3853
.pdf
11
Y Y/
C
O X
B/ А B |
X/ |
|
|
C/
Рис.3
Тема 2. Векторная алгебра. Элементы линейной алгебры
1гл.1, 2,
2гл.8, 9, 10.
3 гл. 4 № 592, 593, 616, 620.
Задача 3. Затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами – d1(a1b1c1), d2(a2b2c2), d3(азbз сз). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(qАqВqС). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить
математическую модель задачи, решить задачу |
матричным методом. |
|
|||
Пусть предприятие выпустит x1 единиц продукции I, х2 |
единиц |
||||
продукции II, хз единиц продукции III. |
|
|
|
|
|
Расход сырья А на все виды продукции |
а х |
а2 х2 |
а3 х3 . По условию |
||
|
1 |
1 |
|
|
|
задачи расход сырья А должен равняться запасу qА, т.е. |
а х а2 х2 |
а3 х3 = qА, |
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем систему уравнений:
а1х1 |
а2 х2 |
а3 х3 |
b1x1 |
b2 x2 |
b3 x3 |
c1x1 |
c2 x2 |
c3 x3 |
qА ; qВ ; qC .
Рассмотрим задачу на конкретном примере. Пусть затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции
12
заданы векторами d1(7,2,5), d2(0,3,1), d3(5,2,1). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(220,140,100). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.
Решение. Система уравнений имеет вид:
7х1 5х3 220;
2х1 |
3х2 |
2х3 |
140; . |
5х1 |
х2 |
х3 |
100. |
|
|
|
х1 |
Обозначим X = |
х2 –матрица объёмов выпуска I, II, III типов продукции. |
||||||
|
|
|
х3 |
|
|
|
|
7 |
0 |
5 |
|
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = 2 |
3 |
2 |
– матрица затрат ресурсов; А0 = |
140 |
– |
матрица запасов |
|
5 |
1 |
1 |
|
100 |
|
|
|
ресурсов. |
|
|
|
|
|
|
|
Систему уравнений можно представить в матричном виде |
|
|
|
||||
|
|
А ∙ X = А0; Х = А-1 ∙ А0, |
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
где А-1– обратная матрица к квадратной матрице А = |
а21 |
а22 |
а23 |
|
|||
|
|
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула для вычисления обратной матрицы
А--1= 1
А
А11 А21 А31
А12 А22 А32 |
(8) |
|
А13 А23 А33 ,
А – определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
|А| = а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 – а13а22а31 – а12а21а33 – а23а32а11; (9)
|
7 |
0 |
5 |
|
|
А |
= |
2 |
3 |
2 |
= 21 + 10 + 0 – 75 – 14 – 0 = –58 0. |
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для неё существует обратная матрица A-1.
Аij называется алгебраическим дополнением к элементу aij и равно
Aij = (–1)1+jМ ij . |
(10) |
Минор M ij элемента aij – это определитель, полученный из данного определителя вычёркиванием i-й строки и j-гo столбца.
13
A ( 1) |
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 1 2 1 1 |
A |
( 1) |
3 |
|
2 |
|
2 |
|
(2 1 2 5) 8 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
( 1) |
4 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 1 3 5 |
|
13 A |
( 1) |
3 |
|
0 |
5 |
|
|
(0 1 5 1) 5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A |
( |
1) |
|
4 |
|
7 |
|
5 |
|
|
7 |
25 |
18 |
A |
( |
1) |
5 |
|
|
|
|
0 |
|
(7 |
0) |
|
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
( |
1) |
4 |
|
|
|
5 |
|
|
0 |
15 |
15 |
|
A |
( |
1) |
5 |
|
7 |
|
5 |
|
(14 |
10) |
4 |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
( |
1)6 |
|
|
0 |
|
|
21 |
0 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
33 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
5 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда А-1 = – |
|
|
|
8 |
|
18 |
|
4 . Согласно формуле (7) Х = А-1A0 |
||||||||||||||||||||||||||||
58 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
7 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
15 |
|
220 |
|
|
1 |
|
|
|
1 220 |
5 140 |
15 100 |
|||||||||||||||
Х |
x2 |
|
|
|
|
8 |
18 |
4 |
|
140 |
|
|
|
|
|
8 220 |
18 140 |
4 100 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
58 |
|
|
58 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
13 |
7 |
21 |
|
100 |
|
|
|
13 |
220 |
7 140 |
21 100 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
580 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1160 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1740 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получили x1 = 10; х2 = 20; х3 = 30.
