Теория пластичности
..pdfЕсли в точке Rm вновь осуществляется изменение направления нагружения, то нагружение будет осуществляться по кривой
R P P ...P |
F |
и |
далее |
по кривой |
начального нагружения. При |
||
m 0 1 |
m−1 |
m |
|
|
|
|
|
циклически изменяющихся между σ Fm |
и σ Rm напряжениях де- |
||||||
формирование |
будет |
происходить |
по |
установившемуся циклу |
|||
F R R ...R P P ...P |
F . |
|
|
|
|||
m 0 1 |
m |
0 1 |
m−1 m |
|
|
|
|
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. В простран- |
стве напряжений каждому значению напряжений σ0 , σ1 ,..., σn ставятся в соответствие гиперповерхности f0 , f1 ,..., fn ; в случае условия Мизеса в пространстве девиаторов напряжений эти гиперповерхности представляют собой гиперсферы. Поверхность f0 отделяет об-
ласть упругого поведения материала от области упругопластических деформаций; в исходном положении начало координат (в пространстве напряжений) содержится внутри области, ограниченной поверхностью f0 . Поверхности f1 , ..., fn определяют области постоянных
модулей пластичности; в исходном положении поверхности fk содержат внутри себя поверхности fk −l (k =1, 2,..., n; l =1, 2,..k ) , нигде не
пересекаются и не касаются. Уравнения поверхностей имеют одинаковый вид; например, для k-й поверхности справедливо уравнение:
f (S − ρ(k ) ) − (σ0(k ) )q = 0 , |
(6.8) |
где σ(0k ) – постоянная (напряжение течения (сопротивление деформации), соответствующее концу k-го участка), q – постоянная, ρ(k ) –
девиатор остаточных микронапряжений, определяющий положение k-й гиперповерхности. Полагается, что функция f(.) является однородной степени q; следовательно, описываемые этими функциями поверхности являются подобными, в начальном положении – концентрическими. В дальнейшем для простоты иллюстрации будем в основном пользоваться двумерным случаем. При использовании условия Мизеса гиперповерхности f0 , f1 ,..., fn в пространстве девиа-
181
торов S1 − S2 будут представлять в начальном положении семейство концентрических окружностей (рис. 6.3, а).
Рис. 6.3. Иллюстрация к модели Мруза (случай одноосного нагружения в двумерном пространстве напряжений)
Рассмотрим вначале простое циклическое нагружение вдоль оси S2 .
В рассматриваемой модели предполагается, что каждая из гиперповерхностей может перемещаться только поступательно (трансляционные перемещения) без изменения своей формы.
На начальной стадии нагружения изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) движется от точки О вдоль оси S2 до достижения предела текучести в точке F0 , деформирование на участке OF0 осуществляется упругим образом, C0 = ∞ . При продолжающемся нагружении в положительном направлении оси S2 ИТН «захватывает» поверхность f0 и движется вместе с ней до достижении точки F1 ; пластическое деформирование на участке F0 F1 осуществляется с модулем пластичности C1 . До достижения точки F1 все поверхности f1 , f2 ,..., fn остаются неподвижными. При достижении ИТН точки F1 и продолжающемся лучевом нагружении уже две поверхности, f0 и f1 , движутся вместе с ИТН поступательно прямолинейно вплоть до точки F2 . Деформирование на участке F1F2 осуществляется с пластическим модулем C2 , окружности f2 , f3 ,..., fn остают-
182
ся неподвижными. Аналогичным образом можно описать последующее активное лучевое нагружение; на рис. 6.3, б изображено положение поверхностей, соответствующее достижению ИТН точки F3 .
Пусть, начиная с этого момента, осуществляется процесс разгрузки и нагружения в обратном направлении. При движении ИТН от точки F3 до точки R0 (см. рис. 6.3, б) материал деформируется
упруго, точке R0 соответствует начало пластического деформирова-
ния в обратном направлении. |
Начиная с точки |
R0 , ИТН движется |
в отрицательном направлении |
оси S2 вместе |
с поверхностью f0 |
вплоть до касания окружности f1 в точке R1 . На этом этапе деформирования все остальные поверхности f1 , f2 ,..., fn сохраняют положение, занимаемое ими в конце предыдущего участка активного нагружения. После достижения ИТН положения R1 дальнейшее деформирование до положения R2 сопровождается совместным перемещением поверхностей f0 , f1 при неподвижных поверхностях f2 , f3 ,..., fn ; деформирование на участке R1R2 осуществляется с пластическим модулем C2 . На рис. 6.3, в изображено положение поверхностей в момент достижения ИТН положения R3 .
