Прикладная теория колебаний
..pdfОбычно бывает достаточно рассматривать первые четыре формы упругих колебаний. Таким образом, в обоих случаях эта задача сводится к решению системы уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. к исследованию линейной системы.
5.7.1. Механическая проводимость системы
Уравнение вынужденных колебаний системы с затуханием под действием силы P(t) = P0 sin ωt имеет вид:
y + 2ξy + p2 y = |
P0 |
sin ωt. |
(5.24) |
|
m |
||||
|
|
|
Рассмотрим решение этого уравнения в комплексном ви-
де. Пусть F = |
P0 |
. Силу представим в форме F = F eiωt . Тогда |
||||||||||
|
||||||||||||
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение уравнения (5.24) можно записать в виде: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
y = |
F eiωt |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, |
|
(5.25) |
||
|
|
z(iω) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(iω) = (iω)2 +2ξ(iω) + p2 , |
|
||||||||
фазовый угол |
|
|
z(iω) |
|
= ( p2 −ω2 )2 +4ξ2ω2 , |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α = arctg |
|
|
2ξω |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
p2 −ω2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величину z(iω) называют механическим импедансом |
||||||||||||
системы. Обратная величина |
H (iω) =1/ z(iω) |
называется ме- |
ханической проводимостью системы.
Тогда решение исходного дифференциального уравнения (5.24) можно записать в виде:
y = H (iω)F eiωt . |
(5.26) |
0 |
|
|
111 |
Стр. 111 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Таким образом, реакция линейной системы на возмущающую силу, изменяющуюся по гармоническому закону, получается умножением возмущающей силы на величину механической проводимости.
5.7.2. Переходная проводимость системы
Рассмотрим действие возмущения в форме ступенчатой
функции. |
Простейшим примером воз- |
||||
|
|||||
|
мущающей |
функции |
является |
||
|
единичная |
ступенчатая |
функ- |
||
|
ция 1(t) (рис. 5.6), которая опре- |
||||
|
делена следующим образом: |
||||
|
1(t) = 0 для t < 0, |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
Рис. 5.6. Возмущающая |
1(t) = |
для t = |
|
(5.27) |
|
2 |
0, |
||||
функция |
1(t) = |
|
|
|
|
|
1 для t > 0. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Такую функцию можно получить как предел надлежащим образом выбранной непрерывной функции
f (t, α) = |
1 |
+ |
1 arctg |
t |
. |
(5.28) |
2 |
|
|||||
|
|
π |
α |
|
Действительно, если ограничиться рассмотрением главных значений многозначной функции (5.28) в интервале
− π2 < arctg αt < π2 , то
lim f (t, α) = lim |
1 |
+ |
1 |
arctg |
t |
=1(t). |
(5.29) |
|||
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|||||||||
α→0 |
α→0 |
|
2 |
|
|
α |
|
|
Если точка скачка перемещается из точки t = 0 в точку t = τ (рис. 5.7), то единичная функция записывается в виде 1(t – τ).
112
Стр. 112 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
|
|
Реакция физической системы |
|
|
|
|
|||||||||||
на единичную ступенчатую функ- |
|
|
|
|
|||||||||||||
цию называется переходной про- |
|
|
|
|
|||||||||||||
водимостью системы A(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Найдем эту реакцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Уравнение |
y + p2 y =1(t) |
при |
|
|
|
|
|||||||||
начальных |
условиях |
(t |
= |
0, |
Рис. 5.7. Единичная функция |
||||||||||||
y = y = 0) |
имеет |
общее |
решение |
|
|
|
|
||||||||||
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y = |
1 |
|
+C sin pt +C |
|
cos pt. |
(5.30) |
|||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
Используя |
начальные |
|
условия, найдем, что |
C1 = 0, |
|||||||||||
C |
|
= − |
1 |
. Следовательно, переходная проводимость системы |
|||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A(t) = y = |
1 |
|
(1−cos pt)1(t). |
(5.31) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единичная ступенчатая функция вызывает заброс, равный 2, т.е. коэффициент динамичности λ = 2.
5.7.3. Импульсная переходная функция
Большое значение в анализе колебательных систем имеет реакция системы на δ-функцию, которую можно рассматривать как производную от единичной случайной функции. Для определения δ-функции рассмотрим производную от соответствующей непрерывной функции
δ(t,α) = |
df (t,α) |
= |
α |
(5.32) |
|
|
|
. |
|||
dt |
π(t2 +α2 ) |
113
Стр. 113 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Функцию δ(t) можно рассматривать как предел непрерывной функции δ(t, α) при α → 0:
δ(t) = lim δ(t, α) = lim df (t, α) . |
(5.33) |
||
α→0 |
α→0 |
dt |
|
Следовательно, δ-функция равна 0 при t ≠ 0 и равна бесконечности при t = 0, так как δ(0, α) =1/ πα.
