Методы вычислительной математики
..pdfонно под сплайном понимают интерполяцию табличной функции с помощью отрезков кубического полинома.
4.2.1. Построение кубического сплайна
Пусть на отрезке [a,b] определена сеточная область Ωm с неравноотстоящими узлами a = x0 < x1 <…< xm = b , в которых известны табличные значения
функции f (xk )= fk , |
k = |
|
. Сплайн S(x) |
|
должен удовлетворять следующим |
|||||||||||||||
0,m |
||||||||||||||||||||
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) на каждом сегменте [xk−1, xk ], k = |
|
является кубическим полиномом; |
||||||||||||||||||
1,m |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
||||||
б) непрерывен на [a,b] вместе с производными Sx (x) |
и Sxx (x); |
|
|
|
||||||||||||||||
в) совпадает со значениями f (xk ) аппроксимируемой функции в узлах сетки. |
||||||||||||||||||||
Сплайн S(x) на каждом сегменте [xk−1, xk ]отрезка [a,b] строится в виде |
||||||||||||||||||||
Sk (x) = ak + bk (x − xk )+ ck (x − xk )2 2 + dk (x − xk )3 6, |
k = |
|
; |
|
|
(4.8) |
||||||||||||||
1,m |
||||||||||||||||||||
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяются первая Sx (x) и вторая Sxx (x) производные |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Sk′, x (x) = bk + ck (x − xk )+ dk (x − xk )2 2 , |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Sk′′,xx (x) = ck + dk (x − xk ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
которые для двух «соседних» сплайнов Sk (x) и Sk+1 (x) в общей точке xk |
долж- |
|||||||||||||||||||
ны удовлетворять условию б: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Sk (xk )= Sk +1 (xk ), |
Sk′,x (xk )= Sk′+1,x (xk ), |
Sk′′,xx (xk )= Sk′′+1,xx (xk ), k = |
|
|
|
|
||||||||||||||
1,m −1. |
||||||||||||||||||||
Отсюда получается система линейных алгебраических уравнений (условия |
||||||||||||||||||||
непрерывности сплайна и его производных): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ak = ak+1 + bk+1 (xk − xk+1 )+ ck+1 (xk − xk+1 )2 2 + dk+1 (xk − xk+1 )3 6, k = |
|
|
||||||||||||||||||
1, m −1, |
||||||||||||||||||||
bk = bk+1 + ck+1 (xk − xk+1 )+ dk+1 (xk − xk+1 )2 2, k = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1,m −1, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ck = ck +1 + dk+1 (xk − xk+1 ), k = |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
1,m −1 |
|
|
|
||||||||||||||||
И наконец, условия в дают уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Sk (xk ) = ak = fk , |
|
k = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вводится обозначение: hk+1 = xk +1 − xk |
– длины отрезков. Предыдущие вы- |
ражения можно записать в виде общей системы линейных алгебраических
уравнений относительно искомых коэффициентов ak , bk , ck , dk , |
k = |
|
: |
||||||||||||||||||
1,m |
|||||||||||||||||||||
a |
|
= a |
|
− b |
h |
+ c |
|
h |
2 |
2 − d |
h |
3 6, k = |
|
|
(4.9) |
||||||
k |
k+1 |
k+1 |
1,m −1, |
||||||||||||||||||
|
|
k+1 |
k+1 |
|
k+1 |
|
|
|
k+1 k +1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
b |
= b |
− c |
h |
+ d |
|
h |
2 |
2, |
k = |
|
, |
(4.10) |
||||||
|
|
|
|
1,m −1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
k |
k +1 |
|
k+1 |
k+1 |
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
ck = ck+1 − dk+1hk+1, k = |
1,m −1 |
, |
(4.11) |
||
ak = fk , k = |
|
. |
(4.12) |
||
1,m |
Система (4.9)–(4.12) содержит 4m – 3 уравнения с 4m неизвестными. Кроме того, для точки x0 = a имеет место соотношение
S1 (x0 )= a1 + b1 (x0 − x1 )+ c1 (x0 − x1 )2 2 + d1 (x0 − x1 )3 6 = f0 .
