Оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений (80
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ ИЗМЕРЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОТОКОВ ИЗЛУЧЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2012
Утверждено научно-методическим советом физического факультета 23 декабря 2012 г., протокол № 17
Составители: А.Г. Бабенко, В.Б. Бруданин, В.М. Вахтель, В.А. Работкин
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. В.А.Терехов
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре ядерной физики физического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 3-го и 4-го курсов очной и очно-заочной форм обучения физического факультета.
Для специальностей: 010400 – Физика, 013800 – Радиофизика, 014100 – Микроэлектроника, 140302 – Физика атомного ядра и частиц
2
Судьба, Удача, Случай, Изменчивость и Время? Им Подвластно все…
П.Б. Шелли. Освобожденный Прометей
Оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
1. В экспериментальных исследованиях, когда изучаются такие характеристики потоков излучений, как интенсивность I или число частиц в заданном интервале времени N(t), практически всегда имеется постороннее, т. е. фоновое излучение (для краткости – фон).
Часто измерительная система не идентифицирует фоновое излучение и регистрирует его так же, как и изучаемое. Это вызывает искажение информации о характеристиках изучаемого излучения.
Чтобы учесть воздействие (вклад) фона, необходимо знать характеристики этого излучения.
В большинстве экспериментов характеристики потоков излучений являются случайными величинами. Одной из важнейших характеристик потока является его интенсивность I, которую можно определить как число частиц потока в единицу времени:
I = N(t)/t,
где N(t) – число частиц, зарегистрированных за время t.
При наличии фонового излучения результат измерения N(t) представляет собой сумму числа частиц двух потоков излучения: изучаемого Nх(t) и фонового Nф(t).
N(t)= Nх(t) + Nф(t).
Каждая из составляющих суммы в простом случае является независимой случайной величиной, подчиняющейся обычно распределению Пуассона. Поэтому величина N(t) также является случайной и подчиняется распределению Пуассона.
Одной из главных задач экспериментальных исследований является определение значений Nх(t) и Ix. В качестве статистической оценки значения Nх(t) при многократных измерениях принимают разность среднеарифметических значений
N x (t) = N (t) − Nф(t) ,
если время измерения t каждой составляющей одно и то же. Такая оценка основана на свойстве сумм (разностей) независимых случайных величин.
В общем случае интервалы времени измерения величин N(t) и Nф(t) различны, и тогда справедливо соотношение для интенсивностей потоков излучений
I x = |
N (t) |
− |
N ф (tф ) |
= I N |
− I ф . |
|
t |
tф |
|||||
|
|
|
|
3
В простых экспериментах обычно абсолютные и относительные погрешности времени измерения t и tф много меньше статистических погрешностей величин N(t) и Nф(tф), поэтому ими можно пренебречь.
Случайные величины N(t) и Nф(t) обычно подчиняются распределению Пуассона, и, следовательно, их дисперсии равны самим значениям (математическим ожиданиям)
DN = N (t); |
DNф = Nф(tф) . |
Поэтому очевидно справедливы следующие соотношения:
DNx = DN + DNф = N (t) + Nф(tф) ,
DIx = DI + DIф = |
N (t) |
+ |
Nф(tф) |
= |
I |
+ |
Iф |
. |
|
t 2 |
tф2 |
t |
tф |
||||||
|
|
|
|
|
Для относительной погрешности во второй степени справедливо
δIx2 = |
D |
Ix |
= |
I / t + Iф / tф |
. |
|
I x2 |
(I − Iф )2 |
|||||
|
|
|
Из этих соотношений следует: как абсолютная, так и относительная погрешности могут быть уменьшены до необходимого значения путем увеличения времени измерения t и tф.
