Методы и модели в экономике Часть 1

Выделив произвольный фрагмент территории города R (рис. 2), можно аналитически получить суммарный средневзвешенный объем долей транспортных корреспонденций, проходящих через выделенную территорию. На рис. 2 эта территория представлена в виде выпуклого пятиугольника. В дальнейшем такой фрагмент территории будем называть областью исследования.

lijlij

Рис. 2. Область исследования в виде выпуклого пятиугольника

На рис. 2 обозначено: kij – объем корреспонденций из i -го района в j -й; lij – доля транспортных корреспонденций i -го района в j -й, проходящих через область исследования.

Город разделен на n транспортных районов. Пусть T – множество точек координат центров тяжести (центров притяжения) транспортных районов города, T t1,t2 , ..., tn . Координаты центров районов:

51

Известна матрицакорреспонденциймеждурайонами города:

где kij – объем корреспонденций из i -го района в j -й за сутки.

Требуется отыскать предельную теоретически возможную загрузку произвольно заданных выпуклых областей на территории города движением моторизованного транспорта. Количество областей исследования обозначим E .

Пусть область задана выпуклым многоугольником r, образованным m вершинами. Известны координаты вершин многоугольника:

Задача сводится к отысканию суммы долей всех корреспонденций, проходящих через заданную (исследуемую) область при наличии идеального (полного) транспортного предложения.

Аналитическое решение задачи потребует функционального описания модели транспортного спроса. Для этого построим уравнения прямых, которые соединяют центры районов, и запишем их с помощью 3 матриц следующим образом:

52

ctij yti xtj xti ytj .

Аналогично, в матричном виде представим исследуемую выпуклую область. Для чего построим уравнения прямых, задающих выпуклый многоугольник:

Ar x Br y Cr 0 ,

bri xri xri 1 ,

cri yri xri 1 xri yri 1 .

Для xrm 1 и yrm 1 взять значения xr1 и yr1 соответственно.

После чего сформируем матрицу длин отрезков прямых, соединяющих центры районов, входящих в заданный выпуклый многоугольник:

53

Элементы матрицы L представляют собой долю всех корреспонденций, проходящих через область исследования. Кроме того, при формировании матрицы важно учесть то, как проходит каждая корреспонденция через исследуемую область: транзит; въезд/выезд; корреспонденции внутри области. Проиллюстрируем это на рис. 3.

l3 D

r

Рис. 3. Исследуемая область. Типы прохождения корреспонденций (маршруты корреспонденций)

Через область проходят маршруты, соединяющие центры транспортных районов: A, B, C, D. Возможны три типа прохождения маршрута через исследуемую область r:

1-й тип (А – В) – транзит – маршрут пересекает границы исследуемой области в двух точках;

2-й тип (В – С) – въезд/выезд – маршрут пересекает границы исследуемой области в одной точке;

3-й тип (C – D) – внутри области – маршрут не пересекает границы исследуемой области, а центры находятся внутри области.

Обозначим:

s 1,2,3 – тип прохождения маршрута через область исследования;

l1 – длина отрезка в области для 1-го типа (км); l2 – длина отрезка в области для 2-го типа (км);

54

l3 – длина отрезка в области для 3-го типа (км);

lrs – сумма длин отрезков, находящихся в области r, типа s

(км). r 1, 2, , E ; s 1,2,3 .

Подробно рассмотрим методику определения суммы долей всех корреспонденций, проходящих через область исследования ( lrs ) и определения транспортной зависимости области ( Grs ) с

учетом типа прохождения маршрута, где r – номер области исследования, s – тип прохождения маршрута.

Для этого найдем точки пересечения поочередно для прямых, соединяющих центры районов At x Bt y Ct 0, с каж-

дой прямой, проходящей через стороны выпуклого многоугольника Ar x Br y Cr 0 . Проверим, принадлежат ли получен-

ные точки пересечения прямых отрезкам, которые являются сторонами выпуклого многоугольника и отрезкам, которые соединяют центры транспортных районов. В случае, когда точка принадлежит обоим отрезкам, точка фиксируется [5].

При анализе общего количества полученных фиксированных точек, возможны три случая:

1)ни одной фиксированной точки;

2)только одна фиксированная точка;

3)две фиксированные точки. Рассмотрим эти случаи более подробно.

Случай 1: ни одной фиксированной точки, то осуществля-

ется проверка принадлежат ли одновременно центры i-го и j-го районов области выпуклого многоугольника. Это означает, что центры транспортных районов находятся внутри области, 3-й тип прохождения маршрута через область r. Тогда lij (доля

проверка принадлежности центров i-го или j-го районов области выпуклого многоугольника. Если один из центров районов при-

55

надлежит области выпуклого многоугольника, то это второй тип прохождения маршрута через область (въезд/выезд). Тогда lij

суммируется в lr 2 ; kij lij суммируется в Gr 2 .

Случай 3: две фиксированные точки xp1, yp1 и xp2 , yp2 .

Это первый тип прохождения маршрута через область (транзит). Тогда lij суммируется в lr1 ; kij lij суммируется в Gr1 .

Таким образом, исследуются все маршруты, проходящие через выделенную для исследования область r.