Используя соотношения (4.12), в последнем выражении и уравнениях (4.9)
можно исключить неизвестные ak , |
k = |
|
|
, а сами уравнения записать в форме |
|||||||||||||||
1,m |
|||||||||||||||||||
f |
|
= f |
|
− b |
h |
+ c |
|
h |
2 |
2 − d |
|
h3 |
6, k = |
|
. |
(4.13) |
|||
k |
k+1 |
k+1 |
k+1 |
0,m −1 |
|||||||||||||||
|
|
k+1 |
k+1 |
|
k+1 |
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|||||
В результате получена система 3m – 2 уравнений (4.10), (4.11) и (4.13), со- |
|||||||||||||||||||
держащая 3m неизвестныхbk , ck , dk , |
k = |
|
. Для «замыкания» |
этой системы |
|||||||||||||||
1,m |
|||||||||||||||||||
уравнений следует принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.14)
(4.15)
что соответствует «нулевым» кривизнам в начальной и конечной точках отрезка [a,b], то есть «свободным» концам сплайна. Возможны и иные условия для замыкания системы уравнений, например задание значения производной (наклона касательной) в конечной и/или начальной точках и некоторые другие. Условие (4.14) с помощью выражения (4.8) удобно представить в форме
S1′′,xx (x0 )= c1 − d1h1 = 0 ,
а формулу (4.15) – в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
(xm )= cm = 0 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sm,xx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
что позволяет переписать уравнения (4.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
dk hk |
= ck |
|
− ck−1, |
|
k = |
|
, |
|
c0 = 0, |
|
cm = 0. |
|
(4.16) |
|||||||||||||||||
|
|
1,m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
В итоге получена система 3m + 1 уравнений (4.10), (4.13), (4.16), содержа- |
||||||||||||||||||||||||||||||
щих 3m + 1 неизвестную величину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Рассматриваются два уравнения вида (4.13): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
b h |
|
|
= ( f |
k |
− f |
k−1 |
)+ c |
h |
2 2 − d |
h3 6, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
k |
k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h |
|
|
= ( f |
|
|
|
− f |
|
)+ c |
h2 |
|
2 |
− d |
h3 |
; |
|||||||||||
|
b |
+1 |
|
|
k |
+1 |
k |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
|
k+1 |
k+1 |
, |
|||||||
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = ( f |
k |
− f |
k−1 |
) h |
|
+ c |
h 2 − d |
|
h |
2 6, |
|
|
||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k k |
|
|
k k |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
( f |
|
|
− f |
|
) |
h |
|
+ c |
|
h |
|
2 |
− d |
|
h2 |
6. |
||||||||||
b |
+1 |
k+1 |
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
k+1 |
k+1 |
|
102
Полученные выражения для bk и bk+1 подставляются в уравнения (4.10):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
h |
−d |
|
|
h2 |
|
2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ( f |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
k+1 |
− f |
k |
h |
|
− ( f |
k |
− f |
k−1 |
) |
|
h + c |
|
|
h |
+1 |
2 − d |
|
|
h2 |
|
|
6 − c h 2 + d |
h2 |
2 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k+1 k |
|
|
k +1 k+1 |
|
|
|
k k |
k k |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
h |
+1 |
|
+ c h − 2d |
|
h2 |
|
3 − d |
h |
2 3 = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k+1 k |
|
|
|
k k |
|
|
k |
+1 k+1 |
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2[( fk+1 − fk ) hk+1 − ( fk − fk−1 ) hk ], k = |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,m −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы (4.16) позволяют получить выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
h2 |
= |
(c |
k |
− c |
k |
−1 |
)h , |
|
d |
|
h2 |
|
= (c |
k+1 |
− c |
k |
)h |
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k+1 k+1 |
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
благодаря чему предыдущее выражение преобразуется к виду |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ck+1hk+1 + ck hk − 2(ck +1 − ck |
|
)hk +1 3 − (ck − ck−1 )hk 3 = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2[( fk +1 − fk ) hk +1 − ( fk − fk −1 ) hk ], k = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, m −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Приведение подобных слагаемых и учет условий (4.14) и (4.15) приводит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к выражениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ck |