При формулировке определяющего соотношения полагается справедливым принцип градиентальности, причем при определении градиента используется последняя из поверхностей нагружения fk, вовлеченная в трансляцию в пространстве напряжений вместе с ИТН, и соответствующий ей пластический модуль Сk+1.
Тогда получаем (опуская индекс): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dep = |
1 |
n f |
(dS : n f |
) = |
1 |
dσf n f |
, |
|
(6.9) |
||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
где nf = |
∂ f ∂ S |
– |
направляющий (единичный |
|
по |
модулю) |
тензор |
|||||||||||
∂ f |
∂ S |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
∂ |
f |
|
|
∂ |
f |
1 |
|
|
|
|
внешней |
нормали |
к f; |
∂ |
|
2 |
– |
модуль |
тензора |
||||||||||
|
∂ S = ( |
|
S : |
∂ S) |
|
183
∂ f ∂ S ; dσf = dS : n f – проекция бесконечно малого приращения де-
виатора напряжений на единичную нормаль к активной поверхности нагружения f; C – модуль упрочнения, являющийся обобщением тангенциального модуля, используемого в случае одноосного нагруже-
ния. Отметим, что в силу пропорциональности тензоров |
n f |
и dep |
||||||||||
направляющий тензор можно определить как n f = dep |
|
p |
. Тогда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
нетрудно видеть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
dσf |
= |
dS : n f |
|
= |
dS : dep |
= |
dS : dep |
. |
|
|
(6.10) |
dεp |
dεp |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(dεp )2 |
(dep : dep ) |
|
|
|
||||
Обратимся теперь к описанию нагружения, отличающегося от |
||||||||||||
пропорционального. |
Как и |
ранее, полагается, что поверхности |
fi ,i = 0,.., n , могут перемещаться только поступательно, могут толь-
ко касаться друг друга, последовательно вовлекая в движение поверхности с большими номерами. На любом участке активного пластического деформирования все предшествующие поверхности нагружения, «захваченные» при движении ИТН, касаются друг друга
в точке текущего положения ИТН. |
|
|
|
Рассмотрим случай, когда после нагружения до точки |
F3 |
||
(см. рис. 6.3, б) произошла частичная разгрузка до положения R0 ' , |
|||
а затем осуществляется нагружение по лучу R0 ' R0 '' R1 ' R2 ' R3 ' R4 ' , |
па- |
||
раллельному оси S1 (рис. 6.4). После достижения ИТН |
положе- |
||
ния R0 '' |
и продолжающегося нагружения вдоль R0 '' R4 ' |
поверх- |
|
ность f0 |
не может перемещаться ни вдоль единичной нормали |
n0 |
в точке R0 '' , ни вдоль луча R0 '' R4 ' , поскольку в этом случае она будет пересекать другие поверхности, что недопустимо. Конечная трансляция, приводящая к касанию окружностей f0 и f1 в точке
R0 '' , расположенной на f0 , может быть осуществлена поступательным перемещением f0 на вектор R0''A1 , где A1 определяет положе-
184
Рис. 6.4. Случай сложного нагружения в двумерном пространстве напряжений (иллюстрация к модели З. Мруза)
ние внешней нормали n10 на поверхности f1 , совпадающей с n0 . Однако при этом будет нарушено другое условие – точка A1 не является местом расположения ИТН, поскольку траектория нагружения задана и определяется лучом R0 ' R4 ' . В связи с этим используется следующая схема: мгновенное перемещение поверхности f0 осуществ-
ляется вдоль R0''A1 , однако ИТН остается на поверхности f0 . Тогда после бесконечно малого смещения поверхности f0 вдоль R0''A1 определяется новое положение R0 '' на поверхности f0 , одновременно принадлежащее лучу R0 ' R4 ' . Из рассмотрения рис. 6.4 нетрудно видеть, что при этом угол между n0 и осью OS2 уменьшится. После
185
этого определяется новое положение точки A1 , причем в силу вышесказанного угол F3O1 A1 уменьшается на то же значение, на которое уменьшится угол F3O0 R0 '' . В ходе бесконечно малых шагов происходит постепенное сближение положения R0 '' ИТН на f0 и соответствующей точки A1 на f1 . При этом точка R0 '' все время будет оставаться на луче R0 ' R4 ' , в силу чего положение точки A1 на f1 будет приближаться к указанному лучу. В конечном итоге при переходе ИТН в положение R1 ' поверхности f0 и f1 будут касаться друг дру-
га в этой точке.
