Физические теории пластичности

положение линии дислокации, вдоль которой направляется единичный вектор l , так, что тройка (l, b, n) является правой тройкой. Плоскость залегания краевой дислокации, таким образом, совпадает с плоскостью (l, b) . В зависимости от расположения экстраплоскости выделяют положительные и отрицательные краевые дислокации, обозначаемые соответственно как ┴ и ┬. Под действием приложенных напряжений

краевые дислокации могут скользить в плоскости залегания (в направлении вектора Бюргерса), такое их движение называется консервативным, или двигаться в направлении вектора n (переползать) за счет присоединения к краю экстраплоскости вакансий или межузельных атомов, такое движение называется неконсервативным. При встрече двух параллельных краевых дислокаций противоположных знаков они взаимно уничтожаются, аннигилируют, восстанавливая правильное строение решетки.

Винтовую дислокацию схематично вводят обычно следующим образом: в цилиндрическом бездефектном кристалле делается радиальный надрез до оси цилиндра; вдоль пересечения плоскости надреза и боковой поверхности цилиндра края надреза смещаются на одно межатомное расстояние и соединяются, после чего дают системе отрелаксировать. В полученной таким образом конфигурации нарушение правильного строения кристалла сосредоточено в узкой области вблизи оси цилиндра, которая является линией винтовой дислокации и определяется единичным вектором касательной l. Вектор Бюргерса b винтовой дислокации параллелен линии дислокации. В зависимости от направления вектора Бюргерса по соглашению вводятся положительные и отрицательные винтовые дислокации, обозначаемые как γ и соответственно. Винтовые дислокации противоположных знаков также могут аннигилировать при встрече.

В реальных кристаллах дислокации в общем случае имеют криволинейную форму, в каждой точке линии дислокации могут присутствовать краевые и винтовые составляющие. Часто дислокации представляют собой замкнутые петли. При этом из ФТТ известны следующие геометрические свойства дислокаций: вектор Бюргерса постоянен в каждой точке данной дислокации; дислокации не могут обрываться в кристалле, они могут либо выходить на поверхность кристалла, либо образовывать замкнутые петли, либо разветвляться; в каждой точке ветвления суммарный вектор Бюргерса исходящих из узла дислокаций равен нулевому вектору.

41

Несмотря на то, что дислокации не являются равновесными дефектами, в реальных кристаллических материалах всегда присутствует значительное количество дислокаций. Количественной мерой при этом служит плотность дислокаций, определяемая суммарной длиной дислокаций в единице объема. Даже в хорошо отожженных кристаллах плотность дислокаций составляет 105–108 см/см3 (см–2), доходя в деформированных кристаллах до 1012–1014 см–2 (104–106 км в 1 мм3!). Дислокации в кристаллических материалах образуются уже на стадии кристаллизации из расплавов, растворов или газообразной фазы. В процессах термообработки возможными механизмами образования дислокаций (в виде петель) являются диффузионные процессы, приводящие к возникновению дисков вакансий (с последующим их «схлопыванием») и межузельных атомов.

Таким образом, основным механизмом пластического деформирования является движение дислокаций. Казалось бы, при достижении критических напряжений в образце (по крайней мере, монокристаллическом) дальнейшее пластическое деформирование должно продолжаться до каких угодно деформаций при сохраняющейся нагрузке. Однако для большинства металлов и сплавов даже в опытах на монокристаллических образцах обнаруживается, что для продолжающейся пластической деформации требуется увеличивать прикладываемую к образцу нагрузку; иначе говоря, материалы упрочняются в процессе пластического деформирования. В чем причина такого поведения материалов? Оказывается, что «ответственность» за возникновение различных эффектов упрочнения (и многих других эффектов, отмеченных в [51]) несут различные механизмы взаимодействия дислокаций с другими дефектами – точечными, линейными, поверхностными и объемными. Следовательно, движущиеся дислокации, встречая на своем пути другие дефекты, вступают с ними в реакции, во взаимодействие, приводящее к затрудненому движению дислокаций. В связи с этим понимание указанных процессов является весьма важным для построения ОС, особенно для развитых пластических деформаций.

