Метод источников в приложении к расчету обтекания тел вращения (96
..pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
В.Г. Богомолов, А.И. Хлупнов
МЕТОД ИСТОЧНИКОВ В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Методические указания
М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6
УДК 533.6.013(076) ББК 30.124
Б74
Рецензент В.В. Зеленцов
Богомолов В.Г., Хлупнов А.И.
Б74 Метод источников в приложении к расчету обтекания тел вращения: Метод. указания. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, 2006. – 24 с.: ил.
Рассмотрен один из численных методов расчета параметров газа на поверхности заостренных тел вращения при малых углах атаки и небольших сверхзвуковых скоростях. С его помощью получена система алгебраических уравнений, позволяющих найти функции распределения источников и диполей вдоль оси обтекаемого тела при выполнении условий непротекания на поверхности тела.
Изложение материала ориентировано на применение вычислительной техники.
Для студентов, обучающихся по специальности «Динамика полета и управление движением летательных аппаратов», а также для студентов и преподавателей других специальностей, занимающихся аэродинамическим проектированием.
Ил. 5. Библиогр. 2 назв.
УДК 533.6.013(976) ББК 30.124
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006
Предисловие
В работе рассмотрен один из численных методов расчета аэродинамических характеристик тел вращения при небольших сверхзвуковых скоростях и малых углах атаки. Эти ограничения позволяют использовать линеаризованное уравнение для потенциала скоростей обтекающего потока, что существенно упрощает поставленную задачу.
Применение в этом случае метода источников и диполей приводит к системе алгебраических уравнений для нахождения функций распределения источников и диполей вдоль оси обтекаемого тела с выполнением граничных условий (непротекания) на поверхности тела.
Изложение материала предполагает предварительное знакомство студента с основными понятиями теории поля, такими как линии тока, линии равного потенциала, источники, стоки, диполи и т. д., а также с аэродинамическими характеристиками летательных аппаратов и их отдельных элементов (корпус, головная часть корпуса, крыло, стабилизатор и др.)
Настоящие методические указания будут полезны студентам при выполнении НИРС, курсовых и дипломных проектов.
3
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КОРПУСОВ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ МЕТОДОМ ИСТОЧНИКОВ
Для тонких тел вращения и малых углов атаки применяют метод расчета аэродинамических коэффициентов, основанный на предположении о малости возмущений и, следовательно, о линеаризации уравнений газовой динамики.
Линеаризованные уравнения с определенными ограничениями решаются с помощью метода источников [1, 2].
Пусть тонкое заостренное тело вращения (корпус) обтекается
сверхзвуковым потоком со скоростью U∞ под малым углом атаки
α между осью тела и направлением невозмущенного потока. Поместим начало прямоугольной системы координат в носок
тела вращения, ось Ox направим по оси тела, ось Оу – вверх в
плоскости угла атаки, ось Оz |
– перпендикулярно осям Оx и Оу. |
|
Для удобства перейдем к цилиндрическим координатам, свя- |
||
занным с |
прямоугольной |
системой соотношениями x = x, |
y = r cosθ, |
z = r sin θ. Тогда потенциал φ скоростей обтекающего |
потока будет удовлетворять линеаризованному уравнению, записанному в цилиндрических координатах,
(1−Μ2 )∂2ϕ + ∂2ϕ + 1 ∂2ϕ + 1 ∂ϕ = 0, ∞ ∂x2 ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r
и граничному условию (непротекания) на поверхности тела
|
∂ϕ |
= |
|
|
|
|
∂n r = R(x) |
|
|
∂ϕ |
|
∂ϕ |
cos(n, r) + |
1 ∂ϕ |
|
|
||
= |
|
cos(n, x) + |
|
|
|
cos(n,θ) |
= 0, |
||
∂x |
∂r |
r ∂θ |
|||||||
|
|
|
r = R(x) |
|
(1)
(2)
гдеr = R(x) – уравнение образующей тела вращения.
Так как уравнение (1) линейно, потенциал скоростей можно искать в виде суммы
4
ϕ = Φ0 +Φ1 + Φ2 , |
(3) |
где Φ0 (x, r, θ) =U∞ (x + dr cosθ) – потенциал скорости |
невозму- |
щенного потока; Φ1(x, r) – потенциал скоростей возмущения от продольной составляющей; Φ2 (x, r,θ) – потенциал скоростей воз-
мущения от поперечной составляющей возмущенного потока. Подставляя в уравнение (2) значение потенциала φ из (3) и,
учитывая, что для тонкого тела вращения приняты следующие оценки порядка величин:
|
|
|
|
|
∂ϕcos(n, x) + |
∂ϕ |
= 0, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂х |
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
(x + 2r cosθ) + |
∂Φ |
|
∂Φ |
|
|
|
||
|
|
|
|
U |
1 |
+ |
|
|
2 |
cos(n, x) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂x ∞ |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
||||
+ |
|
∂ |
U |
(x + 2r cosθ) + |
∂Φ1 + |
|
∂Φ2 |
= 0, |
(4) |
|||
|
∂r |
|
||||||||||
|
|
∞ |
|
∂x |
|
|
∂x |
|
|
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U∞ cos(n, x)+U∞αcosθ+ |
∂Φ |
|
+ |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
r = R(x) |
|
∂Φ2 |
|
= 0. |
(5) |
+ |
|
||
∂r |
r = R(x) |
|
|
Это выражение можно упростить, если выразить cos(n, x) |
из |
уравнения образующей тела r = R(x) :
cos(n, x) = −sin(n, r) ≈ − dR(x) dx
и разбить его на два, так как потенциал Ф1 не зависит от угла θ, а
потенциал Ф2 зависит. Тогда получим
|
∂Φ |
|
|
dR(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
− U∞ |
|
= 0 |
, |
(6) |
|
dx |
||||||||
|
∂r |
r=R(x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
∂Φ2 |
|
+U∞αcosθ = 0. |
(7) |
|
|
∂r |
|
||
|
r=R(x) |
|
|
Аналогично, подставляя выражение (3) в уравнение (1), получаем
(1− M∞2 ) |
∂2Φ |
|
|
|
|
|
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ |
|||||||
∂x21 +(1− M∞2 |
) |
∂x22 |
+ |
∂x21 |
+ |
∂x22 + |
||||||||
|
1 |
∂Φ |
|
1 |
∂Φ |
|
|
1 |
|
∂2Φ |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
+ |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
2 |
= 0. |
|
|
r |
r |
|
r2 |
|
∂θ |
|
|
|||||||
|
∂r |
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
После разделения данного уравнения на два получим
2 |
∂2Φ |
|
∂2Φ |
1 |
∂Φ |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
(1−Μ∞ ) |
∂x2 |
+ |
|
∂r2 |
+ |
|
∂r |
= 0, |
|
(8) |
||||
|
r |
|
||||||||||||
2 ∂2Φ2 |
∂2Φ2 |
|
1 ∂Φ2 |
|
1 ∂2Φ2 |
|
|
|||||||
(1−Μ∞ ) ∂x2 |
+ ∂r2 |
|
+ |
|
|
∂r |
+ |
|
|
∂θ2 |
= 0. |
(9) |
||
|
r |
r |
На поверхности конуса возмущений и в области перед ним выполняется условие
Φ1 = Φ2 = 0 при x −kr ≥ 0. |
(10) |
Таким образом, поставленная задача расчета течения вокруг тонкого тела вращения при малых углах атаки сводится к нахож-
дению потенциалов Ф1 и Ф2 из уравнений (8) и (9) при граничных условиях (6) и (7).
Если представить потенциал возмущения Φ1(x, r) в точке (x, r) меридиональной плоскости при осесимметричном обтекании в виде
x−kr |
q(u)du |
|
|
||
Φ1(x, r) = ∫ |
, |
(11) |
|||
(x −u)2 |
− k2r2 |
||||
0 |
|
|
где k = Μ∞2 −1 = ctg γ; γ – угол Маха; q(u) – функция распределения источников по оси тела, то в такой форме функция Φ1(x, r)
удовлетворяет и уравнению (8) и граничному условию (2). Неизвестная функция распределения источников q(u) определяется из условия (6).
6
Вычисления с этим потенциалом удобно производить после замены переменных, перейдя от u к ξ по формуле u = x − krchξ.
Тогда
arch |
x |
|
|
|
|
|
|||
Φ1(x, r) = |
∫kr q(x − krchξ)dξ. |
(12) |
||
|
0 |
|
|
|
Дифференцируя Φ1(x, r) |
по переменным x и r, найдем компо- |
ненты соответствующих скоростей возмущения υx1 и υr1:
|
|
|
|
|
arch |
|
x |
|
|
|
|
x−kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂Φ1 |
|
|
kr |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
υx = |
= |
|
∫ |
|
|
q′(x − krchξ)dξ = ∫ |
q (u)du |
|
|
|
, |
(13) |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
1 |
|
∂x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
(x −u) |
− k |
r |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arch |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υr1 = |
∂Φ1 |
= −k ∫kr q′(x − krchξ)chξdξ = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
x−kr |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= − |
|
∫ |
|
|
(x −u)q (u)du |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
||||||
|
|
r |
|
|
|
(x −u)2 − k2r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где dξ = − |
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x −u)2 − k2r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения функции распределения источников по оси тела q(u) подставим выражение (14) в граничное условие (6). Тогда
получим интегральное уравнение относительно dqdu(u) :
|
dR |
|
x−kR |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
U∞R |
+ |
∫ |
(x −u)q (u)du |
|
= 0. |
(15) |
||||||
dx |
(x −u) |
2 |
− k |
2 |
R |
2 |
||||||
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Приближенно это уравнение можно решить, удовлетворяя ему не во всех точках x, а в выбранных точках x1, x2 , …, xN .
7
Соответственно этому производную |
′ |
искомой функции |
q (u) |
распределения источников q(u) можно аппроксимировать на интервалах ]xi − kRi [ ступенчатой функцией:
|
U K , если |
0 < u < x − kR , |
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
′ |
U∞K2 , если |
x − kR1 < u < x2 − kR2 , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................................... |
|
(16) |
|||||||||
q (u) = |
|
|
|
|
xi−1 − kRi−1 < u < xi |
− kRi , |
|
|||||
|
U∞Ki , если |
|
|
|||||||||
|
................................................................ |
|
|
|||||||||
|
|
|
K |
|
, если |
x |
− kR |
< u < x |
|
−kR |
, |
|
|
U |
n |
n |
|||||||||
|
|
∞ |
|
|
i−1 |
n−1 |
|
|
n |
где K1, K2 , …, Kn – не известные пока постоянные коэффициенты.
После подстановки значений xi (i = 1, 2, …, N) в уравнение (15) и его интегрирования получим систему N алгебраических уравне-
ний первой степени с N неизвестными коэффициентами Ki. Действительно, рассмотрим воздействие источников, располо-
женных на интервале |
]xi−1 − kRi−1, |
xi |
− kRi [ , на точку (xn , Rn ). |
|||||||||||||||||
Тогда уравнение (15) примет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dR |
′ |
|
|
|
xi −kRi |
|
|
(xn −u)du |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
υ∞Rn |
|
|
|
|
+ q |
(u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
−u)2 |
− K |
2R2 |
|||||||||
|
dx x =xn |
|
|
|
x |
|
−kR |
−1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i−1 |
|
i |
n |
|
|
n |
|
|||
а после интегрирования и замены |
′ |
|
|
= υ∞Ki – вид |
|
|||||||||||||||
q (u) |
|
|||||||||||||||||||
|
1 dR |
= K |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
ξn,i |
−1 |
− |
ξn,i−1 |
−1 . |
(17) |
||||||
|
k |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx x =x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
(17) |
|
отражает |
|
|
воздействие |
|
интервала |
|||||||||||
]xi−1 − kRi−1, xi − kRi [ источников на точку (xn , Rn ). |
|
|
Если же рассмотреть общий случай, т. е. воздействие источников, расположенных на всем интервале, начиная от носка (на ин-
тервале ]0, xi −kRi [ ), на точку (xn, Rn), получим
8
|
1 dR |
|
n |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= ∑Ki |
ξn,i −1 |
− ξn, i−1 |
−1 , |
(18) |
||
|
k |
|
|
|||||||||
|
|
dx x=x |
n |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k = Μ∞2 |
−1 = ctgγ(γ – угол Маха); |
ξn, i = |
xn − xi + kRi |
– новая |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kRn |
|
переменная (n = 1, 2, …, N).
Подставляя в уравнение (18) последовательно значения n = 1, n = 2, …, n = N, получим указанную выше систему алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных коэффициентов Ki.
Если коэффициенты Ki найдены, то можно найти и функцию распределения источников q(u) по оси тела.
Например, для интервала ]xn − kRn , xn+1 − kRn=1[ ее можно записать в виде
|
n |
|
|
|
|
|
+ |
q(u) = U∞∑Ki (xi −kRi − xi−1 |
+ kRi−1 ) |
||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
+ U∞Kn+1 (u − xn + kRn ). |
|
(19) |
Давление на поверхности тела вращения в точке (xn, Rn), если ограничиться малыми первого порядка, можно получить из уравнения Бернулли:
U∞υx1 + pρn1 = 0,
откуда pn = −ρU∞υx1 , а с учетом выражения (13) получаем
xn −kRn |
|
′ |
|
|
|
pn1 = −ρU∞ ∫ |
|
q (u)du |
, |
||
(x |
−u)2 |
− k2R2 |
|||
0 |
|
||||
|
n |
|
n |
|
и, если функцию q′(u) представить ступенчатой функцией (16), то давление
|
n |
xi −kRi |
d (xn −u) |
|
||
pn1 |
= ρU∞∑Ki |
∫ |
. |
|||
(xn −u)2 |
−k2Rn2 |
|||||
|
i=1 |
xi−1−kRi−1 |
|
9
После интегрирования получим для расчета давления в точке (xn, Rn) на поверхности тела выражение
2 n |
( |
) |
1∞ i n,i n,i−1 i=1
адля коэффициента давления при осесимметричном обтекании – выражение (20)archξ −archξ ,p = ρU ∑K
|
|
2 pn |
|
n |
|
|
( |
|
|
|
|
|
p |
= |
1 |
= 2 |
∑ |
K |
|
archξ |
n,i |
−archξ |
. |
(21) |
|
|
|
|||||||||||
n |
|
ρU∞2 |
|
|
i |
|
|
n,i−1 ) |
|
|||
1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Приняв линейный закон изменения давления между точками i и i + 1, выведем формулу для коэффициента волнового сопротивления. Если миделевым сечением тела является донный срез, то коэффициент волнового сопротивления запишется в виде
|
|
|
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
dR |
2 |
|
|
||
|
Cx |
= |
|
∑ pn |
RdR = ∑ pn |
|
|
|
, |
|
||||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
n=1 |
1 |
1 R2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
N |
|
|
|
||||
а после подстановки выражения (21) – в виде |
|
|
|
|
||||||||||||
|
N |
2 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Cx = 2 |
∑ |
Rn |
− Rn−1 |
|
∑Ki (archξn,i |
−archξn,i−1 ) . |
(22) |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
b |
n=1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следует заметить, что формула (22) справедлива до тех пор, |
||||||||||||||||
пока число Маха, а значит, и значение k = |
M∞2 |
|
−1, невелико. |
|
Потенциал скоростей возмущения, вызванных поперечной составляющей возмущенного потока, исходя из вида граничных условий (7) будем искать в виде
Φ2 = F(x,r)cosθ. |
(23) |
Таким образом, задача сводится к отысканию функции F от двух переменных.
Подставляя (23) в уравнение (9), получаем
(1− M∞2 ) |
∂2F |
+ |
∂2F |
+ |
1 ∂F |
− |
F |
= 0. |
(24) |
|
∂x2 |
∂r2 |
r |
∂r |
r2 |
Граничное условие (7) преобразуется к виду
10