Если задать значение полного времени измерения T = t + tф, то можно обеспечить минимальные значения DIx и δIx , распределив оптимально вре-
мя измерения t и tф. Так как t = T – tф, то справедливо
DIx = |
I |
|
+ |
Iф |
= |
|
I |
+ |
Iф |
. |
||
t |
tф |
T −tф |
tф |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из условия минимума |
∂D(I ) =0 следует |
|
|
|||||||||
|
∂tф |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂D(I ) |
= ( |
I |
)2 − |
Iф |
=0 . |
||
∂t |
ф |
− |
tф |
t 2 |
|||
|
T |
|
|
ф |
|
||
Поэтому получаем соотношение |
|
|
|
|
|||
|
(T −tф ) |
= |
t |
= |
I |
. |
|
|
|
tф |
tф |
Iф |
|||
|
|
|
|
|
Таким образом, при заданном полном времени измерения T оптимальные значения интервалов времени измерения равны:
для фона
tф = |
|
T |
|
, |
|
|
|
I |
|||
1 |
+ |
|
|
||
|
I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
4
для суммарного потока излучения |
|
T |
|
|
|
t = |
|
|
. |
||
|
|
I |
ф |
||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
I |
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
В экспериментальных задачах могут возникнуть условия измерения, когда интенсивность излучаемого потока I x мала по сравнению с интенсив-
ностью фона Iф . В этих условиях оптимальные интервалы времени из-
мерения будут t = tф =T / 2 . Тогда относительная погрешность определения интенсивности I x составит
δIx ≈ |
I + Iф |
2 |
. |
|
I − Iф |
T |
|||
|
|
Если задать значение относительной погрешности определения интенсивности потока изучаемого излучения δIx , то можно оценить не-
обходимое полное время измерения T = t + tф
T ≈ |
2 |
|
Iф |
|
. |
δIx2 |
|
(I − I |
ф)2 |
||
|
|
|
Если же возникают условия, когда потоки исследуемого и фонового излучения соизмеримы ( I ≈ Iф ), то при заданной относительной
погрешности δ определения величины I x оптимален выбор значений t =tф , и тогда
t =tф = |
I + Iф |
|
|
. |
|
δ(I − Iф)2 |
Если I >> Iф , то оптимальное условие измерений при заданном значении δIx будет
t≈ I δ12 Ix .
Влабораторной работе для определения значений t и tф при за-
данном T необходимо выполнить предварительные измерения. С этой целью следует провести измерения числа частиц суммарного потока N(t) и фона Nф(t) отдельно длительностью порядка 5 минут. Полученные значения позволяют оценить величины I и Iф и определить оптимальные времена t и tф.
Рассмотренная задача является частным случаем задач определения (или сравнения) разности интенсивностей двух потоков излучений. Случайная величина Ix имеет разностное распределение, которое при N и Nф >> 1 близко к распределению Гаусса.
5
2. Во многих экспериментальных исследованиях интенсивностей потоков излучений задача сводится к определению отношения двух интенсивностей в виде отношения скоростей счета частиц при двух различных условиях измерений. Например, в исследованиях ослабления потока излучения слоем вещества толщиной d ослабление интенсивности потока I можно представить моделью
I1 (d ) = I0 e−μd ,
где μ – важнейшая характеристика ослабления (полный линейный коэффи-
циент ослабления) |
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
eμd |
= |
. |
|
|
||||
|
|
I1 (d ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При подобных условиях справедливо соотношение для относитель- |
||||||||||
ных погрешностей интенсивностей и их отношения |
||||||||||
где |
δ 2 =δ02 +δ12 , |
|||||||||
|
σI |
|
|
|
|
|
σI |
|||
δ0 |
= |
0 |
|
|
δ1 = |
|||||
|
|
|
; |
1 |
. |
|||||
|
I0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
Среднеквадратичные флуктуации интенсивностей (скоростей счета) равны
σ(I0 ) = I0 / t0 , σ(I1 ) = I1 / t1 , I0 = N0 / t0 , I1 = N1 / t1 ,
где N0 и N1 – число частиц, зарегистрированных за время t0 и t1 соответственно.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ 2 = |
|
|
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
I t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если задано полное время измерения T = t0 + t1 , |
то минимальная по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
грешность будет получена из соотношений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
δ |
2 = |
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I0t0 |
|
I1 (T −t0 ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂δ 2 |
= − |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
= 0. |
||||||
∂t |
0 |
I |
0 |
t 2 |
|
|
I |
1 |
(T −t |
0 |
)2 |
|
I |
0 |
t 2 |
|
I t |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 1 |
|
|||||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
= |
|
|
|
I1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
I |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому минимальная погрешность при определении отношения интенсивностей для заданного значения t0 + t1 = T будет при значениях t0 и t1, рассчитанных по формулам
6
t0 |
= |
|
T |
, |
t1 = |
|
T |
. |
|
+ |
I |
1 + |
I1 / I0 |
||||||
|
1 |
0 / I1 |
|
|
Следовательно, при определении отношения двух интенсивностей необходимо измерять в течение большего времени меньшую интенсивность.