Итоговый расчет транспортной зависимости области:

Gr Gr1 Gr 2 Gr3 ,

где Gr транспортная зависимость области (чел·км в сутки);

Grs kij lij ,

где kij – значение элемента матрицы (объем) корреспонденций

между i-м и j-м транспортными районами,

lij – доля корреспонденции между i-м и j-м транспортными

районами, попадающая в исследуемую область r. Практический смысл найденного параметра Gr заключает-

ся в том, что найденная величина для каждого конкретного участка территории города будет определять целесообразность и виды возможных административных (управленческих) ограничений на доступ к участкам улично-дорожной сети (УДС) внутри данной территории. Чем больше величина Gr , тем

больше транспортная нагрузка в рассматриваемой области, и наоборот. Анализ этого параметра позволит, в качестве локальной задачи например, дать теоретическое обоснование закрытия (ограничения) доступа к участкам УДС центральных районов городов. И вообще любых городских территорий произвольных размеров и конфигурации [6, 7].

56

Очевидно, что области, отстоящие на малое расстояние от геометрического (или средневзвешенного по какой-либо городской структуре) центра будут иметь большие показатели транспортной зависимости. И чем далее от этого центра, тем меньшие значения транспортной зависимости. Понятно, что реализовать весь транспортный спрос на транспортно зависимых территориях не удастся в силу территориальных, временных и экологических ограничений.

Важнейшим ограничивающим условием транспортного движения в городе являются территориальные ограничения, накладываемые на систему существующей городской застройкой.

В дальнейшем будем рассматривать три способа перемещения по исследуемой области:

1-й способ – пешком; 2-й способ – на общественном транспорте (ОТ);

3-й способ – на индивидуальном транспорте (ИТ). Предлагаемый подход можно также использовать и при

рассмотрении других групп транспортных средств. Рассмотрим пространственные ограничения территории

при реализации перемещений различными способами, которые связаны с различным использованием УДС при реализации перемещений различными способами (пешком, на ОТ и ИТ). В этом случае предельным ограничением будет имеющаяся длина УДС на исследуемой области (км). Обозначим Lr .

При таком подходе появляется возможность постановки оптимизационной задачи, где будет присутствовать и целевая функция, и система «верхних» и «нижних» ограничений. Оптимизация транспортной системы в такой постановке будет решаться на основе макроуровневых (территориальных) ограничений и посредством воздействий на территорию. Целевой функцией будет выступать время реализации всех транспорт-

ных корреспонденций всеми участниками дорожного движения всеми видами транспорта на всей исследуемой области.

Для формализации задачи город разделили на n транспортных районов естественным путем (компактное проживание лю-

57

дей, границы в виде рек, рвов, железных дорог, крупных магистралей). Номер района t 1, 2, , n .

Выделены произвольным образом области исследования. Номер области r 1, 2, , E .

Известны координаты центров транспортных районов, координаты вершин каждой области исследования.

Определена матрица корреспонденций между районами K (kij ) , характеризующая спрос на передвижения [8, 9].

Определена предельно допустимая экологическая нагрузка в каждой области Dr [5].

На основе вышеизложенного определена сумма долей всех корреспонденций, проходящих через область исследования ( lrs )

и транспортная зависимость области ( Grs ) с учетом типа прохо-

ждения маршрута.

Рассматриваютсятриспособапередвижения: пешком, ОТ, ИТ. Требуется распределить все количество людей из матрицы корреспонденций по различным способам передвижения в исследуемых областях для каждого типа прохождения маршрута с целью получения минимума затрат суммарного времени всеми

участниками движения.

В модели предлагаются следующие ограничения:

по спросу на передвижение в исследуемых областях;

по транспортному предложению в исследуемыхобластях. Обозначим:

Xrs1 – количество людей, передвигающихся в области r по типу s пешком;

Xrs2 – количество людей, передвигающихся в области r по типу s на ОТ;

Xrs3 – количество людей, передвигающихся в области r

по типу s на ИТ;

S – количество типов пересечения области исследования

( S 3 ).

58

Таким образом, для конкретной области исследования r будет 9 переменных:

Xr11 – количество людей, передвигающихся по 1-му типу (транзит) пешком;

Xr 21 – количество людей, передвигающихся по 2-му типу (въезд/выезд) пешком;

Xr31 – количество людей, передвигающихся по 3-му типу (внутри области) пешком;

Xr12 – количество людей, передвигающихся по типу 1

(транзит) на ОТ; и т.д.

Ограничения по спросу на перемещение в исследуемых областях будут иметь следующий вид:

lrs Xrs1 lrs Xrs2 lrs Xrs3 Grs ,

где lrs – сумма долей всех корреспонденций проходящих через область исследования r по типу s (км).

Grs – транспортная зависимость областиr по типу s (чел·км).

Существует понятие плотности транспортного потока [6], это число автомобилей, занимающих единицу длины полосы движения проезжей части дороги, при условии непрерывного движения. В качестве единицы длины возьмем 1 км. Число автомобилей пересчитаем на количество людей по среднему количеству людей в одном автомобиле и получим количество людей, занимающих 1 км полосы движения проезжей части дороги при движении на различных видах транспорта.

Пусть k 2 – количество людей, занимающих 1 км дороги при движении на ОТ; k 3 – количество людей, занимающих 1 км

дороги при движении на ИТ.

Тогда ограничения по наличию дорог имеют вид

где Lr – суммарная длина проезжих частей дорог в области r.

59

Пусть c1 – количество времени, необходимое на перемещение 1 чел. пешком на 1 км (ч);

c2 – количество времени, необходимое на перемещение 1 чел. на ОТ на 1 км (ч);

c3 – количество времени, необходимое на перемещение од-

ного человека на ИТ на 1 км (ч); Тогда целевая функция будет иметь вид

Количество переменных модели – 3 S E . Количество ограничений – S E E .

Смысл переменных, ограничений и целевой функции дан в постановке задачи.

Используя ту же информацию, что и в модели оптимального распределения, по правилам построения двойственных задач линейного программирования [7] сформируем новую оптимальную задачу, назовем ее двойственной задачей:

60