Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част
..pdfм я( п ) < п г , |
(35) |
то состояние частицы прочно, а если для некоторого п - к
Мк(П )>П скг, |
(36) |
то происходит (при невыполнении условий устойчивости процесса закритической деформации, о чем будет сказано далее) разрушение “типа к” Стремление к учету хотя бы двух различных видов разрушения (например, от отрыва и от сдвига) приводит к необходимости рассмотрения не менее двух мер повреждений.
Для неупругих склерономных материалов при однократном нагруже нии критерий разрушения (36) эквивалентен одному из неравенств
|
Л {А 1),..,А т))* С п, |
(37) |
где |
— независимые инварианты тензора деформаций, Сп — констан |
|
ты материала, f n — некоторые универсальные функции. |
|
|
|
Для изотропных сред, не проявляющих деформационную анизотро |
|
пию, инвариантными мерами тензора Q являются функции к и g |
Допус |
тим, что существуют критические (соответствующие критическим состоя ниям материала) значения функций поврежденности при растяжении к*г ,
сжатии к ” и сдвиге |
g ^ , а критерии разрушения могут быть |
записаны |
следующим образом: |
|
|
® I (K ,K ^ ) = 0, |
Ф 2(к ,к ^ ) = 0, ® 3(g,g£r) = 0. |
(38) |
Если к и g являются функциями единственных аргументов: к(у|1)) и g(jg2)), то критериям (38) соответствуют условия прочности
7(1) > |
7 « - |
i ? < № . |
(39) |
J6 |
Jzcr 1 |
||
Простейшие условия критических состояний для трансверсально |
|||
изотропных и ортотропных сред записываются аналогично: |
|
||
>> = |
М |
К») - / « |
(40) |
'е |
-'е сг» |
ЛСГГ ' |
При этом используются наборы независимых инвариантов (20) и (33). Представляется целесообразным рассмотрение моделирования раз
рушения еще в одном аспекте, а именно, с точки зрения необходимости учета многостадийности процесса потери несущей способности и пригод
ности для описания этой особенности деформирования материалов также совокупности критериев.
Вследствие неоднородности напряженного состояния, что особенно характерно для композитов, в объеме деформируемого тела возникают зо ны, для которых не выполняются условия прочности. Ответить на вопрос, приведет ли разрушение микрочастицы к разрушению деформируемого те ла, можно, только описав процесс перераспределения напряжений и, воз можно, возникающего разрушения соседних частиц. Естественно, что для этого необходимо иметь данные или сделать предположения о том, какими свойствами обладает частица материала, разрушенная по некоторому ме ханизму. Возможно, в результате перераспределения напряжений эта час тица и далее будет вносить свой вклад в сопротивление внешней нагрузке.
Предположим, что разрушение по одному из критериев приводит к потере материалом способности сопротивляться воздействию лишь опре деленного вида, то есть к частичной потере несущей способности. Фор мально это может быть выражено в скачкообразном увеличении до едини цы некоторых компонент тензора поврежденности. Условием полной поте ри несущей способности элементарного объема материала будем считать удовлетворение всей совокупности критериев разрушения. Согласно этим предположениям тело, находящееся в условиях однородного напряженного состояния, может потерять способность воспринимать нагрузку, дейст вующую к моменту этой потери, в результате совершения одного или не скольких актов разрушения различных типов, не испытав, однако, полной потери несущей способности. Благодаря коллективному взаимодействию частиц структурно-неоднородного тела (или однородного в неоднородном поле напряжений) их прочностные ресурсы в некоторых случаях могут быть использованы более полно.
Схемы изменения характеристик поврежденности в зависимости от типа разрушения и соответствующие критерии частичной потери несущей способности для изотропных, трансверсально изотропных и ортотропных материалов приведены в таблицах 1,2 и 3.
Постановка краевой задачи для тела, при деформировании которого возможно появление зон разрушения, может быть облегчена, если в опре деляющих соотношениях явным образом учесть скачкообразное изменение деформационных свойств материала. С этой целью введем индикаторный тензор Р — тензор изменения деформационных свойств в критических по врежденных состояниях, компоненты которого могут скачком изменять свои значения от нуля до единицы в случае невыполнения соответствую щего условия прочности из совокупности.