−1hk +2ck (hk +hk+1 )+ck+1hk+1 = 6[( fk+1 − fk ) hk+1 −( fk − fk−1 ) hk ], |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.17) |
c |
= |
0, c |
m |
= 0, k = |
1,m −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов. После решения системы уравнений (4.17)
и определения всех величин ck , |
k = |
|
определяются искомые коэффициенты |
||||||
0,m |
|||||||||
сплайнов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk = (ck − ck−1 ) hk , |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak = fk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= c h 2 − d |
h2 |
6 + ( f |
|
− f |
|
) |
h , k =1,m. |
|
b |
k |
k−1 |
|||||||
k |
k k |
k k |
|
|
|
|
k |
4.2.2. Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
Необходимо убедиться, что при увеличении числа m узлов на отрезке [a,b] последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции. Для упрощения рассматривается последовательность сеток с равномерным расположением узлов,
Ωm = {xk = a + hk, k = 0,m}, h = (b − a)m,
что приводит систему уравнений (4.17) к более простому виду:
|
|
−1 |
+ |
4ck |
+ |
ck+1 |
= |
6( fk−1 |
− |
2 fk |
+ |
fk+1 ) h |
2 |
, k |
= |
1,m |
− |
1, |
ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= 0, c |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
Предполагается, что аппроксимируемая функция f (x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть f C[4a,b], а также имеют место равенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxx (a) |
= 0, fxx (b) = 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводятся обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
g |
|
|
|
|
|
[a,b |
] |
= max |
|
g(x) |
|
– чебышёвская норма на отрезке [a,b], |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ϕ |
|
|
|
|
|
Ωm |
= max |
|
ϕ(xk ) |
|
– чебышевская норма на сеточной области Ωm , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 – |
разностный аналог второй |
производной |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
fk′′,xx = ( f (xk −1 ) − 2 f (xk ) + f (xk +1 )) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аппроксимируемой функции f |
(x) в узле xk, |
|||||||
M 4 = |
|
fxxxxiv |
|
|
|
[a,b] |
– оценка четвертойпроизводнойаппроксимируемой функции– |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
приводящие систему уравнений (4.17) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
= |
′′ |
= |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
4ck |
ck+1 |
1,m |
− |
1, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ck |
|
|
|
6 fk ,xx , k |
|
|
(4.18) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
c |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 4.1. Для всех f (x) C[4a,b] справедлива оценка:
fxx′′ − Sxx′′ Ωm ≤ 3M 4h2 4.
Доказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области необходимо проверить точки xk , для которых Sxx′′ (xk )= ck . Погрешность
аппроксимации определяется разностью
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,m . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk = ck − fxx (xk ), k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Для k = 0 и k = m, в частности, z0 = zm = 0 . Уравнения (4.18) в новых пере- |
|||||||||||||||||||||||||
менных принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
= |
′′ |
− |
′′ |
|
+ |
′′ |
+ |
|
|
|
′′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
4zk |
zk+1 |
|
|
|
|
1,m |
− |
1, |
||||||||||||||||
zk |
|
|
|
6 fk ,xx |
|
[fxx (xk−1 ) |
|
4 fxx (xk ) |
|
|
|
fxx (xk+1 )], k |
|
|
||||||||||||
|
|
= 0, |
z |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.19) |
|||
z |
0 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вводится обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψk = 6 fk ,xx |
− [fxx (xk−1 )+ 4 fxx (xk ) + fxx (xk+1 )]= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=6 [fk ,xx |
− fxx (xk )]− |
[fxx (xk−1 ) + 4 fxx (xk ) + |
fxx |
(xk +1 )]+ 6 fxx (xk )= |
|
(4.20) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
′′ |
−1 ) |
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= 6[fk,xx − fxx (xk )]−[fxx (xk |
−2 fxx (xk )+ fxx (xk+1 )]= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
