Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Л. И. Аверина, А. А. Лещинский
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Учебное пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 30 ноября 2010 года, протокол № 9
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент А. Н. Алмалиев
Учебное пособие подготовлено на кафедре электроники физического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го курса дневного отделения и 5-го курса вечернего отделения физического факультета Воронежского государственного университета, сдающих экзамен по курсу «Физика волновых процессов».
Для специальности 010801 – Радиофизика и электроника
|
Содержание |
|
Введение........................................................................................................... |
4 |
|
1. |
Уравнения для нелинейных волн. Классификация нелинейных |
|
|
эффектов ...................................................................................................... |
6 |
2. |
Методы решения нелинейных уравнений в теории волн..................... |
13 |
3. |
Генерация второй гармоники................................................................... |
18 |
4. |
Распадная неустойчивость волн. Параметрическое усиление |
|
|
и генерация................................................................................................ |
24 |
5. |
Самовоздействие волн. Нелинейная дисперсия |
|
|
и нелинейное поглощение........................................................................ |
31 |
Литература..................................................................................................... |
35 |
3
Введение
Волновые уравнения, описывающие процессы в линейных средах, обладают свойством суперпозиции. Это свойство заключается том, что различные пространственно-временные спектральные составляющие волновых полей – плоские монохроматические волны – распространяются без искажений и не взаимодействуют друг с другом.
Линейная среда представляет собой некоторую идеализированную модель, и поэтому пользоваться ею для описания прохождения волн через реальные среды можно не во всех случаях. Применимость модели линейной среды зависит в первую очередь от величины отношения амплитуды волны
к характерной величине хар, определяющей упругие свойства среды. |
В |
акустике хар – это давление газа или внутреннее давление жидкости, |
в |
электродинамике хар – напряжённость внутреннего поля, действующего на электроны атомов и т. д.
В линейной среде отношение / хар полагается бесконечно малым, в
результате чего волновое уравнение становится линейным:
1
,
где – линейный оператор, описывающий дисперсию и диссипацию среды. Если же величину / хар считать конечной, то в волновом уравнении необходимо удержать нелинейные члены:
где , |
|
|
1 |
|
линейные операторы, имеющие по, |
|
, |
…, |
– |
|
полю порядок |
||
волновом/ хар |
по отношению к линейным членам. Учёт нелинейных членов в |
|||||
уравнении приводит к качественно новым явлениям. В простей- |
||||||
шем случае, |
когда на вход среды падает монохроматическая волна |
|||||
|
|
, нелинейность приводит к последовательному возбуждению |
||||
|
|
|
4 |
|
временных гармоник волны , n = 2,3,4,…. Обогащение частотного спектрального состава излучения означает искажение формы синусоидального профиля волны. Сильное электромагнитное поле изменяет оптические характеристики среды (показатель преломления, коэффициент поглощения), которые становятся функциями напряжённости электрическо-
го поля |
волны, |
т.е. поляризация среды нелинейно зависит от |
|
напряжённости. |
|
|
|
Параметр |
характеризует локальную нелинейность среды и |
||
указывает порядок/ величиныхар |
относительного нелинейного изменения ам- |
||
плитуд полей |
за один |
период колебаний . Если в течение времени |
|
совершается |
колебаний, |
/ , то нелинейный эффект увеличивается |
враз, т.е. составляет величину / хар. Так как мы имеем дело с волна-
ми, бегущими с конечной скоростью , то время определяется длиной области взаимодействия гармоник или протяжённостью нелинейной среды : / ; при этом равно отношению длины к длине волны , т.е.
// . Таким образом, в волновых системах степень нелиней-
ного |
|
взаимодействия определяется параметром |
/ |
хар |
. |
Поэтому, если |
даже коэффициент локальной нелинейности мал, |
|
, суммарный |
||||
нелинейный эффект за счёт большой протяжённости⁄областихар 1взаимодейст- |
||||||
вия, |
/ |
1 |
|
|
|
|
|
, может быть значителен. |
|
|
|
|
Протяжённость области эффективного взаимодействия гармоник во многом зависит от дисперсии и диссипации среды. Действительно, энергообмен между гармониками зависит от соотношения фаз. В среде без частотной дисперсии все волны бегут с одинаковыми скоростями, и фазовые соотношения сохраняются в процессе распространения между всеми гармониками (выполняется условие фазового синхронизма для всех гармоник). Если затухание волн мало, то нелинейные эффекты могут накапливаться пропорционально пройденному расстоянию. Следовательно,
5
в недиспергирующей недиссипативной среде на достаточно больших расстояниях хар/ всегда возникают сильные нелинейные искажения исходного профиля волны.
В случае среды с дисперсией фазовые скорости волн на различных частотах различны, вследствие чего соотношения между фазами гармоник изменяются в пространстве весьма быстро. При нарушении фазового синхронизма нелинейные эффекты не накапливаются, и перекачка энергии очень незначительна. Иными словами, в диспергирующих средах заметных искажений форм волны не происходит. Изучение синхронных взаимодействий волн наибольшее значение имеет в электродинамике, в особенности в нелинейной оптике и физике плазмы, радиофизике, акустике. Теория нелинейных волновых процессов имеет много общего с теорией нелинейных колебаний.
