Физика сборник олимпиадных задач с примерами их решений
..pdfG
dL = ∑ G
относительно центра масс (уравнения моментов): c M внеш. dt
В случае плоского движения твердого тела, когда все точки движутся параллельно одной плоскости, уравнение вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс,
можно представить в виде Ic dω = ∑ M внеш (уравнение момен- dt
тов относительно оси уже не векторное). Запишем уравнения движения центра масс цилиндра и вращения цилиндра относительно центра масс в процессе установления качения:
m |
dυ c |
|
= −F |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dt |
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
mR |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dω |
|
|
. |
Сучетом Ic = |
|
|
|
, получим: |
|
|
dω = − dυ c , |
далее |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
I |
|
|
= F R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегрируем: |
ω R |
=υ 0 −υ |
c |
ω R |
=υ |
0 − ω R ω = |
2υ 0 |
|
– устано- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3R |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вившаяся угловая скорость вращения цилиндра, |
υ c |
= ω R= |
2υ 0 |
|
– |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
установившаяся скорость центра масс. Тогда Е |
|
= |
mυ c2 |
= |
2mυ |
02 |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поступ |
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
= |
Ic ω 2 |
= |
mυ 02 |
, Q = |
mυ 02 |
|
− E |
|
|
− Е = |
mυ 02 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
вращ |
|
|
2 |
|
|
|
9 |
|
2 |
|
|
поступ |
вращ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Явление, когда неравномерно нагретые тела, помещенные в разреженных газах, самопроизвольно приходят в движение в направлении от более нагретой стороны к менее нагретой, называется радиометрическим эффектом. Оно описано, например, во 2-м томе курса физики Д.В. Сивухина.
Задача 5. Для фокусировки пучка нужно, чтобы длина трубки была кратна шагу спиралей, по которым будут двигаться электроны.
51
Второй тур (2009 г.)
1. |
V = u2 +υ 2 − 2uυ |
cos α 0 , tgα = |
|
υ sin α 0 |
|
|
( α – угол, |
||||||||
υ |
cos α 0− |
u |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
который вектор υG составляет с горизонтом). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Сила натяжения стержня в обоих случаях |
|
Т = |
3mυ 2 |
, |
||||||||||
4L |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в первом случае |
Евращ |
= |
3 |
, во втором случае |
Евращ |
= |
1 |
. |
|
|
|||||
Е |
4 |
Е |
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Рср = 3πη Rglϕ 02 , где ϕ 0 – текущая угловая амплитуда колебаний.
4.dT < 2µg = 0,01 °С/м.
dz |
7R |
|
|
5. а = |
mg |
||
|
|
. |
|
m + ε 0π |
|
||
|
R2 B2 d |
Задача 2. Скорость центра масс стержня υ c будет посто-
янной. Найдите эту скорость и перейдите в инерциальную систему отсчета, связанную с центром масс. В этой системе отсчета шарики будут совершать просто вращательное движение вокруг центра масс.
Задача 3. Среднюю мощность диссипативной силы можно рассчитать исходя из формулы: Рср = ∆ТЕ , где ∆ Е – потери ме-
ханической энергии шарика за период, Т – период колебаний.
Для определения коэффициента затухания пригодится формула |
|||||||
Стокса для силы сопротивления |
G |
= −6πη RυG. |
|||||
F |
|||||||
|
сопр |
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Если величина температурного градиента |
|
dT |
|
|
|||
|
|
|
|||||
dz |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
меньше, чем адиабатическая |
скорость падения температуры |
с высотой, то атмосферный воздух будет в состоянии устойчи-
52
вого механического равновесия. Поясним сказанное. Представим себе поднимающийся воздушный «пузырь». При подъеме давление будет падать, «пузырь» будет адиабатически расширяться и охлаждаться. Адиабатическое падение температуры на единицу высоты подъема называется адиабатическим вертикальным градиентом. Если температурный градиент атмосферы будет больше адиабатического градиента, то воздух в «пузыре» при подъеме будет теплее, чем окружающий воздух, и это будет способствовать дальнейшему подъему «пузыря». Таким образом, равновесное состояние воздуха с температурным градиентом, большим, чем адиабатический градиент, неустойчиво. Для того, чтобы воздух был в состоянии устойчивого равновесия, температурный градиент не должен превышать адиабатический градиент. Остается найти адиабатический вертикальный градиент. Предоставляем читателям сделать это самостоятельно.
|
dT |
|
|
|
= µ g , где |
|
= |
7 |
|
Ответ: |
|
|
|
cp |
R – молярная теплоемкость |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
dz |
|
адиаб |
cp |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
воздуха при постоянном давлении. Расчет дает адиабатическое падение температуры 1 °С на 100 м высоты подъема.
Задача 5. При падении монеты от одной грани к другой потечет ток (подумайте почему), в результате: 1) грани будут заряжаться равными и противоположными по знаку зарядами; 2) на монету будет действовать сила Ампера, направленная против силы тяжести. Уравнение движения монеты: ma = mg − FА .
Остается определить силу Ампера: FA = IBd = dq Bd. dt
Грани монеты образуют плоский конденсатор, поэтому
q = C (ϕ 1 − ϕ 2 ) = ε 0 S (ϕ 1 − ϕ 2 ) . d
Выведите самостоятельно, что разность потенциалов между гранями (которая устанавливается при движении монеты практически мгновенно) ϕ 1 − ϕ 2 = vBd и далее найдите ответ.
53
Задача допускает также энергетический способ решения, исходящий из того, что потенциальная энергия монеты переходит в ее кинетическую энергию и энергию электрического поля между гранями.
Избранные задачи второго тура (2003–2006 гг.)
