Приложения определенного интеграла учебно-методическое пособие
..pdfЕсли функция |
f ( x) |
вместе с производной |
f ′(x) непрерывна |
|||||||||||||||||||
на отрезке [a,b] , то длина L дуги АВ выражается формулой |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
1+ f ′2 ( x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
L = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Вычислить длину дуги полукубической параболы y = x2 , |
если |
|||||||||||||||||||||
0 ≤ x ≤5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения y = x2 |
находим y′= |
3 x2 . |
Далее по формуле (5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
|
8 |
|
|
9x |
3 |
|
|
335 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|||||||||
L = ∫ 1+ y′ |
2 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx = |
1+ |
4 |
xdx = |
|
|
|
1+ |
|
|
|
= |
27 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
27 |
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|||||
1.2.2. Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде |
||||||||||||||||||||||
Пусть кривая |
|
АВ |
задана |
в |
|
параметрическом |
виде: |
|||||||||||||||
x = x(t ), y = y (t ), α ≤t ≤β, |
где x(t ) и y (t ) |
– непрерывные функции |
||||||||||||||||||||
с непрерывными производными и x(α) = a, |
|
x(β) =b. |
Для вычисле- |
|||||||||||||||||||
ния длины дуги L в этом случае в формуле (5) надо сделать замену |
||||||||||||||||||||||
переменной, положив x = x(t ), |
dx = x′(t )dt, |
|
fx′(x) = |
y′(t ) |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′(t ) |
|
|
||
b |
|
2 |
|
|
|
β |
|
y′(t ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда L = ∫ 1+ f ′ (x)dx = ∫ |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
x′(t )dt. |
|
|
|
|
|||||||||
|
x′(t ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫β |
|
(x′(t ))2 +( y′(t ))2 dt. |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6
Вычислить длину одной арки циклоиды, заданной уравнениями x = a(t −sin t ), y = a(1−cost ), 0 ≤t ≤ 2π (рис. 10).
Рис. 10
Циклоида – плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М окружности радиусом а, катящейся без скольжения по прямой линии.
Из уравнений циклоиды находим: x′(t ) = a(1−cost ), y′(t ) = = asin t.
Когда х пробегает отрезок [0;2πa], параметр t пробегает отрезок [0;2π]. По формуле (6) находим:
L = |
2πa |
1+ f ′2 (x)dx = |
2π |
x′(t ) 2 |
+ y′(t ) 2 dt = |
||
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2π
=∫ a (1−cost )2 +sin2 tdt =
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2π |
2π |
t |
|
t |
|
2π |
|
|
|
|
|||||
= ∫ a |
2 −2costdt =2a ∫ sin |
dt = −4a cos |
|
=8a. |
|||
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
0 |
||||
0 |
0 |
|
|
|
1.2.3. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах
Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением
ρ =ρ(ϕ), α ≤ ϕ≤β.
12
Предположим, что ρ(ϕ) и ρ′(ϕ) непрерывны на отрезке [α,β]. Если в равенствах x =ρcos ϕ, y =ρsin ϕ, связывающих полярные и прямоугольные координаты, параметром считать угол ϕ, то получим параметрическое задание кривой АВ: x =ρ(ϕ)cos ϕ,
y =ρ(ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ≤β.
Поскольку х′(ϕ) =ρ′(ϕ) cos ϕ−ρ(ϕ)sin ϕ, y′(ϕ) =ρ′(ϕ)sin ϕ+ +ρ(ϕ)cos ϕ, то формула (6) принимает вид
β |
(ϕ) +ρ′2 (ϕ)dϕ. |
|
L = ∫ ρ2 |
(7) |
α
Пример 7
Вычислить длину первого витка спирали Архимеда, заданной уравнением ρ = aϕ (см. рис. 8).
Первый виток спирали образуется при изменении ϕ от 0 до 2π. Поскольку ρ′(ϕ) = (аϕ)′ϕ = а, то по формуле (7) имеем:
2π 2π
L = ∫ a2ϕ2 +a2 dϕ= a ∫ ϕ2 +1dϕ=
|
|
0 |
0 |
|
= a |
|
π |
4π2 +1 + 1 ln (2π+ |
4π2 +1) . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1.3.Объем тела
1.3.1.Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Пусть есть некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 11).
Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: Q =Q(x). Предположим, что
13
Q =Q(x) есть непрерывная функция от х, и определим объем данного тела.
Проведем плоскости: x = x0 = a, x = x1, x = x2 , …, x = xi , …, x = xn =b.
Рис. 11
Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом численном промежутке xi−1 ≤ x ≤ xi выберем произвольную точку ti и для каждого значения i =1, 2, ..., n построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью x =ti . Объем такого эле-
ментарного цилиндра с площадью основания Q(ti ) |
(где xi−1 ≤ti ≤ xi ) |
|||
и высотой ∆xi |
равен |
Q(ti ) ∆xi . Объем |
всех цилиндров |
|
n |
|
|
|
|
Vn = ∑Q(ti ) ∆xi . |
Предел этой суммы при max ∆xi |
→0 (если он су- |
||
i=1 |
|
|
|
|
ществует) называется объемом данного тела: |
|
|||
|
|
|
n |
|
|
V = |
lim |
∑Q(ti ) ∆xi . |
|
|
|
max ∆x →0 |
i=1 |
|
|
|
i |
|
Это интегральная сумма для непрерывной функции Q(x) на [a,b], поэтому указанный предел существует и выражается определенным интегралом:
14
V = ∫b Q(x)dx. |
(8) |
а |
|
Пример 8
Вычислить объем трехосного эллипсоида, заданного уравнени-
ем |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
|
=1 (рис. 12). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В сечении эллипсоида плоско- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
стью, параллельной плоскости Оyz |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
и отстоящей на расстоянии х от нее, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
получится |
эллипс |
|
|
y2 |
|
+ |
z2 |
|
=1− |
x2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12 |
||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Он имеет полуоси b =b 1− |
х2 |
|
, с = с |
1− |
х2 |
. |
||||||||||||||||||||||||
а2 |
|
а2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
Площадь |
такого |
эллипса равна |
π b1 с1. Поэтому Q(x) = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= πb1с1 = πbc 1− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим объем эллипсоида:
|
x3 |
|
|
a |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
= πbс x − |
|
|
|
|
|
= |
|
πаbс. |
3a |
2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
−a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
|
x2 |
|
|
V = πbс ∫ 1 |
− |
|
|
dx = |
a |
2 |
|||
−a |
|
|
|
1.3.2. Объем тела вращения
Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной кривой y = f (x), за-
15
данной в прямолинейных коорди-
натах, осью Ох, прямыми x = a, x =b (рис. 13).
В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, есть круг,
|
площадь |
которого |
Q = πy2 = |
|
= π[ f (x)]2 . |
Тогда, применяя фор- |
|
|
мулу (8), получим формулу для |
||
Рис. 13 |
вычисления |
объема |
тела враще- |
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
Vx = π∫ y2dx = π∫[ f (x)]2dx. |
(9) |
||
а |
а |
|
|
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = ϕ( y) ≥ 0 и прямыми x = 0, y = c, y = d (c < d), то
объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, вычисляется по формуле
|
d |
|
|
Vy = π∫ x2 ( y)dy. |
(10) |
|
c |
|
Пусть тело образовано вращением вокруг оси Оу криволиней- |
||
ной трапеции, |
ограниченной кривой y = f (x) и прямыми |
x = a, |
x =b и y = 0. |
За элемент объема этого тела принимают объем части |
тела, образованного вращением около оси Оу прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси Оу на расстоянии х. Тогда элемент объема dVx = 2πxydx, откуда
b |
|
Vx = 2π∫ хуdx. |
(11) |
а
16
Пример 9
Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y =sin x и отрезком оси Ох
(0 ≤ х ≤ π):
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
а) В первом случае имеем тело вращения, показанное на рис. 14. Используя формулу (9), получим:
|
|
|
π |
|
2 |
xdx |
|
|
π1−cos 2x |
dx = |
|
|
||||
|
Vx = π∫sin |
|
|
= π∫ |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
π |
∫π(1−cos 2x)dx = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
π |
1 |
sin 2x |
|
|
π |
π |
π− |
1 |
|
|
= |
|
|||
|
|
|
||||||||||||||
2 |
x − |
2 |
|
|
= |
|
2 |
sin 2π |
Рис. 14 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
π(π−0) = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
б) Во втором случае имеем тело вращения, показанное на рис. 15. Используя формулу (11), получим:
π
Vy = 2π∫ xsin xdx.
