Компьютерные лабораторные занятия по теоретической механике. Ч. 2 (110
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿
А.А. Каменский, А.А. Некипелов, В.В. Чернушкин
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Часть 2
Учебное пособие
Воронеж Издательский дом ВГУ 2016
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 23 ноября 2016 г., протокол 11
Рецензент д-р физ.-мат. наук, доц. кафедры электроники Г.К. Усков
Учебное пособие подготовлено на кафедре теоретической физики физи- ческого факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения физического факультета Воронежского государственного университета.
Для направления 03.03.02 Физика
Содержание
|
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
7. |
Неинерциальные системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
7.1. Движение в равномерно вращающейся системе отсчета |
5 |
8. |
Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
8.1. Собственные частоты колебаний . . . . . . . . . . . . |
9 |
8.2.Вынужденные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9.Формализм Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9.1.Функция Гамильтона и канонические уравнения . . . 20
9.2.Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9.3.Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . 26
9.4. Метод Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10.Гидродинамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.1.Идеальная жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.2.Вязкая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11.Функции стандартных библиотек Maxima . . . . . . . . . . 37
11.1.Аналитические преобразования алгебраических выра-
жений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
11.2. Операции с векторами и матрицами . . . . . . . . . . |
42 |
11.3.Дифференцирование и интегрирование. Разложение в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.4.Решение дифференциальных уравнений . . . . . . . . 45
11.5.Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . 47 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Предисловие
Настоящее пособие представляет собой вторую часть учебного пособия для лабораторных компьютерных занятий и самостоятельной работы студентов по курсу ¾Теоретическая механика и механика сплошных сред¿ для студентов специальности ¾физика¿ физического факультета.
Всего указания содержат 11 разделов, из них первые шесть включены в первую часть. Во вторую часть вошли разделы (для удобства ссылок сохранена сквозная нумерация): неинерциальные системы отсчета (разд. 7), малые колебания (разд. 8), формализм Гамильтона (разд. 9), гидродинамика (разд. 10), а также функции стандартных библиотек Maxima (разд. 11).
Ссылки на рекомендуемую литературу указаны в первой части пособия.
В конце пособия приводится предметный указатель некоторых из используемых в пособии команд, терминов, обозначений.
4
7. Неинерциальные системы отсчета
7.1.Движение в равномерно вращающейся системе отсчета
Задача 7.1
Шарик движется в однородном поле тяжести по прямой, образующей угол с вертикалью и враща-
ющейся с постоянной угловой скоростью !, êàê ïî-
казано на рисунке. Найти зависимость скорости шарика от его положения, а также связь координат и времени при условии, что механическая энергия в неинерциальной системе отсчета равна нулю.
Решение.
Будем считать, что вектор угловой скорости на-
правлен по оси z, а ускорение свободного падения в противоположную сторону. Обозначив s смещение шарика вдоль вращающейся прямой, выразим остальные координаты:
x = s sin ; y = 0; z = s cos :
> load(vect);
> r:[s*sin(alpha),0,s*cos(alpha)];
G:[0,0,-g]; Omega:[0,0,omega];
Потенциальная энергия равна
U = m (r g) = mgz:
Механическую энергию частицы в равномерно вращающейся системе от- счета вычислим по формуле
E0 = mv2 2 + U m2 [ ! r ]2
> U:-m*(r.G);
> C:-m/2*ev(express(Omega~r.Omega~r),diff);
> E=m*v^2/2+C+U;
Отсюда найдем скорость шарика, (как решение алгебраического уравнения), и присвоим переменной v (выбрали второе решение с по-
ложительным знаком):
> solve(%,v)[2];
q
v = 2E=m + s2!2 sin2 2 s g cos :
5
Для решения дифференциального уравнения (при заранее, что величины sin , cos è omega положительны:
> eq:subst([E=0,v='diff(s,t)],%);
> assume (sin(alpha)>0 and omega>0);
> ode2(eq, s, t);
Ответив на вопрос Maxima про g: positive, получим ответ:
|
1 |
|
|
|
|
t = |
ln 2 ! sin qs2!2 sin2 2 s g cos + |
||||
|
|||||
! sin |
|||||
|
+2 s !2 sin2 2 g cos ! + const: |
Задача 7.2
Определить отклонение от начальной плоскости движения для тела, брошенного с начальной скоростью v0
Указание: считать ускорение свободного падения равным g = f0; 0; gg, а угловую скорость вращения системы отсчета рав-
íîé = f cos ; 0; sin g, где широта. Решение.