Задача 4
Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из 3 видов услуг:
1– технического обслуживания;
2– транспортные услуги;
3 – капитальный ремонт – заданы векторами: d1(a1,b1,c1); d2(a2,b2,c2); d3(a3,b3,c3). Полные затраты на выполнение каждого из 3 видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3). Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги.
Составить математическую модель задачи. Решить а) матричным методом;
б) методом Крамера.
х – число часов использования оборудования А; у – число часов использования оборудования В; z – число часов использования оборудования С.
a1x b1 y c1z g1; a2 x b2 y c2 z g2 ; a3 x b3 y c3 z g3.
Решение системы уравнений матричным способом приведено в задаче 3.
14
Решим систему уравнений методом Крамера. Обозначим
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
g1 |
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 , |
|
|
|
|||||||||||
А a |
2 |
|
b c |
, |
|
X |
|
|
y |
, |
А0 |
|
a |
b c |
, |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g3 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
a3 |
d3 |
c3 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
g1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
a1 |
|
g1 |
c1 |
|
|
|
a1 |
b1 |
g1 |
|
||||||
x |
g 2 |
b2 |
c2 |
, |
|
y |
|
a2 |
|
g 2 |
c2 |
, |
|
z |
a2 |
b2 |
g 2 |
. |
|||||||
|
|
g3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
|
a3 |
|
g3 |
c3 |
|
|
|
a3 |
b3 |
g3 |
|
||||||
x |
|
|
x |
, |
|
y |
|
y |
, |
|
z |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 5. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у = 120+30х, а на железнодорожном – у = 160 + 20х, где х – расстояние в километрах; у – транспортные расходы на 1 км. (в усл.ден.ед.).
Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х = 200 км.
1. Построим прямые у = 120 + 30х (I) и у = 160 + 20х (II) (рис. 4).
У
(I)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II) |
|
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 3 4 |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4 |
|
Найдём точку пересечения двух прямых |
|
||||||||||
у |
120 |
30х; |
|
х0 |
= 4 у0 = 240. |
|
|||||
у |
160 |
20х; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если х = 4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.
Если х<4, автомобильные перевозки выгоднее, а при х>4 выгоднее становятся железнодорожные перевозки.
Рассчитаем транспортные расходы при х = 200 км.
15
у= 120+30∙200 = 6 120 (усл.ден.ед.) – затраты на автомобильном транспорте;
у= 160+4000 = 4 150 (усл.ден.ед.) – затраты на железнодорожном транспорте.
Задача 6. Зависимость уровня потребления у некоторого вида товаров от уровня дохода семьи Х выражается формулой у = 6– x1449 . Построить график
этой зависимости, произвести экономический анализ, вычислить уровень потребления при х = 158.
Построим график у = 6– |
144 |
; |
у –6=– |
|
144 |
. |
||
|
|
|||||||
|
x 9 |
|
|
|
x |
9 |
|
|
Преобразуем данное уравнение к виду Y = |
m |
(12) |
||||||
Х |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Введём новые переменные. |
|
|
|
|
|
|
||
X |
x |
9 |
– эти формулы определяют параллельный перенос осей координат. |
|
Y |
y |
6 |
||
|
В “новой” системе координат X/O/Y/, начало которой есть точка O/(–9;6), построим равнобочную гиперболу (12). Её асимптотами служат оси О/X/ и O/Y/. Т.к. m = –144<0, ветви гиперболы расположены во 2 и 4 квадрантах.
Вершинами гиперболы в “новой” системе координат будут точки A(– 
m; 
m)
A/( 
m;
m) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(– 144; 144) |
A(–12;12). |
||||||||||||||
|
A/( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A/(12; –12) . |
|||||
|
144; |
144) |
||||||||||||||
Если m |
0 , то ветви гиперболы будут расположены в 1 и 3 квадрантах, а их |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вершинами |
будут точки ( |
|
|
m; |
m ) и |
(– m; m) в “новой” системе |
||||||||||
координат.
При построении гиперболы полезно знать точки пересечения с осями ОХ и ОУ. Найдём их: х = 0, у = –10; х = 15, у = 0. Следовательно, искомая линия пересекает старые оси координат в точках В(0; –10), С(15; 0).
Уровень потребления обращается в 0 при некотором критическом уровне
дохода: у = 0 6– |
144 |
0 , х = 15. Если х<15, то у<0, формула не имеет |
|
х 9 |
|||
|
|
экономического смысла, следовательно, анализировать будем ту часть графика, которая удовлетворяет условию х>15.