0
Рис. 15
17
Интегрируем по частям:
b |
b |
b |
∫udv =uv |
−∫vdu; |
|
а |
а |
а |
u = x du = dx;
dv =sin dx v = ∫sin dx = −cos x.
Получим:
|
|
|
π |
π |
|
|
|
π |
Vy = 2π |
−x cos x |
|
0 |
+ ∫cos xdx |
= 2π(π+sin x |
|
0 ) = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= 2π2 +2π(sin π−sin 0) = 2π2.
Если кривая задана параметрически или в полярных координа-
тах, то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.
В более общем случае объемы тел, образованных вращением
фигуры, ограниченной кривыми |
y1 = f1(x) и y2 = f2 (x) (причем |
f1 (x) ≤ f2 ( x) ) и прямыми x = a, |
x =b, вокруг координатных осей |
Ох и Оу, определяются по соответствующим формулам:
b |
( у22 − у12 )dx; |
|
|
Vx = π∫ |
(12) |
||
а |
|
|
|
d |
|
( y) − x12 ( y))dy, |
|
Vy = π∫(x2 |
2 |
(13) |
|
c |
|
|
|
или |
|
|
|
Vy = π∫b x( у2 − у1 )dx. |
(13а) |
||
а |
|
|
Пример 10
Найти объем тора, образованного вращением круга, заданного формулой x2 +( y −b)2 ≤ а2 (b ≥ а), вокруг оси Ох (рис. 16).
18
Рис. 16
Имеем: y =b − а2 |
− х2 |
и y |
2 |
|
=b + |
а2 − х2 . Поэтому |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
+ |
а |
2 |
− х |
2 |
|
) |
2 |
− |
(b − |
а |
2 |
− х |
2 |
) |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
Vx = π ∫ |
(b |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
−а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
2 |
+2b |
а |
2 |
− х |
2 |
+а |
2 |
− х |
2 |
− |
( |
|
2 |
−2b а |
2 |
− |
х |
2 |
+а |
2 |
− х |
2 ) |
||||||
= π ∫ |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||
−а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а
=π ∫ 4b а2 − х2 dx.
−а
Используем подстановку: |
x = asin t, dx = a cos dt; пределы из- |
|||
менения переменных: |
|
−a |
|
|
x |
a |
|
||
t |
|
− π |
π |
|
Далее получим: |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
2 |
|
|
2 |
(1−sin2 t ) costdt = |
Vу = π ∫ 4b а2 −а2 sin2 t |
a costdt = 4πb ∫ a a2 |
|||
−π |
|
|
−π |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
19 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
1+cos 2t |
|
|
|
1 |
|
|
|
π2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
b |
2 |
|
2 |
sin 2t |
|
= |
|||||
= 4πа |
b ∫ cos |
|
tdt = 4πa |
∫ |
|
dt = 2πa |
b t + |
|
|
|
|
||||||
|
−π |
|
|
|
|
−π |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
−π2 |
||
|
2 |
π |
+ π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πa2b |
+ 1 (sin π+sin π) |
= 2πa2b π = 2π2а2b. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного |
|||||||||||||||||
дугой кривой ρ =ρ(ϕ) |
и двумя полярными радиусами ϕ = α, |
|
ϕ=β, |
||||||||||||||
вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
V = |
2 |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
3 |
π∫ρ3 sin ϕdϕ. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Пример 11 |
|
|
|
|
Определить объем тела, |
образованного |
вращением кривой |
||
ρ = аsin 2ϕ вокруг полярной оси (рис. 17). |
|
|
|
|
По формуле (14) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
V = 2 |
2 |
|
2 |
|
3 |
π∫ ρ3 sin ϕdϕ= |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
= 4 πa3 ∫ sin3 2ϕ sin ϕdϕ= |
|||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
|
Рис. 17 |
|
π |
|
|
= 32 πa3 ∫ sin4 ϕ cos3 ϕdϕ. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
0 |
|
Используем подстановку: t =sin ϕ, dt = cos ϕdϕ; пределы изменения переменных:
20