Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од
..pdf
|
Следует запомнить: |
|
||
|
если функция y = f (x) |
описыва- |
||
|
ет какой-либо физический про- |
|||
|
цесс, то производная |
y′ |
есть |
|
|
скорость протекания этого про- |
|||
|
цесса. В этом состоит физиче- |
|||
|
ский смысл производной. |
|
||
6. |
Пусть прямая L, |
проходя- |
||
|
щая через точку M0, обладает |
|||
|
следующим |
свойством: |
если |
|
|
точка M при перемещении её по |
|||
|
кривой C неограниченно при- |
|||
|
ближается к точке M0 (с любой |
|||
|
её стороны), то угол между |
|||
|
прямой L и секущей M0M стре- |
|||
|
мится к нулю. Тогда эта пря- |
|||
|
мая L называется касательной |
|||
Рис. 3.1 |
к кривой C в точке M0 (рис. 3.1). |
|||
Следует запомнить: |
|
|||
|
касательная к кривой C в точке x0 |
|||
|
есть прямая, занимающая пре- |
|||
|
дельное положение секущей MM0 |
|||
|
при стремлении точки M по кри- |
|||
|
вой C к точкеM0. |
|
|
|
|
Линия C – график функции |
|||
|
y = f (x) , где |
f (x) – непрерыв- |
||
|
ная в точке x0 и некоторой её |
|||
|
окрестности функция. |
|
|
|
|
Точка x0 + ∆ x принадлежит |
|||
|
этой окрестности (рис. 3.2). |
|
Рис. 3.2
131
kсек |
= |
|
∆ |
y |
= tgβ, |
(3.8) |
kсек – угловой коэффициент |
|||||||||
|
|
|
секущей, |
проведенной |
через |
|||||||||||
|
∆ |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
точку М0 и точку М графика |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
y = f (x) |
с абсциссой |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 + ∆ x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
– угол, который образует |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательная с положительным |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлением оси OX. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β – угол, который образует |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
секущая с положительным на- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлением оси OX. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|||||
kкас |
= tgα = lim tgβ = |
|
производная функции |
f (x) |
в точ- |
|||||||||||
|
ке x0 равна тангенсу угла наклона |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ x→ |
0 |
(3.9) |
|||||||
|
|
|
∆ |
y |
|
|
|
|||||||||
= lim |
|
= f ′(x0 ), |
касательной, проведенной |
к гра- |
||||||||||||
|
∆ |
x |
|
фику функции y = f (x) |
в точке |
|||||||||||
∆ x→ |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
f ′(x0 ) = tgα, |
|
M 0 (x0 , f ( x0 )) . |
|
|
|
|
||||||||||
(3.10) |
Установленный |
геометри- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ческий |
смысл |
производной |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коротко формулируется так: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение производной |
f ′(x0 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно |
угловому коэффициенту |
|||||
|
f ′(x ) = k |
кас |
(3.11) |
касательной, проведенной к гра- |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
фику функции y = f (x) в точке |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с абсциссой x0. |
|
|
|
|
||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Касательная |
|
к |
графику |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
y = f (x) |
в |
некото- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рой его точке M 0 ( x0 , y0 ) , где |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = f ( x0 ), есть прямая, |
прохо- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дящая через эту точку и имею- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щая угловой коэффициент kкас , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равный f ′(x0 ) (см. п. 6). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
помощью |
производной |
||||
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
легко |
решить важную |
задачу |
132
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитической геометрии – за- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дачу о |
нахождении уравнения |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной к кривой y = f (x) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты точки касания М0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
считаются заданными: |
x = x0 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y0 = f ( x0 ). |
|
|
|
||||
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ) |
– (3.12) |
|
|
Уравнение любой прямой, |
|||||||||||||
проходящей через данную точ- |
|||||||||||||||||
уравнение касательной. |
|
|
ку |
M 0 |
( x0 , y0 ) в заданном на- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правлении, определяемом уг- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ловым |
коэффициентом |
k, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − y0 = k ( x − x0 ), |
где |
k опре- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деляется по формуле (3.11). |
|
||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормалью к кривой назы- |
|||||
y − y0 = − |
|
1 |
|
( x − x0 ) – (3.13) |
вается прямая, проходящая че- |
||||||||||||
|
f ′( x0 ) |
рез точку касания перпендику- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение |
нормали |
к |
графику |
лярно касательной (рис. 3.3) |
|
||||||||||||
функции |
y = f ( x) |
в |
|
данной |
|
|
Замечание |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Угловой коэффициент нор- |
||||||||||||||
точке M 0 ( x0 , y0 ) |
|
|
|
мали kн связан с угловым ко- |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
эффициентом |
касательной |
||||||
kн = − |
|
= − |
|
|
(3.14) |
k |
|
= f |
′( x ) условием перпен- |
||||||||
kкас |
f ′( x0 ) |
кас |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
дикулярности. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направление кривой в |
каждой |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