Выше рассматривались так называемые полные (или единичные, или совершенные) дислокации с вектором Бюргерса, равным одному из трансляционных векторов решетки, перенос на который (или n-кратный перенос) делает конечное состояние решетки неотличимым от исходного. Однако в типичных металлических кристаллах имеются дислокации с отличными от трансляционных векторами Бюргерса, которые называются частичными дислокациями. Такие частичные дислокации могут

42

взаимодействовать друг с другом с образованием полных дислокаций; напротив, полные дислокации могут диссоциировать на несколько частичных, т.е. частичные дислокации сами могут рассматриваться как продукт реакции дислокаций. Рассмотрим более подробно частичные дислокации на примере ГЦК-кристаллов. В ГЦК-решетке имеет место следующее расположение атомов (рис. 2.2): первый слой составляют плотноупакованные «шары», позиция которых в проекции на плоскость плотнейшей упаковки (111) обозначена буквой А. Положение центров «шаров» второго слоя в проекции на ту же плоскость обозначены буквой В, третьего – как С, далее соблюдается периодичность (АВС…).

Такое расположение плотноупакованных слоев ГЦК-решетки обозначают как упаковку АВСАВСАВС… . Заметим, что для ГПУ-решетки имеет место периодичность АСАСАС… .

Рис. 2.2. Расположение атомов ГЦК-кристаллов в проекции на плоскость (111)

Предположим, что в кристаллической решетке имеется (полная) краевая дислокация, экстраплоскость которой перпендикулярна плоско-

сти рисунка, ее край совпадает со слоем В, вектор Бюргерса b ( a 2[101] )

перпендикулярен экстраплоскости и расположен в плоскости плотнейшей упаковки (см. рис. 2.2). Единичный акт перемещения полной дис-

43

локации осуществляется переходом атомов экстраплоскости из положения B в новое положение того же типа В. Однако энергетически выгоднее атомам экстраплоскости вначале перейти в соседнее положение

лунки С (на вектор b1 (a 6[211]) ); при этом локально нарушается «пра-

вильная» последовательность АВСАВС, которая на некоторой части слоев заменяется на последовательность АСАС. Эта часть слоев называется дефектом упаковки и трактуется как поверхностный дефект кристаллической решетки. Затем атомы переходят в новое положение сме-

щением на вектор b2 (a 6[112]) , восстанавливая «правильное» чередо-

вание слоев. Поверхность дефекта упаковки отделяется от остальной части кристалла выделенной линией, называемой частичной дислокацией и обозначается как и .

Для частичных дислокаций вектор Бюргерса не совпадает с вектором, равным межатомным расстояниям, и не перпендикулярен линии (краевой) дислокации. Частичные дислокации с вектором Бюргерса, лежащим в плоскости их скольжения, называются дислокациями Шокли; на рис. 2.2 изображены именно дислокации Шокли с векторами Бюргерса b1 и b2. Совокупность двух частичных дислокаций и дефекта упаковки между ними называется расщепленной дислокацией.

Важнейшей характеристикой способности кристаллического материала к образованию дефектов упаковки (а следовательно, и расщепленных дислокаций) и определяющей ширину дефекта упаковки является энергия дефекта упаковки ЕДУ (ЭДУ). Численно ЭДУ равна силе отталкивания частичных дислокаций (на единицу длины), или силе поверхностного натяжения дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки и тем более кристалл склонен к образованию расщепленных дислокаций. Значения ЭДУ существенно различаются для разных металлов; так, для меди ЕДУ равна примерно 40 эрг/см2, для алюминия – 200 эрг/см2. Легирование металлов, как правило, приводит к существенному снижению ЭДУ; например, для бронз (Cu + Al) с содержанием 4,5 и 7 % Al ЭДУ составляет соответственно 20 и 2 эрг/см2.