′′ |
|
|
′′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6[fk ,xx − fxx (xk )] |
− ( fxx )k ,xx h |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
104
причем |
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
( fxx )k ,xx = [fxx (xk −1 )− 2 fxx (xk )+ |
fxx (xk+1 )] |
h |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
– разностный аналог второй производной |
|
′′ |
(xk ). Использование формулы |
|||||||||||
fxx |
||||||||||||||
Тейлора для функции |
f (x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (xk +1 )= f (xk ) |
′ |
(xk ) + h |
2 |
′′ |
2 |
+ h |
3 |
′′′ |
6 |
+ h |
4 |
iv |
24 , |
|
+ hfx |
|
fxx (xk ) |
|
fxxx (xk ) |
|
fxxxx (ξ) |
||||||||
f (xk−1 )= f (xk ) |
′ |
(xk ) + h |
2 |
′′ |
2 |
− h |
3 |
′′′ |
6 |
+ h |
4 |
iv |
24, |
|
− hfx |
|
fxx (xk ) |
|
fxxx (xk ) |
|
fxxxx (ζ) |
ξ (xk , xk +1 ), ζ (xk −1 , xk ),
и для ее второй производной |
′′ |
|
|
||
fxx (x), |
|
|
|||
′′ |
′′ |
′′′ |
2 |
iv |
|
fxx (xk+1 )= fxx (xk )+ hfxxx (xk ) + h |
|||||
|
fxxxx (η) |
||||
′′ |
′′ |
′′′ |
2 |
iv |
|
fxx (xk−1 )= fxx (xk )− hfxxx (xk ) + h |
|||||
|
fxxxx (ϑ) |
2, η (xk , xk+1 ), 2, ϑ (xk−1, xk ),
позволяет оценить погрешность разностных аппроксимаций производных:
fk′′,xx
( fxx′′ )k ,xx =
= [h |
2 |
′′ |
|
4 |
|
iv |
24 + h |
4 |
iv |
24] h |
2 |
= |
|
fxx (xk ) + h |
|
fxxxx (ξ) |
|
fxxxx (ζ) |
|
||||||
|
|
′′ |
|
|
2 |
iv |
iv |
|
|
|
|
|
|
= fxx (xk )+ h |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
[fxxxx (ξ)+ fxxxx (ζ)] 24 |
|
|
||||||||
[h2 fxxxxiv (η) |
2 + h2 fxxxxiv (ϑ) |
2] h2 |
= [fxxxxiv (η)+ fxxxxiv (ϑ)] 2 . |
После подстановки полученных выражений в формулу (4.20)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψk |
≤ 6 |
|
|
|
fk ,xx − fxx (xk ) |
+ |
|
( fxx )k ,xx h |
2 |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
≤ h2 |
|
|
fxxxxiv |
(ξ) |
|
|
|
|
|
|
4 + h2 |
|
|
|
fxxxxiv (ζ) |
|
|
|
|
|
4 + h2 |
|
|
|
fxxxxiv |
(η) |
|
|
|
2 + h2 |
|
fxxxxiv (ϑ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– получается оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
|
|
Ωm |
|
|
= max |
|
ψk |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
≤ h2 max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
f iv |
|
(ξ) |
|
|
|
|
|
+ max |
|
f iv |
|
|
(ζ) |
|
|
|
+ 2max |
|
f iv |
|
(η) |
|
+ 2max |
|
|
|
f iv |
|
(ϑ) |
|
4= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ξ Ωm |
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ Ωm |
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η Ωm |
|
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ Ωm |
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6h2 |
|
|
|
f iv |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ≤ 3h2 |
|
f iv |
|
|
|
|
|
[a,b] |
2 = 3M |
4 |
h2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
|
|
Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Из формул (4.19) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4zk = ψk − zk+1 − zk−1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
zk |
|
≤ |
|
ψk |
|
+ |
|
zk |
+1 |
|
+ |
|
zk−1 |
|
≤ max |
|
ψk |
|
|
|
|
+ max |
|
zk+1 |
|
|
+ max |
|
zk−1 |
|
|
|
= |
|
|
|
ψ |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
z |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ωm |
105
Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области Ωm ,
она справедлива и в точке, где |
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
достигает максимума, то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
|
Ω |
m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
z |
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
ψ |
|
|
|
Ω |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
z |
|
|
|
Ω |
, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ≤ 3M |
4 |
h2 4, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
откуда следует утверждение леммы 4.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 4.3. Для любой функции f C[4a,b] справедливы оценки: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f − S |
|
|
|
[a,b] |
|
|
≤ M 4 h4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f ′− S′ |
|
|
|
[a,b] ≤ M 4 h3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
fxx − Sxx |
|
|
|
|
[a,b] ≤ M |
|