1. t = |
a |
, |
x2 + y2 = |
a |
exp(−2ϕ ). Черепахи будут стремиться |
|
|
||||
υ |
|
2 |
|
к центру квадрата, который можно рассматривать как место их встречи.
2. |
ω 0 min= |
υ 0 , υ |
= |
ω 0 R− |
|
υ 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
h = |
υ 0 υ 02 + u2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2µg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I1I2 ( R1 + R2 )2 |
|
|
|
|
|
|
I1I2 ( R1 + R2 )2 |
ω 02 |
|||||||||||||||
4. |
∆ L= − |
|
|
|
I1R22 |
+ I2 R12 |
|
ω |
0 |
, ∆ E= − |
I1R22 + I2 R12 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
E = |
|
σ 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2ε 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. T = T0 |
+ |
|
2mυ 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ν R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. T = 2π |
l (m + CB2 L2 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а1 = |
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
= |
mgtgα |
|
|
|
|
||||||||
8. |
|
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
mtgα + Mctgα |
mtgα + |
Mctgα |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9. ω |
~ |
|
|
Т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
B = |
|
|
b |
|
|
|
8mU |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
11. υ |
= |
|
|
|
gL |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + m / M )sin 2α |
|
|
|
|
|
|
||||||
а) υ |
= |
−u sin α + u2 sin2α + |
|
(+1 m / M ) gL sinα2 |
, |
||||||||
|
|
(1 + m / M )sin 2α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) υ |
= |
|
|
|
|
gL |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1 + m / M )sin 2α − |
|
2F |
sin2α |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Mg |
|
||||
12. T = 2π |
L |
, T = 2(π + 1) |
|
L |
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
g |
|
4.3. Дополнительные примеры задач для подготовки к олимпиадам
1. |
sin α = |
|
|
h |
, |
|
υ 0 ≥ L |
g |
. |
|
2. υ |
= |
gt |
, s = |
gt 2 |
. |
3. |
N = |
10 |
Mg. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
2h |
|
|
|
7 |
|
|
|
14 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||
4. |
ω = |
1 |
|
|
|
8T |
. |
5. ω = |
1ω |
|
0 . |
6. 1) υ 1 = |
2υ 0 |
, |
υ 2 |
= |
5υ 0 |
, η = 20/49; |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||||||||
2) |
|
m2 |
= |
7 |
|
. 7. T = 2π |
|
2R |
. |
8. |
rmin =1,5R , |
период |
уменьшится |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
m1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в 2,3 раза, т.е. в результате торможения спутник будет вра-
щаться быстрее. 9. a = |
|
|
F |
υ |
=υ |
0 exp (−4πµ )= 5,7 м/с. |
||||||||||||
|
|
. 10. |
||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
m + M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. 2,04 кг. 12. 51,2 Вт. |
13. с = 2R. |
|
14. |
p1 = |
3 |
p. |
15. |
T |
= |
5 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
T0 3 |
|||||
|
gµ |
Т= 373 K, р3 |
|
|
|
|
|
qa(b − r) |
||||||||||
16. ∆ T= |
|
d= 0,034 K. 17. |
= 1 атм. 18. q1 = − |
|
; |
|||||||||||||
R |
r(b − a) |
55
qb (r − a) q2 = − r (b − a) .
2) A = − |
Q2 |
. |
|
||
8πε 0 R1 |
19. F = |
kq2 R2 d |
|
A = − |
Q2 |
|
|
1 |
− |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
. |
20. 1) |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
2r |
5 |
8πε |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 R1 |
|
R2 |
|||||||
|
= πσ |
2 |
R |
3 |
|
22. RAB = |
R ( α 2+ 4+ α − 2) |
|||||||||||
21. Wk |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
2ε 0 |
|
|
|
2α |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. t = |
2m |
arctg |
eBR |
. |
|
|
|||
|
eB |
mυ |
|
|
µ02 I 2b2 a ln 1 + |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qB |
||||
24. p = |
|
|
L |
|
25. ω = |
|||
|
|
. |
|
. |
||||
8π 2 RL ( L+ |
a) |
2m |
|
|
ε |
|
|
|
B2 L2t |
|
26. υ |
= |
|
1 |
− exp |
− |
|
; |
|
|
||||||
|
|
BL |
|
|
mR |
|
ε |
|
2 2 |
|
|
ρ a |
|
I = |
exp |
− |
B L t |
. |
27. E = |
||
|
|
3εε 0 |
|||||
|
R |
|
|
mR |
|
|
|
B = |
µ0 ja |
. 29. F = |
|
µ0 I 2 L |
. 30. |
I1 = |
ε L2 |
= |
ε L1 |
||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
; I2 |
|
. |
||||||
2 |
|
2π (a2− b2 ) |
R(L1 + L2 ) |
R(L1 + L2 ) |
||||||||||||
31. |
I = |
ε |
. |
32. R2 = |
|
rR1 |
. 33. I (t ) = |
µ0 π r 2i0ω |
sin (ω |
t ). |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3r |
|
R + r |
|
|
4 2RR |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
56
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Сборник задач по общему курсу физики Ч. 1. Механика. Термодинамика и молекулярная физика / под ред. В.А. Овчинкина. – М.: Изд-во МФТИ, 1998.
2.Сборник задач по общему курсу физики Ч. 2. Электричество и магнетизм / под ред. В.А. Овчинкина. – М.: Изд-во МФТИ, 2000.
3.Иродов И.Е. Задачи по общей физике / И.Е. Иродов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.
57
Учебное издание
ФИЗИКА
Сборник олимпиадных задач с примерами их решений
Составители:
Бурдин В.В., Теплов В.С., Константинов В.П.
Корректор Е.В. Копытова
__________________________________________________________
Подписано в печать 6.11.09. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 9,75. Тираж 100 экз. Заказ № 226/2009.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.