Если векторы Бюргерса частичных дислокаций лежат в плоскости скольжения (частичные дислокации Шокли), то расщепленная дислокация может совершать консервативное движение. В то же время для совершения переползания (например, при преодолении препятствий) требуется стягивание расщепленной дислокации к обычной. Отметим, что ширина расщепленной дислокации может быть уменьшена до нуля под действием приложенных внешних и внутренних напряжений, т.е. рас-

44

щепленная дислокация может быть превращена (стянута) в обычную дислокацию.

Существуют частичные дислокации, вектор Бюргерса которых не лежит в плоскости скольжения, в силу чего они не способны к консервативному перемещению (скольжением). К таким сидячим дислокациям относятся, например, дислокации (или петли сидячих дислокаций) Франка, которые могут образовываться в результате, например, схлопывания вакансионного диска в плоскости плотнейшей упаковки. Вектор Бюргерса такой дислокации перпендикулярен плоскости плотнейшей упаковки, в силу чего дислокационная петля, окружающая дефект упаковки, не может скользить в своей плоскости. Дислокации Франка являются сильными препятствиями для движения других дислокаций.

При движении двух расщепленных дислокаций в пересекающихся плоскостях скольжения они могут образовывать весьма прочные барьеры (например, барьеры или дислокации Ломера–Коттрелла), запирающие обе системы скольжения; ниже механизм их образования будет рассмотрен подробнее. С макроскопической точки зрения образование барьеров Ломера–Коттрелла ведет к существенному увеличению деформационного упрочнения в материалах с низкой ЭДУ по сравнению с материалами со средней и высокой ЭДУ. По мнению авторов, именно образование барьеров Ломера–Коттрелла ответственно за эффекты дополнительного упрочнения при сложном циклическом нагружении (см. гл. 2 [51]); проведенный анализ показал, что именно материалы с низкой ЭДУ обнаруживают склонность к дополнительному упрочнению.

Выше отмечалось, что дислокации могут разветвляться, что является также одним из видов дислокационных реакций. Напомним одно из основных правил теории дислокаций – суммарный вектор Бюргерса дислокаций, вступающих в реакцию (например, ветвящейся дислокации), должен быть равен суммарному вектору Бюргерса образовавшихся дислокаций.

Направление реакции определяется энергетическим критерием Франка: дислокационная реакция идет в направлении уменьшения внутренней энергии кристалла. Заметим, что это положение чрезвычайно часто принимается на веру в естествознании: полагается, что природа устроена по принципу минимизации внутренней энергии. В механике экстремальные принципы также применяются весьма часто, однако их принято доказывать. В данной ситуации, однако, критерий Франка может быть принят, поскольку он прошел эмпирическую проверку в тече-

45

ние десятилетий. Поскольку энергия дислокации пропорциональна квадрату ее вектора Бюргерса, критерий Франка иначе может быть сформулирован следующим образом: дислокационная реакция происходит в направлении уменьшения суммы квадратов векторов Бюргерса получающихся дислокаций в сравнении с суммой квадратов векторов Бюргерса исходных дислокаций.

Таким образом, если через bi0 , i = 1, I обозначить векторы Бюргер-

са дислокаций, вступающих в реакцию, а через bfj , j = 1, J – получившихся в ее результате, то должно выполняться соотношение

причем реакция произойдет только в том случае, если выполняется критерий Франка:

В частности, указанным правилам подчиняются реакции диссоциации полных дислокаций на частичные, объединения частичных дислокаций в полные; критерий Франка объясняет, например, распад n-кратной дислокации на n единичных.

Для наглядности анализа реакций дислокаций в кубических кристаллах широко используется так называемый стандартный тетраэдр Томпсона (СТТ). Рассмотрим построение СТТ на примере ГЦК-кристаллов с параметром решетки а. В качестве вершин тетраэдра выберем одну из вершин куба (например, в начале координат кристаллографической системы координат (КСК)); три другие вершины совпадают с ближайшими к началу КСК центрами граней; иначе говоря, в терминах кристаллографических координат вершинытетраэдра определяются векторами:

Α = a 2[101], Β= a 2[011], Γ = a 2[110], ∆ = [000] . Грани тетра-

эдра представляют собой равносторонние треугольники с длиной стороны a 2 . Центры граней, противоположных вершинам A, B, Г, ∆ ,

обозначим соответствующими строчными буквами греческого алфавита α, β, γ, δ. Теперь разрежем тетраэдр вдоль всех ребер, содержащих

46

вершину ∆, и развернем его в плоскости грани АВГ (рис. 2.3). Все грани СТТ принадлежат системе кристаллографических плоскостей

{111} плотнейшей упаковки (АВГ – (111), ΑΓ∆ – (1 11), Β∆Γ – (1 1 1), Α∆Β– (1 1 1) ). Ребра тетраэдра Томпсона равны векторам Бюргерса полных дислокаций:

( ΑΒ = a 2[110], ΒΓ = a 2[1 01], Γ∆ = a 2[1 1 0 ], ∆Α = a 2[101] ).

Частичные дислокации Шокли с векторами Бюргерса системы а/6 <112> соответствуют векторам, соединяющим вершины тетраэдра с центрами принадлежащих им граней, например,

Αβ = a / 6[11 2], Aδ = a / 6[1 21], Bδ = a / 6[21 1], ∆γ = a / 6[112],

δΓ = a / 6[11 2], γA = a / 6[211].

Рассмотренная выше реакция расщепления полной дислокации на

чениях СТТ представляется в виде: ΒΓ = Βδ+ δΓ (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3. Развертка на плоскости стандартного тетраэдра Томпсона

Сидячие дислокации Франка имеют вектор Бюргерса, перпендикулярный плоскостям плотнейшей упаковки. В обозначениях СТТ векторы Бюргерса дислокаций Франка обозначаются как αΑ, βΒ, γΓ, δ∆,

47

Αα, Ββ, Γγ, ∆δ. Дислокации Франка, взаимодействуя с частичными дислокациями Шокли, могут порождать полные дислокации, напри-

мер, Αα+ αΒ = ΑΒ.

Выше уже упоминался один из известных механических эффектов – так называемое дополнительное циклическое упрочнение [51], которое испытывают некоторые материалы при сложном циклическом нагружении. Как показал проведенный анализ, склонность к данному эффекту проявляют материалы с низкой ЭДУ, для которых характерно наличие расщепленных дислокаций. Одним из возможных механизмов появления дополнительного упрочнения при сложных нагружениях (в том числе сложных циклических) авторы считают образование дислокаций (или барьеров) Ломера–Коттрелла, в связи с чем целесообразно остановиться на этой реакции более детально [32].

Предположим, что в плоскости ΑВ∆ (1 1 1 ) расположена дислокация ∆В (а/2[0 1 1]), а в плоскости АВГ (1 1 1) – дислокация ВГ (а/2[0 1 1 ]), способные скользить в своих плоскостях, будучи параллельными линии пересечения плоскостей ВА. Известно, что такие дислокации взаимно притягиваются. В материалах с низкой ЭДУ полные дислокации испытывают склонность к расщеплению; в данном случае дислокация ∆В расщепляется согласно реакции ∆В = ∆γ+ γВ (а/2[0 1 1] =

= а/6[1 1 2]+ а/6[ 1 1 2]) на две частичные дислокации Шокли и дефект упаковки между ними (рис. 2.1.3). Пусть в плоскости АВГ дислокация ВГ расщепляется по схеме ВΓ = Вδ+ δΓ (а/2[1 0 1 ] = а/6[2 1 1 ]+

+ а/6[1 1 2 ]). Плоскости скольжения этих двух расщепленных дислокаций пересекаются по ребру АВ, при этом частичные дислокации γВ и Вδ испытывают взаимное притяжение. Поэтому дислокации продвигаются к линии пересечения рассматриваемых плоскостей АВ и всту-

пают в реакцию γВ+ Вδ= γδ (а/6[ 1 2 1]+ а/6[2 1 1 ] = а/6[1 1 0])

