ф(+∞) = 12 ; Ф(−x) = −Ф(x).
При нормальном (гауссовом) распределении случайной величины ось абсцисс имеет протяженность от –∞ до +∞. Поскольку время t не может быть отрицательной величиной, в теории надежности используется усеченное нормальное распределение.
Основными параметрами для нормального распределения являются Т – среднее значение наработки на отказ, σt – среднеквадратическое отклонение.
46
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(t) =1−Ф |
t −T |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
yt |
|
|
где Ф t −T – |
нормированная функция нормального рас- |
|||||
yt |
|
|
|
|
|
|
пределения, |
|
|
|
= Ф(u). Значения Ф(и) приведены в спе- |
||
Ф t −T |
|
|||||
|
|
yt |
|
|
|
|
циальной таблице [4, 5].
f(t) = θ t σ−T .
t
Значения θ(и) приведены в специальной таблице [4, 5].
При этом θ(–и) = θ(и), |
|
|
|
|
|
|
λ(t) = |
f (t) |
= |
|
θ(u) |
. |
|
P(t) |
1−Ф(u) |
|||||
|
|
|
На рис. 2.14 [4, 5] представлен примерный вид кривых Р, λ, f нормального распределения.
P, λ, f P(t) λ(t)
f(t)
t
Рис. 2.14. Примерный вид соответствующих кривых нормального распределения
Нормальное распределение может использоваться при исследовании надежности объектов, отказы которых обу-
47
словлены действием какого-то одного доминирующего фактора. Например, при расчете прочности конструкций.
2.7. Гамма-распределение
ираспределение Эрланга
Вгамма-распределении используется гамма-функция – математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(х). Была введена Леонардом Эйлером.
Гамма-распределение имеет аналогичные параметры,
что и распределение Вейбулла – Гнеденко: λ0 и α. Форма кривых Р(t), f(t) и λ(t) также во многом аналогична форме кривых при распределении Вейбулла [4, 5]:
f (t) = |
λαtα−1 |
e−λt . |
0 |
||
|
Г(α) |
|
Г(α) – гамма-функция, для которой имеются соответствующие значения. Гамма-распределение чаще всего описывает распределение времени безотказной работы так называемых резервированных изделий, при этом параметр α равен суммарному качеству объектов, поэтому чаще всего α – целое число. При целом α
Г(α) = (α – 1)!,
тогда
α−1 |
(λ0t ) |
i |
|
||
P(t) = e−λ0t ∑ |
, |
|
i=0 |
i! |
|
λ(t) = |
λ0αtα−1 |
||
|
|
. |
|
α−1 |
(λ0t )i |
||
|
(α−1)!∑ |
|
|
i=0 i!
При α = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное, а при больших α – в нормальное. При целом α гамма-распределение также называется распределением Эрлáнга.
48
Агнер Краруп Эрланг (1878–1929) – датский математик, статистик, инженер, основатель научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания (рис. 2.15). Эрлангом была получена формула для расчета доли вызовов, получающих обслуживание на сельской телефонной станции.
В табл. 2.1, 2.2 приведены сводные данные по основным непрерывным Рис. 2.15. А.К. Эрланг и дискретным распределениям теории
надежности (в табл. 2.1 – дискретные распределения теории надежности, в табл. 2.2. – непрерывные).
Таблица 2.1
Распре- |
Значения |
Вероятность |
Матема- |
Дис- |
||||||
деление |
тическое |
персия |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидание |
|
Биноми- |
0, 1, 2, 3…n |
|
m |
m |
q |
n−m |
np |
npq |
||
альное |
m отказов |
Pm (n) = Cn p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
из n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пуассона |
0, 1, 2, 3…n |
P(t, n) = |
(λt) |
n |
e |
−λt |
λ |
λ |
||
|
отказов |
|
|
|
, |
|
|
|||
|
n! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
вероятность ровно n со- |
|
|
||||||
|
|
бытий на интервале 0, t |
|
|
49
50
Таблица 2.2
Распреде- |
Область |
Плотность распределения, |
Функция распределения |
Вероятность |
|
||||||||||||||||||||
ление |
значений |
|
интенсивность отказов |
(вероятность отказа) |
безотказной работы |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Равномерное |
0, b |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Q(t) = F (t) = |
t |
|
|
|
P(t) =1− |
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Экспоненци- |
0, ∞ |
|
|
|
|
λe−λt , λ = const, |
|
Q(t) = F (t) =1−e−λt |
≈ λt |
P(t) = e−λt |
≈1−λt |
||||||||||||||
альное |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– математическое ожи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
дание, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
– дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нормальное |
0, ∞ |
|
|
|
1 |
|
|
− |
(x−µ)2 |
|
t −T |
|
t −T |
||||||||||||
(Гаусса) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(t) = F (t) = Φ |
|
|
, |
P(t) =1−Φ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (x) = |
σ 2π |
e |
|
|
, |
σt |
|
|
|
σt |
|
|||||||||
|
|
µ – математическое ожи- |
Ф – интеграл вероятностей |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
дание, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
σ2 |
|
– дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|