4h |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Доказательство. |
Рассматривается |
|
|
|
|
произвольный отрезок [xk−1, xk ], |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = |
|
. Определение сплайна (4.8), а также формулы (4.11) дают |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Sk′′,xx (x) = ck + dk (x − xk )= ck + (ck − ck−1 )(x − xk ) h = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ck (x − xk −1 ) h + ck −1 (xk − x) h, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
Sk′′,xx (x) = αck + (1 − α)ck−1 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с использованием обозначений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α = (x − xk−1 ) h, 0 ≤ α ≤1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Справедливо следующее тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]}+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|||||
|
|
fxx (x) − Sxx (x)={α[fxx |
(xk ) − ck ]+ (1 − α)[fxx (xk−1 )− ck−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
(xk |
)]+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
(4.24) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ {α[fxx (x)− fxx |
|
|
|
|
(1 − α)[fxx (x)− fxx (xk−1 )]}. |
|
Оценка первого слагаемого в правой части (4.24):
α[ fxx′′(xk ) −ck ]+ (1−α)[ fxx′′(xk−1) −ck−1 ] ≤ α fxx′′(xk ) − ck + (1−α) fxx′′(xk−1) − ck−1 ≤
≤ αmax |
|
′′ |
|
|
+ (1 − α)max |
|
|
′′ |
(x)− ck−1 |
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
fxx (xk )− ck |
|
fxx |
|
|
|||||||||||
|
xk Ωm |
|
′′ |
|
+ (1 − α) |
′′ |
xk Ωm |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
2 |
|
||||||||
= α |
fxx − Sk ,xx |
Ω |
m |
fxx − Sk−1,xx |
Ω |
≤ 3M 4h |
|
4 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
106
Для оценки второго слагаемого используется формула Тейлора
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
iv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxx (xk )= |
fxx (x)+ (xk |
− x)fxxx (x)+ (xk |
|
|
|
|
|
) |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
− x) |
fxxxx (ξk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
iv |
|
|
) |
2, |
ξk ,ζk (xk−1, xk ). |
||||||||||||||
|
fxx (xk−1 )= fxx (x)+ (xk−1 − x)fxxx (x)+ (xk−1 − x) |
fxxxx (ζk |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Отсюда получаются соотношения для разностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
iv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxx (x)− fxx (xk )= (x − xk )fxxx (x)− (xk |
|
|
|
(ξk |
) |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x) |
fxxxx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
iv |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
fxx (x) − fxx (xk−1 )= (x − xk−1 )fxxx (x)− (xk−1 − x) |
fxxxx (ζk ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Второе слагаемое в правой части формулы (4.24) преобразуется к виду |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α[fxx |
(x) − fxx (xk )]+ |
(1 − α)[fxx (x)− fxx (xk−1 )]= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= α (x − x |
|
)f |
|
|
|
|
′′ |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
)f |
′′ |
(x)−(x − x) f |
|
|
(ζ ) 2 = |
||||||||||||||||
|
′′′ |
(x)−(x − x) f |
|
(ξ ) 2 +(1−α)(x − x |
|
|
′′′ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
iv |
|
|
|
|
] |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
iv |
|
|
|
] |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= f |
|
|
|
|
k |
|
xxx |
|
|
k |
|
|
xxxx k |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
k−1 xxx |
|
|
|
k−1 |
|
|
|
) f |
xxxx |
|
k |
|||||||||||
|
|
(x)[α(x − x )+(1−α)(x − x )]− α(x − x |
|
) |
|
|
(ξ )+(1−α)(x − x |
|
|
|
|
(ζ ) 2 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
[ |
|
|
|
k |
2 |
|
|
iv |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
2 |
iv |
|
|
k |
] |
|
|
xxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
||||||||||||
= f |
′′′ |
(x)[(1 − α)αh − (1 − α)αh]− αh (1 − α) f |
|
|
(ξ ) + (1 − α)α h f |
|
(ζ ) 2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
iv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
iv |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
xxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xxxx |
|
k |
|
|
= −αh2 (1 − α)[(1 − α)fxxxxiv (ξk ) + αfxxxxiv (ζk )]2 .