с образованием частичной дислокации βδ, называемой вершинной (или удерживающей) дислокацией. Вектор Бюргерса вершинной дислокации а/6 [1 1 0] и ее линия [1 1 0] перпендикулярны и расположены в одной плоскости (001), т.е. дислокация является краевой. Нетрудно проверить, что такая реакция удовлетворяет критерию Франка. В результате получается совокупность трех частичных дислокаций (вершинной и двух дислокаций Шокли) и двух дефектов упаковки, распо-

48

ложенных в пересекающихся плоскостях. Такой клиновидный дефект и называется дислокацией (барьером) Ломера–Коттрелла. Дислокация Ломера–Коттрелла не может скользить, поскольку все три частичные дислокации имеют различные плоскости залегания, в силу чего они являются мощными препятствиями для других дислокаций в двух пересекающихся плоскостях, содержащих частичные дислокации Шокли. Такие сидячие дислокации присущи материалам с низкой ЭДУ, таким, например, как нержавеющие стали, бронзы.

2.2.ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДИСЛОКАЦИЙ

СДИСЛОКАЦИЯМИ И ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ

Каждая из дислокаций обладает собственным полем напряжений. В силу быстрого затухания искажений кристаллической решетки при удалении от ядра дислокации для определения полей напряжений можно использовать линейную теорию упругости (следует учитывать, что вблизи ядра дислокации предпосылки линейной теории упругости малоприемлемы, поэтому полученным решением можно пользоваться только на определенном удалении от ядра, как правило, – не менее 1,5–2 межатомных расстояний). Задача определения полей напряжений в этом предположении была решена Вольтерра еще в 1907 году. Для краевой дислокации при записи будем использовать две системы координат: декартову ортогональную Ох1х2х3 (ось Ох3 направлена вдоль оси дислокации, ось Ох1 – вдоль вектора Бюргерса, ось Ох2 – вдоль нормали к плоскости скольжения) и цилиндрическую (r, z, θ), где ось z совпадает с Ох3, r – расстояние от оси дислокации, угол θ отсчитывается от плоскости скольжения. Тогда компоненты (в декартовой ортогональной системе координат) тензора собственных напряжений краевой дислокации определяются соотношениями [27, 32]:

или в виде

49

σ11 = −(D / r) sinθ (2 + cos2θ), σ22 = (D / r) sinθ cos2θ, σ33 = ν(σ11 + σ22 ), σ12 = (D / r) cosθ cos2θ, σ13 = σ23 = 0, D = Gb / ((2π(1− ν)),

где с = (x12 + x22 ) , G – модуль сдвига, ν – коэффициент Пуассона.

Достаточно просто (по полю перемещений) получить компоненты тензора напряжений винтовой дислокации. Направим ось Ох3 вдоль оси дислокации, оси Ох1 и Ох2 расположены в перпендикулярной плоскости. Тогда компоненты тензора напряжений Коши в декартовой ортогональной системе координат определяются как

остальные компоненты равны нулю. Нетрудно видеть, что компоненты напряжений при удалении от ядра дислокации убывают обратно пропорционально расстоянию. При нагружении тела с дислокациями последние взаимодействуют собственными полями напряжений как с приложенными напряжениями, так и с полями напряжений других дислокаций (равно как и полями напряжений других типов дефектов); силы взаимодействия достаточно подробно рассматриваются во многих монографиях и учебных пособиях по ФТТ (например, [27, 32, 55]).

Следует отметить, что при приближении дислокации к свободной поверхности кристалла напряжение от дислокации и ее энергия падают, поскольку свободная поверхность не оказывает сопротивления движению дислокации. В силу этого дислокация притягивается к свободной поверхности; для математического описания этого явления используются фиктивные дислокации противоположного знака, расположенные соответствующим образом за свободной поверхностью (так называемые дислокации изображения), так что суммарное напряжение от двух дислокаций на свободной поверхности удовлетворяет тривиальным статическим граничным условиям. Заметим, что для моделирования данного эффекта при использовании соотношений макрофеноменологических теорий пластичности (например, теории пластического течения) для областей, примыкающих к границе образца, принимается пониженное значение напряжения течения.

50