> load(vect);
> v:[vx,vy,vz]; g1:[0,0,-g];
> Omega1:[-Omega*cos(theta),0,Omega*sin(theta)];
> depends([vx,vy,vz],t);
Уравнение движения частицы в равномерно вращающейся системе отсчета есть
dv |
= mg + 2m [v ] + m [ [r ]] : |
|
m dt |
(7.1) |
Введем его в координатной форме, пренебрегая слагаемым, квадратичным по :
> eq[1]:m*diff(v[1],t)=m*g1[1]+2*m*express(v~Omega1)[1];
> eq[2]:m*diff(v[2],t)=m*g1[2]+2*m*express(v~Omega1)[2];
> eq[3]:m*diff(v[3],t)=m*g1[3]+2*m*express(v~Omega1)[3];
Подставим dvx=dt è dvz=dt из первого и третьего уравнений во второе, продифференцировав каждую его часть по времени.
> eliminate([eq[1],diff(eq[2],t),eq[3]],
[diff(vx,t),diff(vz,t)]);> eqv:trigsimp(%[1])=0;
6
Теперь дифференциальное уравнение содержит единственную проекцию скорости и допускает понижение степени (на запрос Maxima о знаке параметра введем nonzero):
> ode2(eqv,vy,t);
Рассматривая отклонение от начальной плоскости движения, положим в начальный момент времени y = 0, vy = 0. Остальные начальные условия введем с учетом связи проекций скорости между собой:
> ic2(%,t=0,vy=0,diff(vy,t)=2*(-Omega*cos(theta)
*v0z-Omega*sin(theta)*v0x));
Поскольку данное приближение справедливо для малых величин ,
то исключим слагаемые избыточной малости, убрав многоточие из ряда Тейлора командой ratdisrep
> ratdisrep(ta);
> r:ratdisrep(taylor(%,Omega,0,1));
vy = gt2 2v0zt cos( ) 2v0xt sin( ) :
> ode2('diff(y,t)=part(r,2),y,t);
> ic1(%,t=0,y=0);
> r:factor(%);
Ответ: |
v0z cos + v0x sin 3 |
: |
|
y = t2 |
|||
|
|
gt |
|
Замечание: при нулевой начальной скорости (например, тело падает в шахту), получаем кубическую зависимость от времени:
y = g 3t3 cos( ):
Задача 7.3
Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания математического маятника (маятник Фуко).
Решение.
Потенциальная энергия математического маятника равна U = mgh,
причем
x2 + y2 + z2 = l2;
ãäå l длина нити.
