Вероятностные методы расчета конструкций

тичные отклонения σR и σS) зависят от конструктивных параметров, свойств материалов, характера их обработки и, следовательно, от материальных затрат на изготовление и эксплуатацию технического устройства, конструкции. В связи с этим возникает необходимость либо максимизировать надежность при некоторых ограничениях стоимости, либо минимизировать затраты при условии, что будет достигнут требуемый уровень надежности. Таким образом, задача по оптимизации прочностных расчетов сводится к нахождению условного экстремума функции нескольких случайных переменных.

Рассмотрим задачу максимизации вероятности безотказной работы конструкции при некоторых ограничениях на ресурсы. При этом будем полагать, что прочность и напряжения являются независимыми случайными величинами, распределенными по нормальному закону. Согласно формуле (4.6) вероятность безотказной работы зависит от значения верхнего предела интегра-

чить значение этого предела.

Обозначим через C1 (mS ) зависимость стоимости от значе-

ния средней прочности. Понятно, что для повышения средней прочности может потребоваться применение лучшего материала, других процессов термической обработки или лучших методов контроля за процессами изготовления материалов, что, естественно, обычно увеличивает затраты. Таким образом, C1 (mS ) –

монотонно возрастающая функция от mS . Обозначим через

С2 (σS) зависимость стоимости от среднего квадратичного отклонения прочности. С точки зрения надежности желательно уменьшение S , для чего необходимо устранить такие факторы,

вызывающие изменчивость прочности, как недостаточная чистота обработки поверхности, эффект скалывания или неоднородная внутренняя структура, а потому функция C2 ( S ) – мо-

нотонно убывающая от S .

201

Пусть C3 (mR ) и C4 ( R ) обозначают функции затрат, связанные с математическим ожиданием и дисперсией напряжения соответственно. Очевидно, что при меньших значениях mR и R вероятность безотказной работы будет выше. Для умень-

шения значений этих величин может потребоваться увеличить размеры элемента и уменьшить колебания размеров, а также лучше контролировать нагрузки, действующие на элемент. Следовательно, C3 (mR ) и C4 ( R ) – монотонно убывающие функ-

ции своих аргументов.

Теперьможно записать постановку оптимизационной задачи:

C1 (mS ) C2 ( S ) C3 (mR ) C4 ( R ) C,

где С – количество имеющихся ресурсов.

Для решения можно использовать любой метод условной оптимизации, например метод Лагранжа, который позволяет перейти от задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум расширенной функции Лагранжа:

Необходимым условием экстремума этой функции является равенство нулю ее градиента. В результате получаем алгебраическую систему уравнений, решая которую, получим значения локальных экстремумов.

Пример 6.3 [12]. Требуется рассчитать стержень, испытывающий растягивающее напряжение под действием случайных нагрузок. Стержень может изготавливаться из различных материалов, имеющих различные значения предела прочности на растяжение. Другие значения средней прочности материала и ее

202

изменчивость можно получить либо путем термической обработки, либо применением некоторых других способов контроля технологических процессов, что потребует дополнительных затрат. На основании информации о стоимости материала, термической обработки и технологических процессов можно определить функции затрат C1 (mS ) и C2 ( S ) . Размеры и допуски

стержня определяют функции затрат C3 (mR ) и C4 ( R ) . Увели-

чение допусков означает более высокую изменчивость напряжений в стержне. Уменьшение допусков потребует лучших методов контроля за процессами изготовления и, следовательно, приведет к увеличению затрат. В реальных условиях расчета элемента, работающего на растяжение, для определения функции затрат необходимы данные о всех перечисленных факторах.

Таким образом, математическая формулировка оптимизационной задачи имеет вид (6.18). Решая ее методом Лагранжа, запишем расширенную функцию в виде (6.19), необходимые условия экстремума которой имеют вид:

Можно доказать, что матрица Гессе данной задачи является полуопределенной матрицей, если (2 2S 2R ) 0 , что означает,

203

что функция цели является выпуклой, если S / R 1/ 2 ,

а потому найденное в дальнейшем решение будет глобальным оптимумом.