её точке определяется направ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лением |
касательной |
к |
ней |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этой точке. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол ϕ между двумя пере- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
секающимися кривыми опреде- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляется как угол между двумя |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямыми, касательными к кри- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вым в точке их пересечения, по |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле (3.15). |
|
|
|
||||
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
tgφ = |
k1 − k2 |
, |
(3.15) |
|
|
||||
1 + k k |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
где |
k |
= tgα |
= |
dg(x) |
|
|
|
= |
k1 |
– угловой коэффициент |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
dx |
|
|
x=x0 |
|
касательной к кривой y = g(x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= g′( x |
), |
|
|
|
|
(3.16) |
в точке M 0 (x0 , g ( x0 )) . |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а k2 = tgα2 = |
df (x) |
|
|
= |
|
k |
2 |
– угловой коэффициент |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
x=x0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной к кривой y = f (x) |
|||||||||
|
|
|
= f ′( x0 ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
в точке M 0 (x0 , f ( x0 )) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
10. Связь |
|
между |
непре- |
Теорема |
|
||||||||||||
рывностью и дифференцируе- |
Если функция y = f (x) диф- |
|||||||||||||||||
мостью функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ференцируема в точке x = x0 , то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
онав этойточкенепрерывна. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обратная теорема неверна: суще- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствуют |
непрерывные функции, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которые в некоторых точках не |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются |
дифференцируемыми |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.5). |
|
|
||
|
|
|
f+′(x) = |
|
|
|
|
|
f+′(x) – правосторонняя про- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
изводная или правая производная |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
lim |
|
f (x + ∆ x)− |
f (x) |
(3.18) |
функции |
f (x) вточкеx. |
|||||||||||
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∆ x→+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f−′(x) = |
|
|
|
|
|
f−′(x) |
– левосторонняя про- |
||||||||
|
|
|
f (x + ∆ x)− |
f (x) |
|
изводная или левая производная |
||||||||||||
= |
lim |
|
(3.19) |
функции |
f (x) в точке x. |
|||||||||||||
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∆ x→− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f+′(x) |
и f−′(x) называют |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
односторонними |
производны- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми функции f (x) |
в точке x. |
134
Для существования производной f ′(x0 ) функции y = f (x) в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы
f−′(x0 ) = f+′(x0 ) (3.20)
Рис. 3.5
Следует запомнить:
если f+′(x0 ) ≠ f−′(x0 ) , то производная в точке x0 не существует
(см. рис. 3.5).
M – точка излома (угловая точка).
В такой точке отношение
∆ y |
не |
имеет предела при |
|
∆ x |
|||
|
но имеет правосторон- |
||
∆ x→ |
0, |
ний и левосторонний пределы,
т.е. f+′ и f−′ .
В рассматриваемой точке M у графика функции y = f (x)
нет единой касательной, но есть левосторонняя касательная MP1 и правосторонняя касательная MP2, т.е. секущая MM1 стремится к совпадению с MP1, когда M1 стремится к M слева, а секущая MM2 – к совпадению с MP2, когда M2 стремится к M справа.
Замечание 2
В точках разрыва функции производная не существует.
Задачи
Задача 1. Исходя из определения производной (не пользуясь правилами дифференцирования), найти производные функций:
а) y = x3 ;
б) y = sin x.
135
Решение
Воспользуемся приведенным выше определением и согласно формуле (3.2) найдем искомую производную, расчленив весь процесс на четыре естественных шага:
а) Для функции y = x3 :
1) найдем значение функции f (x) , соответствующее «приращенной» точке x + ∆ x :
f (x + ∆ x)= (x+ ∆ x)= x+ 3x ∆ +x 3∆x( x+) ∆ ( x) |
3 |
; |
|||
3 |
3 |
2 |
2 |
|
2) определим приращение функции y = f (x) = x3 , соответст- |
|||||||||||||||
вующее приращению аргумента на величину ∆ x : |
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ y= f (x+ ∆ x−) |
f (x=) |
x+ |
3x ∆ +x 3∆x( |
+x) ∆ ( |
x−) |
|
|
= x |
|
||||||
|
|
∆ x+ 3x∆( |
|
3 |
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|||
= 3x |
2 |
x)+ ∆( |
x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) найдем отношение приращения функции ∆ |
y к прираще- |
||||||||||||||
нию аргумента ∆ x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∆ y |
= |
3x2 ∆ +x 3x∆( x+)2 ∆ ( x)3 |
= 3x2 + 3x ∆ x+ (∆ x)2 ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
∆ x |
∆ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) вычислим производную |
f ′(x) = |
dy |
, т.е. найдем предел |
∆ y |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
когда∆ x стремитсяк нулю: |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f ′(x) = lim |
|
f (x + ∆ x)− |
f (x) |
= |
lim∆ |
y |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∆ x→ |
0 |
|
|
|
|
|
∆ → |
x 0∆ x |
|
|
||||||||
= lim |
3x |
2 |
+ 3x ∆ |
x+ |
∆( |
x) |
2 |
3x |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, для функции |
f (x) = x3 |
производной является функция |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
f ′(x) = (x3 )′ = 3x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определив производную в общем виде, мы можем теперь легко найти её частное значение в любой заданной точке x = x0 .