Далее мы будем рассматривать волновые взаимодействия в условиях сильного проявления дисперсии среды.
1. Уравнения для нелинейных волн. Классификация нелинейных эффектов
Для конкретности изложения теории нелинейных волн с дисперсией будем говорить о нелинейной электродинамике немагнитных сред, в частности, о нелинейной оптике. Таким образом, будем считать, что нелинейность будет проявляться для электрического поля.
Основными уравнениями для электромагнитных полей в нелинейном диэлектрике по-прежнему являются уравнения Максвелла.
1 |
|
|
|
|
, |
|
(1.1) |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
, |
(1.2) |
||
|
|
|
6
4 , |
. |
(1.3) |
Только теперь связь поляризации среды |
с сильным электрическим |
полем становится нелинейной.
В линейном приближении при учёте временной (частотной) дисперсии материальное уравнение согласно принципу причинности может быть
записано в виде: |
, |
|
л |
(1.4) |
где ̂– тензор линейной диэлектрической восприимчивости среды. В силь-
ных полях поляризация среды будет содержать помимо линейного члена также нелинейные члены:
|
нл |
(1.5) |
где |
– нелинейные части поляризации j-го порядка, |
(квадратичная, ку- |
бичная и т.д.), для которых можно записать феноменологические выражения по аналогии с (1.4):
, , (1.6)
|
|
|
|
, |
, |
(1.7) |
Здесь |
̂ |
, |
̂ |
,… – тензоры нелинейных восприимчивостей. |
: квадратичной, |
|
|
|
|||||
кубичной и т.д. |
|
|
||||
|
Рассмотрим нелинейный отклик среды при распространении в ней не- |
|||||
скольких монохроматических плоских волн: |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
1 |
7 |
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
где i ≠ 0 и = . Волны (1.8) возбуждают в среде, как видно из (1.3)–(1.7), волны линейной и нелинейной поляризации:
1 |
|
(1.9) |
2 |
|
|
на комбинационных частотах |
, |
|
, |
(1.10) |
|
|
|
где n – порядок нелинейности члена. В результате процессов переизлучения в нелинейной среде возбудятся электромагнитные волны на тех же комбинационных частотах. Возбуждению высших гармоник соответствуют
1, .
Вновь появившиеся волны в свою очередь могут принять участие во взаимодействии с другими волнами. Несмотря на сложность общей картины, можно провести классификацию нелинейных волновых эффектов по типу нелинейности, на которой развивается волновой процесс, и по числу волн, участвующих во взаимодействии. С этой целью рассмотрим структуру линейной и нелинейной поляризации среды.
Линейная часть поляризации возбуждается каждым из электромагнитных полей (1.8):
л1
2
1 |
1 |
2 |
2 |
или с учётом (1.9)
л. (1.11)
Квадратичная нелинейность. В такой среде возникает квадратичная по полю поляризация (1.6). Подставим (1.8) в (1.6):
8
1 |
|
, |
|
1 |
4 |
|
|
|
|
̂ , |
|
4 |
|
|
|
1 |
. |
||
|
4 |
Рассматривая получившееся выражение и сравнивая его с (1.9), можно прийти к следующим выводам.
Во-первых, каждое из электромагнитных полей возбуждает две квадратичные поляризации среды на удвоенной и нулевой частотах:
|
1 |
. |
(1.12) |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
, |
(1.13) |
|
|
|
|
|
|
Поляризация на удвоенной |
2частоте (1.12) ответственна за генерацию второй |
гармоники, а постоянная во времени поляризация (1.13) – за детектирование высокочастотного электромагнитного излучения, при котором в диэлектрике появляется электромагнитное поле.
Во-вторых, две электромагнитные волны с разными частотами |
и |
|
возбуждают ещё две поляризации среды на суммарной и разностной |
||
частотах: |
|
|
, |
(1.14) |
|
(1.15) |
||
Так как в результате одного акта воздействия каких. |
-либо двух волн в среде |
возникает третья волна на комбинационной частоте, то говорят, что на квадратичной нелинейности происходит трёхчастотное взаимодействие.
9
Отметим специально один важный предельный случай, когда одно из полей является постоянным, 0, . Тогда квадратичная поляризация (1.14) и (1.15) будет иметь ту же частоту, что и сама электромагнитная волна:
|
|
|
(1.16) |
Это линейный электрооптический |
эффект Поккельса, состоящий в измене- |
||
0 |
. |
|
нии диэлектрической проницаемости пьезооптического кристалла под
действием постоянного электрического поля: |
|
|
|
. |
Наконец, в-третьих, общее выражение |
для тензора квадратичной вос- |
|||
̂ ̂ |
4 |
̂ |
|
|
приимчивости как функция частоты имеет вид: |
|
. |
|
|
, |
|
|
(1.17) |
Кубичная нелинейность. Здесь число возможных нелинейных процессов больше, чем в предыдущем случае: в процессе одного взаимодействия могут принять участие не три, а четыре волны на разных частотах.
Подставим (1.8) в (1.7):
1 |
, , |
8 |
1 |
̂ , , |
8 |
1 |
. |
8 |
10