Рис. 5.8. Производные от ступенчатой функции
При уменьшении α величина пика возрастает, но площадь, ограниченная кривой δ(t, α), остается равной 1 (рис. 5.8):
∞
∫δ(t, α)dt =1.
–∞
Для δ-функции также справедливо равенство
∞
∫δ(t)dt =1.
–∞
Если δ-функцию рассматривать сдвинутой по оси абсцисс в точку t = τ, то она записывается в виде δ(t – τ). Часто δ-функ- цию записывают в следующем виде:
δ(t −τ) = 0 при t ≠ τ, |
|
|
τ+ε |
|
(5.34) |
lim ∫ δ(t − τ)dt =1. |
|
|
|
|
|
ε→0 τ−ε |
|
|
Реакция системы на δ-функцию называется импульсной переходной функцией h(t). Для примера рассмотрим уравнение вида
у+ р2 у = δ(t), |
|
(5.35) |
y = y = 0 при t ≤ −ε |
|
|
(ε > 0). |
|
114
Стр. 114 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Интегрируя |
уравнение |
(5.35) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
в пределах от –ε до ε (ε – малое |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
число, рис. 5.9), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ε |
d 2 |
2ydt + p2 |
+ ∫ε |
ydt =1. |
(5.36) |
|
|
|
|
|
|
|||||
−ε |
dt |
|
|
|
−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первый |
интеграл выражения |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(5.36) |
можно |
преобразовать |
сле- |
|
|
Рис. 5.9. δ-Функция |
||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ d dy |
|
ε |
|
dy |
dy |
|
ε |
dy |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dt = |
|
d |
= |
|
|
|
= |
|
, |
||
|
|
−∞∫ |
|
−ε∫ |
|
|
|
|||||||||
|
|
dt |
dt |
|
|
|
dt |
dt |
|
−ε |
|
dt t=ε |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dy |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
dt t=−ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй интеграл выражения (5.36) стремится к нулю, так как в окрестности t = 0 y является конечной величиной, т.е. y < M и интеграл ограничен величиной 2Mε, которая в преде-
ле при ε → 0 стремится к нулю. Следовательно, в пределе вы-
ражение (5.36) примет вид |
|
|
|
|
|
dy |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
t=ε |
|
|
||
Поэтому исходное уравнение (5.35) будет эквивалентно |
|||||
системе уравнений: |
|
|
|
|
|
y + p2 y = 0 |
при t > 0, |
(5.37) |
|||
y = 0; y = |
1, t < ε. |
|
|||
|
|
||||
Решение этой системы имеет вид |
|
|
|||
h(t) = |
1 |
sin pt 1(t). |
|
(5.38) |
|
|
|
||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115 |
Стр. 115 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Между переходной проводимостью системы и импульс-
ной переходной функцией имеет место соотношение |
|
h(t) = dA. |
(5.39) |
dt |
|
5.7.4. Интеграл Дюамеля
Рассмотрим реакцию линейной системы на действие силы F(t) (рис. 5.10), произвольно изменяющейся по времени. Функцию F(t) можно приближенно представить в виде суммы случайных функций. В качестве независимой переменной принимается величина τ.
В момент (τ + ∆τ) реакция на случайную функцию с ординатой ∆F(τ) определяется выражением
∆y(t) = ∆F(τ)A(t −τ).
Реакцию на всю совокупность ступенчатых функций от τ = 0 до τ = t находим по принципу наложения (рис. 5.11):
τ=t
y(t) = F(0)A(t) +∑∆F(τ)A(t −τ) =
|
τ=0 |
|
|
τ=t |
|
A(t −τ)∆τ. |
|
= F(0)A(t) +∑ ∆F(τ) |
(5.40) |
||
τ=0 |
∆τ |
|
|
Рис. 5.10. Внешнее |
Рис. 5.11. Ступенчатое |
воздействие F(t) |
изменение F(t) |
116
Стр. 116 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Переходя к определенному интегралу при ∆τ → 0, полу-
чим:
y(t) = F(0)A(t) + ∫t dF(τ) A(t −τ)dτ,
0 dτ
или, интегрируя по частям, получим:
y(t) = −∫t |
F(τ) |
d |
A(t −τ)dτ; |
y(t) = ∫t |
F(τ)h(t −τ)dτ, (5.41) |
|
dt |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
где
h(t −τ) = dA(t −τ) . dt
Эти интегралы известны как интегралы Дюамеля.
5.7.5. Реакция линейной системы на случайные возмущения
Определим соотношения, с помощью которых можно проводить анализ реакции динамических систем на случайные возмущения.
Примерный вид функции механической проводимости и спектральной плотности изгибающего момента при определенном спектре, характеризующем внешнее воздействие, показан на рис. 5.12.
а |
б |
в |
Рис. 5.12. Спектральные плотности воздействия (а), выхода (в), механическая проводимость системы (б)
117
Стр. 117 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Соотношение (5.41) для стационарного процесса (в этом случае возмущение действует все время) можно записать в виде
y(t) = ∫t F(τ)h(t −τ)dτ.