Выполняется оценка
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
≤ |
||||
|
|
|
|
α[fxx (x) |
− fxx (xk )]+(1−α)[fxx |
(x)− fxx (xk−1 )] |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
≤ αh2 (1 − α) (1 − α) |
|
|
|
fxxxxiv |
(ξk ) |
|
+ α |
|
fxxxxiv (ζk ) |
|
|
2 ≤ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ M 4αh2 (1 − α) 2 ≤ M 4h2 8 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
При выводе последнего соотношения учтено, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
max |
|
f iv |
(x) |
|
≤ max |
|
f iv |
(x) |
|
= M |
4 |
, |
α(1 − α)≤1 4 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x [xk −1 ,xk ] |
|
xxxx |
|
|
x [a,b] |
|
xxxx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Оценивается левая часть тождества (4.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [xk−1, xk ]. (4.25) |
||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
fxx (x)− Sk (x) |
≤ 3M |
4h |
2 |
4 + M 4h |
2 |
|
|
|
8 = 7M 4h |
2 |
8 |
≤ M 4h |
2 |
, |
||||||||||||||||||||||
|
Поскольку выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
использовать для оценки погрешности |
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
(x) |
|
на всем рассматриваемом |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
fxx (x) − Sxx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке [a,b]: |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′′ |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ M 4h . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxx (x)− Sxx |
|
|
|
|
|
|
Отсюда получается
f ′′ |
− S′′ |
|
|
|
[a,b] |
= max |
|
f ′′ |
(x) − S′′ |
(x) |
|
≤ M |
|
h2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xx |
xx |
|
|
|
x [a,b] |
|
xx |
xx |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть утверждение (4.23) теоремы.
107
Для доказательства соотношения (4.22) на отрезке [xk−1, xk ]вводится вспомогательная функция r(x)= f (x)− Sk (x). Согласно определению сплайна, r(xk−1 )= r(xk )= 0 . Но тогда, в соответствии с теоремой Ролля1, существует хотя бы одна точка ξ [xk−1, xk ], rx′(ξ)= 0 . В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно выполнить оценку
rx′(x) = rx′(x)− rx′(ξ) = rxx′′ (ζ)(x − ξ) ≤ rxx′′ (ζ)h ,
откуда с учетом соотношения (4.25) получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
≤ |
|
′′ |
′′ |
|
|
|
h ≤ M 4h |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
fx |
(x) − Sk ,x (x) |
|
|
fxx (ζ)− Sk ,xx (ζ) |
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку это |
неравенство |
|
|
|
справедливо на |
любом отрезке [xk−1, xk ], с его |
||||||||||||||||||||
помощью можно получить утверждение (4.22) |
теоремы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
f |
′ − S′ |
|
|
|
[a,b] |
= max |
|
f ′(x) − S′ |
|
(x) |
|
≤ M |
|
h3 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
x [a,b] |
|
|
x |
k |
,x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для получения последнего утверждения (4.21) на отрезке [xk−1, xk ] строится функция
g(t)= f (t) − Sk (t)− K(t − xk −1 )(t − xk ).
Из условия обращения этой функции в нуль в произвольно выбранной точ-
ке x [xk−1, xk ]
g(x) = f (x) − Sk (x) − K(x − xk−1 )(x − xk )= 0
определяется значение константы
K = [f (x) − Sk (x)](x − xk −1 )(x − xk ).
Очевидно, что теперь
g(x)= g(xk )= g(xk−1 )= 0 .
|
|
′′ |
Это означает, что существует хотя бы одна точка ξ [xk−1, xk ], gxx (ξ) = 0. |
||
Отсюда следует: |
|
|
′′ |
′′ |
′′ |
gxx (ξ) = fxx (ξ) − Sk ,xx (ξ)− 2K = 0 ,
fxx′′(ξ)− Sk′′,xx (ξ)= 2K = 2[f (x) − Sk (x)](x − xk−1 )(x − xk ), f (x) − Sk (x) = [fxx′′(ξ)− Sk′′,xx (ξ)](x − xk−1 )(x − xk )2 .
1 Ролль Мишель [21.4.1652 – 8.11.1719] – французский математик. С 1685 года является членом Парижской академии наук.
Теорема Ролля [2]: если функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [a,b], дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах интервала равные значения, то существует хотя бы одна точка ξ [a,b], f ′(ξ) = 0 .
108
Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки x [xk−1, xk ]:
f(x)− Sk (x) = fxx′′(ξ)− Sk′′,xx (ξ)(x − xk−1 )(x − xk )2 ≤
≤M 4h2 (x − xk−1 )(x − xk )2 ≤ M 4h4 8.