По графику (рис. 5) видим, что при росте дохода предельное потребление будет стремиться к значению у = 6, т.е. с ростом дохода уровень потребления стабилизируется.
Найдём уровень потребления при х=158, у≈5,13.
16
Y/ |
Y |
O/ |
X/ |
|
|
6 |
|
O |
X |
|
|
-9 |
15 |
-10 |
|
Рис.5
Задачи для выполнения контрольной работы № 1
Взадачах 1–20 даны вершины треугольника ABC. Найти:
1)длину стороны ВС;
2)уравнение высоты из вершины А и её длину;
3)уравнение медианы из вершины А;
4)записать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС;
5)построить чертеж.
1.А(3;1) В(–13;-11) С(–6;3). 2.А(26; –5) В(2;2) С(–2; –1). 3.А(–2;3) В(–18; –9) С(–11;15). 4.А(28;2) В(4; –5) С(0; –2). 5.А(8; –1) В(–8;11) С(–4; –13). 6.А(17; –4) В(–7;-11) С(–11; –8).
7.А(9; –3) В(–7; –15) С(0;9).
8.А(18;3) В(–6;10) C(–10;7).
9.А(7;4) В(–9; –8) С(–2;16). 10.А(19;3) В(–5;- –) С(–9; –1).
17
11.А(1;1) В(7;4) С(4;5).
12.А(1;1) В(–5;4) С(–2;5).
13.А(1;4) В(–1;1) С(2;5).
14.А(–4;5) В(–1;1) С(–7;4).
15.А(7;2) В(4;5) С(1; –1). 16.А(1; –1) В(25;2) С(–2;3). 17.А(–1; –1) В(5;2) С(2;3). 18.А(1;2) В(4;3) С(0;5).
19.А(–4;3) В(–1; –1) С(–7;3).
20.А(0;1) В(6;4) С(2;5).
21–30. Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из трёх видов услуг: I – техническое обслуживание, II – транспортные услуги, III – капитальный ремонт, заданы векторами d1(a1,b1,c1), d2(a2,b2,c2), d3(a3,b3,c3). Полные затраты на выполнение каждого из трёх видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3).Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги. Составить математическую модель задачи, решить задачу а) матричным методом, б) методом Крамера.
21.d1(4,2,5) d2(2,6,1) d3(3,1,2) Q(210,190,120).
22.d1(3,5,4) d2(2,3,4) d3(1,7,6) Q(145,105,175).
23.d1(2,4,3) d2(3,1,9) d3(5,3,1) Q(100,145,115).
24.d1(3,5,1) d2(7,1,1) d3(2,2,6) Q(125,165,150).
25.d1(9,4,1) d2(3,3,4) d3(1,5,1) Q(290,175,155).
26.d1(8,4,1) d2(10,2,3) d3(4,1,5) Q(185,215,185).
27.d1(1,1,7) d2(4,5,1) d3(2,3,6) Q(175,170,200).
28.d1(2,2,7) d2(3,3,4) d3(8,4,1) Q(150,160,230).
29.d1(3,1,5) d2(1,2,3) d3(2,4,1) Q(170,115,105).
30.d1(5,2,1) d2(7,5,1) d3(1,1,4) Q(160,240,95).
31–40. Затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами – d1(a1b1c1), d2(a2b2c2), d3(азbз сз). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(qАqВqС). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи, решить задачу а) матричным методом, б) методом Крамера.
31.d1(7,2,4) d2(2,3,4) d3(3,5,3) Q(200,230,210).
32.d1(3,2,2) d2(1,2,3) d3(5,4,1) Q(230,210,130).
33.d1(4,5,3) d2(4,7,6) d3(2,1,1) Q(230,270,190).
34.d1(2,5,4) d2(3,2,7) d3(6,1,2) Q(215,205,365).
35.d1(2,6,1) d2(8,4,3) d3(1,5,4) Q(325,325,215).
36.d1(5,3,1) d2(3,5,4) d3(2,1,3) Q(270,240,145).
37.d1(4,1,3) d2(1,0,3) d3(2,4,5) Q(180,165,280).
38.d1(6,1,2) d2(9,1,1) d3(3,2,4) Q(480,90,140).
39.d1(2,2,4) d2(1,1,5) d3(3,5,1) Q(150,190,230).