Из уравнений (6.20) и (6.21) получаем:

из уравнений (6.22) и (6.23) получаем:

Положим, что имеются алгебраические формулы функций

Сi [12]:

C4 ( R ) 50 R0,7 .

Тогда из (6.25) следует, что mR 27,425mS 0,3125 , а из (6.26) следует, что R 0,634 1,185S .

Дальнейшее решение проводим численно и получаем оптимальное решение: 0 1,700, H 0,955 , mS 24,94 МПа,

mR 10,037 МПа, S 6,525 МПа, R 5,813 МПа.

Теперь рассмотрим задачу, обратную по отношению к предыдущей, – задачу определения конструкции минимального веса (наиболее важный и часто используемый критерий оптимальности конструкции) при известных ограничениях по надежности.

Обычно конструкция – это совокупность таких элементов, как стержень, пластина, оболочка и т.д. Поставим задачу найти такое распределение надежности элементов, которое обеспечивало бы надежность всей конструкции в целом при выполнении критерия оптимальности.

Предположим, что конструкция состоит из n элементов, связанных между собой известным образом. Формы этой связи

204

могут быть самыми разными. Напомним, что существуют три вида соединения: параллельное, последовательное и смешанное.

Прямая задача оптимизации (см. (6.1)) заключается в нахождении таких значений надежности элементов Н1, Н2, …, Нn, которые обеспечили бы минимум веса (массы) всей конструкции при наложенных ограничениях на ее надежность:

Gопт min G ( H1, H2 , ..., Hn )

(6.27)

при H H (H1, H2 , ..., Hn ) Hзад .

Можно записать и обратную задачу (см. (6.2)): найти значения надежности элементов Н1, Н2, …, Нn, которые обеспечили бы максимум надежности всей конструкции при наложенных ограничениях на ее вес:

при G G(H1, H2 , ..., Hn ) Gзад .

Вид функции H (H1, H2 , ..., Hn ) зависит от вида связей элементов конструкции между собой. Вид функции G G(H1, H2 ,

..., Hn ) зависит от типа и формы элементов конструкции, их на-

гружения, законов распределения и вероятностных характеристик нагрузки и несущей способности и вида надежности (по прочности, устойчивости или жесткости).

Поясним метод решения задачи на следующем примере.

Пример 6.4 [3]. Рассмотрим конструкцию, состоящую из четырех последовательно соединенных элементов – трех цилиндрических оболочек и плоского днища в виде круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 6.8). Необходимо определить оптимальное значение надежности каждого из элементов конструкции, при котором вес (масса) конструкции минимален. Для цилиндрических оболочек будем считать определяющей

205

надежность по прочности, для днища – надежность по жесткости. Считаем известными вероятностные характеристики величин нагрузок и несущей способности каждого элемента.

Рис. 6.8

Надежность системы должна быть не менее Hзад 0,99 .

Будем считать характеристики элементов некоррелированными случайными величинами. Приведем характеристики каждого элемента (параметры с индексом 2 описывают прочность,

синдексом 3 – нагрузку):

–1-й элемент – цилиндрическая оболочка радиусом r = 1 м,

нагруженная внутренним избыточным давлением q1, величина которого случайна с рэлеевским законом распределения, имею-

щим параметр а3 = 0,04 МПа. Несущая способность материала оболочки также случайна с рэлеевским законом распределения,

имеющим параметр a2 = 319,2 МПа. Длина оболочки l = 2 м; плотность материала оболочки = 7,8·103 кг/м3; Е = 2·105 МПа;

–2-й элемент – цилиндрическая оболочка радиусом r = 1 м,

нагруженная внутренним избыточным давлением q2, величина которого случайна и распределена по закону Вейбулла с пара-

метрами 3 3 и 3 0,073 МПа3 . Несущая способность материала оболочки тоже случайна и распределена по закону Вейбулла с параметрами 2 2 и 2 447,73 МПа3 . Длина обо-

лочки l = 2 м; = 7,8·103 кг/м3; Е = 2·105 МПа;

– 3-й элемент – цилиндрическая оболочка радиусом r = 1 м, нагруженная внутренним избыточным давлением q3, величина которого случайна и распределена по экспоненциальному закону с параметром 3 100 1/МПа. Несущая способность мате-

206

риала оболочки тоже случайна, подчиняется гаммараспределению с параметрами 2 200 МПа и 2 1 . Длина оболочки l = 2 м; = 7,8·103 кг/м3; Е = 2·105 МПа;

– 4-й элемент – круглая пластина радиусом r = 1 м, нагруженная равномерно распределенным по площади пластины избыточным давлением q3, величина которого случайна и распределена по экспоненциальному закону с параметром 3 100 1/МПа.