−∞
Это выражение не изменится, если вместо t положить верхний предел интегрирования равным +∞, так как величина h(t −τ), очевидно, равна 0 для неотрицательного аргумента.
Поэтому для t < τ < +∞ подынтегральное выражение также равно нулю и, следовательно,
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = ∫ F(τ)h(t −τ)dτ. |
|
(5.42) |
||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
Введя переменную σ = t –τ, получим: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
y(t) = ∫ F(t −σ)h(σ)dσ. |
|
(5.43) |
||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
Корреляционная функция выходной величины |
|
||||||||
|
|
|
R(τ) = lim |
1 |
T∫ y(t +τ) y(t)dt. |
|
(5.44) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T →∞ 2T |
−T |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражение (5.43) в соотношение (5.44), полу- |
|||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(τ) = |
|
|
|
|
1 |
T |
+∞ +∞ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
∫ ∫ F(t −σ)F(t +τ−σ′)h(σ)h(σ′)dσ dσ′dt = |
|
||||||
|
|
||||||||
T →∞ 2T |
−T −∞ −∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ +∞ |
|
|
1 |
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ ∫ h(σ)h(σ′) lim |
|
∫ F(t −σ)F(t + τ−σ′)dt dσ dσ′, |
(5.45) |
||||||
|
|||||||||
−∞ −∞ |
|
T →∞ 2T |
−T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
где σ′ введено в выражение для y(t + τ).
118
Стр. 118 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Так как положение интервала 2T при стационарной функции не влияет на результат, то, положив t′ =t −σ, можно получить связь между значениями входной Rвх и выходной Rвых функций:
+∞ +∞ |
|
Rвых (τ) = ∫ ∫ h(σ)h(σ′)Rвх (τ+σ−σ′)dσ dσ′. |
(5.46) |
−∞ −∞
Более важной зависимостью является соотношение между спектральными плотностями входного Sвх(ω) и выходного
Sвых(ω) сигнала. Это соотношение можно вывести, используя зависимость
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sвых (ω) |
= |
|
∫ Rвых (τ)e−iωτdτ. |
(5.47) |
||
|
|
|
|
|
2π |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
С учетом (5.46) можно записать: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 +∞ +∞ +∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
S вых (ω) = |
|
∫ ∫ ∫ e−iωτh(σ)h(σ′)R вх(τ+σ−σ′)dσdσ′dτ = |
|||||||||
|
|
2π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ −∞ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞ +∞ +∞ |
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
∫ |
∫ ∫ e−iω(τ+σ−σ′)eiωσh(σ)e−iωσ′h(σ′)Rвх (τ+σ−σ′)dσdσ′dτ = |
|||||||||
2π |
|||||||||||||
|
|
−∞ −∞ −∞ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
+∞ |
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
= |
|
|
∫ |
h(σ) eiωσdσ ∫ h(σ′) e−iωσ′dσ′ ∫ Rвх (τ+σ−σ′) e−iω(τ+σ−σ′)dτ. |
|||||||||
|
2π |
||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Интегралы можно записать следующим образом: |
|
||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
||
|
|
|
|
∫ h(σ′) e−iωσ′dσ′ = ∫h(σ′)e−iωσ′dσ′ = −∫h(t −τ)eiω(τ−t )dτ = |
|||||||||
|
|
|
−∞ |
0 |
|
|
|
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= e−iωt ∫t |
eiωt h(t −τ) dτ = H (iω), |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
∫ h(σ) eiωσdσ = eiωt ∫ e−iωτh(t −τ) dτ = H (−iω), |
|
|||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
119 |
Стр. 119 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
1 |
+∞ |
|
|||||
∫ Rвх (τ+σ−σ′) e−iω(τ+σ−σ′)dτ = Sвх(ω). |
|
||||||
|
2π |
|
|||||
|
−∞ |
|
|||||
Тогда |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Sвых (ω) = H (iω) H (−iω)Sвх (ω), |
|
||||
|
|
Sвых (ω) = |
|
H (iω) |
|
2 Sвх(ω). |
(5.48) |
|
|
|
|
5.8. Случайные колебания автомобильного крана
Рассмотрим случайные колебания автомобильного крана в продольной плоскости при движении по дороге, характеризующейся заданной спектральной функцией неровностей. Упрощенная расчетная схема автомобильного крана показана на рис. 5.13. Колебания в продольной плоскости возникают при одинаковом профиле дороги под левыми и правыми колесами. Различие в этом профиле вызывает колебания в поперечной плоскости. Вследствие линейности системы и симметрии конструкции эти виды колебаний можно рассматривать независимо.
Рис. 5.13. Схема автомобильного крана
Составим уравнения движения автомобиля, выбрав в качестве координат вертикальные перемещения переднего x1
120
Стр. 120 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |