Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра общей математики
Теория вероятностей и математическая статистика
Часть 1
Практикум
Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по направлениям Экономика, Менеджмент организации
Ярославль 2012
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73 Б53
Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2012 года
Рецензент кафедра общей математики
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Теория вероятностей и математическая статисти-
Б 53 ка. Ч. 1: практикум / сост. Л. П. Бестужева, Н. Л. Майорова ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Яро-
славль : ЯрГУ, 2012. – 48 с.
Практикум (часть 1) содержит материалы, необходимые для изучения «Теории вероятностей» – одного из разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»: теоретические сведения, формулы, примеры решения задач по темам, а также контрольные и самостоятельные работы.
Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 080100 Экономика и 080200 Менеджмент организации (дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика», математический цикл (блок ЕН)), очной формы обучения.
УДК 519.2(076.5)
ББК В171я73 + В172я73
©Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012
2
1. Классическое определение вероятности
Множество 1, 2 n всех возможных исходов экспери-
мента называется пространством элементарных исходов, а ка-
ждый его элемент называется элементарным исходом или элементарным событием. Событием называется любое подмножество A этого пространства: A . Каждому элементарному исходу i поставим в соответствие число pi 0 , называемое его веро-
n
ятностью, такое, что pi 1.
i 1
Простейшим пространством элементарных исходов является так называемая классическая модель, в которой пространство конечно и все исходы эксперимента:
1)равновозможны (т. е. их вероятности полагаются равны-
ми);
2)несовместны (т. е. никакие исходы не могут произойти одновременно);
3)в сумме образуют все пространство (т. е. никакие другие исходы, кроме перечисленных, не могут произойти).
В этом случае вероятность события A определяется по
формуле |
P A m , где n |
– число элементов множества (об- |
|
n |
|
щее число исходов), а m – число элементов множества A (число исходов, благоприятствующих событию A ).
Событие A , состоящее из всех элементарных исходов, не входящих в A , называется противоположным событием к со-
бытию A . Оно происходит тогда и только тогда, когда событие A не произошло. Очевидно, что P A P A 1.
Задача 1. Пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. Найти вероятность того, что среди них будет
1)ровно m белых шаров;
2)хотя бы один белый шар.
Решение. Событие A = {в выборке из n шаров ровно m шаров белых}.
3
P A CMm CNn mM . CNn
Событие B = {в выборке из n Событие B = {в выборке из
все выбранные шары черные}.
шаров хотя бы один белый}.
n шаров ни одного белого, т. е.
|
|
|
C0 |
Cn |
Cn |
|
|
|
|||
P B |
P B 1 P B . |
||||||||||
M |
N M |
|
N M |
, |
|||||||
|
n |
n |
|||||||||
|
|
|
|
CN |
CN |
|
|
|
2. Геометрическое определение вероятности
Пусть в некоторую ограниченную область наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области «равновозможны». Вероятность попадания этой точки в некоторую подобласть A определяется по формуле P A ммераера А , где мера – это длина, площадь или объем.
Здесь элементарными исходами называются точки множества , а благоприятствующими исходами – точки множества A .
Задача 2 (задача о встрече). Аня и Вася условились встретиться около аудитории 202 между 9 и 10 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи Ани и Васи, если приход каждого из них может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы.
Решение. Пусть x – момент прихода Ани, y – момент прихода Васи. Рассмотрим множество точек x, y на плоскости, коор-
4
динаты которых удовлетворяют условиям 0 x 60, |
0 y 60 |
(масштаб 1 минута). Здесь пространство элементарных исходов – множество точек квадрата со стороной 60.
Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы x y 20. Множество точек
x, y на плоскости, координаты которых
удовлетворяют этому условию, представляет собой заштрихованную полосу.
Вероятность встречи равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата:
P A 602 2402 5 . 60 9
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
Суммой (объединением) двух событий A и B называется событие A B A B , которое состоит в том, что произойдет
событие A , либо событие B , либо события A и B одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B назы-
вается событие A B |
A B , которое состоит в одновременном |
появлении событий A |
и B |
Отрицанием (противоположным событием) для события A
называется событие A , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A .
События A и B называются несовместными (непересе-
кающимися), если они не |
могут |
произойти одновременно: |
|
A B . |
|
|
|
События A1, A2 , |
An образуют полную группу событий, если |
||
n |
|
|
|
Ai , |
Ai Aj |
, i j. |
i 1
Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий).
Если A B , то P A B P A P B .
Теорема 2 (сложения вероятностей произвольных событий). Для любых событий A и B P A B P A P B P A B .
5
Теорема 3 (умножения вероятностей). P A B P A P B / A или P A B P B P A / B , где P B / A – вероятность события B при условии, что событие A произошло или P A / B – вероят-
ность события A при условии, что событие B произошло (услов-
ные вероятности).
События A и B независимы, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Теорема 4 (умножения вероятностей независимых событий).
P A B P A P B
Задача 1. В ящике 12 белых и 8 черных шаров. Достают наудачу два шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.
Решение. A A1 A2 , где событие A ={достали два шара одного цвета}, A1 ={достали два белых шара}, A2 ={достали два черных
шара}. |
События |
A1 |
|
и |
|
A2 несовместны, |
поэтому |
||||
P A P A A |
P A |
P A |
|
C2 |
|
C2 |
|
47 |
. |
|
|
12 |
8 |
|
|
||||||||
C202 |
95 |
|
|||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
C202 |
|
|
|
|
Задача 2. Два стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0.8, а второй стрелок – с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Решение. 1-й способ. A B1 B2 B3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 .
Здесь событие A ={цель поражена}, событие B1 ={первый стрелок поразил цель, а второй промахнулся}, событие B2 ={первый стрелок промахнулся, а второй поразил цель}, событие B3 = {оба
стрелка поразили цель}. СобытияB1, B2 , B3 |
– варианты события A – |
|||||||||||
несовместные |
события, |
поэтому |
P A P B1 B2 B3 |
|||||||||
P B1 P B2 P B3 0,8 0,1 0,2 0,9 0,8 0,9 0,98 . |
||||||||||||
2-й способ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P A 1 P |
|
1 P |
|
|
|
1 P |
|
P |
|
1 0,2 0,1 1 0,02 0,98 . |
||
A |
A1 |
A2 |
A1 |
A2 |
||||||||
Здесь событие |
A ={цель поражена}, противоположное событие |
A = {цель не поражена, т. е. первый стрелок промахнулся и второй промахнулся}.
Замечание 1. События A1, A2 и противоположные им события A1, A2 – независимые события.
6
Замечание 2. Второй способ решения задачи более рациональный. Это особенно очевидно, если количество стрелков более двух, например три (как в следующей задаче).
Задача 3. Три стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, второй стрелок – с вероятностью 0,9, а третий стрелок – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Решение. Очевидно, что при решении задачи первым способом событие A ={цель поражена} имеет много вариантов и поэтому вычисление вероятности этого события трудоемко. Вычисление вероятности события A вторым способом дает следующий результат:
P A 1 P A 1 P A1 A2 A3 1 P A1 P A2 P A3
1 0,2 0,1 0,3 1 0,02 0,994.
4.Формула полной вероятности
иформула Байеса
Пусть событие A может произойти только при появлении одного из событий H1, H2 , Hn , образующих полную группу. То-
гда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности
P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 P A / Hn ,
|
n |
|
|
|
|
|
или коротко P Hi P A / Hi , где P Hi – вероятность гипоте- |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
зы Hi , |
P A / Hi |
– условная вероятность события A при выполне- |
||||
нии гипотезы Hi |
i 1, 2, n . |
|
|
|
||
С формулой полной вероятности тесно связана формула Бай- |
||||||
еса. |
Если |
до |
опыта |
вероятности |
гипотез |
были |
P H1 , |
P H2 , , P Hn |
(априорные вероятности), а в результате |
опыта событие A произошло, то появляется возможность «пересмотреть» вероятности гипотез, т. е. вычислить вероятности P H1 / A , P H2 / A , , P Hn / A (апостериорные вероятности) по
формуле Байеса:
7
P Hi / A |
P Hi P A / Hi |
. |
n |
||
|
P Hi P A / Hi |
|
|
i 1 |
|
Задача 1. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных шара. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу выбрали ящик и из него достали один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Найдем априорные вероятности гипотез. Гипотеза H1 = {выбрали первый ящик}; P H1 13 .
Гипотеза H2 = {выбрали второй ящик}; P H2 13 .
Гипотеза H 3 = {выбрали третий ящик}; P H3 13 . Событие A = {достали белый шар}.
P A / H1 103 – вероятность того, что белый шар достали из первого ящика;
P A / H2 62 – вероятность того, что белый шар достали из второго ящика;
P A / H3 124 – вероятность того, что белый шар достали из
третьего ящика.
По формуле полной вероятности P A 13 103 13 62 13 124 9029 . Задача 2. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных ша-
ра. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу выбрали ящик и из него достали красный шар. Из какого ящика вероятнее всего его достали?
Решение. Гипотезы и их априорные вероятности те же, что и в задаче 1.
Событие A = {достали красный шар}.
P A / H1 102 – вероятность того, что красный шар достали из первого ящика;
8
P A / H2 63 – вероятность того, что красный шар достали из второго ящика;
P A / H3 125 – вероятность того, что красный шар достали из
третьего ящика.
Найдем апостериорные вероятности гипотезH1, H2 , H3 при ус-
ловии, что событие A произошло (достали красный шар), по формуле Байеса:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|||
P H1 |
/ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
67 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
10 |
|
3 |
|
6 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
||
P H2 |
/ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
67 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
10 |
|
3 |
|
6 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 . |
|||
P H3 |
/ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|||||||||||||
|
|
3 |
10 |
|
3 |
6 |
3 |
12 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: красный шар достали, вероятнее всего, из второго ящика.
Задача 3. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из ящика достали один шар и выбросили. Затем снова достали один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение.
Гипотеза H1 = {выбросили белый шар}; P H1 85 .
Гипотеза H2 = {выбросили черный шар}; P H2 83 . Событие A = {достали белый шар}.
P A / H1 74 – вероятность того, что из ящика достали белый шар, если сначала выбросили белый шар;
9
P A / H2 75 – вероятность того, что из ящика достали белый шар, если сначала выбросили черный шар.
По формуле полной вероятности P A 85 74 83 75 85 .
Задача 4. В первом ящике 5 белых и 7 черных шаров, а во втором ящике три белых и 2 черных шара. Из первого ящика во второй переложили один шар, а затем из второго ящика достали один шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что переложили белый шар.
Решение.
Гипотеза H1 = {из первого ящика во второй переложили белый
шар}; P H1 125 .
Гипотеза H2 = {из первого ящика во второй переложили черный
шар}; P H2 127 .
Событие A = {из второго ящика достали черный шар}.
P A / H1 62 – вероятность того, что из второго ящика достали
черный шар, если из первого ящика во второй переложили белый шар;
P A / H2 63 – вероятность того, что из второго ящика достали
черный шар, если из первого ящика во второй переложили черный шар.
Найдем вероятность гипотезы H1 при условии, что событие A произошло (достали черный шар):
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
10 . |
|
P H1 |
/ A |
|
|
|
12 |
6 |
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
3 |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
31 |
||||||
|
|
12 |
6 |
12 |
6 |
|
|
10