40.d1(7,1,3) d2(1,2,1) d3(3,1,6) Q(250,80,310).
|
18 |
|
|
41–60. Построить линии. |
|
41. а) y2 + 20y + x + 102 = 0; |
42. а) x2 – 2x – 4y – 11 = 0; |
|
|
б) 25х2 + 4у2 + 200х + 8у + 304 = 0; |
б) 36х2 + у2 + 360х – 4у + 868 = 0; |
|
в) – 4х2 + 25у2 – 24х + 100у – 36 = 0. |
в) – 25x2 + 4y2 – 50x – 8y – 121 = 0. |
43. |
а) y2 + 10y + x + 24 = 0; |
44. а) х2 + 14х + 3у + 70 = 0; |
|
б) 9х2 – 72x + y2 + 6у + 144 = 0; |
б) х2 + 36y2 + 4x – 72у + 4 = 0; |
|
в) – х2 + 4у2 + 24х + 40у – 48 = 0. |
в) x2 – 4y2 – 6x – 72y – 319 = 0. |
45. |
а) y2 + 6y 7x+16=0; |
46. а) x2 – 12x + 8y – 12 = 0; |
|
б) 16х2 + 4у2 + 96х + 40у + 180 = 0; |
б) 64х2 + у2 + 128х + 16у + 64 = 0; |
|
в) – х2 + 100у2 + 1000y + 2400 = 0. |
в) 4х2 – 16у2 – 72х – 64y + 196 = 0. |
47. а) x2 + 4x + 4y = 0; |
48. а) у2 + 4у – 3х + 1 = 0; |
|
|
б) х2 + 9у2 – 12х – 54у + 108 = 0; |
б) 9х2 + 4у2 + 54х – 8у + 49 = 0; |
|
в) х2 – у2 + 8х – 14у – 34 = 0. |
в) – х2 + 36у2 – 8х + 72у – 16 = 0. |
49. |
а) x2 – 2x – 3y – 2 = 0; |
50. а) 2х2 – y + 5 – 8x = 0; |
|
б) 4х2 + 8x + y2 – 6y + 9 = 0; |
б) 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0; |
|
в) 36x2 – y2 – 72x – 6y – 9 = 0. |
в) 16х2 – 9у2 – 64х – 54у – 161 = 0. |
51. |
а) х2 + y – 4у + 3 = 0; |
52. a) y2 – y – x + 2 = 0; |
|
б) 16x2 + 25y2 + 32x – 100y – 284 = 0; |
б) 4х2 + 3у2 – 8Х + 12у – 32 = 0; |
|
в) 16x2 – 9y2 – 64x – 18y + 199 = 0. |
в) 9х2 – 16у2 + 90х + 32y – 367 = 0. |
53. а) у2 – 2у – 4х + 13 = 0; |
54. a) y2 – 16y – x + 17 = 0; |
|
|
б) 9х2 + 16у2 + 90х – 64у + 145 = 0; |
б) 5x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0; |
|
в) 4x2 – 9y2 – 16х – 54у – 101 = 0. |
в) 4x2 – y2 + 8x + 6y + 3 = 0. |
55. а) у2 + 6у – 4х + 17 = 0; |
56. а) у2 + 4у + 5 – x = 0; |
|
|
б) 9х2 + 25у2 – 54х – 200у + 256 = 0; |
б) х2 + у2 – 8х + 2у + 12 = 0; |
|
в) 9x2 – 4y2 + 18x – 16y + 29 = 0. |
в) х2 – у2 – 6х + 10 = 0. |
57. а) у2 – 2у – 4x + 13 = 0; |
58. a) x2 + 2х – 8y + 17 = 0; |
|
|
б) 9х2 + 16у2 + 90х – 64у + 145 = 0; |
б) 25x2 + 4y2 – 200x – 16y + 216 = 0; |
|
в) y2 – 2x2 – 20х + 2y – 53 = 0. |
в) х2 у2 2х 2 =0. |
59. а) 3x2 + 18x – y + 31 = 0; |
60. a) 7y2 – 14y – x + 2 = 0; |
|
|
б) 36х2 + 4у2 + 144 – 40y + 100 = 0; |
б) 6х2 + 8у2 + 12х + 32у – 10 = 0; |
|
в) – 9х2 + 4у2 + 54х + 8у – 113 = 0. |
в) х2 – у2 – 10х + 4у + 20 = 0. |
61 – 62
Издержки при изготовлении партии деталей определяются по формуле у = ах + b, где х – объём партии, причём параметры а и b различны для двух вариантов технологического процесса.