Здесь учтено, что
|
|
|
max |
|
(x − xk−1 )(x − xk ) |
|
= h2 |
4 . |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x [xk −1 ,xk ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку последнее неравенство справедливо для любого x [xk−1, xk ], |
|||||||||||||
отсюда следует выражение (4.21) теоремы: |
|
||||||||||||
|
f − S |
|
[a,b] |
= max |
|
f (x)− Sk (x) |
|
≤ M 4h4 |
8 ≤ M 4h4 , |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x [a,b] |
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
4.3. Наилучшее приближение в гильбертовом1 пространстве
Рассматривается линейное нормированное пространство H, в котором задана конечная система линейно-независимых элементов ϕk H , k = 0,m. Требуется заменить элемент f H линейной комбинацией
m |
|
ϕ = c0ϕ0 + c1ϕ1 +…+ cmϕm = ∑ck ϕk , |
(4.26) |
k=0
где ϕ – обобщенный полином. Задача о наилучшем приближении заключается в поиске среди множества линейных комбинаций вида (4.26) такой, для кото-
|
|
m |
|
|
рой отклонение |
f |
− ∑ck ϕk |
было бы наименьшим. Такой элемент (обобщен- |
|
|
|
k=0 |
|
|
~ |
|
m ~ |
является элементом наилучшего приближения. Для |
|
ный полином) ϕ = |
∑ck ϕk |
k=0
построения элемента наилучшего приближения в гильбертовом пространстве H определяется норма,
1 Гильберт Давид [23.1.1862 – 14.2.1943] – немецкий математик, иностранный членкорреспондент (1922) и иностранный почетный член (1934) АН СССР. Окончил Кенигсбергский университет. В 1893–95 годах – профессор этого же университета. С 1895 по 1930 год – профессор Геттингенского университета. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики: теорию инвариантов, теорию алгебраических чисел, основания геометрии, вариационное и дифференциальное исчисление, интегральные уравнения, основы математической физики, логические основы математики. В 1904 году Гильберту присуждена международная премия имени Н.И. Лобачевского.
109
|
|
= ( f , f )1H2 |
b |
1 2 |
|
f |
H |
= ∫ f 2 |
(x)dx |
, |
|
|
|
|
a |
|
|
порожденная скалярным произведением
( f , g)H = ∫b f (x)g(x)dx .
a
Рассматривается отклонение приближения (4.26) от элемента f:
|
|
|
|
2 |
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
f − ϕ |
|
|
|
H |
= |
f − ∑ck ϕk , f − ∑c j ϕj |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k=0 |
j=0 |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
m |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
∑ck ϕk , |
f |
|
|
∑ck ϕk , |
|
|
= |
(4.27) |
|||||||||||
= ( f , f )H − |
f , ∑c j ϕj |
+ |
∑c j ϕj |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
H |
k=0 |
H |
|
k=0 |
j=0 |
H |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
f |
|
|
|
2H − 2∑ck ( f , ϕk )H + |
∑ck c j (ϕk , ϕj )H . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
k , j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вводятся обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A – матрица с компонентами akj = (ϕk , ϕj )H , |
|
k, j = |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0,m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
c – вектор коэффициентов {c0 , c1,…, cm }T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
fˆ – вектор {f0 , |
f1,…, |
fm }T , fk = ( f , ϕk )H , k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0,m |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Скалярное произведение векторов определяется обычным образом: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u,v)= ∑uk vk , u,v Rm+1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь выражение (4.27) можно представить следующим образом: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
− ϕ |
|
2H = (Ac,c)− 2( fˆ,c)+ |
|
|
|
|
f |
|
|
|
2H . |
|
|
|
(4.28) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
что поиск элемента ϕ H наилучшего приближения сводится |
|||||||||||||||||||||||||
теперь к поиску минимума функционала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(c) = (Ac,c) − 2( fˆ,c), |
|
|
|
|
|
|
|
(4.29) |
|||||||||
поскольку слагаемое |
|
f |
|
|
|
2H в выражении (4.28) от параметров ck , k = |
|
не за- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0,m |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
висит. Матрица A симметрична, поскольку akj |
= (ϕk ,ϕj )H = (ϕj ,ϕk )H |
= a jk . Если |
|||||||||||||||||||||||
положить f = 0, то из соотношения (4.28) следует: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ac,c)= |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
2 ≥ 0 c Rm+1 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если для |
какого-либо |
элемента c′ Rm+1 |
имеет |
место |
|
равенство |
|||||||||||||||||||
′ ′ |
) = 0 , |
то |
|
|
|
|
|
из |
равенства |
|
ϕ |
|
2 |
следует, |
что |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(Ac ,c |
|
|
|
|
|
|
|
H = 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110