Совокупность критериев разрушения и схема изменения характеристик изотропных сред
Вариант |
Механизм |
Критерий |
Поврежденность |
|||
|
|
|||||
|
разрушения |
|
|
|
к |
g |
1 |
сдвиг |
7(2) |
_ |
7(2) |
к 0 |
1 |
|
|
J Е |
|
JZCT> |
|
|
|
|
|
|
О V |
|
|
2 |
сдвиг |
7(2) |
= |
7(2) |
1 |
1 |
|
|
J z |
|
J z сг» |
|
|
|
|
|
|
о А |
|
|
3 |
сдвиг, |
7(2) |
_ |
7(2) |
к 0 |
1 |
|
отрыв |
J z |
|
J z z t * |
|
|
|
/(!) = |
/С) |
1 |
1 |
||
|
|
|||||
|
|
J z |
|
Jz сг |
|
|
Таблица 2
Совокупность критериев разрушения и схема изменения характеристик трансверсально-изотропных сред
Вари- |
Частичная потеря |
Критерий |
|
||
ант |
несущей |
|
|
|
|
|
способности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
1 |
от растяжения (сжа |
СП ^ |
II |
|
1 |
|
тия) вдоль слоев |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(поперек волокон) |
|
|
|
|
2 |
от растяжения (сжа |
/(2) |
= |
/(2) |
к 0 |
J z |
|
JzQT |
|||
|
тия) поперек слоев |
|
|
|
|
|
(вдоль волокон) |
|
|
|
|
3 |
от формоизменения |
/(3) _ |
/(3) |
1 |
|
J z |
|
JzQt |
|
||
|
в плоскости слоев |
|
|
|
|
|
(поперек волокон) |
|
|
|
|
4 |
от продольного |
.<*) = |
Д4) |
к0 |
|
Jz |
|
Jz С Г |
Поврежденность
ф |
$ |
p i |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
Pi |
|
|
|
||
1 |
4 ° |
1 |
|
|
|
||
1 |
1 |
о |
|
Ч .О |
|||
|
|
Рн
Рп
1
Рп
1
сдвига
Совокупность критериев разрушения и схема изменения характеристик ортотропных сред
Определяющие соотношения запишем в виде [9]:
Gij ~ Cjjkl{Jklmn ~ ^ klmn)(Jmnpq ~ ^mnpq
с использованием тензоров, описывающих деформационные свойства сре ды: упругие (тензор С), неупругие (тензор О ), а также и прочностные (тен зор Р). Для изотропного материала
Pijmn = P l M » + Ы 5Л»8;» + S/„6,m). |
= 3/7, +2 р2, g 1 =2Рг, |
ау = [з ^ (1 - к )(1 -к 1) ^ тл + 2 G ( l - g ) ( l - g ^ i/mn]Emn.
Индикаторные функции к 1 (к,g) и g^K .g) задаются с помощью обобщен ных функций и констант к^., к^. и .
Рассмотрим выражение для коэффициента Пуассона поврежденного материала, соответствующее данным уравнениям состояния:
Vdam 2АТ(1 - K)(l - к1) + 1 G(1 - g)(l - g 1)
Как видно, известным теоретическим пределам изменения коэффициента Пуассона от -1 до 0,5 [15] соответствуют значения к 1 =1 (при g 1 * 1 ) и g 1 = 1 (при к 1 *1). Если к 1= 1, то изменение объема тела не вызывает в нем напряжений, а при g 1 = 1 напряжения не сопровождают формоизме
нение.
Таким образом, коэффициент Пуассона можно рассматривать как па раметр, отражающий для данного материала соотношение двух свойств: сопротивляемости изменению объема и сопротивляемости формоизмене нию.
В дальнейшем функции K*(Kfg) и g ! (Kfg) будем задавать так, что бы коэффициент поперечной деформации изотропной среды был положи тельным, поскольку это в большей степени соответствует опыту.
6. Модели повреждения армированных монослоев
Идея моделирования разрушения по совокупности критериев присут ствует в схеме моделирования актов частичной потери несущей способно сти армированного монослоя, предложенной в работах [17, 30]. Армиро ванный монослой является элементом слоистой цилиндрической оболочки, полученной методом непрерывной нитяной намотки.
Состояние J-го монослоя в момент времени t будем характеризовать его напряженным состоянием:
Oj(t) = {в н )(0,вм(0.в12)(0 .} и = 1.2,...,п).
Соответствующие деформации находятся по формулам (материал слоев оболочки считается линейно-упругим вплоть до разрушения):
оО) - . 1 |
.(/) _ |
„о> |
_0) |
|
|
|
V12 |
|
|
||||
bi 1 — |
11 |
Е ? |
>22 > |
|
||
Е[п |
|
|||||
ЛП _ . |
(Л _ v2l |
aU) |
|
(42) |
||
622 =w ° 22 |
E[J) “ 11 |
’ |
||||
|
||||||
сО) _ . |
лп |
|
, 0) |
_ |
,СЛ |
|
|
Jn |
JL. |
||||
е 12 “ |
>12 . |
|
Е(2п |
|
E[j ) ' |
|
Gu |
|
|
|
Качество элементарного слоя характеризуется его способностью вос принимать напряжения. Эта способность может быть описана при помощи вектора
V , ( 0 = К 0 ) ( 0 , у[п ( О , Ал (0, у(4Л(0 }•
Компоненты вектора v y (f) определяются при помощи соотношений
Здесь E^\t) — модуль упругости в направлении армирования, E ^ it) —
модуль упругости в направлении, перпендикулярном направлению арми-
рования, G\j (О — модуль сдвига, vg> — коэффициент Пуассона, взятые в момент времени t ; /^ ( О ) , G [£(0) и — соответствующие упругие характеристики в начальный момент времени, т. е. в неповрежден ном состоянии.