19
1. Определить, какой из двух технологических процессов выгоднее в зависимости от объёма партии.
2.Построить графики.
3.Найти себестоимость продукции при х = 100 для обоих вариантов.
61. |
у = 0,6x + 24; |
62. у = 0,28x + 30; |
|
у = 0,65x + 18. |
у = 0,4x + 10. |
63. |
Полные издержки на производство 100 шт. изделий составляют 300 руб., |
|
на 200 шт. – 500 руб. Составить функцию издержек производства, считая её линейной. Определить издержки на производство 300 шт. изделий.
64. Полные расходы по перевозке груза на железнодорожном транспорте на расстояние 50 км составляют 150 руб., а на расстояние 180 км – 400 руб. Составить функцию полных расходов по перевозке груза, считая её линейной. Определить расходы по перевозке на расстояние 100 км.
65.Полные издержки по производству х ед. продукции на двух предприятиях
выражаются соответственно формулами: L1: y = 0,7x + 2 и L2: y = 0,5x + 4, х (усл.ед.) – объём продукции, у (млн руб.) - соответствующие полные издержки. Требуется выяснить, начиная с какого объёма продукции более экономичным становится второе предприятие.
66.Месячный запас горючего –180 т., ежедневный расход 5 т. Составить формулу для определения запаса горючего по дням и построить график. Как изменится формула и график, если в первую декаду расходуется по 3 т в день, во вторую – 6 т, в третью – 5 т в день.
67 – 68. Предприятие в течение года производит Р усл. единиц некоторой продукции партиями по х усл. единиц каждая. При этом издержки на производство одной партии составляют S ден. единиц. Записать формулу у = у(х) зависимости издержек производства от размеров партии выпускаемой
продукции. Указать область определения и построить график функции |
у = |
|||||
у(х). |
|
|
|
|
|
|
67. Р = 60; |
68. Р = 80; |
|
|
|
|
|
S = 20. |
S = 30. |
|
|
|
|
|
69 – 70. Зависимость уровня потребления у (усл.ед) некоторого вида |
|
|||||
товаров от уровня дохода семьи х выражается формулой у а |
|
b |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
c |
|
|
Построить график этой зависимости, произвести экономический анализ.
Вычислить уровень потребления при X = X0. |
|
|
|||
|
c |
40; |
|
c |
50; |
69. |
a |
250; |
70. |
a |
220; |
b |
|
b |
|
||
|
130; |
|
110; |
||
|
x |
100. |
|
x |
100. |
20
71 – 72. Продолжительность выполнения работы у (мин) при повторяемых операциях есть величина, обратно пропорциональная числу х этих операции.
Построить график зависимости у = f(x), если известно, что при 0 x 200
справедлива формула |
у |
|
а |
. Вычислить, сколько минут выполняется работа |
|||||
|
х с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 50 операциях, если: |
|
|
|
|
|
|
|
||
71. x |
0; |
y |
100; |
72. |
x |
0; |
y |
120; |
|
x |
200; |
y |
20. |
|
x |
200; |
y |
60. |
|
73 – 74. Рентабельность у связана с себестоимостью продукции х следующей зависимость:
у |
а |
— 1, где |
a – цена единицы продукции. Построить график этой |
|
|
||||
х |
||||
|
|
|
зависимости, пояснить его экономический смысл. Вычислить рентабельность
при х1 = 50 х2 = 150. |
|
73. a = 130. |
74. a = 150. |
75 – 76. Себестоимость продукции f (или средние издержки производства) зависит от объема производства х. Функциональная зависимость имеет вид
f( x )= а + bx . Построить график функции. Пояснить его экономический смысл.
75. |
a |
8; |
76. a |
10; |
|
b |
160. |
b |
250. |
77 – 78. Зная, что объём производства у связан с производительность труда х линейной зависимостью, определить эту зависимость, построить график, найти объём производства при х = 20, если:
x |
20 |
y |
300 |
|
|
x |
30 |
y |
250 |
77. x |
50 |
y |
800 |
|
|
78. x |
80 |
y |
700 |
79 – 80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммарная |
выручка |
Z связана |
|
со спросом |
на |
некоторый вид продукции |
|||
следующей зависимостью Z = |
ах |
|
, х – спрос на данный вид товара. Построить |
||||||
|
|
||||||||
х |
2 |
||||||||
график этой зависимости, пояснить экономический смысл, вычислить выручку при х = 50, х = 150, если
79. a =130. 80. a =120.