К анализу напряженности магнитного поля некругового витка с током в однородной изотропной среде (80
..pdfК анализу напряженности магнитного поля некругового витка с током в однородной изотропной среде
ЗАГРЯДЦКИЙ В.И., КОБЯКОВ Е.Т.
Получены аналитические выражения для осевой составляющей напряженности магнитного поля плоского витка с током, состоящего из двух радиа льных и двух дуговых участков, в однородной изот ропной среде, необходимые, в частности, для расче та магнитного поля в кольцевом зазоре торцевой асинхронной электрической машины.
К л ю ч е в ы е с л о в а : магнитное поле, напря женность, ток, плоский виток, изотропная среда
Расчет магнитных полей [1], созданных тока ми, протекающими по контурам конечных разме ров, представляет собой весьма сложную задачу. Это связано с тем, что все величины, характери зующие поле, являются функциями трех коорди нат, т.е. задача является трехмерной. В простей шем случае одного кругового витка ее решение найдено [1, 2] в форме векторного потенциала, через который определены осевая и радиальная составляющие вектора магнитной индукции. Тангенциальная составляющая в этом случае в силу осевой симметрии поля отсутствует.
Определенный теоретический и практический интерес представляет задача расчета напряжен ности магнитного поля, созданного током плос кого контура, показанного на рис. 1. Контур имеет два радиальных прямолинейных участка и два участка в форме дуг окружностей; П — след плоскости симметрии поля на плоскости контура витка. Примером такого контура может служить виток обмотки статора торцевого асинхронного двигателя (ТАД) [3, 4].
Рис. 1
The analytical expressions are obtainedfor an axial component of the magnetic field strength of a planar turn with current, consisting of two radial and two arc portions in a homogeneous isotropic medium. In part icular they are neededfor calculating the magnetic field in an annular gap of an end wall of an asynchronous electric machine.
K e y w o r d s : magnetic field, strength, current, flat turn, isotropic medium
Ограничимся определением напряженности Н магнитного поля в точках, лежащих в плоскости витка. В этих точках векторы Н направлены перпендикулярно плоскости витка, а их значения могут быть найдены путем алгебраического сум мирования напряженностей, созданных каждым проводником контура. Принимаем известное до пущение, согласно которому размеры поперечно го сечения проводников витка пренебрежимо малы по сравнению с размерами контура.
Для определения напряженности Н восполь зуемся законом Био—Савара, в соответствии с которым напряженность dH в точке М от тока / в элементе dl контура выражается формулой
dH = -±j[~dl;r<), |
(1) |
где /; — радиус-вектор, проведенный от элемента dl к точке М; в квадратные скобки заключено векторное произведение векторов dl и г+.
Формулу (1) преобразуем к виду, удобному для решения поставленной задачи, воспользовав шись обозначениями, принятыми на рис. 2. Учи тывая, что согласно рис. 2 rt=-r, из (1) находим:
dH = dHe = -Lr[r; |
dl] = -L1rdlsmae= |
4лг |
Ькг |
где~ё— единичный вектор (орт), перпендикуляр ный площадке, образованной векторами г и dl.
Если кривая АВ плоская (рис. 2), то, рассмат ривая г как функцию угла <р, отсчитываемого от луча МА, в результате интегрирования находим:
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 3/2002 |
К анализу напряженности магнитного поля |
59 |
Рис.2
<? |
(3) |
4л: ^г((р) |
Вформуле (3) следует брать знак плюс, если точка М, в которой определяется напряженность поля, при движении по направлению тока / нахо дится слева. Положительное значение Н означа ет, что вектор Н направлен от плоскости конту ра к наблюдателю.
Вслучае плоского кругового контура из (3) имеем известный результат для центра круга:
Я=|72г.
Воспользуемся формулой (3) для решения по ставленной задачи о магнитном поле витка с то ком (рис. 1). Сначала определим напряженность поля, создаваемого током, проходящим по пря молинейному участку АВ (рис. 3). Для точки М, заданной координатами р и а,
r=ao/cosy, |
(4) |
где |
|
%=р sin (0,5aT - а). |
(5) |
Причем переменной интегрирования является угол у, отсчитываемый от перпендикуляра к пря мой АВ.
Тогда, согласно (3), заменив <р на у, получаем:
^ = 4 ^ ( s i n n + s i n 7 2 ) . |
(б) |
|
Для точки М\, |
расположенной по другую сто |
|
рону от направления АВ, аналогично находим: |
|
|
ТАВ _ |
i |
(7) |
нмг-4к^+5Ш^> |
Рис.3
где
aQ=p's'm(a'-0,5ar). (8)
Определим напряженность магнитного поля, создаваемого током участка CD (рис. 3), восполь зовавшись выражениями (6) и (7):
для точек М и М2 имеем соответственно:
НМ =4^Vsin?'3+sinr4)> |
(9) |
где
6o=psin(0,5 ат +а); |
(Ю) |
|
,CD |
+ ^Г'4), |
(И) |
НМ,=-ШГ(^УЗ |
где
=p"sin(a"-0,5aT). (12)
Обозначения геометрических параметров, входящих в (4)—(12), показаны на рис. 3.
Рассмотрим определение напряженности маг нитного поля, создаваемого током кругового участка DA (рис. 3).
60 |
Загрпдцкий В. И., Кобяков Е. Т. |
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 3/2002 |
При отсчете угла ср от направления луча ОМ функция г(ср), входящая в (3), имеет вид
I 2 2 |
• 2 |
q>-pcos<p. |
(13) |
r(q>)=^R2-p |
sin |
Воспользовавшись формулой (3), в соответст вии с принятыми обозначениями (рис. 3), после несложных преобразований для точки М нахо дим:
|
DA |
_ |
[ |
|
|
Я |
ил |
|
-^{Е{(рьк)+Е{(рък)) |
+ |
|
М |
- |
|
|||
|
~ 4ятЯ-> |
A-k~ |
|
||
|
|
+ - ^ ( s i n ^ i + s i n ^ ) |
(14) |
||
|
|
|
l-k- |
|
|
где E(q>,k) — неполный эллиптический интеграл второго рода [5]:
(р . |
|
Е(<р, к)=Уl-k2sin2<pdq>; |
(15) |
0 |
|
F(fi, k2) — неполный эллиптический интеграл первого рода [5]:
Р
(21)
Oyl-^jsiir/J
Напряженность поля в точке М (рис. 3), созда ваемая током участка ВС контура, определим, воспользовавшись выражением (19). Учитывая направление тока, имеем:
JJBC |
i -^(Е(вькх)+Е(в2,к0)+ |
|
\-Ц |
к\ |
kx)-F(62, кх) |
(22) |
+ ^-(smei+sm62)-F(eh |
где модуль интегралов
kx=Rxlp<\. (23)
модуль интеграла: |
|
Аналогично |
для точки Р при обозначениях |
|
геометрических |
параметров, отмеченных знач |
|
|
|
||
k=p/R2<l. |
(16) |
ком «*» (рис. 3), по выражению (14) имеем: |
|
|
|
В точке N, расположенной снаружи контура витка, p>R2. Поэтому условие (16) не выполняет ся. Чтобы преодолеть возникающее затруднение, введем в рассмотрение угол /3 (рис. 3). На рис. 3 обозначения геометрических параметров, относя щихся к точке N, помечены значком «~».
Тогда
„ВС |
т(Е(ч'\,к0)+Е(ч/2>к0))+ |
|
|
ФгЯ) о-ч |
|
|
+ -^(sin\j/]+sin ц/2) |
(24) |
|
Щ |
|
где kQ — |
модуль эллиптических |
интегралов |
Е(у*, ко):
T=^p2-R2 sin2 р - R2 cos/J. |
(17) |
kQ=plRx<\. |
(25) |
|
|
||
При этом |
|
Результирующее значение |
напряженности |
|
магнитного поля в точке М, расположенной |
||
|
|
внутри контура тока (рис. 3), получаем сложени |
|
•^Г-Я, sin"/J |
(18) |
ем результатов, определяемых формулами (6), (9), |
|
|
(14), (22): |
|
Принимая во внимание (17) и (18), согласно
(3) после некоторых преобразований находим:
„DA _ |
i |
^{Ефьк2)+Ефък2))+ |
|
Н" |
~~Wp |
||
+ -^(smp{ |
+ smp2)-F(ph k2)-F$2, |
k2), (19) |
|
где к2 — модуль эллиптических |
интегралов |
||
ЕфЛ2) и |
F(P,k2): |
|
|
|
k2=R2/p<\; |
(20) |
пМ~нМ +ИМ +"М +"М • |
(26) |
Приводим расчетные зависимости для вычис ления значений угловых параметров, входящих в слагаемые выражения (26):
tgy\=[R2-pcos(0£az |
-a)]l%; |
|
tgr2=[Pc°s(°>5ar -a)-R\]/%; |
|
|
tg/3=[pcos(0,5aT +a)-R{\lb0; |
|
|
tgy4=[R2-p cosiO^a,+a)]lb0;\ |
(27) |
|
0, = O,5^-72; в2=0,5тс-уу, |
|
|
<р1=0,5(яг+ат)-а-)'1; |
|
|
(р2=0,5(к+ат)+а-у4. |
|
|
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 3/2002 |
К анализу напряженности .магнитного поля |
61 |
Для точек, расположенных снаружи контура витка, результирующее значение напряженности магнитного поля получим аналогично тому, как это сделано для точки М. Заменяя в выражении (26) нижние индексы на обозначения рассматри ваемых точек, определяем соответствующие им компоненты, пользуясь изложенной выше мето дикой. Получаемые аналитические зависимости для удобства пользования приводим в разверну той форме. Они учитывают особенности распо ложения точек относительно контура витка.
Для точек М\, координаты которых удовлет воряют условиям R\<p<R2, 0,5ат<а<тг, компо нента # w определена согласно (7), а остальные
сосгавляющие определяются в соответствии с
принятыми |
обозначениями (рис. 3): |
|
|
|
TCD |
|
(28) |
HMr^(sin^+siny'4); |
|||
H?,A |
= -i- |
^(Е(ср'2,к)-Е((р[,к)) |
+ |
М\ |
4тгД2 |
Lint |
|
|
|
H"D = 4 ^ " ( S i n К ~ S i n ^ ' |
|
(33) |
||
|
|
|
|
|||
„ВС |
_ i |
J(E(jS2,kl)+E(ehkl))+ |
|
|
||
|
lN |
|
|
|
||
tl |
м |
— Акр У-К |
|
|
|
|
*i |
|
|
|
ki)-F(6lt |
k{) |
(34; |
+ -^1(sme2+smel)-F(e2> |
||||||
i-kf |
|
|
|
|
|
|
Выражение для компоненты H,DAN |
приведено |
|||||
выше — формула |
(19). |
|
|
|
||
При этом для а0 |
и £Q остаются справедливыми |
зависимости (5) и (10), а остальные параметры
вычисляются |
по |
формулам: |
|
||
tgf1=[pcos(a-0,5aT)-y?2]/«o; |
|
||||
Ч 72=[Р cos(a- 0,5aT)- R{] /a0; |
|
||||
tg/3=[p cos(a+ 0$ar)-Rx]l b0; |
|
||||
tgy4=[pcos(a+0$aT)-R2]lb0;\ |
(35) |
||||
k\ = ^<\; |
k2 |
= ^-<\; |
|
||
1 |
p |
L |
p |
' |
|
^! = 0,5w-yi; |
J32 = 0,57r-y4; |
|
|||
0! = О,5я:-х2; |
02 = О,5л:-7з. |
|
н—^-(sin<pS-sin<pi)
\-к~
н г ВС -Л |
+ |
м\= 4fe^№.*i)-*0i.*i)) |
|
(29) Для точек Р, расположенных ниже участка ВС (рис. 3), с координатами из области (0<p<i?j; -0,5aT<a<0,5aT), получаем:
|
|
|
|
|
|
|
tf^-MsinyJ-sinyz); |
(36) |
||||
+ -AKsin02-sin0i)-F(02, kx)+F(e\, |
kx) |
(30) |
|
|
4тгао |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
\-к |
|
|
|
|
|
|
л£* = -*T(sin74-siny3); |
(37) |
||||
где модули эллиптических интегралов к ак\ |
при |
|||||||||||
|
|
4яЛо |
|
|
||||||||
ведены выше |
— (16) |
и (23), |
а для |
вычисления |
DA |
t_ |
i(E((ph k)+E((p2, k))+ |
|||||
остальных |
параметров |
имеем |
зависимости, |
ана |
||||||||
Н%л = |
||||||||||||
логичные |
(27): |
|
|
|
|
|
4KR-> ll-k- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tgyi=№-p'cos(a'-0,5oT)]/fl0; |
|
|
+ -Msin<p, + sin<p2) |
(38) |
||||||||
igX2=[p'cos(a'-0,5aT)-i?,]/flo; |
|
|
|
\-k~ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lgy'l=[p'cos(a'+0,5ax)-R{]/b(); |
|
|
Компонента HpC исчисляется по формуле (24). |
|||||||||
tgr4=№-p'cos(«'+0>5«r)]/66; |
|
(31) |
|
|
* |
# |
|
|||||
ft0=p'sin(a'+0,5aT); |
|
|
Для вычисления а$ и /5Q справедливы формулы |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
(p'i = |
0,5(n-aT)+a'-y'i; |
|
|
|
(5) и (10), а |
для |
остальных параметров |
имеем: |
||||
(р'7 = |
0,5(л+аг)+а'-у'ц; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
tgx!=[^2-P cos(0,5ar-a*)]/flo; |
|
||||||||
в\ = 0,5к-у'2; |
в'2=0,5п-у'г. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg72-№-p*cos(0,5ar-a*)]/ao; |
|
||||
При этом А() вычисляется по формуле (8). |
tgyl=[R\-p*cos(0,5ar+a)]lbQ; |
|
||||||||||
Для точек N с координатами, удовлетворяю |
tgy*4=[R2-p*cos(0,5aT+a |
)]/$>; |
[(39) |
|||||||||
щими условиям p>R2, |
-0,5aT<a<0,5aT, находим |
|
|
|
|
|
(рис. 3): |
|
<Р! = 0,5(л:+ат)-а |
- j ^ ; |
(p2=0,5(n+aT)+a -y4 ; |
|
|
|||
я ^ = 4 ^ ( 8 1 п У 2 - 8 т у 1 ) ; |
(32) |
i//] = 0,5(^+aT)-a |
- 7 2 ; |
у/2=0,5(л;+ат)+а*-уз. |
62 |
Зигрядцкий В. И., Кобяков Е. Т. |
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 3/2002 |
Необходимо заметить, |
что для |
точек N\ |
(рис. 3), лежащих в области |
(p>R2; |
0,5ат<а<л), |
применимы формулы (19), (32), (34), но при этом следует иметь в виду, что компонента Н^ отри цательна [правая часть (32) должна иметь знак
CD
минус], компонента НN вычисляется по форму ле (9), а углы /3[ и в\ изменяют знаки и поэтому в (19) и (34) слагаемые, содержащие /?j и в], дол жны быть взяты с противоположными знаками. При этом формулы (35) не изменяются, за исклю чением формулы для р2:
/32=0,5л+у4. (40)
Обозначения геометрических параметров, от носящихся к точке N\, на рис. 3 помечены знач ком «=».
Аналогичное обстоятельство имеет место и для точек Р\ (рис. 3), расположенных в области (0<p<R\; 0,5ат<а<тг). Соответствующие геомет рические параметры на рис. 3 помечены значком
При вычислениях компонент напряженности магнитного поля в этих точках допустимо поль зоваться формулами (36), (37), (24), (38), но правую часть формулы (36) для Нр следует взять со
знаком минус, а в формулах, содержащих углы i//| и <р|, соответствующие слагаемым, должны из менить знаки на противоположные.
Формулы (39) для углов у\-у4, Уъ 92 справед ливы И ДЛЯ ТОЧеК Р\, НО УГЛЫ Ц/\, <£>] ДОЛЖНЫ ВЫ ЧИСЛЯТЬСЯ иначе. Учитывая принятые обозначе ния, имеем:
вого типа, представляет изучение магнитного поля витка в кольцевой области R\<p<R2. При этом, учитывая симметрию поля, достаточно ограничиться областью значений а, удовлетворя ющей условию: 0<а<л. Как показывают вычис ления, магнитное поле витка сосредоточено, в основном, внутри контура витка, а напряжен ность поля в наружных областях, примыкающих к контуру, быстро затухает при удалении от кон тура. Поле внутри контура витка характеризует ся существенной неравномерностью распределе ния напряженности, и эта неравномерность уве личивается при сближении проводников контура, т.е. при уменьшении расстояния между ними.
О характере распределения напряженности поля в кольцевой области Rx<p<R2 можно су дить по рис. 4, где показана схема исследуемой
ш"
Jp\ = Q,5(n-aT)+a-y{; |
ц/х = Ъ,5(п-ат)+а-у2. |
(41) |
%oom~\oom |
%оо78е |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В связи с простотой составления аналитиче |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ских зависимостей для вычисления напряженно |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сти магнитного поля в точках N\ и Р\ ограничим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ся сделанными замечаниями, которые при необ |
Н(Р) |
2,753 |
|
|
|
|
|
|||||
ходимости позволят легко представить эти зави |
|
|
|
|
|
|||||||
2,581 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
симости в развернутой форме, пользуясь обозна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
чениями рис. 3. Очевидно, что магнитное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
витка симметрично относительно плоскости П |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(рис. 1), поэтому приведенных в статье аналити |
1,147 |
%2Н |
111 11 11" |
12Ч212" |
13' 13 13" |
|||||||
ческих |
выражений |
достаточно для |
получения |
1 |
|
|
|
brh^o0'140 |
Ofl32o\ 0,0205 |
|||
полного |
представления |
о характере распределе |
|
|
|
r0,3S9 |
0,216 |
0,208 |
0,0269 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0,596 |
|
|
|
|||||||
ния напряженности |
поля в плоскости |
витка. |
|
|
|
0,618 |
|
|
|
|||
|
12 345 |
|
|
|
<) |
|
|
|||||
Определенный практический интерес, в част |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ности при создании электрических машин торце |
|
|
|
Рис.4 |
|
|
|
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 3/2002 |
К анализу напряженности магнитного поля |
63 |
области поля (рис. 4,а) и построены кривые Н(а) для окружности радиуса p=(i?i+i?2)/2B развертке (рис. 4,6) и кривые Н(р) для ряда значений а (рис. 4,в) при ат = ж/3.
Цифровые значения, указанные на рис. 4, даны в относительных единицах для рассмотрен ного нами частного случая (R\ = 9 см, Л2=13 см). За единицу напряженности принята напряжен ность магнитного поля в центре витка (точка 3).
Выводы. Полученные аналитические выраже ния для осевой составляющей магнитного поля плоского витка с током указанной конфигурации позволяют проводить анализ магнитного поля как внутри контура витка, так и за его предела ми. Они будут полезны для теоретических иссле дований и для практики проектирования элект рических машин, в частности торцевых асинх ронных двигателей. На их основе могут быть по лучены аналитические выражения для напряжен ности поля m-фазной обмотки статора электро двигателя.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Неймап Л.Р., Калаптаров П.Л. Теоретические основы члектротехники. Ч. 3. - М; Л.: ГЭИ, 1954.
2.Мвлош Штафль. Электродинамические задачи в элект рических машинах и трансформаторах / Пер. с чешек. В.И. Ва сина. - М.; Л.: Энергия, 1966.
3.Патент РФ № 2058655. Торцовая электрическая асинх
ронная машина / В.И. Загрядцкий, Е.Т. Кобяков. — Опубл. в БИ, 1996, № 11.
4. Патент РФ № 2140700. Торцовая электрическая асинх ронная машина / В.И. Загрядцкий, Е.Т. Кобяков, Е.П. Сидо ров. - Опубл. в БИ, 1999, № 30.
5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Фор мулы, графики, таблицы / Под ред. Л.И. Седова / Пер. с 6-го нем. изд. — М.: Наука, 1968.
(23.12.9tij
Авторы: Загрядцкий Владимир Иванович
окончил электротехнический факультет Горьковского политехнического института в 1954 г. В 1973 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Исследование совмещенных электрических машин (Основы теории машин и устройств с вращающим ся магнитным полем и разнополюсными обмотка ми) » в Харьковском политехническом институте. Заведующий кафедрой электротехнических дисцип лин Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ).
Кобяков Евгений Тихонович окончил механиче ский факультет Всесоюзного заочного института текстильной и легкой промышленности в 1965 г. В 1995 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Анализ и синтез динамических систем в за дачах проектирования испытательных машин осе вого циклического нагружения и роторов» в Орел ГТУ. Доцент кафедры «Прикладная механика» ОрелГТУ.