Величина перемещения, выбросы за которую запрещены, wзад = = 0,5·10–2 м, = 7,8·103 кг/м3; Е = 2·105 МПа.

Решение. Выразим вес (массу) каждого элемента конструкции через надежность. Масса цилиндрического сосуда, нагруженного внутренним давлением q,

G 2 r l h ,

где r – радиус цилиндра; h – толщина оболочки.

Поскольку элементы работают в упругой области, то максимальное напряжение прямо пропорционально нагрузке, т.е.

Выразим из этого выражения h и подставим в выражение массы, тогда

G 2 r2l .

K

Выражение надежности будет зависеть от законов распределения и вероятностных характеристик нагрузки и несущей способности. Для первого цилиндра (обе характеристики можно описать рэлеевским законом распределения):

207

Для второго цилиндра (обе характеристики описываются законом Вейбулла):

Для третьего цилиндра (экспоненциальное распределение и гамма-распределение):

Для пластинки

3 ln(1 H4 )

Таким образом, необходимо найти такие H1, H2 , H3 , H4 , при которых

при условии, что

H1 H2 H3 H4 Hзад.

Согласно теореме Куна – Такера минимум в такой задаче на границе области, поэтому, заменяя ограничения-неравенства ограничениями в форме равенств и используя метод Лагранжа, переходим от задачи с ограничениями к задаче без ограничений расширенной функции:

L(H1, H2 , H3 , H4 , )

G(H1, H2 , H3 , H4 ) (H1H2 H3H4 Hзад ) min.

208

Необходимое условие минимума имеет вид:

H1 H2 H3 H4 Hзад 0.

Решая систему уравнений, получим:

H1 0,9959; H2 0,9982; H3 0,9978; H4 0,9981.

Теперь легко найти размеры поперечного сечения и массу каждого элемента, подставляя поочередно найденные значения в (6.31), (6.32), (6.33), (6.34):

Для сравнения найдем массу конструкции для случая, когда надежности всех элементов одинаковые: H1 H2 H3 H4

4 0,99 0,9975 . Тогда:

G1 244,92 кг; K1 400 ; h1 2,5 10 3 м;

209

G2 110,39 кг; K2 887,44 ; h2 1,13 10 3 м;

G3 92,87 кг; K3 1054,85 ; h3 0,95 10 3 м;

G4 846,19 кг; K4* 0,0835 ; h4 3, 47 10 3 м.

В этом случае общая масса конструкции равна 1294,4 кг, что на 23,7 кг больше массы конструкции с оптимальным распределением надежности по элементам.

6.3. Оптимизация надежности систем при резервировании

Мировое развитие характеризуется периодическим возникновением противоречий, приводящих к кризисам, разрешение которых является началом очередного этапа бурного роста. Процесс научно-технического прогресса необратим и происходит через разрешение возникающих противоречий, которые являются по существу движущей силой этого процесса.

Одним из главных противоречий современного этапа развития является противоречие между возросшей мощностью техники, появлением больших технических систем и комплексов и возросшей вероятностью отказов отдельных компонентов этих систем, приводящих подчас к большим материальным и человеческим потерям. Например, современные атомные электростанции, авиационные комплексы, спутниковые системы состоят из сотен тысяч комплектующих и компонентов, отказы в которых наносят огромный ущерб. Разработка методов и средств повышения качества изделий и способов предупреждения и предотвращения отказов является важнейшей задачей современного этапа развития.

Известны два основных способа повышения надежности системы: повышение надежности элементов и введение в систему избыточности. Первый способ для многих типов систем, их подсистем и элементов в настоящее время практически исчерпал себя ввиду того, что надежность элементов и комплектую-

210