136
Так, при x = 5 производная |
f ′(5) = 3 52 = 75, |
при x = (−2) про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изводная |
|
f ′(−2) = 12 и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) Для функции y = sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
дадим аргументу x приращение ∆ |
|
x , тогда: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
f (x + ∆ x)= |
sin(x+ ∆ |
x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2) |
∆ y= |
|
|
f (x+ ∆ |
x−) f (x=) |
sin(+x ∆ −x) |
sin x, откуда, восполь- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
зовавшись формулой разности синусов двух углов |
α = x + ∆ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и β = x, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(x + ∆ x)− x |
|
|
|
(x+ ∆ x+) x |
∆ x |
|
∆ |
x |
|||||||||||||||||||||||||
∆ y= |
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2sin |
|
|
cos x+ |
|
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
x |
cos |
|
|
|
∆ |
|
x |
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∆ |
y |
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
∆ |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
cos x + |
|
; |
|
|
||||||||||
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆ y |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
y′= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
lim cos x + |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∆ x→ |
0 ∆ x |
∆ → |
x 0 |
|
∆ x∆ → |
x 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как предел от произведения двух функций равен произведению их пределов.
Далее, поскольку при ∆ x→ |
|
|
|
|
величина |
|
∆ x |
→ 0 |
, то в соот- |
||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ветствии сформулойпервогозамечательного предела |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∆ x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
2 |
=1, |
|
|
|
|
|
|||
|
∆ |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
∆ x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а второй предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim cos |
x + |
∆ x |
|
= cos x. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ x→ 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
137
Объединяя полученные результаты, окончательно имеем
y′=(sin x)′ = cos x.
Задача 2. Написать уравнения касательной и нормали к параболе y = x2 − 4x в точке M с абсциссой, равной 1.
Решение
Найдем по заданному уравнению ординату рассматриваемой точки M:
y = (x2 − 4x) x=1 = 1 − 4 = −3 .
Искомая касательная, проходящая через точку M (+1;–3), определяется уравнением (3.12)
y + 3 = f ′(1) (x −1) .
Остается найти f ′(1) .
f ′(x) = (x2 − 4x)′ = 2x − 4 ,
f ′(1) = (2x − 4) x=1 = −2 .
Получаем уравнение искомой касательной y + 3 = −2( x −1) или
y = −2x −1.
Уравнение нормали, проходящей через точку M (1;–3), оп-
ределяется уравнением (3.13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как f ′(x ) = f ′(1) = −2 , следовательно, |
− |
1 |
= |
1 |
. |
||||||
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
f ′(1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получаем уравнение искомой нормали: |
|
|
|
|
|
||||||
y + 3 = |
1 |
|
(x −1) или |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x |
− |
7 |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Парабола, касательная и нормаль построены на рис. 3.6.
138
Рис. 3.6
Задача 3. Найти угол, под которым пересекаются прямая x + y − 4 = 0 и парабола 2 y = 8 − x2 .
Решение
x + y − 4 = 0,
Совместно решая уравнения параболы и прямой
2 y = 8 − x2 ,
находим, что они пересекаются в двух точках: A(0; 4) и
B(2; 2) (рис. 3.7).
Рис. 3.7
139
Далее находим производную от y по x из уравнения парабо-
лы: y = 4 − x2 . 2
Следовательно, y′ = −x.
Определяем угловые коэффициенты касательных к параболе в точках A и B как частные значения этой производной:
kA = y′A (0) = 0; kB = yB′ (2) = 2.
Угловой коэффициент прямой y = −x + 4 равен –1 ( k = −1 ). Согласно формуле (3.15) получим:
|
tgα = |
|
|
0 − (−1) |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 + 0 (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α= 45° , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
tgβ = |
|
|
|
−1 − (−2) |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
+ (−1)(−2) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
β≈ 18,°5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 4. Найти |
f−′(0) |
|
и |
|
f+′(0) |
для функции f (x) = |
|
x |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение |
f+′(0) |
|
|
|
|
|
f−′(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для нахождения |
|
и |
|
|
|
используем формулы (3.18) |
||||||||||||||||||||||
и (3.19): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(0) |
= lim |
|
∆ x |
|
|
= lim |
−∆ x = −1, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
− |
∆ x→− |
0 |
|
∆ x ∆ →− x |
|
|
|
|
0 ∆ x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f ′(0) = lim |
|
∆ x |
|
|
= |
|
lim |
∆ x |
=1. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ |
∆ x→+ |
|
0 ∆ x ∆ →+x |
0∆ x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что функция |
|
|
f (x) = |
|
x |
|
непрерывна для любого x, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
в том числе и при x = 0 (рис. 3.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140