Перейдем к математическому описанию движения поверхностей нагружения. Для этого достаточно рассмотреть процесс перемещения одной из поверхностей (например, fl ) до касания с поверх-
ностью следующего уровня ( fl +1 , рис. 6.5). Действительно, все поверхности с последующими номерами ( fl +1 , fl +2 ,.., fn ) остаются неподвижными, поверхности fl -1 , fl -2 ,.., f0 движутся как жесткое целое вместе с поверхностью fl .
Описание движения ранее «захваченных» поверхностей ( f0 ,..., fl −1 ) может быть осуществлено аналогично рассматриваемому случаю (напомним, что при активном нагружении все они должны касаться друг друга и поверхности fl в месте текущего положения ИТН). Ниже будет показано, что положение поверхностей f0 ,..., fl −1
может быть установлено простыми соотношениями. При этом отсутствует необходимость определения их положения в каждый момент нагружения, достаточно устанавливать их в момент начала разгрузки; при активном нагружении в соотношениях используются характеристики только последней из вовлеченных в движение поверхностей (в данном случае – fl ).
Рассматриваются две подобные поверхности нагружения fl и fl +1 , положение которых определяется центрами Ol и Ol +1 соответственно, устанавливаемые, в свою очередь, девиаторами остаточ-
186
ных микронапряжений ρl и ρl +1 (см. рис. 6.5). Поверхности нагружения описываются уравнениями:
f (S − ρl ) − (σ0(l ) )q = 0, f (S − ρl +1 ) − (σ0(l +1) )q = 0, |
(6.11) |
где f – однородная функция порядка q, σ(0l ) , σ(0l +1) – постоянные.
Рис. 6.5. Схема к описанию движения поверхностей текучести
Пусть изображающая точка лежит на поверхности fl в положении A, нагружение осуществляется вдоль луча AC. Тогда мгновенное перемещение поверхности fl осуществляется вдоль AB, где B – точка на поверхности fl +1 , имеющая одинаковое направление
внешней нормали с внешней нормалью в точке A, n fl+1 B = n fl+1 A .
Положение точки B для подобных поверхностей определяется пересечением с поверхностью fl +1 прямой Ol +1B , параллельной Ol A .
187
Обозначим девиаторы напряжений в точках A и B соответственно
через S(l ) |
и |
|
S(l +1) . |
Тогда, |
вводя |
обозначения |
t(l +1) = S(l +1) − ρl +1 , |
|||||||||||||||
t(l ) = S(l ) − ρl |
, в силу вышесказанного получаем: t( l+1 ) |
= k t(l ) , |
k R+ , так |
|||||||||||||||||||
(l +1) |
|
|
|
(l ) |
, |
|
|
(l +1) |
|
(l ) |
, |
(l ) |
≠ 0 . |
Вследствие однородно- |
||||||||
что i, j tij |
|
|
= k tij |
|
k = tij |
|
tij |
tij |
|
|||||||||||||
сти функции f (порядка q) из (6.11) получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(l +1) |
|
|
|
|
|
|
(l +1) |
|
q |
|
|
|
|
(l +1) |
q |
|
|||
f (t |
|
|
) |
f (t |
(l ) |
) |
= σ0 |
|
|
(l ) |
, kq = |
|
σ0 |
(l ) , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ0 |
|
|
|
|
|
|
σ0 |
|
||||
откуда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
S(l +1) |
− ρl +1 = |
σ0(l +1) |
(S(l ) − ρl ) . |
|
(6.12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(l ) |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещение поверхности |
fl |
в текущий момент времени на бес- |
||||||||||||||||||||
конечно малое расстояние осуществляется вдоль тензора S(l +1) |
− S(l ) . Как |
|||||||||||||||||||||
следуетиз(6.12), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S(l +1) − S(l ) = ρ |
+ |
σ0(l +1) |
(S(l ) − ρ ) − S(l ) = |
|
|||||||||||||||
|
|
|
σ0(l ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l +1 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||
= |
|
1 |
( |
σ(l +1) − σ(l ) |
)S(l ) + (ρ |
|
σ(l ) − ρ |
σ(l +1) ) |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(l ) |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
l +1 0 |
l |
|
0 |
|
|
||||
|
|
σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда dρl можно определить следующим образом:
dρ |
|
= |
dµ |
(σ(l +1) |
− σ(l ) )S(l ) + (ρ |
σ(l ) − ρ |
σ(l +1) |
) |
, |
(6.13) |
||
l |
|
|||||||||||
|
|
(l ) |
0 |
0 |
l +1 0 |
l |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
σ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где dµ – скалярный множитель, характеризующий величину смещения. В частности, когда центры поверхностей fl и fl +1 совпадают, ρl = ρl +1 , из (6.13) следует:
188
dρ |
|
= |
dµ |
(σ(l +1) |
− σ(l ) )(S(l ) − ρ |
) |
, |
(6.14) |
||
|
|
|||||||||
|
l |
|
σ0(l ) |
0 |
0 |
l |
|
|
|
т.е. в этом случае мгновенная трансляция осуществляется вдоль Ol A . Отметим, что в этом частном случае закон трансляции (6.14) совпадает с предложенным Г. Циглером (1959 г.) законом для определения остаточных микронапряжений при произвольном нагружении с использованием одноповерхностной теории пластического течения:
dρ = dµ(S − ρ) .