Здесь мы будем рассматривать только внезапные изменения пара метра качества, при которых переход от исходного состояния к полной по тере способности воспринимать нагрузку в соответствующем направлении происходит за бесконечно малое время. При этом предположении компо ненты вектора v y (t) могут принимать только значения 0 или 1, т. е. не рас
сматриваются случаи, когда может происходить постепенное накопление повреждений, как это имеет место при циклическом или длительном на гружении, хотя излагаемая модель, вообще говоря, позволяет рассматри вать случаи постепенного снижения несущей способности элементов. Если ввести функции поврежденности ©у =1 - v y, то изменения деформацион
ных характеристик будут описываться соотношениями
Е[п (Г) = E[J)(0)[l - (й[л ], |
Е{л (0 = Е(Л(0)[ 1 - с4'> ], |
|
(44) |
Gg(ty=С7^(0)[1-ю^], |
vjf(/) = v^(0)[l-co^]. |
Переходы осуществляются тогда, когда параметры состояния, в дан ном случае напряженного состояния, достигают своих предельных значе ний, характеризуемых вектором
Здесь G* — пределы прочности при растяжении в на правлении армирования и перпендикулярно направлению армирования при температуре 7 ); a $ (T j ), су22](C J j) — соответствующие пределы прочно сти при сжатии; CTJ2у(7у) — предел прочности при сдвиге в плоскости сло ев. Температура в пределах монослоя принимается постоянной. В даль нейшем аргумент Гу в выражениях для компонент вектора а* будем опус кать, подразумевая, что они существенно зависят от температуры.
Вектор предельных значений параметров состояния а у определяется
из опытов на растяжение, сжатие и сдвиг, проводимых на однонаправленно армированных образцах при различных температурах. Составляющие век тора а у имеют значительный статистический разброс, и их следует рас сматривать как случайные величины, закон распределения которых счита
ется известным. Это же относится и к компонентам векторов
Еу(Г) = {E [j) ,Е[л , G $ , v $ } при г = 0.
В зависимости от напряженного состояния, возникающегоJ-м эле менте, могут реализовываться различные варианты изменения его несущей способности. Рассмотрим механизмы повреждения монослоя и соответст вующие соотношения между напряжениями.
1.Матрица разрушена от сдвигов, трещины закрыты. Это соответст вует следующему соотношению между напряжениями:
>a 12j Л а22 (*) < ® •
2.Матрица разрушена от сдвигов, трещины открыты:
|вц ( ф о и / л ® и (0 * 0 .
3. Матрица разрушена от растяжения в направлении, перпендикуляр ном направлению армирования:
СТ2;2)(0>®*22;)
4.Матрица разрушена от сжатия в направлении, перпендикулярном направлению армирования:
5.Несущая способность монослоя потеряна при сжатии в направле нии армирования, трещины закрыты:
ст11)(0|>стц ;лст22)( 0 < 0 -
6. Несущая способность монослоя потеряна при сжатии в направле нии армирования, трещины открыты:
|<Гп)(0|>о?пу) л а $ (/)> 0 .
7. Несущая способность слоя утрачена при растяжении вдоль воло
кон:
Каждому из рассмотренных случаев соответствует свой вариант из менения значений функций поврежденности и, соответственно, параметров качества. Эти варианты сведены в таблицу 4.
Таблица 4
Варианты изменения поврежденносги монослоя в зависимости от напряженного состояния
Качество оболочки в целом, т. е. ее способность воспринимать на грузки, будем характеризовать вектором
v ( 0 = { v e ( 0 > v f ) ( 0 , va p ( 0 } -
Компоненты вектора v определяются при помощи соотношений
gq(0 |
|
Г Л - М 1 |
, |
Gap(0 |
va ( 0 « |
Vp |
£ „(°У V“P ° |
Gap(O) |
|
Е*фУ |
Здесь Ea(t) — модуль упругости пакета в направлении образующей, E^(t)
— модуль упругости пакета в окружном направлении, Gap(f) — модуль сдвига пакета. Еа(0), Яр(0), Gap(0) — соответствующие эффективные
характеристики в неповрежденном состоянии. Модули упругости пакета определяются по известным упругим характеристикам монослоев [35].
Считается, что оболочка теряет несущую способность, если хотя бы одна из компонент вектора \(t) обращается в нуль, т. е. допустимая об ласть задается в виде:
V = { v ( 0 : Va (f ) > 0 Л V p(f) > 0 Л va p ( 0 > о }
Таким образом, рассмотрена следующая модель накопления повреж дений: в момент времени t под действием внешней нагрузки в элементах конструкции возникает состояние, характеризуемое вектором а у (/). Выход
составляющих вектора а у (/) из области допустимых значений приводит в
каждом элементе к одному из перечисленных выше способов изменения деформационных свойств, что вызывает перераспределение напряжений между элементами, возникновение в них нового состояния, которое приво дит к новым изменениям параметров качества элементов и системы в це лом. При исчерпании несущей способности конструкции этот процесс про должается вплоть до выхода вектора v(f) из допустимой области V