Для определения значений t0 и t1 при решении конкретной задачи не-
обходимо выполнить предварительные оценочные измерения N0 и N1 (при N0 > N1) длительностью t0 ≈ t1 ≈ 1 минута соответственно. Затем, используя
предварительные оценки интенсивностей I0 ≈ N0 / t0 и I1 ≈ N1 / t1 , необхо-
димо, задав полное время измерения Т, определить оптимальные значения t0 и t1 .
В рассмотренной выше задаче определения полного линейного коэффициента ослабления излучения (μ) при прохождении через вещество
оптимальное отношение интервалов времени измерения составляет t1 / t0 ≈ 3,6 .
Это следует из условия минимума дисперсии величины μ:
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dμ = |
d 2 |
I |
|
t |
|
+ I |
|
t |
, |
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
δ |
2 |
= |
Dμ |
= |
1 |
|
1 + I0 / I1 |
|
2 |
|
μ |
|
2 |
|
|
|
. |
||||
|
|
μ |
|
|
|
ln(I0 / I1 ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
I0 T |
|
|
Минимум достигается при отношении интенсивностей I0 / I1 ≈ 13, и соответствующее оптимальное отношение интервалов времени измерений
будет |
|
|
|
t1 |
= |
I0 |
≈ 3,6 . |
t0 |
|
I1 |
|
При заданном полном времени измерения T = t0 + t1 оптимальные
значения величин t0 и t1 вычисляются как |
|
t0 = 0,217 T ; |
t1 = 0,783 T . |
Рассмотренное условие оптимизации справедливо и при решении задачи определения постоянной радиоактивного распада λ на основе известного соотношения
I1 = I0e−λt .
7
Литература
1. Сборник лабораторных работ по ядерной физике / под ред. К.Н. Мухина. – М. : Атомиздат, 1979. – 2-е изд. – 272 с.
2.Коробков В.И. Методы приготовления препаратов и обработка результатов измерений радиоактивности / В.И. Коробков, В.Б. Лукьянов. –
М. : Атомиздат, 1973. – 216 с.
3.Гольданский В.И. Статистика отсчетов при регистрации ядерных частиц / В.И. Гольданский, А.В. Куценко, М.И. Подгорецкий. – М. : ФМ, 1959. – 412 с.
4.Яноши Л. Теория и практика обработки результатов измерений /
Л. Яноши. – М. : Мир, 1968. – 462 с.
5.Коршунов И.А. Лабораторные работы по радиохимии / И.А. Коршунов. – М. : Высшая школа, 1970. – 264 с.
6.Ципенюк Ю.М. Лабораторный практикум по общей физике / Ю.М. Ципенюк, Ф.Ф. Игошин, Ю.А.Самарский. – М. : Физматкнига, 2005. – 432 с.
8
Учебное издание
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ ИЗМЕРЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОТОКОВ ИЗЛУЧЕНИЙ
Лабораторный практикум по ядерной физике
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Бабенко Александр Григорьевич, Бруданин Виктор Борисович,
Вахтель Виктор Матвеевич, Работкин Владимир Александрович
Корректор В.П. Бахметьев Компьютерная верстка О.В. Шкуратько
Подп. в печ. .01.2013. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 0,5. Тираж 25 экз. Заказ 1167.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра
Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33
9