Следовательно, в этом законе полагается, что смещение поверхности текучести осуществляется вдоль направления, связывающего центр поверхности текучести и ИТН.
Как уже отмечалось ранее, движение ИТН задано условиями нагружения; для рассматриваемого случая, например, ИТН должна находиться на прямой AC, не покидая при этом поверхность нагружения fl . Иначе говоря, t ИТН участвует одновременно в двух
мгновенных движениях – определяемом собственно нагружением ( dS ) и движением поверхности fl ( dρl ). По аналогии с кинематикой
сложного движения точки, рассматривая последнее как «переносное» движение, первое – как «абсолютное», для сохранения положения
ИТН на поверхности fl |
следует потребовать, чтобы мгновенное «от- |
|||
носительное» движение |
(dS − dρl ) осуществлялось по касательной |
|||
к поверхности fl . Данное условие можно записать в виде |
|
|||
|
(dS − dρl ) : |
∂ fl |
= 0 . |
(6.15) |
|
|
|||
|
|
∂ S |
|
|
Соотношение (6.15) используется для определения скалярного |
||||
множителя dµ . Для этого запишем вначале (6.13) в виде: |
|
|||
dρl = dµ(S(l +1) − S(l ) ) . |
(6.16) |
189
С учетом (6.16) из (6.15) получаем
|
|
|
|
∂ fl |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
: dS |
|
dσfl |
|
||||
|
|
|
|
∂ S |
|
|||||||
dµ = |
|
|
|
|
ρ = |
|
, |
(6.17) |
||||
∂ fl |
|
: (S(l +1) |
− S(l ) ) |
nfl : (S(l +1) − S(l ) ) |
||||||||
|
∂ S |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где dσfl = nfl : dS , |
n fl |
= |
∂ fl /∂ |
S |
|
– направляющий тензор внеш- |
||||||
|
|
∂ fl /∂ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
||||
ней нормали к fl в точке S(l ) . |
|
|
|
|
||||||||
Все поверхности f0 , f1 ,..., fl −1 |
в процессе активного нагружения |
должны оставаться в контакте с поверхностью fl , причем общая
точка контакта совпадает с текущим положением ИТН. Очевидно, что данное обстоятельство обусловливает смещение поверхностей
f |
0 , f1 ,..., fl −1 относительно |
fl . |
|
Отметим, что положение внутренних поверхностей |
|
f |
0 , f1 ,..., fl −1 относительно |
fl при активном нагружении определяет- |
ся в каждый момент процесса простыми соотношениями. Действительно, в силу подобия поверхностей нагружения и в силу их выпуклости нетрудно заметить, что центры поверхностей f0 , f1 ,..., fl −1 рас-
положены на прямой Ol A . Данный факт следует из того, что для выпуклой и гладкой поверхности ориентация внешней нормали полностью и однозначно определяется положением точки на поверхности, т.е. тензором S(k ) − ρk для любой поверхности fk . Поскольку в точке касания внешние нормали касающихся поверхностей fk и fm должны совпадать, а сами подобные поверхности движутся относительно друг друга поступательно, то тензоры (S(k ) − ρk ) , (S(m) − ρm )
должны быть пропорциональны. В векторном пространстве напря-
жений |
это |
означает, что соответствующие векторы (Σ (k ) −Ρ k ) , |
(Σ (m) −Ρ |
m ) |
должны быть коллинеарны. В случае, если поверхности |
190