> z:sqrt(l^2-x^2-y^2);
> U:m*g*(l-z);
7
В дальнейшем потребуется разложение в ряды в символьном виде, поэтому свяжем производные координат со скоростями с помощью команды gradef:
> gradef(x,t,vx); gradef(y,t,vy);
> load(vect);
> v:[diff(x,t),diff(y,t),diff(z,t)];
> Omega:[Omegax,Omegay,Omegaz];
Сила, действующая на материальную точку маятника равна
F = gradU :
> F:-ev(express(grad(U)),diff);
Подставим ее в уравнение движения (7.1), снова пренебрегая слагаемым, квадратичным по . Запишем уравнение в координатной форме, ограничившись членами первого порядка малости:
> m*'diff(v[1],t)=F[1]+2*m*express(v~Omega)[1];
> eqx:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));
> m*'diff(v[2],t)=F[2]+2*m*express(v~Omega)[2];
> eqy:ratdisrep(taylor(%,[x,y,vx,vy],0,1));
Вернувшись к записи через производные, получим систему уравнений
ââèäå
> eq1:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),
vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqx/m));> eq2:expand(subst([x=X(t),y=Y(t),
vx='diff(X(t),t),vy='diff(Y(t),t)],eqy/m));
|
g |
|
g |
|||
nX•(t) = 2 zY_ |
(t) |
|
X(t); Y• (t) = 2 zX_ |
(t) |
|
Y (t)o: |
l |
l |
Два уравнения легко сводятся к одному с помощью комплексной замены
(t) = X(t) + iY (t);
для этого умножим (почленно) второе уравнение на мнимую единицу и сложим с первым:
> subst(X(t)=xi(t)-%i*Y(t),eq1+%i*eq2);
> ev(%,diff);
> eq:expand(%);
• |
_ |
g |
|
(t) = 2i z (t) |
l |
(t): |
> ode2(eq,xi(t),t);
8
Ответив positive на вопрос Maxima о знаке величины l(l 2z + g), получим решение в виде
(t) = [k1 sin (!t) + k2 cos (!t)] e i zt;
ãäå
rr
! = z2 |
g |
|
g |
|
|
+ |
|
|
: |
||
l |
l |
Множитель e i zt означает медленное вращение плоскости колебаний ма- ятника.
8. Малые колебания
8.1. Собственные частоты колебаний
Задача 8.1
Закон гармонических колебаний задан в виде
x(t) = A sin( t) cos2( t) sin2( t)=3 :
Найти положение равновесия, частоту и амплитуду колебаний. Решение.
Для гармонических колебаний со смещенным положением равновесия xeq можем записать
d2x |
= !2(x(t) xeq); |
d3x |
= !2 |
dx |
: |
dt2 |
dt3 |
dt |
Отсюда найдем частоту колебаний:
> x:A*sin(beta*t)*(cos(beta*t)^2-sin(beta*t)^2/3);
> factor(diff(x,t,3)/diff(x,t,1));
> omega:sqrt(-%);
а затем и положение равновесия:
> xeq:trigsimp(x+diff(x,t,2)/omega^2);
Амплитуду найдем по формуле
q
a = (x(t) xeq)2 + (x(t)=!)2 : (8.1)
> a:sqrt(trigsimp((x-xeq)^2+diff(x,t)^2/omega^2));
Ответ:
! = 3j j; xeq = 0; a = jAj=3:
9
Задача 8.2
Решить предыдущую задачу для следующих функций x(t): à) x(t) = A sin(2 t) + B sin2( t);
á) x(t) = A cos( t + 1) + B cos( t + 2).
Указание: для автоматического разложения тригонометрических функций кратных аргументов использовать опцию trigexpand :
> trigexpand:true;
Ответ:
|
1 |
|
|
|
|
a) ! = 2j j; xeq = B=2; a = |
p4A2 + B2; |
||||
|
|||||
2 |
p
á) ! = j j; xeq = 0; a = A2 + B2 + 2AB cos( 2 1):
Задача 8.3
Частица массы m совершает одномерное движение в поле
U(x) = U0 cos( x) F0x:
Получить условие, при котором могут возникнуть малые колебания и найти их частоту (U0, , F0 постоянные).
Решение.
Из условия экстремума потенциальной энергии найдем положение равновесия:
> x0:part(solve(diff(U(x),x)=0,x)[1],2);
Предупреждение solve: using arc-trig functions to get a solution. Some solutions will be lost. означает, что в формуле на экране
asin |
U00 |
|
= |
|
|
|
F |
|
|
не учтен знак . Выберем далее знак таким, чтобы коэффициент колебаний k получился положительным, это обеспечивается добавлением модуля.
> k:subst(x=x0,diff(U(x),x,2));
> omega:sqrt(ratsimp(abs(k))/m);
Очевидно, результат применим только в случае положительного зна- чения подкоренного выражения.
Ответ: |
|
|
|
|
|
jF0j < jU0 |
j; ! = rjmjq(U0 )2 |
F02: |
|||
|
|
|
|
|
|
10